人教A版必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》练习卷（2）
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1.若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()
A. 4π(r+R)2
B. 4πr2R2
C. 4πrR
D. π(R+r)2
2.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()
A. 4
3πa2 B. 7
3
πa2 C. 8
3
πa2 D. 16
3
πa2
3.在封闭的直三棱柱ABC?A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，
则V的最大值是()
A. 4π
B. 9π
2C. 6π D. 32π
3
4.体积为64的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()
A. 12π
B. 48π
C. 8π
D. 64π
5.已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角
形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()
A. 8√6π
B. 4√6π
C. 2√6π
D. √6π
二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）
6.已知正三棱柱底面边长是2，该三棱柱的体积为8√2，则该正三棱柱外接球的表面积是．
7.已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的体积是_________．
8.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体
的体积为____．
9.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，则三棱锥A?A1B1C的体积
是______ ．
10.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD?A1B1C1D1挖
去四棱锥O?EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g．
11.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为_______．
12.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱
O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则v1
的值是_______．
v2
三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）
13.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，
CD=2√2，AD=2，求四边形ABCD绕AD选择一周所成几何
体的表面积及体积．
14.一个正四棱台的上、下底面边长分别为4cm和10cm，高为4cm，求正四棱台的侧面积和体积．
15.如图，底面ABCD是边长为4的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=2，
EF//BD，且2EF=BD．
(1)求证：BF⊥AC：
(2)求几何体ABCDEF的体积．
16.三棱锥S?ABC的三条侧棱两两垂直，SA=5，SB=4，SC=3，D为AB中点，E为AC中点，
求四棱锥S?BCED的体积．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：
本题考查球与圆台的组合体问题，属于中档题，解题关键要知道圆台是球的外切圆台，
圆台的母线是R+r，则易计算出圆台的高为2√Rr，它就是球的直径，从而得球的表面积．
解：由题意知，圆台的母线长为R+r，
设圆台的高为h，由直角三角形的勾股定理知：?=√(R+r)2?(R?r)2=2√Rr，
∴球的半径为?
2
=√Rr，则球的表面积为4πRr．
故选C．
2.答案：B
解析：
本题主要考查了三棱柱的结构特征，以及外接球表面积的求解，属于基础题..
由题意作出图形，易知球心在三棱柱上、下底面的中心O，O1连线的中点O2处，利用几何关系即可求出答案．
解：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a．
设O，O1分别为下、上底面的中心，且球心O2为O1O的中点，
又AD=√3
2a，AO=√3
3
a，OO2=a
2
，设球的半径为R，
则R2=|AO2|2=1
3a2+1
4
a2=7
12
a2，
所以S球=4πR2=4π×7
12a2=7
3
πa2．
故选B．
3.答案：B
解析：
本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．
根据已知可得直三棱柱ABC ?A 1B 1C 1的内切球半径为32，代入球的体积公式，可得答案． 解：∵AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，∴AC =10．
要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，
设底面△ABC 的内切圆的半径为r ．
则12×6×8=12×(6+8+10)·r ，所以r =2．
2r =4>3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大．
由2R =3，即R =32．
即直三棱柱ABC ?A 1B 1C 1的内切球半径为32，此时V 的最大值43π?(32)3=
9π2，
故选B .
4.答案：B
解析：
此题考查球的表面积公式的应用，先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积.
解：正方体体积为64，可知其边长为4，
正方体的体对角线长为√42+42+42=4√3，
即为外接球的直径，所以半径为2√3，
所以球的表面积为4π(2√3)2
=48π.
故选B ． 5.答案：D
解析：
本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题． 由题意画出图形，证明三棱锥P ?ABC 为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球O 的体积．
解：如图，
由PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形可知，三棱锥P ?ABC 为正三棱锥，
则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心．
连接BO 并延长，交AC 于G ，
则AC ⊥BG ，
又PO ⊥AC ，PO ∩BG =O ，
可得AC ⊥平面PBG ，则PB ⊥AC ．
∵E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∴EF//PB ．
又∠CEF =90°，即EF ⊥CE ，
∴PB ⊥CE ，AC ∩CE =C ，得PB ⊥平面PAC ，
∴正三棱锥P ?ABC 的三条侧棱两两互相垂直．
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为D =√PA 2+PB 2+PC 2=√6，
半径为√62，则球O 的体积为43π×(√6
2)3=√6π． 故选D ．
6.答案：48π
解析：
由底面边长和体积求得高，进而求得外接球半径，得解．
此题考查了三棱柱外接球，难度不大．
解：如图，M，N为上下底面中心，
∵底面为正三角形，且边长为2，
∴S△ABC=√3，AM=2√3
3
，
∴√3×MN=8√2，
∴MN=8√6
3
，
∴外接圆半径OA=√AM2+OM2
=2√3，
∴外接球表面积为48π．
故答案为：48π．
7.答案：8√2
3
π
解析：
本题考查球的体积，球的内接体的知识，是基础题．球的直径就是正方体的对角面长，以此求出球的半径，然后直接求出球的体积．
解：由题设知球O的直径为2√2，R=√2，
故其体积V=4
3πR3=8√2
3
π.
故答案为8√2
3
π.
8.答案：4
3
解析：
本题考查正方体的结构特征，及正四棱锥的体积计算．
解：由正方体各面的中心围成的几何体为正八面体，是两个正四棱锥，底面为边长为√2，高为1，
∴体积为2×1
3×(√2)2×1=4
3
．
故答案为4
3
．
9.答案：4
3
解析：
本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
由V A?A
1B1C =V C?AA
1B1
，利用等积法能求出三棱锥A?A1B1C的体积．
解：∵正方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，∴BC⊥平面AA1B1，且BC=2，
又S△AA
1B1=1
2
×2×2=2，
∴V A?A
1B1C
=V C?AA
1B1
=1
3×S△A
1B1C
×BC=1
3
×2×2=4
3
．
故答案为4
3
．
10.答案：118.8
解析：
本题考查制作该模型所需原料的质量的求法，考查长方体、四棱锥的体积等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，属于中档题．
该模型体积为V ABCD?A
1B1C1D1?V O?EFGH=6×6×4?1
3
×(4×6?4×1
2
×3×2)×3=132(cm3)，
再由3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，能求出制作该模型所需原料的质量．解：该模型为长方体ABCD?A1B1C1D1，挖去四棱锥O?EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，
E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，
∴该模型体积为：
V ABCD?A
1B1C1D1
?V O?EFGH
=6×6×4?1
3
×(4×6?4×
1
2
×3×2)×3
=144?12=132(cm3)，
∵3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9=118.8(g)．故答案为：118.8．
11.答案：
解析：
本题考查圆柱的体积，考查计算能力，正确认识圆柱的侧面展开图与几何体的关系，是解题的突破口，本题是基础题．
通过侧面展开图是一个边长为2的正方形，求出底面半径，求出圆柱的高，然后求圆柱的体积．解：圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，
所以底面半径为：1
π，底面面积为：1
π
；
所以圆柱的高为：2，
所以圆柱的体积为：1
π×2=2
π
故答案为2
π
．
12.答案：3
2
解析：
本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．
解：设球的半径为R，则球的体积为：4
3
πR3，
圆柱的体积为：πR2?2R=2πR3．
则V1
V2
=2πR3
4πR3
3
=3
2．
故答案为3
2
．
13.答案：解：如图，∵∠ADC=135°，∴∠CDE=45°，
又CD=2√2，
∴DE=CE=2，
又AB=5，AD=2，
∴BC=5．
则圆台上底面半径r1=2，下底面半径r2=5，高?=4，母线长l=5，圆锥底面半径r1=2，高?′=2，
∴S
表面=S
圆台底面
+S
圆台侧面
+S
圆锥侧面,
=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2√2，=(4√2+60)π；
V=V
圆台?V
圆锥
=1
3
π(25+10+4)×4?1
3
π×4×2=148
3
π．
解析：本题考查了旋转体的结构特征，面积和体积计算，属于中档题．画出四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体，然后求出圆台的底面积、圆台的侧面积及圆锥的侧面积作和得答案；由圆台的体积减去圆锥的体积求得几何体的体积．
14.答案：解：由题意，斜高?′=√32+42=5，
则正四棱台的侧面积为1
2
×4×(4+10)×5=140；
体积为1
3
×(42+102+√42×102)×4=208．
解析：求出正四棱台的斜高，即可求正四棱台的侧面积和体积．
本题考查求正四棱台的侧面积和体积，考查学生的计算能力，求出斜高是关键．
15.答案：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，又ED⊥平面ABCD
∴ED⊥AC而ED∩BD=D
∴AC⊥平面EFBD；
又BF?平面EFBD，
∴AC⊥BF．
(2)解：V ABCDEF=V A?BDEF+V C?BDEF=2V A?BDEF 又BD=4√2，EF=2√2
V=1
3×1
2
(4√2+2√2)×2×2√2×2=16．
解析：(1)运用线面垂直的判定和性质，即可得证；
(2)将多面体分割成棱锥A?BDEF和C?BDEF，则V ABCDEF=V A?BDEF+V C?BDEF=2V A?BDEF，运用三棱锥的条件公式即可得到体积．
本题主要考查线面垂直的判定和性质，同时考查割补思想，以及棱锥的体积公式．
16.答案：解：∵D、E分别是AB、AC中点，
∴S△ADE=1
4S△ABC，∴S BCED=3
4
S△ABC，∴V S?BCED=3
4
V S?ABC，
∵AS⊥BS，AS⊥CS，BS∩CS=S，
∴AS⊥面BSC∴V S?ABC=V A?BSC=1
3AS?S△BSC=1
3
×5×1
2
×4×3=10，
∴V S?BCED=3
4V S?ABC=3
4
×10=15
2
．
解析：求四棱锥S?BCED的体积，转化为求V S?BCED=3
4
V S?ABC，求三棱锥S?ABC的体积，即可求出结果．
本题考查几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．