新北师大版高中数学必修四综合测试题 班级 姓名 学号 得分 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若sin θ·tan θ>0,则θ所在的的象限是 ( )
A .二、四
B .一、二
C .一、四
D .二、三
2.如果cos α=有意义,那么m 的取值范围是 ( ) A .m <4 B .m =4 C .m >4 D .m ≠4
3.函数y =2-sin 2x 是 ( )
A .周期为π的奇函数
B .周期为π的偶函数
C .周期为2π的奇函数
D .周期为2π的偶函数
4.函数y =3sin x +2cos x 的最小值是 ( )
A .0
B .-3
C .-5
D .-
5.设k ∈Z ,函数y =sin(+)sin(-)的单调递增区间为 ( ) A .[(2k +1)π,2(k +1)π] B .[(k +)π,(k +1)π] C .[kπ,(k +) π] D .[2kπ, (2k +1)π]
6.已知tan α,tan β是方程x 2+3x +4=0的两根,且<α<,<β<,则α+β等于 ( ) A . B . C .或 D .-或 7.要得到函数y =sin (2x -
)的图象,只需将函数y =sin2x 的图象 ( ) A .向右平移 B .向右平移 C .向左平移 D .向左平移 8.已知|a |=,|b |=1, a ·b =-9,则a 与b 的夹角是 ( )
A .300
B .600
C .1200
D .1500
9. 设a ,b 是两个非零向量,则下列说法中正确的是 ( )
A .a ⊥b 与 a ·b =0 是一致的
B .a ·b =|a |·|b |
C .|a |>|b |与 a >b =0 是一致的
D .a ·b = -|a |·|b | 10.如图,四边形ABCD 是梯形,AD ∥BC ,则等于( )
A .
B .-
C .
D . 11.设i =(1,0),j =(0,1),a =2i +3j ,b =k i -4j ,若a ⊥b ,则实数k 的值为 ( )
A .-6
B .-3
C .3
D .6
12.已知△ABC 的顶点A (2,3)和重心G 的坐标为(2,-1),则BC 边上的中点坐标为 ( )
A .(2,-9)
B .(2,-5)
C .(2,-3)
D .(2,0)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上) 44m m
+134π2x 4π2
x 121232π-
2π2π-2π23π-3π3π23π-3
π23π3π3π6π3π6
π63OA BC AB ++u u u v u u u v u u u v CD u u u v CO u u u v DA u u u v CO u u u v A B O D
C
13.函数y=的定义域为.
14.已知sinα=,2π<α<3π,那么sin+cos= .
15.已知|a|=3,|b|=5,且向量a在向量b方向上的投影为,则a·b= . 16.将函数y=cos x的图象按向量b=(2kπ+,1)( k∈Z)平移, 得到函数的图象.
三、解答题(本大题共6小题,17-21题每小题12分,22题14分,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.证明:.
18.已知cos(α-)=,sin()=,且α∈(,π),β∈(0,),求cos的值.
19.已知函数y=A sin(ωx+φ)+C(A>0, C >0,| φ|<)在同一周期中最高点的坐标为(2,2),最底
点的坐标为(8,-4).
(1)求A,C,ω,φ的值;
(2)作出函数的一个周期的简图,并由图象指出这个函数的单调递增区间.
20.设e1,e2是两个不共线的非零向量.
(1)若= e1+e2,=2 e1+8e2,=3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线;
(2)试求实数k的值,使向量k e1+e2和e1+k e2共线.
21.在∈ABC中,设=a, =b, =c.
(1)若∈ABC为正三角形,求证:a·b=b·c=c·a;
(2)若a·b=b·c=c·a成立,∈ABC是否为正三角形?
22.设函数f(x)=a·b,其中a=(2cos x,1), b=(cos x
sin2x), x
∈R.
(1)若f(x)=1,且x∈[,],求x;
(2)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|<)平移后得到函数y= f(x)的图象,求实数m、n的值.
1
1tan2x
-
1
32
α
2
α
12
5
2
π
tan sin tan sin
tan sin tan sin
αααα
αααα
+
=
-
g
g
2
β1
9
-
2
α
β
-
2
32
π
2
π
2
αβ
+
2
π
AB
u u u v
BC
u u u v
CD
u u u v
BC
u u u v
CA
u u u v
AB
u u u v
3
π
-
3
π
2
π
数学必修(4)综合测试答案
一、CBBDA ;ABDAB ;DC
二、13.x ∈R 且x ≠, x ≠(k ∈Z ); 14.; 15.12; 16.y =sin x +1. 三、17.提示:切化弦.
18..提示:=(α-)-(). 19.(1)A =3,C =-1,ω=
,φ=;(2)图略.增区间[12k -4,12k +2] (k ∈Z ) 20.(1)提示:=+=5(e 1+e 2);(2)k =±1. 21.(1)提示:a 、b 、c 模相等,两两夹角均为1200; (2)若a ·b =b ·c =c ·a ,则由a ·b =b ·c b (a -c )=0 ∴b ⊥(a -c ),又a -c =+,以BA 、BC 为邻边作 平行四边形ABCD ,则+=,因而b ⊥.
∴四边形ABCD 为菱形。即||=||,同理可证
||=||,从而证得∈ABC 为正三角形.
22.(1) f (x )=a ·b =1+2sin(2x +),由1+2sin(2x +)=1-,得sin(2x +)=-, ∵x ∈[,],∴≤2x +≤.∴2x +=,即x =. (2)函数y =2sin2x 的图象按向量c =(m ,n ) 平移后得到函数y =2sin2(x -m )+n 的图象,即函数y = f (x )的图象.由(1)得f (x )= 2sin2(x +
)+ 1, ∵|m |<,∴m = -,n =1. 44k ππ+28k ππ+233
-7527
2αβ+2β2αβ-6π6
πBD u u u v BC u u u v CD u u u v ?BC u u u v BA u u u v BC u u u v BA u u u v BD u u u v BD u u u v AB u u u v BC u u u v BC u u u v CA u u u v 6π6π36
π323π-3π2π-6π56π6π3
π-4π-12π2π12
πA B O D C a b c