1.1酉空间 1.1.1酉空间的定义
定义1 设V 是复数域
上线性空间，在V 上定义二元函数，称为内积，
记作(,)αβ，它具有以下性质：
1．(,)(,)αββα=，这里(,)βα是复数(,)αβ的共轭复数； 2．(,)(,)k k αβαβ=； 3．(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+；
4．(,)0αα≥，且(,)0αα=当且仅当α=0。
这里,,αβγ是V 中任意的向量,k 为任意复数，这样的线性空间称为酉空间. 例1 设T T 1212(,,
,),(,,
,)n n a a a b b b αβ==是
n
中的任意向量，定义内积为
H 1122(,)n n a b a b a b αββα=++
+=。
则
n
是一个酉空间，其中H β表示向量β的共轭转置向量。
1.1.2酉空间的有关概念
（1）2
α
=称为向量α的长度或模或范数.
（2）若2
1α=，则称α为单位向量；α≠0时，称
2
1
αα
为将向量α单位化.
（3）(,)αβ=0时，称向量α与向量β正交.
（4）如果n 维酉空间V 的一个基中的向量两两正交，则称该基为V 的一个正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基. （5）设n n
?∈
A ，H
A 表示矩阵A 的共轭转置矩阵， 即T
H =A A 。
若A 满足H =A A ，则称A 是Hermite 矩阵； 若A 满足H =A A E ，则称A 是酉矩阵. （6）设12,,
,n ααα是V 的一组基，称矩阵
1112121
222122(,)(,)(,)(,)(,)
(,)(,)(,)
(,)n n n n n αααααααααααααααααα?????????
?
??
为基12,,
,n ααα的度量矩阵.
（7）设V α∈，如果对于任意β∈ W 1，恒有(,)αβ=0，则称α与子空间W 1正交，记为1W α⊥.
如果对于任意α∈W 1和任意β∈W 2，恒有(,)αβ=0，则称子空间W 1与子空间W 2正交，记为12W W ⊥.
如果12W W ⊥，且12W +W =V ，则称W 2是W 1的正交补，记作1W ⊥.显然，
11V W W ⊥=⊕。
（8）如果对任意,αβ∈V 都有(,)(,)σασβαβ=，则称线性变换σ为V 的酉变换.
如果对任意,αβ∈V 都有(,)(,)σαβασβ=，则称线性变换σ为V 的Hermite 变换. （9）设n n
?∈
A 是Hermite 矩阵，n
α∈
,称H x Ax 为Hermite 二次型.
1.1.3欧氏空间与酉空间的比较
欧氏空间与酉空间相比，基础数域由实数域变成了复数域，内积的对称性变成了共轭对称性.因此，欧氏空间的结构与酉空间的结构是不相同的.但酉空间的内积近似于欧氏空间的内积.这样，酉空间有与欧氏空间平行的一套理论.学习过程中应注意相近但又不完全相同的地方（见下表）
是正交矩阵，使
y 定理1 (Schur 定理)设A 是n 阶复矩阵，证明：A 可酉相似于上三角矩阵T ，即存在n 阶酉矩阵U ，使得
1H -==U AU U AU T .
【证明】对n 作数学归纳法，当n =1时，命题显然成立。现假设命题对n -1阶复矩阵成立，下证对n 阶复矩阵也成立.设x 为A 属于特征值1λ的特征向量，将其单位化12
1
=
e x x ，并将1e 扩充成n
的一组标准正交基12,,,n e e e ，令
112(,,
,)n =U e e e ，则1U 是n 阶酉矩阵，且
H 11H H H 21111212H 30(,,
,)(,,
,)0n n ??*
*?? ? ? ? ?=== ? ? ? ? ???
??e e
U AU U A e e e Ae Ae Ae B e λ 其中B 是n -1阶复矩阵，由归纳假设知，存在n -1阶酉矩阵Q ，使得
2
1H n -*??
?==
? ??
?
Q BQ Q BQ λλ 令T 11??
= ???
U U Q 00，则U 是n 阶酉矩阵，且
T T 1
H
H 1
1H 11-????
== ? ?????
U AU U AU U AU Q Q 0000
1T T H 0110**??
?
???? ?= ? ?
????? ???
B Q Q λ0000 112H n 0 0***
*??
?? ?
? ? ?=== ? ?* ? ?????
T Q BQ λλλλ. 定理2 设A 是n 阶复矩阵，证明：A 酉相似于对角矩阵的充分必要条件是
A 满足H H =A A AA （满足该式的矩阵A 称为正规矩阵）.
【证明】 必要性 设矩阵A 酉相似于对角矩阵， 即存在酉矩阵U ，使
1H 12(,,
,)n diag -===U AU U AU Λλλλ
则H =A U ΛU ，且H H =ΛΛΛΛ，于是
H H H H H H H H H H
H
H
H
H
H
H
H
H
H H
H
()()()() ()()()()========A A U ΛU U ΛU U ΛU U ΛU U ΛU U ΛU U ΛΛU U ΛΛU U ΛU U ΛU U ΛU U ΛU AA
充分性 若A 满足H H =A A AA ，由Schur 定理知，存在酉矩阵U ，使得
H =UAU T ，其中T 是上三角矩阵，于是
H H H H H H H H H H H H ()()()()=====T T UAU UAU UA AU UAA U UAU UA U TT
设() (0,)ij n ij t t i j ==>T 代入上式，并比较两边矩阵的对角线元素，得
222
2
1111121
2
2
2
2
2
1222222322
2
2
2
12,
,
n n n n nn nn
t t t t t t t t t t t t t =++
++=+++++
+=
解之得0 ()ij t i j =<，即T 是对角矩阵，故A 酉相似于对角矩阵.
定理3 证明：正规矩阵的不同特征值所对应的特征向量必正交. 证明留作习题。
例2 设有两个Hermite 矩阵A 和B ，证明：=AB BA 成立的充分必要条件是存在一个酉矩阵U ，使11,--U AU U BU 都为对角矩阵.
【证明】充分性 若存在酉矩阵U ，使
111212diag(,,
,), diag(,,
,)n n --==U AU U BU λλλμμμ，
则有 111122diag(,,,)n n --==U ABU U ABU λμλμλμ，
故 =AB BA 。
必要性 因为H =A A ，所以H H =A A AA ，即A 是正规矩阵，从而存在酉矩
阵1U ，使 11H 11111r n r n -??
?
==
? ??
?
E U AU U AU E λλ （1） 其中12,,,r λλλ互异，且12r n n n n +++=.由=AB BA ，得
H H H H 11111111()()()()=U AU U BU U BU U AU 。 （2）
由式（1）和式（2）可得
1
H 11111r -??
?==
? ??
?
B U BU U BU B 。 由于H =B B ，所以H (1,2,.)i i i r ==B B ，从而12,,
,r B B B 都是正规矩阵，
即存在酉矩阵i Q ，使1 (1,2,
,)i i i i i r -==Q B Q D ，其中i D 为对角矩阵.令
1
12r r ????
? ?==
? ? ? ?????
，Q D U ΛQ D ， 则2U 是n 阶酉矩阵，Λ为n 阶对角矩阵，且
T 1
111
122T r r r r -????
????
? ? ???=
? ? ??? ? ??? ??
??
??
??
?B Q B Q U U B Q B Q T 1111
T r r r r ???? ? ?
=== ? ? ? ??
?
?
?Q B Q D ΛQ B Q D 令12=U U U ，则U 为n 阶酉矩阵，且
111r n r n -??
?=
? ??
?
E U AU E λλ， 1
-=U BU Λ。 于是必要性得证。
1.2 Householder 矩阵
1.2.1 Householder 矩阵的定义 定义2 设n
w ∈
为单位向量，则称矩阵H 2-E ww 为Householder 矩阵，或为
Householder 变换，记作H ，即
H 2=-H E ww
1.2.2 Householder 矩阵的性质
(1) Householder 矩阵H 是酉矩阵. 证明略
(2)若H 是 Householder 矩阵，则H =H H ，2=H H 。 证明略
(3) Householder 矩阵H 仅有两个不同特征值-1和1，其中1是n -1重的，-1是单重的.而且w 是属于特征值-1的单位特征向量. 【证明1】Householder 矩阵H 的特征多项式为
H H 1
H 1
det((2))det((1)2) (1)
det((1)2)(1)(1)
n n ----=+=+=+E E ww E ww w w λλ-λ-λ-λ-λ
所以，1λ=是矩阵H 的n -1重特征值；1λ=是矩阵H 的单特征值.
又因为H H (2)2()=-=-=-Hw E ww w w w w w w ，故w 是属于特征值-1的单位特征向量.
注意 在以上证明中使用了行列式的性质：若A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，且m n >，则 det()det()m n m n -±=±E AB E BA λλλ.
【证明2】将单位向量w 扩充成酉空间n
的一组标准正交基，2,,,n εεw ，
则
22,,
n n εεεε=-==Hw w H H 。
从而 2211(,,,)(,,
,)1n n εεεε-??
? ?= ? ???
H w w ， 即H 酉相似于对角矩阵daig (1,1,
,1)-，
所以，H 仅有两个不同特征值-1和1，其中1是n -1重的，-1是单重的.而且w 是属于特征值-1的单位特征向量.
(4)设,n
∈x y ，且≠x y ，22=x y ，(,)x y 是实数.则必定存在Householder
矩阵H ，使
=Hx y
【证明】 由(,)x y 是实数知，H H H H H (,),()=∈==∈x y y x y x y x x y ，取
2
-=
-x y
w x y ，令H 2=-H E ww ，则 H
H H
22H H H H H H 22
22H 22
(2)222() =()()()()
=()
()??--=-=-=- ? ?--??
---+--=--------=--=-x y x y Hx E ww x x ww x x x x y x y x x y x x x y x x y y y
x x y x x y x y x y x y x y x x y x x y y
x y
故命题成立. (5) 设,n
∈
x y ，且≠y 0，则存在常数p ∈
及Householder 矩阵H ,使
p =Hx y
【证明】 若H
(,)=x y y x 是实数，取22
p =x y
，或22
p =-
x y
.并选择正负号，
使p ≠x y ，此时
222222
2
2
p =±
=
=x x y y y x y
y
，
且 H H H 22
(,)()p p p ===±
∈x x y y x y x y x
y
由性质(4)有Householder 矩阵H ，使p =Hx y .
若H
(,)=x y y x 是虚数，则H (,)0=>x y y x ，取H 2H
2
p =x
y x y
y x ，或
H 2H
2
p =-x y x y
y x
故 H H
H
H H 22H
2
2
(,)()p p p ===±=±∈x
x y x x y y x y x y x y x
y
y
y x ，并选择正负
号，使p ≠x y ，由性质(4)有Householder 矩阵H ，使p =Hx y .
例3 设()T
T 1,2,2,(1,0,0)==x e .求Householder 矩阵H ，及实数p ，使
p =Hx e 。
解 因23=x ，所以p 可取作3±。当3p =时，3(2,2,2)-=-x e
，
23-=x e T
22
332
()33--=---x e x e H E x e x e ，则
1001122101011,1,1)21230011221-??????
? ?
=--=- ? ? ? ?-????
H 。 故
111122111211,1,1)2212230321222120-????????????
? ? ??? ?
=--=-= ? ? ??? ? ? ? ??? ?
-??????????
Hx 。 当3p =-时，3(4,2,2)+=x e
，23+=x e 令 T
22
332
()33++=-++x e x e H E x e x e ，
则
10021221010122130011212---??????
? ?
=-=-- ? ? ? ?--????H 。 故
121122111212221230321221220---????????????
? ? ??? ?
=-=--=- ? ? ??? ? ? ? ??? ?
--??????????
Hx 。
习题
1. 照明定理3。
2. 证明：每个n 阶正交矩阵都可以表示成一系列Householder 矩阵的乘积。
定理3的证明;
设A 为正规矩阵，α是A 的属于特征值λ的特征向量，即αα=A λ。则
2H H H H H H H 2
()()()()αα
αααααααα-=--=--A A A A A λλλλλ
H H H H H H αααααααα=--+AA A A λλλλ H H H H H ()αααααααα=--+A A A λλλλλ
H H H 0αααα=-=A λλλ
所以H αα-=A λ0，即H αα=A λ。因而，α也是H A 的属于特征值λ的特征向量。 若12,αα分别是A 的不同属于特征值12,λλ的特征向量，从而，12,αα也分别是H A 的属于特征值不同12,λλ的特征向量。即若111αα=A λ，222αα=A λ，则
H 111αα=A λ，H 222αα=A λ，从而
H H H H H H 121211212121()()()αααααααααα====A A A λλH H
221221()αααα==λλ 由于12≠λλ，所以H
2
1αα=0，即12,αα正交。
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
矩阵知识点归纳 (一)二阶矩阵与变换 1．线性变换与二阶矩阵 在平面直角坐标系xOy 中，由? ?? ?? x ′＝ax ＋by ， y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换 称为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表?? ?? ?? a b c d 称为二阶矩阵，其中a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)． 2．矩阵的乘法 行矩阵[a 11a 12]与列矩阵??????b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]??????b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵???? ? ? a b c d 与列矩阵??????x y 的乘法规则为??????a b c d ??????x y ＝???? ?? ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律， 不满足交换律和消去律． 3．几种常见的线性变换 (1)恒等变换矩阵M ＝???? ?? 1 00 1； (2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝?? ?? ?? cos θ －sin θsin θ cos θ； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝??????1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝???? ?? －1 0 0 1；若关于坐标原点对称，则变 换对应矩阵M 3＝???? ?? －1 0 0 －1； (4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝???? ?? k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的k 1倍，纵 坐标变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数； (5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝?????? 1 00 0； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝???? ?? 1 k 0 1， 若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝???? ?? 1 0k 1.(其中k 为非零常数)． 4．线性变换的基本性质 设向量α＝??????x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝??????λx λy ；设向量α＝??????x 1y 1，β＝???? ?? x 2y 2，规定 向量α与β的和α＋β＝???? ?? x 1＋x 2y 1＋y 2. (1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝λM α，②M (α＋β)＝M α＋M β. (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
矩阵图基本知识 (一)矩阵图的概念 所谓矩阵图是一种利用多维思考去逐步明确问题的方法。其工具是矩阵图。就是从问题的各种关系中找出成对要素L1，L2，…，L i，…，L n和R1，R2，…，R j，…，R n，用数学上矩阵的形式排成行和列，在其交点上标示出L和R各因素之间的相互关系，从中确定关键点的方法。 在分析质量问题的原因、整理顾客需求、分解质量目标时，将问题、顾客需求、质量目标(设为L)放在矩阵图的左边，将问题的原因、顾客需求转化来的质量目标或针对质量目标提出的质量措施(设为R)列在矩阵图的上方，用不同的符号表示它们之间关系的强弱，通常用◎表示关系密切，○表示有关系，△表示可能有关系，如图6.4-16所示。通过在交点处给出行与列对应要素的关系及关系程度，可以从二元关系中探讨问题所在和问题的形态，并得到解决问题的设想。 在寻求问题的解决手段时，若目的(或结果)能够展开为一元性手段(或原因)，则可用树图法。然而，若有两种以上的目的(或结果)，则其展开用矩阵图法较为合适。 (二)矩阵图的种类 在矩阵图法中，按矩阵图的型式可将矩阵图分为L型、T型、X型和Y 型四种。如图6.4-17所示。 (1)L型矩阵图是一种最基本的矩阵图，如图6.4-17(a)所示，它是由A类因素和B类因素二元配置组成的矩阵图。这种矩阵图适用于把若干个目的和为了实现这些目的的手段，或若干个结果及其原因之间的关联。 (2)T型矩阵图是由C类因素和B类因素组成的L型矩阵图和由C类因素和A类因素组成的L型矩阵图组合在一起的矩阵图，如图6.4-17(b)所示。即表示C类因素分别与B类因素和A类因素相对应的矩阵图。 (3)Y型矩阵图是由A类因素和B类因素、B类因素和C类因素、C类因
线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
一． 矩阵等价 行等价：矩阵A 经若干次初等行变换变为矩阵B 列等价：矩阵A 经若干次初等列变换变为矩阵B 矩阵等价:矩阵A 经若干次初等行变换可以变为矩阵B ，矩阵B 经若干次初等行变换可以变成矩阵A ，则成矩阵A 和B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵P 和Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二． 向量的线性表示 Case1：向量b r 能由向量组A 线 性表示: 充要条件: 1.线性方程组A x r =b 有解 (A)=R(A,b) Case2：向量组B 能由向量组A 线性表示 充要条件： R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组A 能由向量组B 线性表示 充要条件： R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组A 和B 能相互表示，即向量组A 和向量组B 等价 充要条件: R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n 维单位坐标向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示 充要条件是: R(A)=R(A,E)
n=R(E)<=R(A),又R(A)>=n ，所以R(A)=n=R(A,E) 三． 线性方程组的解 1. 非齐次线性方程组 （1） R(A)=R(A,B),方程有解. （2） R(A)=R(A,B)=n ，解唯一. （3） R(A)=R(A,B) 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩 线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式； 3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立. 数学线性代数之矩阵学习总结 同学们在学习线代的时候觉得有难度。我认为有两个方面的原因： 1.大家在学习了高数后，难免在学习线代时后劲不足； 2.线代知识体系错综复杂，联系比较多，大家往往搞不清联系。 下面，跨考教育数学教研室的向喆老师跟大家说说一些难理解和常考的概念。今天所说的是线性代数中的矩阵学习问题，大家分三个步骤来学习。 首先，构建矩阵知识框架。矩阵这一章在线性代数中处于核心地位。它是前后联系的纽带。具体来说，矩阵包括定义，性质，常见矩阵运算，常见矩阵类型，矩阵秩，分块矩阵等问题。可以说，内容多，联系多，各个知识点的理解就至关重要了。 然后，把握知识原理。在有前面的知识做铺垫后，大家就要开始学习矩阵了。首先是矩阵定义，它是一个数表。这个与行列式有明显的区别。然后看运算，常见的运算是求逆，转置，伴随，幂等运算。要注意它们的综合性。还有一个重点就是常见矩阵类型。大家特别要注意实对称矩阵，正交矩阵，正定矩阵以及秩为1的矩阵。最后就是矩阵秩。这是一个核心和重点。可以毫不夸张的说，矩阵的秩是整个线性代数的核心。那么同学们就要清楚，秩的定义，有关秩的很多结 论。针对结论，我给的建议是大家最好能知道他们是怎么来的。最好是自己动手算一遍。我还补充说一点就是分块矩阵。要注意矩阵分块的原则，分块矩阵的初等变换与简单矩阵初等变换的区别和联系。 最后，多做习题练习。在前面有了知识体系和掌握了知识原理后，剩下的就是多做题对知识进行理解了。有句古话：光说不练假把式。所以对知识的熟练掌握还是要通过做题来实现。同时，我也反对题海战术，做题不是盲目的做题，不是只做不练。做题应该是有选择的做题，做一个题就应该了解一个方法，掌握一个原理。所以，大家可以参考历年真题来进行练习。每做一个题，大家就该考虑下它是怎么考察我们所学的知识点的。如果做错了，大家还要多进行反思。找到做错的原因，并且逐步改正。这样才能长久的提高。 总之，希望大家在学习线性代数的矩阵的时候把握这三个原则，在此基础上，勤思考，多练习，那么大家一定可以学习好，祝大家考研成功! 线性代数必考知识点 1、行列式 1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、和的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为； 3. 代数余子式和余子式的关系： 4. 设行列式： 将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则； 将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则； 将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则； 将主副角线翻转后，所得行列式为，则； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积； ③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积； ④、和：副对角元素的乘积； ⑤、拉普拉斯展开式：、 ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式； 7. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. 是阶可逆矩阵： （是非奇异矩阵）； （是满秩矩阵） 的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组有非零解； ，总有唯一解； 与等价； 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0； 是正定矩阵； 的行（列）向量组是的一组基； 是中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于阶矩阵：无条件恒成立； 3. 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆： 若，则： Ⅰ、； Ⅱ、； ②、；（主对角分块） ③、；（副对角分块） ④、；（拉普拉斯） ⑤、；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：； 等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵、，若； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、若，则可逆，且； ②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：； ③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； ③、对调两行或两列，符号，且，例如：； 信息工程学院主讲人谢宏 《线性代数》 行列式 向量的基本概念和运算 维数、向量加法、数乘、内积 矩阵的基本概念和运算 维数、矩阵加法、数乘、矩阵乘法 方阵、逆矩阵、正交矩阵、对称阵、相似矩阵 特征值与特征向量 线性方程组的解：解空间 《线性代数》 向量空间与线性变换 线性无关、基底、欧式空间、线性变换 二次型 多元二次函数、标准形、二次型的对角化 矩阵(Matrix ) 矩阵是数域F 上的m ×n 个数构成的数表： 称为F 上m 行、n 列的矩阵，记为A 称为A 的第i 行、第j 列元素，记为(A )ij mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211F a ij ∈i = 1, …, m , j = 1, …, n ij ij a A =)( continue ） 数域F 上的一切m 行、n 列的矩阵的集合，记为： 若 ，，则称矩阵A 与B 同型 数域（Field ） 若数集F 含有数1且对四则运算封闭，则称F 为数域 映射（Mapping ） 若 ，，若存在一个对应关系（或对应法则）: ，有Y 中的唯一的一个元素y 与之对应，就称给出了一个从X 到Y 的一个 映射f ，记作：f :X →Y ，或y =f (x ) 映射是函数概念的推广，它与函数、算子、变换表示的是同一个概 念 特别地，当Y 为数集(实数集R 或复数集C )时，称f 为定义在集合X 上 的泛函（functional ） n m F ?n m F A ?∈n m F B ?∈φ≠X φ≠Y X x ∈? continue ） 直积集 设A ，B 是给定的集合，称 为A 与B 的直积集，简称积集、直积 举例： ，，那么表示XOY 平面上矩形中点的集合 表示XOY 平面上所有点的集合 A × B 中的元素被称为有序对，即当时， 直积集的概念可被推广到两个以上给定的集合： {} B y A x y x ∈∈,:),(B A ?R b a A ∈=],[R d c B ∈=],[],[],[d c b a B A ?=?2 R R R =?2 1212211,),(),(y y x x y x y x ==?=y x ≠) ,(),(x y y x ≠{} n n n n A x A x A x x x x A A A ∈∈∈=???,,,:),,(22112121 ∏=n i i A 1 记为： 线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1. 矩阵的定义 由m n ?个数排成的m 行n 列的表1112121 22212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L M M M L 称为m n ?矩阵. 线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 1.1酉空间 1.1.1酉空间的定义 定义1 设V 是复数域 上线性空间，在V 上定义二元函数，称为内积， 记作(,)αβ，它具有以下性质： 1．(,)(,)αββα=，这里(,)βα是复数(,)αβ的共轭复数； 2．(,)(,)k k αβαβ=； 3．(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+； 4．(,)0αα≥，且(,)0αα=当且仅当α=0。 这里,,αβγ是V 中任意的向量,k 为任意复数，这样的线性空间称为酉空间. 例1 设T T 1212(,, ,),(,, ,)n n a a a b b b αβ==是 n 中的任意向量，定义内积为 H 1122(,)n n a b a b a b αββα=++ +=。 则 n 是一个酉空间，其中H β表示向量β的共轭转置向量。 1.1.2酉空间的有关概念 （1）2 α =称为向量α的长度或模或范数. （2）若2 1α=，则称α为单位向量；α≠0时，称 2 1 αα 为将向量α单位化. （3）(,)αβ=0时，称向量α与向量β正交. （4）如果n 维酉空间V 的一个基中的向量两两正交，则称该基为V 的一个正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基. （5）设n n ?∈ A ，H A 表示矩阵A 的共轭转置矩阵， 即T H =A A 。 若A 满足H =A A ，则称A 是Hermite 矩阵； 若A 满足H =A A E ，则称A 是酉矩阵. （6）设12,, ,n ααα是V 的一组基，称矩阵 1112121 222122(,)(,)(,)(,)(,) (,)(,)(,) (,)n n n n n αααααααααααααααααα????????? ? ?? 为基12,, ,n ααα的度量矩阵. （7）设V α∈，如果对于任意β∈ W 1，恒有(,)αβ=0，则称α与子空间W 1正交，记为1W α⊥. 如果对于任意α∈W 1和任意β∈W 2，恒有(,)αβ=0，则称子空间W 1与子空间W 2正交，记为12W W ⊥. 如果12W W ⊥，且12W +W =V ，则称W 2是W 1的正交补，记作1W ⊥.显然， 11V W W ⊥=⊕。 （8）如果对任意,αβ∈V 都有(,)(,)σασβαβ=，则称线性变换σ为V 的酉变换. 如果对任意,αβ∈V 都有(,)(,)σαβασβ=，则称线性变换σ为V 的Hermite 变换. （9）设n n ?∈ A 是Hermite 矩阵，n α∈ ,称H x Ax 为Hermite 二次型. 1.1.3欧氏空间与酉空间的比较 欧氏空间与酉空间相比，基础数域由实数域变成了复数域，内积的对称性变成了共轭对称性.因此，欧氏空间的结构与酉空间的结构是不相同的.但酉空间的内积近似于欧氏空间的内积.这样，酉空间有与欧氏空间平行的一套理论.学习过程中应注意相近但又不完全相同的地方（见下表） matlab矩阵基本知识 第一部分：矩阵基本知识（只作基本介绍，详细说明请参考Matlab帮助文档） 矩阵是进行数据处理和运算的基本元素。在MATLAB中 a、通常意义上的数量（标量）可看成是”1*1″的矩阵； b、n维矢量可看成是”n*1″的矩阵； c、多项式可由它的系数矩阵完全确定。 一、矩阵的创建 在MATLAB中创建矩阵有以下规则： a、矩阵元素必须在”[ ]”内； b、矩阵的同行元素之间用空格（或”,”）隔开； c、矩阵的行与行之间用”;”（或回车符）隔开； d、矩阵的元素可以是数值、变量、表达式或函数； e、矩阵的尺寸不必预先定义。 下面介绍四种矩阵的创建方法： 1、直接输入法 最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素，输入的方法按照上面的规则。建立向量的时候可以利用冒号表达式，冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：e1:e2:e3，其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。还可以用linspace函数产生行向量，其调用格式为：linspace(a,b,n) ，其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。可以看出来linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。 2、利用MATLAB函数创建矩阵 基本矩阵函数如下： (1) ones()函数：产生全为1的矩阵，ones(n)：产生n*n维的全1矩阵，ones(m,n)：产生m*n维的全1矩阵； (2) zeros()函数：产生全为0的矩阵； (3) rand()函数：产生在（0，1）区间均匀分布的随机阵； (4) eye()函数：产生单位阵； (5) randn()函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。 3、利用文件建立矩阵 当矩阵尺寸较大或为经常使用的数据矩阵，则可以将此矩阵保存为文件，在需要时直接将文件利用load命令调入工作环境中使用即可。同时可以利用命令reshape对调入的矩阵进行重排。reshape(A,m,n)，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m*n的二维矩阵。 二、矩阵的拆分 1．矩阵元素 可以通过下标（行列索引）引用矩阵的元素，如Matrix(m,n)。也可以采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。在MATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。序号(Index)与下标(Subscript )是一一对应的，以m*n矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。其相互转换关系也可利用sub2ind和ind2sub函数求得。 2．矩阵拆分 利用冒号表达式获得子矩阵： (1) A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示 《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序） 附录I 矩阵代数基本知识 矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要，对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划中没有涉及到的。 一、 向量矩阵的定义 将n p ?个实数111212122212,,,,,,,,,,,,p p n n np a a a a a a a a a 排成如下形式的矩形数表，记为A 111212122212p p n n np a a a a a a a a a ?? ??? ?=???????? A 则称A 为n p ?阶矩阵，一般记为()ij n p a ?=A ，称ij a 为矩阵A 的元素。当 n p =时，称A 为n 阶方阵；若1p =，A 只有一列，称其为n 维列向量， 记为 1121 1n a a a ???????????? 若1n =，A 只有一行，称其为 p 维行向量，记为 () 11121,,,p a a a 当A 为n 阶方阵，称1122,,,nn a a a 为A 的对角线元素，其它元素称为非对角元素。若方阵A 的非对角元素全为0，称A 为对角阵，记为 11221122(,,,)nn nn a a diag a a a a ??????==???????? A 进一步，若11221nn a a a ==== ，称A 为n 阶单位阵，记为n I 或 =A I 。 如果将n p ?阶矩阵A 的行与列彼此交换，得到的新矩阵是p n ?的矩阵，记为 112111222212n n p p np a a a a a a a a a ????? ?'=???????? A 称其为矩阵A 的转置矩阵。 若A 是方阵，且'= A A ，则称A 为对称阵； 若方阵()ij n n A a ?=，当 对一切i j <元素0ij a =，则称 112122 12 n n nn a a a a a a ???? ??=??????A 为下三角阵；若'A 为下三角阵，则称A 为上三角阵。 附录2 统计学、矩阵代数知识简介 求和算子定义：对于T个观测值，x1, x2, …, x T，求和可以简化地表示为 其中称作求和算子。求和算子的运算规则如下： (1) 变量观测值倍数的和等于变量观测值和的倍数。 (2) 两个变量观测值和的总和等于它们分别求总和后再求和。 (3) T个常数求和等于该常数的T倍。 其中k是常数。利用求和算子定义，样本平均数可表示为 (4) 变量观测值对于其平均数的离差和等于零。 利用规则(2)，(3)和样本平均数定义即可推导出上述结果。 (5) 随机变量的方差等于其平方的均值减去其均值的平方 证明： (6) 两个随机变量的协方差等于它们乘积的均值减去它们均值的乘积。 与规则(5)的证明类似，即可证明上述结果。定义双重求和为 (7) 两个变量和的双重求和等于它们各自双重求和的和。 (8) 两个不同单下标变量积的双重求和等于它们各自求和的乘积。 2.2.1 随机变量的数学期望 随机变量定义：按一定的概率取不同实数值的变量称为随机变量，用x, y等表示。 若随机变量x可能取的值为有限个或可列个，则称x为离散型随机变量。离散型随机变量的一切可能取值及其取值的相应概率称作离散型随机变量的概率分布。 若随机变量x可能取的值是整个数轴，或数轴上的某个区间，则称x为连续型随机变量。连续型随机变量的概率分布是通过随机变量在一切可能区域内取值的概率定义的。最常用和最简便的形式是通过概率密度函数表示。 对于随机变量x，若存在非负可积函数f (x)，（- ∞ < x < ∞），使对任意实数a, b, (a < b)有 则称x为连续型随机变量。f(x)为x的概率密度函数（简称概率密度或密度）。由上式知f(x)在[a, b]区间上的积分等于随机变量x在[a, b]区间取值的概率。 对于离散型随机变量x，若有概率分布 P{x = x i} = p, (i= 1, 2, …, )，则称 为x的数学期望，简称为期望或均值。记作E(x)。 对于连续型随机变量x，若密度函数为f (x)，则称 为x的数学期望。记作E(x)。 期望属于位置特征。用来描述随机变量取值的集中位置。体现了随机变量取值的平均大小。期望就是随机变量取一切可能值的加权平均。其中的权数就是概率值。 数学期望的性质如下： (1) 常量的期望就是这个常量本身。 E(k) = k (2) 常量与随机变量和的期望等于这个随机变量的期望与这个常量的和。 E(x + k) = E(x) + k (3) 常量与随机变量乘积的期望等于这个常量与随机变量期望的乘积。 E(k x) = k E(x) (4) 随机变量的线性函数的期望等于这个随机变量期望的同一线性函数。 E(k x + k) = k E(x) + k (5) 两个随机变量和（或差）的期望等于这两个随机变量期望的和（或差）。 E(x± y) = E(x) ± E(y) (6) 两个相互独立随机变量乘积的期望等于这两个随机变量期望的乘积。 E(x y) = E(x) E(y) 2.2.2 随机变量的方差、标准差知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组
线性代数知识点归纳,超详细
数学线性代数之矩阵学习总结
数三线性代数必考知识点
矩阵基本知识
线性代数知识点归纳
线性代数知识点全归纳
矩阵的有关知识
matlab矩阵基本知识
线性代数知识点总结
矩阵代数基本知识
附录1统计学、矩阵代数知识简介
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