2014年湖南省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（）
A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i
2．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）
A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3
3．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
4．（5分）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（）
A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20
5．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④
6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）
A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]
7．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）
A． B． C．pq D．﹣1
9．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）
A．x=B．x=C．x=D．x=
10．（5分）若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）
A．（﹣）B．（）C．（）D．（）
二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是．
12．（5分）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于．
13．若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a=．（二）必做题（14-16题）
14．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则
k=．
15．（5分）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则=．
16．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是．
三、解答题：本大题共6小题，共75分
17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．
18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．
（Ⅰ）求cos∠CAD的值；
（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．
19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
（Ⅰ）证明：O1O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．
20．（13分）已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．
（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；
}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）若p=，且{a2n
﹣1
21．（13分）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：﹣=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=﹣1．
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
22．（13分）已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．
（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．
2014年湖南省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2014?湖南）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（）
A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i
【分析】根据复数的基本运算即可得到结论．
【解答】解：∵=i，
∴z+i=zi，
即z===﹣i，
故选：B．
2．（5分）（2014?湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）
A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3
【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．
【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，
即P1=P2=P3．
故选：D．
3．（5分）（2014?湖南）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．
【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得
f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，
根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得
f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，
f（1）+g（1）=1．
故选：C．
4．（5分）（2014?湖南）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（）
A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可．
=，
【解答】解：由二项式定理可知：T r
+1
要求解（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数，
所以r=3，
所求系数为：=﹣20．
故选：A．
5．（5分）（2014?湖南）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．
【解答】解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，
当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，
则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q 为假命题，
故选：C．
6．（5分）（2014?湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）
A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]
【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．
【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，
若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t ﹣3∈（﹣2，6]，
综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，
故选：D
7．（5分）（2014?湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内
切圆的半径r．
【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则
8﹣r+6﹣r=，
∴r=2．
故选：B．
8．（5分）（2014?湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）
A． B． C．pq D．﹣1
【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，可得（1+p）（1+q）=（1+x）2，解出即可．
【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，
则（1+p）（1+q）=（1+x）2，
解得x=﹣1，
故选：D．
9．（5分）（2014?湖南）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）
A．x=B．x=C．x=D．x=
【分析】由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可
取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．
令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），
f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos（φ+）=0，
∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，
则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=，
故选：A．
10．（5分）（2014?湖南）若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）
A．（﹣）B．（）C．（）D．（）【分析】由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=e x﹣﹣ln （﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：由题意可得：
存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），
即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，
∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，
且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，
∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，
∴lna＜ln，
∴a＜，
∴a的取值范围是（﹣∞，），
故选：A
二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．（5分）（2014?湖南）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是ρ（cosθ﹣sinθ）=1．【分析】由题意可得直线l的方程为y=x+b，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心（2，1）在直线l上，由此求得b的值，可得直线的方程．
【解答】解：设倾斜角为的直线l的方程为y=x+b，
曲线C：（α为参数），即（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆．
由于弦长|AB|=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l上，故有1=2+b，解得b=﹣1，
故直线l的方程为y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0．
再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，即ρ（cosθ﹣sinθ）=1
故答案为：ρ（cosθ﹣sinθ）=1．
12．（5分）（2014?湖南）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于 1.5．
【分析】设垂足为D，⊙O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可．
【解答】解：设垂足为D，⊙O的半径等于R，则
∵AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，
∴AD=1，
∴R2=2+（R﹣1）2，
∴R=1.5．
故答案为：1.5
13．（2014?湖南）若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a=﹣3．
【分析】分a=0、a＞0、a＜0三种情况，分别去掉绝对值求得不等式的解集，再把求得的解集和所给的解集作对比，从而求得a的值，综合可得结论．
【解答】解：显然，a=0时，条件|ax﹣2|＜3恒成立，不满足解集为{x|﹣＜x ＜}．
当a＞0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得﹣＜x＜，再根据的解集为{x|﹣＜x＜}，∴，a无解．
当a＜0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得＜x＜﹣，
再根据的解集为{x|﹣＜x＜}，∴，解得a=﹣3，
故答案为：﹣3．
（二）必做题（14-16题）
14．（5分）（2014?湖南）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=﹣2．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．
目标函数为2x+y=﹣6，
由，解得，
即A（﹣2，﹣2），
∵点A也在直线y=k上，
∴k=﹣2，
故答案为：﹣2．
15．（5分）（2014?湖南）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则=．
【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求的值．【解答】解：由题意可得，，
将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中，得
∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得，化简整理得a2+2ab﹣b2=0，此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得
，
取，
从而，
故答案为：．
16．（5分）（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是+1．【分析】由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），求得|++|≤|++|+||，可得|++|的最大值．
【解答】解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），
则|++|≤|++|+||=+1．
∴|++|的最大值是+1，
故答案为：+1．
三、解答题：本大题共6小题，共75分
17．（12分）（2014?湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，
（Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，
因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．
则P（B）=，
再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=，
故至少有一种新产品研发成功的概率为．
（Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，
由独立试验的概率计算公式可得，
，
，
，
，
所以X的分布列如下：
X0112
2 00
2
P
（
x）
则数学期望E（X）==140．
18．（12分）（2014?湖南）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；
（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．
【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．
（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．
【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．
（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，
∴sin∠BAD==，
∵cos∠CAD=，
∴sin∠CAD==
∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=
×+×=，
∴由正弦定理知=，
∴BC=?sin∠BAC=×=3
19．（12分）（2014?湖南）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
（Ⅰ）证明：O1O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．
【分析】（Ⅰ）由已知中，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．可得O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，进而OO1⊥AC，OO1⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到O1O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2a，设AB为2，若∠CBA=60°，OA=OC=1，OB=OD=，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BDD1B1和平面OB1C1的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，
∴四边形ABCD为菱形，
又∵AC∩BD=O，
故O为BD的中点，
同理O1也是B1D1的中点，
又∵四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，
∴O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，
∴OO1⊥AC，OO1⊥BD，
又∵AC∩BD=O，AC，BD?平面ABCD，
∴O1O⊥底面ABCD；
解：（Ⅱ）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均相等，所以四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵O1O⊥底面ABCD，
∴OB，OC，OO1两两垂直，
如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O﹣xyz．
设AB=2，
∵∠CBA=60°，
∴OA=OC=1，OB=OD=，
则O（0，0，0），B1（），C1（0，1，2）
易知，=（0，1，0）是平面BDD1B1的一个法向量，
设=（x，y，z）是平面OB1C1的一个法向量，则，即
取z=﹣，则x=2，y=2，所以=（2，2，﹣）
设二面角C1﹣OB1﹣D的大小为θ，易知θ是锐角，于是：
cosθ=|cos＜，＞|=||==，
故二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值为．
20．（13分）（2014?湖南）已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；
}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）若p=，且{a2n
﹣1
【分析】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{a n}是递增数列”对求出的p 的值取舍；
﹣a n|=p n”、不等式的可加性，求出（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n
+1
和a2n
﹣a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用
+1
累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．
【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，
﹣a n|=p n化为：a n+1﹣a n=p n，
则|a n
+1
分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，
即a2=1+p，，
∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，
即4（1+p）=1+3（p2+p+1），
化简得3p2﹣p=0，解得或0，
当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，
∴；
（2）由题意可得，|a n
﹣a n|=，
+1
则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，
}是递增数列，且{a2n}是递减数列，
∵数列{a2n
﹣1
∴a2n
﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，
+1
﹣a2n）＞0，两不等式相加得
则﹣（a2n
+2
a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，
又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，
∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，
同理可得：a2n
﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，
+3
﹣a2n=
则a2n
+1
当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），
，，，…，，
这2m﹣1个等式相加可得，
==，
则；
当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*）
，，，…，，
这2m个等式相加可得，…﹣…+
=﹣=，
则，且当m=0时a1=1符合，
故，
综上得，．
21．（13分）（2014?湖南）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：﹣=1的左、右焦点