习 题 四
1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.
解 (,)X Y 的分布列为
其中 (1,1)(1)(1|1)P X Y P X P Y X ====
=
==
(1,2)(1)(2|P X Y P X P Y X ======
121
436
=?= 余者类推。
2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。
解 一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,
).2
X B 331
()(),0,1,2,32
k P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为
其中 (0,1)(0)(1|0)P X Y P X P Y X =====
=
=，
13
313(1,1)(1)(1|1)()128P X Y P X P Y X C =======?=，
余者类推。
3．设(,)X Y 的概率密度为
1
(6),02,24,
(,)80,.x y x y f x y ?--<<<
其它
又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<。求{
(,)}P X Y D ∈ 解 （1）13021
{(,)}(6)8
P x y D x y dxdxy ∈=--??
1194368228-??=--=????； 2）13021
{(,)}(6)8x P X Y D x y dxdy -∈=--?? 112
00113(1)[(3)4]82x x dx x dx ??=-----??????
5
24
=.
4．设(,)X Y 的概率密度为
222(,
(,)0,.C R x y R f x y ?+≤?=???
其他
求（1）系数C ；（2）(,)X Y 落在圆222()x y r r R +≤<内的概率.
解 （1）222
2320
1(R x y R C
R dxdy C R C r drd ππθ+≤==-???
?
333233R R C R C πππ??=-=????
，
∴ 3
3
C R π=.
（2）设2
2
2
{(,)|}D x y x y r =+≤，所求概率为 222
33{(,)}(x y r P X Y D R dxdy R π+≤∈=
??
322
3
23
232133r r r Rr R R R πππ????
=
-=-??????
??
. 5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为 4,01,01(,)0,.
xy x y f x y ≤≤≤≤?=?
?其它
求X 和Y 的联合分布函数.
解1 设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则
(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞+∞=??001
00
1000,00,4,01,01,4,01,1,4,1,01,1,
1, 1.x y x y x y uvdudv x y uydudy x y xvdxdv x y x y ?<??
?>≤≤??
>>????????或
22
2
2
0,00,,
01,01,,01,1,,
1,01,1,
1, 1.x y x y x y x x y y x y x y ?<??>≤≤??
>>?或
解2 由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为 2,01,()0,;X x x f x ≤≤?=?
?其他 2,0
1,()0,.
Y y y f y ≤≤?=??其它
边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则
20,0,
()(),01,1, 1.x X X x F x f u du x x x -∞
=
=≤≤??>??
20,0,()(),01,1, 1.y Y X y F y f v dv y y y -∞
=
=≤≤??>?
?
设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则
22
22
0,00,,01,01(,)()(),01,1,,
1,01,1,1, 1.X Y x y x y x y F x y F x F y x x y y x y x y ?<
=?=≤≤>??>≤≤??>>?
或
6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:0
D x <<求边缘概率密度。
解
(,)X Y 的概率密度为
1,(,),
(,)0,.x y D f x y ∈???
其他
关于X 和Y 的密度为 0,01()(,),01,x X x x x f x f x y dy dy x +∞-∞
-?≤≥?
=
=?<
?或 2,01,
0,.x x <
1
1
0,1,,10,()(,),01,0, 1.y
Y y y d x y f y f x y d x d x y y +∞--∞
≤-???-<≤?=
=??<
??
?1,1
0,1,01,0,.y y y y +-<≤??=-<
0,.
y y -
7．设(,)X Y 的概率密度为
,0,
(,)0,.
y e x y f x y -?<
求边缘密度和概率(1)P X Y +≤
解 0,0,0,0,()(,),0.,0;X x
y x
x x f x f x y d y e x e dy x +∞+∞---∞
≤?≤??
=
==??>>????
?
0,0,0,0,()(,),0.
,0;y Y y y
y y f y f x y d x y e y e d x y +∞---∞
?≤?≤??
=
==??>>?????
?
11
11220
01
(1)(,)()x y x x x x y P X Y f x y dxdy e dy dx e e e dx ----+≤??+≤=
==- ???
???
?? 1
12
12e
e --=-+.
8．一电子仪器由两个部件组成，以X 和Y 分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）已知,X Y 的联合分布函数为：
0.50.50.5()1,0,0(,)0,
.x y x y e e e x y F x y ---+?--+≥≥?
=???其他
（1）问,X Y 是否独立？为什么？
（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 解 （1）先求边缘分布函数：
0.51,0,
()lim (,)0
,0.x X y e x F x F x y x -→+∞?-≥==?
0.51,0,
()lim (,)0
,0.y Y x e y F y F x y y -→+∞?-≥==?
因为(,)()()X Y F x y F x F y =?，所以,X Y 独立.
（2）(0.1,0.1)(0.1)(0.1)[1(0.1)][1(0.1)]P X Y P X P Y P X P Y ≥≥=≥≥=-≤-≤ 0.050.050.1e e e ---=?=. 9．设(,)X Y 的概率密度为
(),0,0,(,)0,.x y e
x Y f x y -+?≥≥?=???
其他
间,X Y 是否独立？
解 边缘密度为
00,0,0,0,()(,),0.,0;X x x y x x f x f x y dy e x e e dy x +∞
+∞----∞
===??≥>????? 0,0,
(),0.Y y y f y e y -?
因为 (,)()()
X Y f x y f x f y =?，所以,X Y 独立. 10．设(,)X Y 的概率密度为
8,01,
(,)0,.
xy x y f x y ≤<
问,X Y 是否独立. 解 边缘密度
210,01,4(1),01,()(,)0,8,0 1.X x x x x x x f x f x y dy xydy x +∞-∞
?<>?-≤≤??
=
==??≤≤?????
?或其他;
304,01,
8,01,()(,)0,0,
y Y y y xydx y f y f x y dx +∞-∞
??≤≤≤≤??
=
==????????
其他;其他;
因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠?，所以,X Y 不独立。 11．设(,)X Y 的概率密度为
1,||1,||1,(,)40,.
xy
x Y f x y +?<
=???其他
试证明X 与Y 不独立，但2X 与2Y 是相互独立的。 证 先求,X Y 的联合分布函数(,)F x y
111111110,11,1,||1,||1,
41(,),||1,1,
41,1,||1,41,
1,1;x y
x y x y uv dudv x y uv
F x y dudv x y uv
dudv x y x y ------?≤-≤-?+?<??
+?>
≥≥????????或
220,1111(1)(1)(1)(1),||1,4161
(1),
1,||121
(1),||1,1,21,
1, 1.
x y x y x y x y x y x x y x y ?≤-≤-?
?+++++≤???+≤>??>>??或
关于X 的边缘分布函数为
0,1,
1
()lim (,)(1),11,21,
1.X y x F x F x y x x x →+∞
?<-??==+-≤≤???>?
关于Y 的边缘分布函数为
0,
1,1()(1),11,2
1
, 1.Y y F y y y y <-???
=+-≤≤??>??
因为(,)()()X Y F X Y F x F y ≠?，所以,X Y 不独立.
再证2X 与2Y 独立：设22
,X Y 的联合分布函数为1(,)F z t ，则
0,0
2
2
1(,)(,){z t F z t P X z Y t P x Y >>=≤≤====<≤
<≤
((F F F F =--+
0,
00,01,01,,
1,01,01,1,1,1, 1.
z t z t z t z t z t ?≤≤<<<<=≥<<<<≥?≥≥??
或
关于22()X Y 的边缘分布函数分别为
21
0,0,()lim (,)01,1, 1.X t z F z F z t z z →+∞
?≤==<<≥??
20,0,
()01,1, 1.Y t F t t t ?≤=<<≥??
因为221(,)()()X Y F z t F z F t =?，所以2X 与2Y 独立.
证2 利用随机向量的变换（参见王梓坤《概率基础及其应用》83页） 设 2
2
,Z X T Y ==.
函数2z x =的反函数
为212x x t y =
==的反函数
为
12y y =
111111
,
,
x x z t J y y z t
????==
=
????
22111221,J J J J ===；
于是2
2
(,)X Y 的概率密度函数为 22
111
(,)(,)||i
j
ij
i j f z t f x y J
===
∑∑
1[1111]01,01,40,.z t ?
<<<
=???其他
01,01,0,z t <<<<=?
其它.
关于2X 的边缘密度为
2101,()(,)0,.X z f z f z t dt +∞-∞
<<=
=?
?
其它 关于2Y
的边缘密度为201,()0,.Y t f t <<=?
其他
因为221(,)()()X Y f z t f z f t =?，所以22
,X Y 独立.
12．设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(,)X Y 的联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中空白处.
解 设(,)1,2,1,2,3.i j ij P X x Y y p i j =====
由联合分布和边缘分布的关系知 11124p = 由独立性 11111311()68p p p =?++，即 131114248p =++，故13
112p =， 11111248124p ?=++=，234
p ?=
222213()84p p =+?， 所以 2238p =，21
2p ?=
3111
1623
p ?=--= 231113124p =-=
所以(,)X Y 的分布为
13．已知随机变量1X 和2X 的概率分布为
110
1~11
142
4X -?????
???， 201~1122X ??
??????
而且 12(0)1P X X ==
（1）求1X 和2X 的联合分布； （2）问1X 和2X 是否独立？为什么？
解 （1）12(0)1P X X ==知1212(
1,1)(1,1)0P X X P X X =-=====，再由联合分布和边缘分布的关系知12(,)X X 的分布为
（2）因1212111
(1,0)(1)(0)442
P X X P X P X =-==
≠?==-=，所以,X Y 不独立.
14．设随机变量,X Y 相互独立，且都服从(,)b b -上的均匀分布，求方程
20t tX Y ++=有实根的概率.
解 设A =‘方程有实根’，则
A 发生2
40X Y ?-≥
即
22
4()(4)(,)x y
P A P X Y f x y dxdy ≥=≥=
??
2242
211
()444x b
b b
b b x dxdy b dx b b ---=
=+??
? 32211
[2]46242
b b b b =+=+， 4b ≤.
2
221(4)1()4
x P X Y b dx b -≥=-
-?
33
2
22111[4(88)]412
b b b =-+
1=-
15．已知随机变量X 和Y 的联合分布为
(,)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)
(,)0.100.150.250.200.150.15
x y P X x Y y ==
试求：（1）X 的概率分布；（2）X Y +的概率分布 解 （1）X 的分布为
012
0.250.450.30X
P
（2）X Y +的分布为
0123
0.100.40.350.15
X Y
P
+
16．设X 与Y 为独立同分布的离散型随机变量，其概率分布列为
()P X n =1
()()2
n P Y n ===，1,2,n = ，求X Y +的分布列. 解 设Z X Y =+，Z 的分布为
1
1
()()()()k i P Z k P X Y k P X i P Y k i -===+==
==-∑
1
111()()2
2k i k i
i --==
∑1(1)()2,3,2k k k =-=
17．设,X Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为,n p 的二项分布，
证明Z X Y =+服从参数为2,n p 的二项分布. 证 0
()()()()k
i P Z k P X Y k P X i P Y k i
===+====-∑
0(1)(1)k
i
i n i k i k i
n k i n n i C
p p C p p ----+==
-?-∑
2220
(1)
(1)
k
k
n k
i
k i k k n k
n n n i p p C C
C p p ---==-=-∑ 0,1,,2k n = 故Z X Y =+服从参数为2,n p 的二项分布. 注：此处用到一个组合公式：
k
i
k i k m
n m n i C C
C -+==∑
此公式的正确性可直观地说明如下：从m n +个不同的元素中取k 个共有
k
m n C +种不同的取法。
从另一个角度看，把m n +个元素分布两部分，一部分有m 个，另一部分有n 个，从第一部分中取i 个再配上从第二部分中取k i -个，不同的取法共i
k i
m
n C C
-，
让i 从0变到k ，总的取法是0k
i k i
m n
i C C -=∑，这两种取法应相等. 18．设,X Y 相互独立，其概率密度分别为
1,01,
()0,;X x f x ≤≤?=??其他 ,0,()0,0.
y Y e y f y y -?>=?≤?
求X Y +的概率密度.
解1 设Z X Y =+，由卷积分式，Z 的概率密度为 ()()()Z X Y f z f z y f y dy +∞-∞
=
-?
,0,01,()()0,.
y X Y e y z y f z y f y -?>≤-≤?
-?=???其它
D 如图. 当 0z <时，()0Z f z =
当 01z ≤<时，0
()z y Z f z e dy -=?
1z
y z e
e --=-=-
当 1z ≥时，1
()(1),z y z Z z f z e dy e e ---==-?
综上所述
0,
0,()1,01,(1), 1.
z
Z z
z f z e z e e z --≤??=-<
解2 变量代换法： ()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞
=
-?
，
注意到当01x <<时()X f x =1，有 110
()()()()()u z x
z Z X Y Y Y z
f z f x f z x dx f z x dx f u du =-+∞--∞=-=-====-???
令
1
(),z Y z f u du -=?
因
0,0,
(),0.
Y u u f u e u -≤?=?>?
所以，当 0z ≤时，()0Z f z =，
当 01z <<时，0
()1z u z Z f z e du e --==-?
，
当 1z ≥时，1
()(1)z u z Z z f z e du e e ---==-?
.
综上所述
0,
0()1,
01,(1), 1.
z
Z z
z f z e z e e z --≤??=-<
()()()X Y x y z
X Y z f x f y dxdy +≤+≤=
??
0100
0,
0,01,1,z z y y z x
y z e dy dx z e dydx z ----?
≤???=?<
0,
0,1,01,1, 1.z
z z z z e z e e e z ---≤??=+-<
Z 的概率密度为
0,0()()1,01,(1),
1.z Z Z z
z f z F z e z e e z --≤??
'==-<
19．设部件1L 的寿命~()X E α，2L 的寿命~()Y E β，按下图联结构成系统L ，即当部件1L 损坏时，部件2L 立即开始工作，求系统L 的寿命Z 的概率
密度.
解 X 的密度为,
0,()0,.
x
X e x f x αα-?>?=?
??其他
Y 的密度为,
0,()0,
0.
y Y e y f y y ββ-?>=?
≤?
设Z 的密度为()Z f z ，则
()()()Z X Y f z f x f z
x d x
+∞-∞
=
?-?
()
,0,0,()()0,
.x z x X Y e e
x z x f x f z x αβαβ---??>->??-=?
其他
0≤时，()0Z f z =
0>时，()0
()z z x Z f z e e dx ββααβ--=
?
()01z
z
x e e ββααββα--=?
- ()z z e e αβαβ
βα
--=
?--, αβ≠ 当 αβ=时 220
()z
z z
Z f z e dx ze αααα--=
=? 综相所述Z X Y =+的密度为
0,
0()(),0.
Z z z
z f z e e z αβαββα--≤??
=?->?-?
αβ≠.
2
,0,
(),0.
Z z
z f z ze z αα-≤?=?
>? αβ=.
20．设(,)X Y 的概率密度为
3,0,01,
(,)0,.
x y x x f x y <<<
求Z X Y =-的概率密度.
解1 利用Z X kY =+的密度公式：()(,)Z f z f z ky y dy +∞-∞
=-?
，
取1k =-得 ()(,),Z f z f z y y dy +∞-∞
=+?
其中
3(),01,0,
(,)0,.z y z y z y f z y y ?+<+<>?+=?
??
其他不等式01,0,0z y z y <+<>>确定平面域如图 当 0z ≤ 或 1Z ≥ 时 ()0Z f z =，
当 01z << 时， 10
()3()z Z f z z y dy -=+?
2233(1)(1)(1).22
z z z z =-+-=-
即
2
3(1),01,
()20
,.Z z z f z ?-<
解2 设Z 的分布函数为()Z F z ，密度为()Z f z ，则
()()()(,)Z x y z
F z P Z z P X Y z f x y dxdy -≤=≤=-≤=
??
1000,
0,33,01,1, 1.z x
x z x z
z xdxdy xdxdy z z -≤???=+<
0,31,01,2
21,
1.z z z z z ≤???
=-<??
于是
2
3(1),01,
()()20
,.Z Z z z f z F z ?-<
21．设随机变量(,)X Y 的概率密度为
2222
1(,),,2x y f x y e x y σπσ
+-
=
-∞<<+∞，
求 22Z X Y =+的概率密度()Z f z . 解 设Z 的分布函数为()Z F z ，则
2
2
()()()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤220
(,)z x y z
f x y dxdy >+≤==
??
222
2222
1
2x y x y z
e dxdy σπσ+-
+≤=
??
22
222
1
2r e
rdrd πσθπσ-
=
??
2
2222
2001112r u
r z e rdr e du σσσσ--=??令 故2220,
0,()1,0.2z
Z z f z e z σσ
-≤??=?>?? 221z
e e σ-=-=-， 故2220,
0,()()1,0.2z z z z f z F z e z σ
σ-≤??
'==?>??
22．设随机变量X 与Y 独立，2
~(,)X N μσ，~[,]Y U ππ-，试求Z X Y =+的概率密度()Z f z
解1 由卷积公式 ()()(),Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞
=?-?
其中
2
2
()2,,,()()0,
.x X Y x z x f x f z x μσππ--?-∞<<+∞-≤-≤?-=?其它
不等式,x z x ππ-∞<<+∞-≤-≤确定平面区域D ：
当z -∞<<+∞时 2()2()x z Z z f z dx μπσπ
--
+-=
?
2
212x t t
z z dt μ
πμ
σσπμσπ-=
+----====
?令
1()().2z z πμπμπσσ+---??
=Φ-Φ????
解2 用变量代换： ()()()Z X Y f z f z y f y dy +∞-∞
=-?
.
因为~[,]Y U ππ-所以当y ππ-<<时1
()2Y f y π
=
2
2
()2()()()z y Z X Y f z f z y f y dy dy μπ
σπ
---
+∞-∞
-=
-=?
?
22
()2u u z y
z z du μπσπ
-=---+====-
?
令
22
()2u z z du μπσπ
--+-=
?
1()()2z z πμ
πμπ
σσ+---??=
Φ-Φ????
. 23．设随机变量(,)X Y 的概率密度为
(2)2,0,0,(,)0
,.x y e
x y f x y -+?>>?=???其他
求2Z X Y =+的分布函数()Z F z .
解 2()()(2)(,)x y z
F z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=
??
2200
0,
0,2,0.z x
z x y z e e dy dx z ---≤??=???>??????
?? 0,0,1,0.
z z
z e ze z --≤?=?-->? 24．设二维随机变量(,)X Y 在矩形{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度()f s .
解1 设矩形的面积为S ，则S XY =，又设S 的分布函数为()S F s ，则 ()()()(,).S xy s
F s P S s P XY s x y dxdy ?≤=≤=≤=??
其中
1
,(,),
(,)20,.x y G x y ??∈?=???
其他
()(,)S x y s
F s x y d x d y
?
≤=
??
120000,0,11,02,22
1, 2.s
s x
s s dxdy dxdy s s ≤???=+<
≥??
???? 0,
0,(1ln 2ln ),02,2
1,
2.s s s s s ≤???
=+-<
于是
1
(ln 2ln ),02,
()()20,
.S s s f s F s ?-<
解2 利用乘积的密度公式 ()(,)
||
s
dy
f s y y
y ?+∞
-∞
=
? 1
,01,02,2(,)0,.
s y s y y y ??≤≤≤≤?=???
其他
当 0S ≤或2s ≥时()0,f s = 当 02s <<时
1
1
22
111
()ln (ln 2ln )222s s f s dy y s y
===-?
综上所述
1
(ln 2ln ),02,
()2
0,
.s s f s ?-<
34
{0,0},(0)(0),77
P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=
求 {max(,)0}.P X Y ≥
解 {m a x (,)0}{(0)(
0)}(0)P X
Y P X Y P X P Y ≥=≥≥=≥+≥
4435
{0,0}.7777
P X Y -≥≥=+-=
26．设,ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为
1
(),1,2,33
P i i ξ===，又设max(,)X ξη=，min(,)Y ξη=，试写出二维随
机变量(,)X Y 的分布律及边缘分布列并求().P ξη=
解 X 的可能值为1,2,3，Y 的可能值为1,2,3.
1
(1,1){max(,)1,min(,)1}(1,1),9
P X Y P P ξηξηξη========= 依此类推可求出(,)X Y 的分布列及边缘分布列如下：
1()3
P ξη==
. 27．假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0λ>的指数分布. 当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T 的概率分布.
解 设T 的分布函数为()T F t ，第i 件元件的寿命为i X ，其分布函数为
()F x . 则
123()(){min(,,)}T F t P T t P X X X t =≤=≤ 31[1()]F t =--
31,0,
0,0.
t e t t λ-?->=?≤?
即 ~(3)
T E λ 28．设随机变量1234,,,X X X X 独立同分布：(0)0.6i P X ==，
(1)0.4i P X ==，1,2,3,4i =. 求行列式
1
2
34
X X X X X = 的概率分布 解1 12
142334
X X X X X X X X X =
=- X 的可能值为1,0,1-.
1423(1)(0,1)
P X P X X X X =-=== 14141423{(0,1)(1,0)(0,0),(1,1)}P X X X X X X X X ========= 14141423[(0,1)(1,0)(0,0)](1,1)P X X P X X P X X P X X ===+==+==== [0.60.40.60.40.36]0.160.1344=?+?+?= 同理可求出(0)0.7312,(1)0.1344P X P X ====，即X 的分布为
101
0.13440.73120.1344
X -
解2 先求出14X X 及23X X 的分布
14010.840.16X X P 2301
0.840.16
X X P
1423(1)(0,1)
0.840.160.1344,P X P X X X X =-====?= 1423(0)()0.840.840.160.16
0.7312P X P X X X X ====?
+?=， 1423(1)(1,0)0.160.840.1344.
P X P X X X X =====
?= 即X 的分布列为
101
0.13440.73120.1344
X P -
29．在习题7中求条件概率密度
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生；
习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1 {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生；
哈工大概率论小论文 篇一：哈工大概率论小论文概率论课程小论文计算机科学与技术学院信息安全专业一班(1303201) 姓名：宫庆红学号：1130320103 概率论中用到的几种数学思想作为数学中的一个重要分支，概率论同时用到了其他几种数学思想。本文着重从数学归纳法、集合论和微积分等几个方面进行简单的讨论。一．概率论中的数学归纳法思想在概率问题中常会遇到一些与试验次数无关的重要结论, 这些结论在使用数学归纳法来证明时, 常常需要配合使用全概率公式, 从而使概率论中的数学归纳法具有自己的特色。例l 设有冷个罐子, 在每一个罐子中各有m 个白球与k 个黑球, 从第一个罐子中任取一球放入第二个罐子中, 并依次类推。求从最后一个罐子中取出一个白球的概率。分析: 先探索规律, 设n =2 令H1=“ 从第一个罐子中取出一个球, 是白球” H2=“ 从第二个罐子中取出一个球, 是白球” 显然P(H1)=m m?k,所求之概率 P(HL)=P(H1)P(H2|H1)+P(H1’)P(H2|H1) =mm?1kmm???? m?km?k?1m?km?k?1m?k 这恰与n=1时的结论是一样的，于是可以预见，不管n为什么自然数，所求的概率都应是m。 m?k上述预测的正确性是很容易用大家所熟知的数学归纳法来证明的。事实上，另Hi=“从i个罐子中去除一个球，是白球”(i=1,2,……n)设当n=t时，结论成立，即P(Ht)=m m?k 则当n=t+1时，有P(Ht+1)=P(Ht)P(Ht+1|Ht)+P(Ht’)P(Ht+1|Ht’) mm?1kmm???? m?km?k?1m?km?k?1m?k k于是，结论P(Hn)=对任意自然数n都是成立的。 m?k = 不难看出，在这里数学归纳法之所以能顺利进行，那是由于在知道从第t个罐中取出的球的颜色（比如是白球）之后，第t+1罐的新总体成分就完全清楚了。（相当于从第t罐取出的是白球，这时新的第t+1罐中就有m+1个白球，k个黑球）所以相应的条件概率P(Ht+1|Ht)=m?1m(或P(Ht|Ht’)=)也就随之而得了。m?k?1m?k?1 二．概率论中的微积分思想在我们现阶段所学习的概率论课程中，微积分是重要的基础。如何正确、巧妙地运用微积分方法和技巧是值得重视的问题。现在，简单归纳一些问题来说明微积分方法在概率论中有着广泛的应用。幂级数方法例1 设随机变量ξ服从参数为（r,p）的负二项分布，（r≧1,0 p 1）,即P{ξ=m}=Cm?1pr?1rqm?r,m=r,r+1,……q=1-p, 求E(ξ).解这道题的解题过程中要用到公式 1 (1?x)??Cmxr?1 m?r?rm?r。 ?1n这个公式是有??x(0?x?1)
2015年哈工大概率统计试题 一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分） 1．设()()0.7P A P B +=，且,A B 只发生一个的概率为0.5，则,A B 都发生的概率为 ________________ ． 2．设随机变量X 的概率密度为???<≥=0 ,00e )(-x x x f x X ，，则随机变量X Y e =的概率密度为 ()Y f y = ______________ _ _ ． 3．设随机变量, X Y 的相关系数为0.5，220,2EX EY EX EY ====，则 2()E X Y +=． 4．生产一个零件所需时间2(,)X N μσ ，观察25个零件的生产时间得 5.5x =秒，样本 标准差 1.73s =秒，则μ的置信度为0.95的置信区间为________________ __． 5．设随机变量, X Y 相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {max(,)1}P X Y ≤=______ ． 注：可选用的部分数值：0.050.0250.025(24) 1.7109, (24) 2.0639, (25) 2.0595,t t t === .95.0645.1975.096.1=Φ=Φ）（，）（ 二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分） 1．设()01,P B <<(|)(|)1P A B P A B +=，则 （A ）,A B 互不相容.（B ）,A B 互为对立事件. （C ）,A B 相互独立.（D ）,A B 不独立.【】 2．下列函数可作为随机变量的分布函数的是 （A ）()2 1,1F x x x =-∞<<+∞+．（B ）, 0() 1 0, 0 x x F x x x ?≥? =+??
习 题 四 1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的 分布列. 解 (,)X Y 的分布列为 其中 (1,1)(1)(1|1)0P X Y P X P Y X ======= (1,2)(1)(2|1)P X Y P X P Y X ====== 121436 =?= 余者类推。 2．将一枚硬币连掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正 面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。 解 一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1 ~(3,).2 X B 331 ()(),0,1,2,32 k P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为 其中 (0,1)(0)(1|0)0P X Y P X P Y X =======，
13 313(1,1)(1)(1|1)()128 P X Y P X P Y X C =======?=， 余者类推。 3．设(,)X Y 的概率密度为 1 (6),02,24, (,)80,.x y x y f x y ?--<<<
《概率论与数理统计》论文题目：正态分布及其应用 学院：航天学院 专业：空间科学与技术 姓名：黄海京 学号：1131850108
正态分布及其应用 摘要：正态分布（normal distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态分布，以及确定医学参考值范围，药品规格，用量等。可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量。 关键词：正态分布， 一、正态分布的由来 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution）。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年受次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ= 1的正态分布。 二、正态分布的特性 1. 正太分布的曲线特征 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。 （1）集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 （2）对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 （3）均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
概率论与数理统计在日常生活中的应用 学院：通信工程学院 班级：电子信息工程152 学号：208150654 姓名：王鑫 学校：南京工程学院
目录 摘要 引言 第一章基本知识点 1.1概率论的基本概念 1.2随机变量及其分布 1.3多维随机变量及其分布 1.4随机变量的数字特征 1.5大数定律和中心极限定理 1.6样本及抽样分布 1.7参数估计 1.8假设检验 1.9方差分析与回归分析 第二章在日常生活中的应用 2.1经济保险问题中的应用 2.2在经济损失估计中的应用 2.3在求解最大经济利润中的应用 2.4在医学领域中的概率论思想 2.5金融领域中的概率论思想 第三章结语及参考文献
摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文通过实例讨论概率统计在经济保险，经济损失估计、最大经济利润求解、医学应用、金融应用等日常生活中的应用 关键词：概率统计经济领域医学领域金融领域生活 引言：概率论与数理统计是一门相当有用的数学分支学科，随着社会的发展，概率论与数理统计在生活中的应用越来越多，我们在学习过程中也了解到概率论与数理统计在疾病预测，彩票，抽样调查，评估，彩票，保险，以及在经济中的一些广泛的应用比如说经济损失估计、最大经济利润求解、经济保险等，下面我用一些实例谈谈一些常见的概率论与数理统计在生活中的应用问题
大学物理期末考题(A) 2003年1月10日 得分__________ 班级_________姓名_________学号___________ 序号____________ 注意：（1）共三张试卷。（2）填空题★空白处写上关键式子，可参考给分。计算题要排出必要的方程，解题的关键步骤，这都是得分和扣分的依据。（3）不要将订书钉拆掉。(4)第4、5页是草稿纸。 一、选择题 1、在宽度a =0.05mm 的狭缝后置一焦距f 为0.8m 的透镜， 有一屏幕处在透镜的焦平面上，如图所示。现将某单色光垂直照射在单缝上，在屏幕上形成单缝衍射条纹，试问：若在离中央明条纹上方x =1.6cm 的P 处恰为暗条纹，则该光的波长约为 (a) 450nm (b) 500nm (c) 550nm (d) 600nm _____________ 1、在宽度a =0.05mm 的狭缝后置一焦距f 为0.8m 的透镜，有一屏幕处在透镜的焦平面上，如图所示。现将某单色光垂直照射在单缝上，在屏幕上形成单缝衍射条纹，试问：若在离中央明条纹上方x =1.6cm 的P 处恰为暗条纹，则该光的波长约为 (a) 450nm (b) 500nm (c) 550nm (d) 600nm 选_____B ______ λ θθk a f x ==sin kf ax = ?λ 2、在牛顿环实验中，观察到的牛顿环的干涉圆环形条纹第9级明条纹所占的面积与第16级明条纹所占的面积之比约为 (a) 9/16 (b) 3/4 (c) 1/1 (d) 4/3 (e) 16/9 选_____________ 2、在牛顿环实验中，观察到的牛顿环的干涉圆环形条纹第9级明条纹所占的面积与第16级明条纹所占的面积之比约为 (a) 9/16 (b) 3/4 (c) 1/1 (d) 4/3 (e) 16/9 选_____C ______ 明：2 ) 12(λ -= k R r , 暗：λRk r = , λπR S S k k =-+1 3、用频率为ν的单色光照射某金属时，逸出光电子的动能为k E ，若改用频率 2ν的单色光照射该金属时，则逸出光电子的动能为 （a ）k E 2 (b) k E h -ν (c) k E h +ν (d) k E h -ν2 选_____________
最大似然估计学习总结(概率论大作业)
最大似然估计学习总结 航天学院探测制导与控制技术杨若眉1110420123 摘要：最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。 关键词：最大似然估计；离散；连续；概率密度最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。 “似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。
最大似然法是要解决这样一个问题：给定一组数据和一个参数待定的模型，如何确定模型的参数，使得这个确定参数后的模型在所有模型中产生已知数据的概率最大。通俗一点讲，就是在什么情况下最有可能发生已知的事件。举个例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？ 我想很多人立马有答案：70%。这个答案是正确的。可是为什么呢？（常识嘛！这还要问？！）其实，在很多常识的背后，都有相应的理论支持。在上面的问题中，就有最大似然法的支持例如，转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中，如果发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由认为，C和T所
概率论与数理统计论文与总结 概率论与数理统计这门数学科学在我们的生活中有着广泛的应用，从初中我们便开始接触古典概型。经过将近一个学期的学习，我们对概率论和数理统计这两门课程的基本理论和方法了进一步的了解，同时也深刻的意识到自己所学的知识还是十分有限的。 在这门课程中我们并没有研究特别高深的理论知识，而是主要学习了概率论和数理统计的基本理论和基本方法，学会用概率论和数理统计的思维去思考并且将其应用于科学研究和工程实际中。在本学期课堂上，我也听到了王老师讲的许多“课外的知识”，使我对人生有了不少新的认识与看法。 一 概率论与数理统计在生活中的应用 在日常生活中，我们经常可以看到让参赛选手选择不同奖励盒子的电视节目。如果参赛选手选对了盒子就可以得到丰厚的奖品。如果选错了盒子的话则会一无所有。这样的游戏不仅仅是运气的问题，我们也可以通过概率论与数理统计的知识进行分析，从而提高获奖的概率。下面我们描述这样一个游戏并对其进行数学建模。 参赛选手面前有三个完全相同的盒子，其中一个有5000元的奖金，另外两个什么也没有。参赛选手可以从中任选一个盒子，但暂且不打开它。节目主持人随后打开一个盒子，其中什么也没有，然后问参赛者是坚持原来的选择还是换成另一个没有被打开的盒子。一般的人可能会认为那么既然现在只剩下两个盒子，每个盒子中有奖金的概率都是0.5，所以他坚持原来的选择。这个推理看似是没有缺陷的，但是经过应用概率论与数理统计的知识仔细分析后我们会发现，他选择另一个没有被打开过的盒子获取奖金的概率是坚持原来选择获得奖金的两倍。下面我们对该过程进行分析： 首先我们假设有三个盒子，分别标号为1、2、3，不妨假设5000元奖金在1号盒子中。在题目中隐含的一个条件就是主持人知道奖金在哪一个盒子中，并且他打开的总是没有奖金的盒子。 首先我们假定参赛选手决定不换盒子，则参赛选手从1、2和3中任选一个 盒子。设事件A 、B 及C 分别为选择1号盒子，2号盒子，3号盒子。获得奖金为事件W ，则参赛选手获取奖金的概率为： ()()13 P W P A == 假设参赛选手总决定换盒子。当参赛选手选择第一个盒子时，无论主持人打开的是2号盒子还是3号盒子，参赛选手换了盒子后都无法获取奖金。当参赛选手选择2号盒子时，主持人一定会打开没有奖金的3号盒子，参赛选手换了盒子后一定会获得奖金。参赛选手选择3号盒子时同理。则参赛选手获得奖金的概率为： ()()()23 P W P B P C =+=
哈尔滨工业大学 课程论文概率论与数理统计的发展与应用 课程名称概率论与数理统计姓名 学院英才学院 专业电气工程及其自动化班级 学号 指导教师王勇 日期2014年12月11日
[摘要]：通过本学期概率论与数理统计这门课的学习，我基本掌握了基本的概率知识，这对于自己以后的发展和创新有着很大的帮助。本文将根据自己的学习心得，概率论的历史、发展和主要内容，应用方向，课程感悟等四个方面来阐述我对本门课的总结。 [关键词]：概率论数理统计生产发展主要内容应用方向
概率论与数理统计是研究随机现象规律性的一门科学。前者是从数学观点研究随机现象的基本性质，后者从搜集到的随机数据，估计或推断随机现象的基本特性。 一：概率论与数理统计的起源与发展 1、概率论 概率论起源于对赌博问题的研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。 概率论的早期研究大约在十六世纪到十一七世纪之间。(若考虑到概率与统计在早期难于区分的辜实，它的历史可远溯到许多世纪之前。根据科学史记载，在1390年就有人讨论过掷般子的问题，若把文明古国的抽签活动也加以考虑，还可有更早的史料。)这段期间，欧洲进入文艺复兴时期，工业革命已开始蔓延。伴随工业发展提出的误差问题，伴随航海事业发展产生的天气预报问题，伴随商业发展而产生的贸易、股票、彩票和银行、保险公司等，加之人们越来越需要了解的患病率、死亡率、灾害规律等问题，急需创立一门分析研究随机现学学科。概享论应社会实践的需要出现了。 在这个时期，意大利著名物理学家伽俐略就曾对物理实验中出现的误差进行了科学的研究，把误差作为一种随机现象，并估计了他们产生的概率。十八世纪，概率论发展很快，几乎初等概率的全部内容都在这个期间形成。在这个期间，概率论工作者已经不是孤立地、静止地研究事件发生的概率，而是把随机现象视为一种特殊的变量——随机变量。随机变量的引入，数学家如鱼得水，他们利用各种数学工具，研究随机变量的分布，从而使概率论的研究得到了一次飞跃。在整个十八世纪和十九世纪初叶，概率论风行一时。但是，由于一些学者过分夸大了它的作用，许多人企图把它应用到诸如诉讼之类的“精神”或“道德”的科学上去，遭到了失败。这以后，欧洲的一些数学家认为概率论只是一种数学游戏，不可能有重大的具有科学根据的应用。甚至概率论在气体动力论、误差论、射击论等方面的卓有成效的应用也因此而受到忽视。这些错误后来被形容为“数学诞语”，导致概率论的发展在西欧较长的一段时间(十九世纪下半叶)出现停滞。虽然概率论在这段时期走了一段弯路，但它的发展仍是主流。在这个时期，概率论工作者较好地应用数学工具，使概率论的理论更加严密，基本上完成了概率论作为数学的一个分支应具备的条件。二十世纪以来，由于公理化体系的建立，使得概率论的理论更加完备。另外，极限理论的研究取得了一系列的结果。随机过程，数理统计从概率论中独立出来，成为两门生命力极强的新学科。概率的应用性越来越显示出来，产生了应用概率的研究分支，并由此滋生出许多分支。概率论与其它学科相结合，又出现了不少边缘学科。
一元线性回归 一元线性回归模型表示如下：yt = b0 + b1 xt +ut（1）上式表示变量yt 和xt之间的真实关系。其中yt 称作被解释变量（或相依变量、因变量），xt称作解释变量（或独立变量、自变量），ut称作随机误差项，b0称作常数项（截距项），b1称作回归系数。在模型(1) 中，xt是影响yt变化的重要解释变量。b0和b1也称作回归参数。这两个量通常是未知的，需要估计。t表示序数。当t表示时间序数时，xt和yt 称为时间序列数据。当t表示非时间序数时，xt和yt称为截面数据。ut则包括了除xt 以外的影响yt变化的众多微小因素。ut的变化是不可控的。上述模型可以分为两部分。 （1）b0 +b1 xt是非随机部分；（2）ut是随机部分。 一元线性回归预测是指成对的两个变量数据的散点图呈现出直线趋势时，采用最小二乘法，找到两者之间的经验公式，即一元线性回归预测模型。根据自变量的变化，来估计因变量变化的预测方法。实质上，虽然一个变量（称为因变量）受许多因素（称为自变量）的影响，但只有一个起重要的、关键性作用。这时若因变量于自变量在平面坐标系上标出，就可得出一系列点，若点的分布呈现出直线型模式，就可采用一元线性回归预测。两个变量在平面坐标系上所构成点的分布统称为散点图。 1、选取一元线性回归模型的变量； 2、2、绘制计算表和拟合散点图； 3、3、计算变量间的回归系数及其相关的显著性； 4、4、回归分析结果的应用。 一元线性回归分析预测法，是根据自变量x和因变量Y的相关关系，建立x与Y的线性回归方程进行预测的方法。由于市场现象一般是受多种因素的影响，而并不是仅仅受一个因素的影响。所以应用一元线性回归分析预测法，必须对影响市场现象的多种因素做全面分析。只有当诸多的影响因素中，确实存在一个对因变量影响作用明显高于其他因素的变量，才能将它作为自变量，应用一元相关回归分析市场预测法进行预测。一元线性回归分析法的预测模型为：式中，xt代表t期自变量的值；代表t期因变量的值；a、b代表一元线性回归方程的参数。a、b参数由下列公式求得（用代表）：为简便计算，我们作以下定义：(2) 式中：这样定义a、b后，参数由下列公式求得：将a、b代入一元线性回归方程Yt = a + bxt，就可以建立预测模型，那么，只要给定xt值，即可求出预测值。在回归分析预测法中，需要对X、Y之间相关程度作出判断，这就要计算相关系数Y，其公式如下：相关系数r的特征有：①相关系数取值范围为：-1≤r≤1 。②r与b符合相同。当r>0，称正线性相关，Xi上升，Yi呈线性增加。当r<0，称负线性相关，Xi上升，Yi呈线性减少。③|r|=0，X与Y无线性相关关系；|r|=1，完全确定的线性相关关系；0<|r|<1，X与Y存在一定的线性相关关系；|r|>0.7，为高度线性相关；0.3<|r|≤0.7，为中度线性相关；|r|≤0.3，为低度线性相关。 一、概念：一元线性回归方程反应一个因变量与一个自变量之间的线性关系，当直线方程Y'=a+bx的a和b确定时，即为一元回归线性方程。经过相关分析后，在直角坐标系中将大量数据绘制成散点图，这些点不在一条直线上，但可以从中找到一条合适的直线，使各散点到这条直线的纵向距离之和最小，这条直线就是回归直线，这条直线的方程叫作直线回归方程。注意：一元线性回归方程与函数的直线方程有区别，一元线性回归方程中的自变量X对应的是因变量Y的一个取值范围。二、构建一元线性回归方程的步骤： 1. 根据提供的n对数据在直角坐标系中作散点图，从直观上看有误成直线分布的趋势。即两变量具有直线关系时，才能建立一元线性回归方程。 2. 依据两个变量之间的数据关系构建直线回归方程：Y'=a+bx。（其中：b=Lxy/Lxx a=y - bx）三、
第一章 随机事件与概率 1.设事件A,B,C 两两独立，且ABC=￠,P(A)=P(B)=P(C)<0.5,P(A ∪B ∪C)=9/16,则P(A)=____ 2.设在每次实验中，事件A 出现的概率均为P ，若已知在三次独立的试验中A 至少出现一次的概率等于19/27,则P=____ 3.设A B C 是三个独立的随机事件且0
概率论与数理统计模拟试题（二） 一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分） 1．已知11()()(),()0,()()416 P A P B P C P AB P AC P BC === ===，则,,A B C 都不发生概率为 . 2．随机变量2~(),12X P EX λ=，则(1)P X ≥= . 3．随机变量X 的密度函数为1,01 21(),134 0,x f x x ?<
（C ）22,0()00x x f x x -?≥=? 3．随机变量,X Y 独立同分布，11~(,),(1)22 X N P X Y μ+≤=，则μ= . （A ）1- （B ）0 （C ）12 （D ）1 4．将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正、反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于（ ） （A ）1; （B ）1-; （C ）0; （D ） 21. 5．设12,,,n X X X 是来自具有2()n χ分布的总体的样本，X 为样本均值，则EX 和DX 的值为（ ） （A ）EX n =，2DX =； （B ）,2EX n DX n ==; （C ）1,2EX DX ==； （D ）1,EX DX n n ==. 三、（10分）设一批晶体管的次品率为0.01，今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有1 个次品和恰有2个次品的概率？
习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， A =‘甲盒中至少有一球’ ； （5）记录在一段时间，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生；
概率论与数理统计模拟试题（一） 一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分） 1．设事件,,A B C 两两独立，且ABC φ=，1()()()2 P A P B P C ==< ， 9 ()16 P A B C = ，则()P A = . 2．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等. 则()P A = . 3．设随机变量~ (1,1)X -，则X Y e =的概率密度为()Y f y = . 4．设随机变量[]~0,6X U ，1~12,4Y B ?? ??? ，且X 与Y 相互独立，则根据切比雪 夫不等式有：(33)P X Y X -<<+≥__________. 5．总体22~(,), 0.04X N μσσ=抽取容量为16的样本，测得均值1.416，若μ的 置信区间是(1.4160.098,1.4160.098)-+，则置信度_________. 二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分） （每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后 的括号内） 1．设,,A B C 是三个独立的随机事件且0()1P C <<. 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ） （A ）A B 与 C ； （B ）BC 与C ； （C ）A B -与C ； （ D ）AB 与C . 2．设随机变量X 的概率密度为2 1 ()(1) f x x π=+，则2Y X =的概率密度为（ ） （A ）21(14)y π+； （B ）21(4)y π+； （C ）22(4) y π+； （D ）22 (1)y π+. 3．如下四个函数中不是随机变量分布函数的是（ ） （A ）2 1 ,0()1,02x F x x x ≥?? =??
学习中心/函授站_ 姓 名 学 号 西安电子科技大学网络与继续教育学院 2017学年下学期 《概率论与数理统计》期末考试试题 （综合大作业） 考试说明： 1、大作业于2017年10月19日下发，2017年11月4日交回； 2、考试必须独立完成，如发现抄袭、雷同均按零分计； 3、答案须手写完成，要求字迹工整、卷面干净。 一、选择题（每题3分共30分） 1．设A 、B 、C 是随机事件，则（ ）。 A ．() A B B A B ?=- B ．()A B B A -? C ．()()A B C A B C -=- D ．A B AB AB =- 2．设甲、乙两人进行象棋比赛，A 表示事件“甲胜乙负”，则A 表示事件（ ）。 A ． “甲负乙胜” B ． “甲乙平局” C ． “甲负” D ． “甲负或平局” 3．设事件A 与事件B 互不相容，则（ ）。 A ．()0P A B = B ．()()()P AB P A P B = C ．()1()P A P B =- D ．()1P A B = 4．设A B 、互不相容，且()0,()0P A P B >>，则（ ）。
A ．()0P B A > B ．()()P A B P A = C ．()0P A B = D ．()()()P AB P A P B = 5．在下述函数中，可以作为某随机变量的分布函数的是（ ）。 A ．21 (), 1F x x x = -∞<<+∞+ B ．11 ()arctan , 2 F x x x π=+-∞<<+∞ C ．1(1), 0 ()20, 0 x e x F x x -?->?=??≤? D ．()() ()x F x f x dx x -∞ = -∞<<+∞? ，其中()1f x dx +∞ -∞ =? 6．设随机变量~(0,1)X N ，则方程2240t Xt ++=没有实根的概率为（ ）。 A ．2(2)1Φ- B ．(4)(2)ΦΦ- C ．(4)(2)ΦΦ--- D ．(2)(4)ΦΦ- 7．设随机变量~(1,1)X N ，其分布函数为()F x ，概率密度为()f x ，则（ ）。 A ．(0)(0)0.5P X P X ≤=≥= B ．()(), f x f x x -=-∞<<+∞ C ．(1)(1)0.5P X P X ≤=≥= D ．()1(), F x F x x -=--∞<<+∞ 8. 设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 22 6 (,), , x y f x y Ae x y +- =-∞<<+∞-∞<<+∞ 则常数A =（ ）。 A ． 12π B ．112π C ．124π D ．16π 9．设随机变量X 服从参数为λ的Poisson 分布，则2 (())D kX EX =（ ）。 A ．2 2k λ B ．24k λ C ．42k λ D ．43k λ 10．设随机变量2 1 ~() (1), X t n n Y X >= ，则（ ）。 A .)(~ 2n Y χ B . )1(~2-n Y χ