三角形最全勾股定理的证明方法
2019年中考几何相似三角形怎么证明 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 初中几何相似三角形怎么证明?很多同学一接触证明题就不会，教育网针对这个问题，给大家具体解答一下。 数学：相似三角形怎么证明 相似三角形定理 ：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似
相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比 性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方 证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DE F”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。 方法一 平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角
形相似。 方法二 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 方法三 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似 方法四 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似 方法五 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 三个基本型 Z型A型反A型 方法六 两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。一定相似的三角形 1.两个全等的三角形
a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).二、忽视定理成立的条件例2在边长都是整数的△ABC 中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长.误解:由“勾3股4弦5”知 AC=4cm,BC=3cm,AB>AC,∴AB=5cm.剖析:这种解法受“勾3股4弦5”思维定势的影响,见题中有BC=3,AC=4,就认为AB=5,而忘记了“勾3股4弦5”是在直角三角形的条件下才成立,而本题中没有指明是直角三角形,因此,只能用三角形三条边之间的关系来解。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 总之，在勾股定理探索的道路上，我们走向了数学殿堂。
我们都喜欢把日子过成一首诗，温婉，雅致；也喜欢把生活雕琢成一朵花，灿烂，美丽。可是，前行的道路有时会曲折迂回，让心迷茫无措。生活的上空有时会飘来一场风雨，淋湿了原本热情洋溢的心。 不是每一个人都能做自己想做的事情，也不是每一个人都能到达想去的远方。可是，既然选择了远方，便只有风雨兼程。也许生活会辜负你，但你不可以辜负生活。 匆匆忙忙地奔赴中，不仅要能在阳光下灿烂，也要能在风雨中奔跑！真正的幸福不是拥有多少财富，而是在前行中成就一个优秀的自己！ 生命没有输赢，只有值不值得。坚持做对的事情，就是值得。不辜负岁月，不辜负梦想，就是生活最美的样子。 北大才女陈更曾说过：“即使能力有限，也要全力以赴，即使输了，也要比从前更强，我一直都在与自己比，我要把最美好的自己，留在这终于相逢的决赛赛场。” 她用坚韧和执着给自己的人生添上了浓墨重彩的一笔。 我们都无法预测未来的日子是阳光明媚，还是风雨如晦，但前行路上点点滴滴的收获和惊喜，都是此生的感动和珍藏。 有些风景，如果不站在高处，你永远欣赏不到它的美丽；脚下有路，如果不启程，你永远无法揭晓远方的神秘。 我们踮起脚尖，是想离太阳更近一点儿；我们努力奔跑，是想到达远方欣赏最美的风景。 我们都在努力奔跑，我们都是追梦人！没有伞的时候，学会为自己撑伞；没有靠山的时候，学会自己屹立成一座伟岸的山！ 远方有多远？多久能达到？勇敢往前冲的人，全世界都会向他微笑。相信，只要启程，哪怕会走许多弯路，也会有到达的那一天。
勾股定理的9种证明（有图） 【证法1】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面 积等于ab 21 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、 F 、C 三点在一条直线上，C 、 G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +. ∴ ()2 22 14c ab b a +?=+. ∴ 2 22c b a =+. 【证法2】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P. ∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180o―90o= 90o.
相似三角形的判定和应用 一、判定相似三角形的基本思路: 1.找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写，一般说来，相等的角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。 2.记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。 二、相似形的应用： 1.证比例式； 2.证等积式； 3.证直线平行； 4.证直线垂直； 5.证面积相等； 三、经典例题： 例1.如图，在ΔABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 延长线上任意一点，连接DE 与AB 交于F ，与过A 平行于BC 的直线交于G 。 求证： CE AE BF AF = . 变式1：如图，在ΔABC 中，A ∠与B ∠互余，CD ⊥AB ，DE//BC ，交AC 于点E ，求证： AD:AC=CE:BD. 例2：如图：已知梯形ABCD 中，AD//BC ，?=∠90ABC ，且BD ⊥CD 于D 。 求证：①DCB ABD ??~ ；②BC AD BD ?=2
例3.如图，在ΔABC 中，?=∠90BAC ，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 交BA 的延长线于D ，交AC 于E 。 求证：ME MD MA ?=2 例4.已知：在ΔABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，点E 在AD 上，点F 在AD 的延长线 上，且 AC AB DF ED = 求证：BE//FC 。 例5.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB 、AC 上一点，切BE=BF ，BP ⊥CE ，垂足为P 。 求证：PD ⊥PF.
第3章勾股定理知识结构： 勾股定理1.勾股定理 （1）直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 （2）勾股定理的验证-------用拼图法,借助面积不变的关系来证明 （3）应用 1.在直角三角形中已知两边求第三边 2.在直角三角形中已知两边求第三边上的高 2.勾股定理 的逆定理 （1）如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角 三角形 （2）勾股数 1.满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为 勾股数 2.常见的勾股数 （1）3,4,5 （2）5,12,13 （3）8,15,17 3.应用 （1）勾股定理的简单应用 求几何体表面上两点间的最短距离 解决实际应用问题 （2）勾股定理逆定理的应用---------判定某个三角形是否为直角三角
形 勾股定理 一、求网格中图形的面积 求网格中图形的面积，通常用两种方法：“割”或“补”。 二、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 拓展延伸：（1）勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系，所以必须注意“在直角三角形中”这一前提。 （2）勾股定理主要用于求线段的长度，因此，遇到求线段的长度问题时，首先想到的是把所求线段转化为某一直角三角形的边，然后利用勾股定理求解。 三、勾股定理的验证 运用拼图的方式，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理。 勾股定理的逆定理 一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a,b,c且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 注意：（1）还没确定一个三角形是否为直角三角形时，不能说“斜边”“直角边”。 （2）不是所有的c都是斜边，要根据题意具体分析。当满足a2+b2=c2时，c是斜边，它所对的角是直角。 勾股定理与勾股定理的逆定理之间既有区别，又有联系，如下表所示：
勾股定理的证明 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 2 142 142 2 2 ? +=? ++， 整理得 2 2 2 c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于ab 2 1. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF , ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于() 2 b a +. ∴ () 2 2 2 14c ab b a +? =+. ∴ 2 2 2 c b a =+. D G C F A H E B a b c a b c a b c a b c b a b a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a
初中数学：勾股定理的多种证明 勾股定理的证明方法1 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a的平方加b的平方，加4乘以二分之一ab等于c的平方，加4乘以二分之一ab，整理得a的平方加b的平方等于c的平方。 勾股定理的证明方法2
以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF. ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o,
∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于a+b的平方。 ∴a加b的平方等于4乘二分之一ab，加上c的平方。. ∴a的平方加b的平方等于c的平方。 勾股定理的证明方法3 以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab。把这四个直角三角形拼成如图所示形状。 ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB. ∵∠HAD + ∠HAD = 90o，
相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式 【知识疏理】 一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！ 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。 二， 相似三角形证明的变式 1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如： 例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。求证：DA ·AC=BA ·AE 图2 题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。 2，对特殊图形的认识 例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90o，BD ⊥AC 于点D 。 图3 （1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。 （3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。 总结： （1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似； （2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等； A B C A'B'C'图（4）图1 B A C
双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直图形转化 为“公边共角”，讨论、探究， A B C 得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。 【课堂检测】 一选择题 1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ） A 、3100 B 、20 C 、54 D 、25 108 2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（ ） A 、 51 B 、61 C 、71 D 、9 1 D C Ａ Ｄ O Ｐ A B Ｂ Ｃ （第2题图） （第4题图） 3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（ ） A 、1：2 B 、1：4 C 、1：8 D 、1：16 4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是 （ ） Ａ、3：２ Ｂ、２：３ Ｃ、3：３ Ｄ、３：４ 5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ） A 、AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC =
勾股定理逆定理八种证 明方法 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
证法1 作四个的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF =90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 证法2 作两个的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC =90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理 命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 。 勾股定理的逆定理 命题2如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 【证法1】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每 个直角三角形的面积等于2 1ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB. ∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o， ∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o. ∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于. ∴ ∴. 【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等. 即，整理得. 【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC. ∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o. ∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于 .又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于
相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型.
“旋转相似”与“一线三等角” 反A 型与反X 型 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =?
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算 【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证： DC CF AE AD =． A B C F D E 【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=?，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于 D ，交AB 于 E ．求证：2AM MD ME =? C B A E D M 【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ， 交AD 于F ．求证： BF AB BE BC =． D B A C F E 技巧一：三点定型 比例式的证明方法
勾股定理五种证明方法 【证法1】 做 8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 214214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【 证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点 在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +. ∴ ()2 2214c ab b a +?=+. ∴ 222c b a =+. 【证法3】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为
【】（） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三 个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上， B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHA E ≌ R t ΔEBF,
∴∠AHE = ∠BEF. ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于()2b a+. ∴()2 2 2 1 4c ab b a+ ? = + . ∴2 2 2c b a= +. 【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab 2 1 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB.
2 证法 1】（课本的证明） 做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b ，斜边长为 c ，再做三个边长分别为 a 、b 、 c 的正 方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 . 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等 . 即 证法 2】（邹元治证明） ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠ BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180 o ― 90o= 90 o. ∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形 . 它的 面积等于 c 2. ∵ Rt Δ GDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180 o. ∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积 等于 ∠HEF = 90 o. EFGH 是一个边长为 b ―a 的正方形，它的面积等于 1 ab 以 a 、 b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 于 角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、B 三点在一条直线上， B 、F 、C 三点在一条直 线上， 把这四个直角三 C 、G 、D 三点在一条直线上 b 2 4 12 ab c 2 4 1 ab 2 整理得 c 2 1 4 ab 2 c 2 a 2 b 2 c 2 【证法 3】（赵爽证明） 以 a 、 b 为直角边（ b>a ）， 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab 三角形的面积等于 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状 ∵ Rt Δ DAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o ， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o ， ∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ― a , ba
相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A ”型与“反X ”型. 示意图 结论 E D C B A 反A 型： 如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE · AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) O D C B A 反X 型： 如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . 示意图 结论 A B C D 类射影： 如图，已知△ABC ，∠ABD =∠C ，则△ABD ∽△ACB （AA ），∴2AB =AD · AC. C A B H 射影定理 如图，已知∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，则222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =?=?=? 示意图 结论 相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法
A B C D E 旋转相似： 如图，已知△ABC ∽△ADE ，则 AB AD AC AE =，∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ， ∴△BAD ∽△CAE （SAS ） C B A E D 一线三等角： 如图，已知∠A =∠C =∠DBE ，则△DAB ∽△BCE （AA ） 反A 型与反X 型 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ，∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =? 通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 比例式的证明方法
v1.0 可编辑可修改 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.
v1.0 可编辑可修改 ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于()2b a+. ∴()2 2 2 1 4c ab b a+ ? = + . ∴2 2 2c b a= +. 【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab 2 1 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB. ∵∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于()2a b-. ∴ ()2 2 2 1 4c a b ab= - + ? .
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析 一、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ① ；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形： 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似 找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1 找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3 e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。 例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BA AC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？ ） a)已知一对等 b)己知两边对应成比c)己知一个直 d)有等腰关
天津师范大学津沽学院2015届本科毕业论文（设计）选题审批表 学生姓名顾鹏飞学号13583115 指导教师张筱玮职称教授所选题目名称：勾股定理的证明方法及应用研究 选题性质：（）A.理论研究（√）B.应用研究（）C.应用理论研究 选题的目的和理论、实践意义： 勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。 它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。为以后学习三角函数奠定基础。 勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。 勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一，对数学的发展产生了不可小视的影响。勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题，正是“数形结合”思想的体现，这样的思想角度是十分重要的。同时，勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索；通过勾股定理，我们可以推导出许多其它真命题与定理，这大大地方便了我们对几何问题的解决，也使数学的发展迈出了一大步。[12]更为重要的是，其后 希帕索斯根据勾股定理发现了第一个无理数（ 2），导致第一次数学危机。 指导教师意见： 签字：年月日系领导小组意见： 签字：年月日备注：
天津师范大学津沽学院2015届本科毕业论文（设计）开题 报告 系别：理学系专业：数学与应用数学 论文题目勾股定理的证明方法及应用研究 指导教师张筱玮职称教授学生姓名顾鹏飞学号13583115 一、研究目的（选题的意义和预期应用价值） 勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。为以后学习三角函数奠定基础， 勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一，对数学的发展产生了不可小视的影响。勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题，正是“数形结合”思想的体现，这样的思想角度是十分重要的。同时，勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索；通过勾股定理，我们可以推导出许多其它真命题与定理，这大大地方便了我们对几何问题的解决，也使数学的发展迈出了一大步。[12]更为重要的是，其后希帕索斯根据勾股定 理发现了第一个无理数（ 2），导致第一次数学危机。 二、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所突破和创新的方面（文献综述） 中国：公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。 公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。 在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。 外国：在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。 公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。
证法1 作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC 的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 证法2 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上，
知识结构： 2. 勾股定理 的逆定理 （2）勾股数 （1）勾股定理的简单应用 3. 应用 （2）勾股定理逆定理的应用 a,b,c 满足a 2+b 2=c 2 ,那么这个三角形是直角 三 1. 满 足 a 2+ b 2=c 2 的三个正整数 a,b,c 称为勾 股数 （1）3,4,5 2. 常见的勾股数 （2）5,12,13 （3）8,15,17 求几何体表面上两点间的最短距离 解决实际应用问题 ----- 判定某个三角形是否为直角三角形 3.1 勾股定理 一、 求网格中图形的面积 求网格中图形的面积，通常用两种方法： “割 ”或“补”。 二、 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 拓展延伸 ：（1）勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系， 所以必须注意 “在直角三角形中 这一前提。 （2）勾股定理主要用于求线段的长度，因此，遇到求线段的长度问题时，首先想到的是把 所求线段转化为某一直角三角形的边，然后利用勾股定理求解。 三、 勾股定理的验证 运用拼图的方式，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理。 第 3 章 勾股定理 勾股定理 （1）直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 （2）勾股定理的验证 1.勾股定理 1.在直角三角形中已知两边求第三边 （3）应用 2.在直角三角形中已知两边求第三边上的高 （1）如果三角形的三边长 角形 用拼图法 ,借助面积不变的关系来证明
3.2勾股定理的逆定理 一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a,b,c且a2 3+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 注意：（1）还没确定一个三角形是否为直角三角形时，不能说斜边”直角边”。 （2）不是所有的c都是斜边，要根据题意具体分析。当满足a2+b2=c2时，c是斜边，它所 对的角是直角。 下表所示： 二、勾股数 满足关系a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为勾股数。 勾股数必须是正整数。 一组勾股数中各数的相同的正整数倍也是一组新的勾股数。 记住常用的勾股数可以提高做题速度。 3.3勾股定理的简单应用 一、勾股定理的应用 运用勾股定理可以解决生活中的一些实际问题。在应用勾股定理解决实际问题时，应先 构造出直角三角形，然后把直角三角形的某两条边表示出来。 注意:应用勾股定理解决实际问题时，先弄清直角三角形中哪边是斜边，哪两条边是直角边， 以便进行计算或推理。对于实际问题，应从中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构造出直角三角形，以便正确运用勾股定理。