高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学专题六 导数解答题
导数与函数的单调性的综合题
【背一背重点知识】
1.利用导数求函数区间的步骤:一求定义域,二求导数为零的根,三在定义域内分区间研究单调性;
2.利用函数单调性与对应导数值关系,进行等价转化.如增函数可转化为对应区间上导数值非负;减函数可转化为对应区间上导数值非正;
3.利用导数积与商运算法则规律,构造函数研究函数单调性,如()()0xf x f x '+>可转化为(())0xf x '>
()()0xf x f x '->可转化为()
(
)0f x x
'> 【讲一讲提高技能】
1. 必备技能:会根据导数为零是否有解及解是否在定义域内进行正确分类讨论;会根据函数单调性确定
导数在对应区间上符号规律;会根据导数积与商运算法则规律构造函数. 2. 典型例题:
例1已知函数1
()(1)ln ,()f x ax a x a R x
=+-+∈. (1)当0a =时,求()f x 的极值; (2)当0a <时,求()f x 的单调区间;
(3)方程()0f x =的根的个数能否达到3,若能,请求出此时a 的范围,若不能,请说明理由. 例2已知2
2
()(0)(1)ax f x a x +=
>+.
(Ⅰ)若1a =,求)(x f 在1x =处的切线方程;
(Ⅱ)确定函数)(x f 的单调区间,并指出函数()f x 是否存在最大值或最小值.
【练一练提升能力】 1.已知函数(1)
()ln ()a x f x x a R x
-=-
∈. (Ⅰ)若1a =,求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程; (Ⅱ)求()f x 的单调区间;
(Ⅲ)求证:不等式111ln 12
x x -<-对一切的(1,2)x ∈恒成立.
2. 已知函数d cx bx x x f +++=
23
3
1)(的图象过点(0,3),且在)1,(--∞和),3(+∞上为增函数,在)3,1(-上为减函数.
(1)求)(x f 的解析式; (2)求)(x f 在R 上的极值.
导数与函数的极值、最值的综合题
【背一背重点知识】
1.运用导数求可导函数()y f x =的极值的步骤:(1)先求函数的定义域,再求函数()y f x =的导数
()f x ';(2)求方程()0f x '=的根;(3)检查()f x '在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么()f x 在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么()f x 在这个根处取得极小值.
2.求函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值的步骤:(1)首先确定函数()f x 在区间[,]a b 内连续,在(,)a b 内可导;(2)求函数()f x 在(,)a b 内的极值;(3)求函数()f x 在区间端点的值(),()f a f b ;(4)将函数()f x 的各极值与(),()f a f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
3. 已知函数最值求参数,需正确等价转化.如函数()f x 最大值为2,则等价转化为:()2f x ≤恒成立且
()2f x =有解.
【讲一讲提高技能】
1.必备技能:求函数最值时,不必讨论导数为零的点是否为极值点;而求函数极值时,必须考察导数为零的点的附件导数值是否变号,若不变号,则不为极值点;若变号,再根据变号规律,确定是极大值还是极小值.
2.典型例题:
例1已知函数()e 1x
f x x -=+-.
(Ⅰ)求函数()f x 的极小值;
(Ⅱ)如果直线1y kx =-与函数()f x 的图象无交点,求k 的取值范围.
例2已知函数)0(ln )(2
2
≠∈-+=a R a x a ax x x f 且. (Ⅰ)若1x
是函数()y f x 的极值点,求a 的值;
(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间.
【练一练提升能力】
1. 已知函数2
3)(bx ax x f +=,在1x =时有极大值3; (Ⅰ)求,a b 的值;
(Ⅱ)求函数)(x f 在[]2,1-上的最值.
2.已知函数2
()()f x x x a =-,2
()(1)g x x a x a =-+-+(其中a 为常数); (Ⅰ)如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点,求a 的值;
(Ⅱ)设0a >,问是否存在0(1,)3
a x ∈-,使得00()()f x g x >,若存在,请求出实数a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)记函数()[()1][()1]H x f x g x =-?-,若函数()y H x =有5个不同的零点,求实数a 的取值范围.
利用导数解决不等式等综合问题
【背一背重点知识】
1. 利用导数证明不等式的基本步骤:(1)作差或变形;(2)构造新的函数;(3)对新函数求导;(4)根据新函数的导函数判断新函数的单调性或最值;(5)结论.
2. ()()f x g x >对x D ∈恒成立等价于min (()())0f x g x ->
3. 12()()f x g x >对12,x D x D '∈∈恒成立等价于min max ()()f x g x > 【讲一讲提高技能】
1必备技能:构造函数证明不等式的技巧:(1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数()f x ,使原不等式成为形如()()f a f b >的形式;(2)对形如()()f x g x >,构造函数()()()F x f x g x =-;
(3)对于(或可化为)12(,)f x x A ≥的不等式,可选1x (或2x )为主元,构造函数2(,)f x x (或1(,)f x x ). 2典型例题:
例1设函数,)(x
xe x f =.)(2
x ax x g +=
(1)若)(x f 与)(x g 具有完全相同的单调区间,求a 的值; (2)若当0≥x 时恒有),()(x g x f ≥求a 的取值范围.
例2已知函数()(01)log x
a f x a a a
x =>≠+且的定义域为[]2,1.
(Ⅰ)若()12f =,求实数a 的值; (Ⅱ)若
()f x 的最小值为5,求实数a 的值;
(Ⅲ)是否存在实数a ,使得2
)(a x f <恒成立?若存在求出a 的值,若不存在请说明理由. 【练一练提升能力】
1.已知函数)0()1ln()(2
≤++=a ax x x f (1)讨论)(x f 的单调性.
(2)证明:n e n 21
1)4
11()1611)(411(-<+???++(*
∈N n ,e 为自然对数的底数)
2.已知)0()(>-
=a x
a
x x f ,bx x x g +=ln 2)(,且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切. (1)若对),1[+∞内的一切实数x ,不等式)()(x g x f ≥恒成立,求实数a 的取值范围;
(2)当1=a 时,求最大的正整数k ,使得对]3,[e ( 2.71828e =???是自然对数的底数)内的任意k 个实数
k x x x ,,,21 都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++- 成立;
(3)求证:)12ln(1
4412
+>-∑=n i i
n
i )(*N n ∈.
解答题(共10题) 1.已知函数13
1)(23
+-=
ax x x f . (Ⅰ)若函数)(x f 的图象关于点(0,1)对称,直接写出a 的值; (Ⅱ)求函数)(x f 的单调递减区间;
(Ⅲ)若()1f x ≥在区间),3[+∞上恒成立,求a 的最大值. 2. 已知函数1
()ln f x x x
=-
,()g x ax b =+. (1)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增,求实数a 的取值范围; (2) 若直线()g x ax b =+是函数1
()ln f x x x
=-
图象的切线,求a b +的最小值; (3)当0b =时,若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ,求证:12x x 2
2e >. (取e 为2.8,取ln 2为0.7,取2为1.4) 3. 已知函数x ax x x f 22
1ln )(2
--
=. (1)若函数)(x f 在2=x 处取得极值,求实数a 的值; (2)若函数)(x f 在定义域内单调递增,求实数a 的取值范围; (3)当2
1-=a 时,关于x 的方程b x x f +-=21
)(在[]4,1上有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范
围.
4. 已知a b ,为实数,函数1
()f x b x a
=
++,函数()ln g x x =. (1)当0a b ==时,令()()()F x f x g x =+,求函数()F x 的极值;
(2)当1a =-时,令()()()G x f x g x =?,是否存在实数b ,使得对于函数()y G x =定义域中的任意实数1x ,均存在实数2[1,)x ∈+∞,有12()0G x x -=成立,若存在,求出实数b 的取值集合;若不存在,请说明
理由.
5. 已知函数()(2)x
f x ax e =-在1x =处取得极值. (1)求a 的值;
(2)求函数()f x 在[,1]m m +上的最小值;
(3)求证:对任意1x 、2[0,2]x ∈,都有12|()()|f x f x e -≤.
6. 已知函数
2
()ln(1).f x x a x =++ (1)当4a =-时,求函数()f x 的单调区间;
(2)若对于任意[1,2]x ∈,不等式()f x x ≤恒成立,求实数a 的取值范围。 7.设函数x a x x x f ln )(2+-=,其中0≠a . (1)若6-=a ,求)(x f 在[1,4]上的最值;
(2)若)(x f 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数a 的取值范围; (3)求证:不等式)(1
1ln *3N n n
n n n ∈->+恒成立. 8.已知函数12
132)(2
3+--=
x x x x f ,R x ∈ (1)求函数)(x f 的极大值和极小值;
(2)已知R x ∈,求函数)(sin x f 的最大值和最小值.
(3)若函数()a x f x +=)(g 的图象与x 轴有且只有一个交点,求a 的取值范围.
9.2
()1x
e f x ax
=+,a 为正实数 (1)当4
3
a =
,求()f x 极值点; (2)若()f x 为R 上的单调函数,求a 的范围.
10. 已知函数()(1)x
f x e a x =--,其中,a R e ∈为自然对数底数. (1)当1a =-时,求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程; (2)讨论函数()f x 的单调性,并写出相应的单调区间;
(3)已知b R ∈,若函数()f x b ≥对任意x R ∈都成立,求ab 的最大值.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案)(8)
一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)函数f(x)=cos(2x﹣)的最小正周期是()
A. B.π C.2π D.4π
2.(5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()
A.[0,1]
B.[0,1)
C.(0,1]
D.(0,1)
3.(5分)定积分(2x+ex)dx的值为()
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e﹣1
4.(5分)根据如图所示的框图,对大于2的整数N,输出的数列的通项公式是()
A.an=2n
B.an=2(n﹣1)
C.an=2n
D.an=2n﹣1
5.(5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为()
A. B.4π C.2π D.
6.(5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()
A. B. C. D.
7.(5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()
A.f(x)=x
B.f(x)=x3
C.f(x)=()x
D.f(x)=3x
8.(5分)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()
A.真,假,真
B.假,假,真
C.真,真,假
D.假,假,假
9.(5分)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为()
A.1+a,4
B.1+a,4+a
C.1,4
D.1,4+a
10.(5分)如图,某飞行器在4千米高空飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()
A.y=﹣x
B.y=x3﹣x
C.y=x3﹣x
D.y=﹣x3+x
二、填空题(考生注意:请在15、16、17三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分,共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)已知4a=2,lgx=a,则x=.
12.(5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.
13.(5分)设0<θ<,向量=(sin2θ,cosθ),=(cosθ,1),若∥,则tanθ=.
14.(5分)观察分析下表中的数据:
多面体面数(F)顶点数
棱数(E)
(V)
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.
(不等式选做题)
15.(5分)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为.
(几何证明选做题)
16.如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F,若AC=2AE,则
EF=.
(坐标系与参数方程选做题)
17.在极坐标系中,点(2,)到直线的距离是.
三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤(共6小题,满分75分)
18.(12分)△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
19.(12分)如图1,四面体ABCD及其三视图(如图2所示),过棱AB的中点E作平行
于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.
(Ⅰ)证明:四边形EFGH是矩形;
(Ⅱ)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
20.(12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P (x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.
(Ⅰ)若++=,求||;
(Ⅱ)设=m +n(m,n∈R),用x,y表示m﹣n,并求m﹣n的最大值.
21.(12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如表:
300 500
作物产量
(kg)
概率0.5 0.5
6 10
作物市场
价格(元
/kg)
概率0.4 0.6
(Ⅰ)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(Ⅱ)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
22.(13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=﹣x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为. (Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
23.(14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.
(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n﹣f(n)的大小,并加以证明.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案) (8)
参考答案与试题解析
一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)函数f(x)=cos(2x﹣)的最小正周期是()
A. B.π C.2π D.4π
【分析】由题意得ω=2,再代入复合三角函数的周期公式求解.
【解答】解:根据复合三角函数的周期公式得,
函数f(x)=cos(2x﹣)的最小正周期是π,
故选:B.
【点评】本题考查了三角函数的周期性,以及复合三角函数的周期公式应用,属于基础题.
2.(5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()
A.[0,1]
B.[0,1)
C.(0,1]
D.(0,1)
【分析】先解出集合N,再求两集合的交即可得出正确选项.
【解答】解:∵M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R}={x|﹣1<x<1,x∈R},
∴M∩N=[0,1).
故选:B.
【点评】本题考查交集的运算,理解好交集的定义是解答的关键.
3.(5分)定积分(2x+ex)dx的值为()
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e﹣1
【分析】根据微积分基本定理计算即可.
【解答】解:(2x+ex)dx=(x2+ex)|=(1+e)﹣(0+e0)=e.
故选:C.
【点评】本题主要考查了微积分基本定理,关键是求出原函数.
4.(5分)根据如图所示的框图,对大于2的整数N,输出的数列的通项公式是()
A.an=2n
B.an=2(n﹣1)
C.an=2n
D.an=2n﹣1
【分析】根据框图的流程判断递推关系式,根据递推关系式与首项求出数列的通项公式. 【解答】解:由程序框图知:ai+1=2ai,a1=2,
∴数列为公比为2的等比数列,∴an=2n.
故选:C.
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键.
5.(5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为()
A. B.4π C.2π D.
【分析】由长方体的对角线公式,算出正四棱柱体对角线的长,从而得到球直径长,得球半径R=1,最后根据球的体积公式,可算出此球的体积.
【解答】解:∵正四棱柱的底面边长为1,侧棱长为,
∴正四棱柱体对角线的长为=2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上,
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径,得球半径R=1
根据球的体积公式,得此球的体积为V=πR3=π.
故选:D.
【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长,求该球的体积,考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识,属于基础题.
6.(5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()
A. B. C. D.
【分析】设正方形边长为1,则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,共有10条线段,4条长度为1,4条长度为,两条长度为,即可得出结论.
【解答】解:设正方形边长为1,则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,共有10条线段,4条长度为1,4条长度为,两条长度为,
∴所求概率为=.
故选:C.
【点评】本题考查概率的计算,列举基本事件是关键.
7.(5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()
A.f(x)=x
B.f(x)=x3
C.f(x)=()x
D.f(x)=3x
【分析】对选项一一加以判断,先判断是否满足f(x+y)=f(x)f(y),然后考虑函数的单调性,即可得到答案.
【解答】解:A.f(x)=,f(y)=,f(x+y)=,不满足f(x+y)=f(x)f (y),故A错;
B.f(x)=x3,f(y)=y3,f(x+y)=(x+y)3,不满足f(x+y)=f(x)f(y),故B错;
C.f(x)=,f(y)=,f(x+y)=,满足f(x+y)=f(x)f(y),但f (x)在R上是单调减函数,故C错.
D.f(x)=3x,f(y)=3y,f(x+y)=3x+y,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)在R上是单调增函数,故D正确;
故选:D.
【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型,同时考查幂函数和指数函数的单调性,是一道基础题.
8.(5分)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()
A.真,假,真
B.假,假,真
C.真,真,假
D.假,假,假
【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假,根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假,再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假.
【解答】解:根据共轭复数的定义,原命题“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”是真命题;
其逆命题是:“若|z1|=|z2|,则z1,z2互为共轭复数”,例|1|=|﹣1|,而1与﹣1不是互为共轭复数,
∴原命题的逆命题是假命题;
根据原命题与其逆否命题同真同假,否命题与逆命题互为逆否命题,同真同假,
∴命题的否命题是假命题,逆否命题是真命题.
故选:B.
【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系,考查了共轭复数的定义,熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键.
9.(5分)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为()
A.1+a,4
B.1+a,4+a
C.1,4
D.1,4+a
【分析】方法1:根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论.
方法2:根据均值和方差的公式计算即可得到结论.
【解答】解:方法1:∵yi=xi+a,
∴E(yi)=E(xi)+E(a)=1+a,
方差D(yi)=D(xi)+E(a)=4.
方法2:由题意知yi=xi+a,
则=(x1+x2+…+x10+10×a)=(x1+x2+…+x10)=+a=1+a,
方差s2=[(x1+a﹣(+a)2+(x2+a﹣(+a)2+…+(x10+a﹣(+a)2]=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(x10﹣)2]=s2=4.
故选:A.
【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系,若变量y=ax+b,则Ey=aEx+b,Dy=a2Dx,利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算.
10.(5分)如图,某飞行器在4千米高空飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()
A.y=﹣x
B.y=x3﹣x
C.y=x3﹣x
D.y=﹣x3+x
【分析】分别求出四个选项中的导数,验证在x=±5处的导数为0成立与否,即可得出函数的解析式.
【解答】解:由题意可得出,此三次函数在x=±5处的导数为0,依次特征寻找正确选项:A选项,导数为,令其为0,解得x=±5,故A正确;
B选项,导数为,令其为0,x=±5不成立,故B错误;
C选项,导数为,令其为0,x=±5不成立,故C错误;
D选项,导数为,令其为0,x=±5不成立,故D错误.
故选:A.
【点评】本题考查导数的几何意义,导数几何意义是导数的重要应用.
二、填空题(考生注意:请在15、16、17三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分,共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)已知4a=2,lgx=a,则x=.
【分析】化指数式为对数式求得a,代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值.
【解答】解:由4a=2,得,
再由lgx=a=,
得x=.
故答案为:.
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化,考查了对数的运算性质,是基础题.
12.(5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为 x2+(y﹣1)2=1 .
【分析】利用点(a,b)关于直线y=x±k的对称点为(b,a),求出圆心,再根据半径求得圆的方程.
【解答】解:圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,可得圆心为(0,1),再根据半径等
于1,
可得所求的圆的方程为x2+(y﹣1)2=1,
故答案为:x2+(y﹣1)2=1.
【点评】本题主要考查求圆的标准方程,利用了点(a,b)关于直线y=x±k的对称点为(b,a),属于基础题.
13.(5分)设0<θ<,向量=(sin2θ,cosθ),=(cosθ,1),若∥,则tanθ=.
【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出.
【解答】解:∵∥,向量=(sin2θ,cosθ),=(cosθ,1),
∴sin2θ﹣cos2θ=0,
∴2sinθcosθ=cos2θ,
∵0<θ<,∴cosθ≠0.
∴2tanθ=1,
∴tanθ=.
故答案为:.
【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式,属于基础题.
14.(5分)观察分析下表中的数据:
多面体面数(F)顶点数
棱数(E)
(V)
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是 F+V﹣E=2 .
【分析】通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E,得到规律:F+V﹣E=2,进而发现此公式对任意凸多面体都成立,由此得到本题的答案.
【解答】解:凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E,
①正方体:F=6,V=8,E=12,得F+V﹣E=8+6﹣12=2;
②三棱柱:F=5,V=6,E=9,得F+V﹣E=5+6﹣9=2;
③三棱锥:F=4,V=4,E=6,得F+V﹣E=4+4﹣6=2.
根据以上几个例子,猜想:凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系:F+V﹣E=2
再通过举四棱锥、六棱柱、…等等,发现上述公式都成立.
因此归纳出一般结论:F+V﹣E=2
故答案为:F+V﹣E=2
【点评】本题由几个特殊多面体,观察它们的顶点数、面数和棱数,归纳出一般结论,得到欧拉公式,着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识,属于基础题.
(不等式选做题)
15.(5分)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为.
【分析】根据柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc取等号,问题即可解决.
【解答】解:由柯西不等式得,
(ma+nb)2≤(m2+n2)(a2+b2)
∵a2+b2=5,ma+nb=5,
∴(m2+n2)≥5
∴的最小值为
故答案为:
【点评】本题主要考查了柯西不等式,解题关键在于清楚等号成立的条件,属于中档题.
(几何证明选做题)
16.如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F,若AC=2AE,则EF= 3 .
【分析】证明△AEF∽△ACB,可得,即可得出结论.
【解答】解:由题意,∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F,
∴∠AEF=∠C,
∵∠EAF=∠CAB,
∴△AEF∽△ACB,
∴,
∵BC=6,AC=2AE,
∴EF=3.
故答案为:3.
【点评】本题考查三角形相似的判定与运用,考查学生的计算能力,属于基础题.
(坐标系与参数方程选做题)
17.在极坐标系中,点(2,)到直线的距离是 1 .
【分析】把极坐标化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式即可得出.
【解答】解:点P(2,)化为=,y=2=1,∴P.
直线展开化为:=1,化为直角坐标方程为:,即=0.
∴点P到直线的距离d==1.
故答案为:1.
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤(共6小题,满分75分)
18.(12分)△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
【分析】(Ⅰ)由a,b,c成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,利用正弦定理化简,再利用诱导公式变形即可得证;
(Ⅱ)由a,bc成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,再利用余弦定理表示出cosB,将得出的关系式代入,并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)∵a,b,c成等差数列,
∴2b=a+c,
利用正弦定理化简得:2sinB=sinA+sinC,
∵sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C),
∴sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C);
(Ⅱ)∵a,b,c成等比数列,
∴b2=ac,
∴cosB==≥=,
当且仅当a=c时等号成立,
∴cosB的最小值为.
【点评】此题考查了正弦、余弦定理,等差、等比数列的性质,以及基本不等式的运用,熟练掌握定理是解本题的关键.
19.(12分)如图1,四面体ABCD及其三视图(如图2所示),过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.
(Ⅰ)证明:四边形EFGH是矩形;
(Ⅱ)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
【分析】(Ⅰ)由三视图得到四面体ABCD的具体形状,然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行,即可得四边形为平行四边形,再由线面垂直的判断和性质得
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科(四) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合{}2,101,, -=A ,{} 2≥=x x B ,则A B =I A .{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A .2x y = B .y x = C .y x = D .2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )-sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 ( ) A .命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B .“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C .若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D .若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A .80 B .40 C .31 D .-31 7.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A .π16+ B .π416+ C .π8+ D .π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中,常数项为 A .64 B .30 C . 15 D .1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A .(1,2) B .(2,)e C . (,3)e D .(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图,若0.9p =,则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==, S p 是 输入p 结束 输出n 12n S S =+ 否 1n n =+ 1 2 1 2 2 1 主视图 左视图 俯视图
【典型题】数学高考模拟试题(带答案) 一、选择题 1.已知长方体的长、宽、高分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( ) A .25π B .50π C .125π D .都不对 2.()22 x x e e f x x x --=+-的部分图象大致是( ) A . B . C . D . 3.设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M ?N 中元素的个数为( ) A .2 B .3 C .5 D .7 4.设01p <<,随机变量ξ的分布列如图,则当p 在()0,1内增大时,( ) ξ 0 1 2 P 12 p - 12 2 p A .()D ξ减小 B .()D ξ增大 C .() D ξ先减小后增大 D .()D ξ先增大后减小 5.设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,2,4}A =,{2,3,4}B =,则()C U A B ?等于( ) A .{5,6} B .{3,5,6} C .{1,3,5,6} D .{1,2,3,4} 6.已知a 与b 均为单位向量,它们的夹角为60?,那么3a b -等于( ) A 7B 10 C 13 D .4 7.函数()ln f x x x =的大致图像为 ( )
A . B . C . D . 8.已知复数 ,则复数在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 9.已知双曲线C :22221x y a b -= (a >0,b >0)的一条渐近线方程为5 2 y x =,且与椭圆 22 1123x y +=有公共焦点,则C 的方程为( ) A .221810 x y -= B .22145 x y -= C .22 154 x y -= D .22 143 x y -= 10.已知非零向量AB 与AC 满足 0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ? ?? 且1 2AB AC AB AC ?=,则ABC 的形状是( ) A .三边均不相等的三角形 B .等腰直角三角形 C .等边三角形 D .以上均有可能 11.已知ABC 为等边三角形,2AB =,设P ,Q 满足AP AB λ=, ()()1AQ AC λλ=-∈R ,若3 2 BQ CP ?=-,则λ=( ) A . 12 B 12 ± C 110 ± D . 32 2 ± 12.设集合(){} 2log 10M x x =-<,集合{} 2N x x =≥-,则M N ?=( )
高三模拟考试数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数f(x)=的定义域为( ) A.(﹣∞,0] B.(﹣∞,0)C.(0,)D.(﹣∞,) 2.复数的共轭复数是( ) A.1﹣2i B.1+2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i 3.已知向量=(λ, 1),=(λ+2,1),若|+|=|﹣|,则实数λ的值为( ) A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2 4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4=9,a6=11,则S9等于( ) A.180 B.90 C.72 D.10 5.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 6.下列命题正确的个数是( ) A.“在三角形ABC中,若sinA>sinB,则A>B”的逆命题是真命题; B.命题p:x≠2或y≠3,命题q:x+y≠5则p是q的必要不充分条件; C.“?x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是“?x∈R,x3﹣x2+1>0”; D.“若a>b,则2a>2b﹣1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b﹣1”. A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的外接球的表面积等于( ) A.B.16πC.8πD. 8.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是63,则判断框中的整数M的值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f(x)=+2x,若存在满足0≤x0≤3的实数x0,使得曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x+my﹣10=0垂直,则实数m的取值范围是(三分之一前有一个负号)( ) A.C.D. 10.若直线2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)恰好平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的面积,则的最小值( ) A.B.C.2 D.4 11.设不等式组表示的区域为Ω1,不等式x2+y2≤1表示的平面区域为Ω2.若Ω1与Ω2有且只有一个公共点,则m等于( ) A.﹣B.C.±D. 12.已知函数f(x)=sin(x+)﹣在上有两个零点,则实数m的取值范围为( ) A.B.D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.设函数f(x)=,则方程f(x)=的解集为__________. 14.现有10个数,它们能构成一个以1为首项,﹣3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是__________. 15.若点P(cosα,sinα)在直线y=﹣2x上,则的值等于__________. 16.16、如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分别是棱C1D1、C1C的中点.以下四个结论: ①直线AM与直线CC1相交; ②直线AM与直线BN平行; ③直线AM与直线DD1异面; ④直线BN与直线MB1异面. 其中正确结论的序号为__________.
高三数学高考模拟题 (一) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高三数学高考模拟题(一) 一. 选择题(12小题,共60分,每题5分) 1. 已知集合{}{} M N x x x x Z P M N ==-<∈=?13302,,,,又|,那么集合 P 的子集共有( ) A. 3个 B. 7个 C. 8个 D. 16个 2. 函数y x =-的反函数的图象大致是( ) A B C D 3. 已知直线l 与平面αβγ、、,下面给出四个命题: ()//(),()()////12314若,,则若,若,,则若,,则l l l l l ααββαββγαγγγββ αβαβ⊥⊥⊥⊥⊥?⊥⊥? 其中正确命题是( ) A. (4) B. (1)(4) C. (2)(4) D. (2)(3) 4. 设cos ()31233 x x x =-∈-,且,,则ππ 等于( ) A B C D ....±±±± ππππ 18929518 5. 设a b c a b c =+=-=sin cos cos 1313221426 2 2 ,,,则、、之间的大小关系是( )
A b c a B c a b C a c b D c b a ....>>>>>>>> 6. ()15+x n 展开式的系数和为a x n n ,()572+展开式的系数和为 b a b a b n n n n n n ,则lim →∞-+234等于( ) A B C D ....- --12131 71 7.椭圆 x y M 22 4924 1+=上有一点,椭圆的两个焦点为F F MF MF MF F 121212、,若,则⊥?的面积是( ) A. 96 B. 48 C. 24 D. 12 8. 已知椭圆x y t 22 1221 1+-=()的一条准线的方程为y =8,则实数t 的值为( ) A. 7和-7 B. 4和12 C. 1和15 D. 0 9. 函数y x x x =+2sin (sin cos )的单调递减区间是( ) A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z .[].[].[].[]28278 27821588 58 3878 ππππ ππππππ ππ ππππ-+∈++∈-+ ∈+ +∈,,,, 10. 如图在正方体ABCD -A B C D 1111中,M 是棱DD 1的中点,O 为底面ABCD 的中心,P 为棱A B 11上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成的角( ) A. 是π4 B. 是π 3 C. 是π 2 D. 与P 点位置有关 1 A 11. 在平面直角坐标系中,由六个点O(0,0)、A(1,2)、B(-1,-2)、C(2,4)、D(-2,-1)、E(2,1)可以确定不同的三角形共有( )
课标全国卷数学高考模拟试题精编(一) 【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间120分钟.请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答. 题号 一 二 三 选做题 总分 13 14 15 16 17 18 19 20 21 得分 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知复数z = 2i 1+i ,z 的共轭复数为z ,则z ·z =( ) A .1-i B .2 C .1+i D .0 2.(理)条件甲:??? 2<x +y <40<xy <3;条件乙:??? 0<x <1 2<y <3,则甲是乙的( ) A .充要条件 B .充分而不必要条件 C .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件 (文)设α,β分别为两个不同的平面,直线l ?α,则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 3.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k 的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7 4.(理)下列说法正确的是() A.函数f(x)=1 x在其定义域上是减函数 B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C.命题“?x∈R,x2+x+1>0”的否定是“?x∈R,x2+x+1<0”D.给定命题p、q,若p∧q是真命题,则綈p是假命题 (文)若cos θ 2= 3 5,sin θ 2=- 4 5,则角θ的终边所在的直线为() A.7x+24y=0 B.7x-24y=0 C.24x+7y=0 D.24x-7y=0 5.如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图,现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布,则年龄在[35,40)的网民出现的频率为() A.0.04 B.0.06 C.0.2 D.0.3