高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0
函 数 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数 x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是
压轴提升卷(一) 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程； (2)设直线y ＝2x ＋m (m ∈R 且m ≠0)与曲线E 相交于P ，Q 两点，点M ???? 12，1，求△MPQ 面积的取值范围． 解：(1)设C (x ，y )． 由题意，可得y x －1·y x ＋1＝－2(x ≠±1)， ∴曲线E 的方程为x 2 ＋y 2 2 ＝1(x ≠±1)． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 联立，得???? ?y ＝2x ＋m ，x 2＋y 22＝1，消去y ， 可得6x 2＋4mx ＋m 2－2＝0， ∴Δ＝48－8m 2＞0，∴m 2＜6. ∵x ≠±1，∴m ≠±2. 又m ≠0， ∴0＜m 2＜6且m 2≠4. ∵x 1＋x 2＝－2m 3，x 1x 2＝m 2－26 ， ∴|PQ |＝5|x 1－x 2|＝5·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝5·????－2m 32－4×m 2－26＝103·6－m 2. 又点M ????12，1到直线y ＝2x ＋m 的距离d ＝|m | 5 ， ∴△MPQ 的面积S △MPQ ＝12·103·6－m 2·|m |5＝26 ·|m |·6－m 2＝2 6 m 2（6－m 2）， ∴S 2 △MPQ ＝118m 2(6－m 2 )≤ 118????m 2＋6－m 2 22＝12. ∵0＜m 2＜6且m 2≠4，∴S 2△MPQ ∈??? ?0，12， ∴△MPQ 面积的取值范围为? ?? ? 0， 22.
欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数
函数专题练习 1.函数1()x y e x R +=∈的反函数是( ) A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =-> C ．1ln (0)y x x =--> D ．1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11 [,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠ ， 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数，当01x <<时，()l g f x x = 设 63(),(),52a f b f ==5 (),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1 (,)3 -+∞ B . 1 (,1)3 - C . 11 (,)33 - D . 1 (,)3 -∞- 6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ 7、函数()y f x =的反函数1 ()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示)，则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => )
2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。
2020高三数学培优专练1：函数的图像与性质 例1：对于函数()f x ，若a ?，b ，c ∈R ，都有()f a ，()f b ，()f c 为某一三角形的三条边，则称 ()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1 x x e t f x e +=+（e 为自然对数的底数）是“可构造三角形函数”， 则实数t 的取值范围是（ ） A ．[0,)+∞ B ．[0,2] C ．[1,2] D ．1,22 ?????? 【答案】D 【解析】由题意可得：()()()f a f b f c +>，对a ?，b ，c ∈R 恒成立， 1 ()111 x x x e t t f x e e +-==+++，当10t -=时，()1f x =，()()()1f a f b f c ===，满足条件， 当10t ->时，()f x 在R 上单调递减，∴1()11f a t t <<+-=， 同理：1()f b t <<，1()f c t <<， ∵()()()f a f b f c +>，所以2t ≥，∴12t <≤． 当10t -<时，()f x 在R 上单调递增，∴()1t f a <<， 同理：()1t f b <<，()1t f c <<，∴21t ≥，12t ≥ ．∴1 12 t ≤<． 综上可得：实数t 的取值范围是1,22?????? ． 培优一 函数的图象与性质 一、函数的单调性 二、函数的奇偶性和对称性
例2：设函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，若对[1,2]x ∈， 不等式()(2)0af x g x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[ )1,-+∞ B ．) 22,?-+∞? C ．17,6?? - +∞???? D ．257,60?? - +∞???? 【答案】C 【解析】∵()f x 为定义在R 上的奇函数，()g x 为定义在R 上的偶函数， ∴()()f x f x -=-，()()g x g x -=， 又∵由()()2x f x g x +=，结合()()()()2x f x g x f x g x --+-=-+=， ∴1()(22)2x x f x -= -，1 ()(22)2 x x g x -=+， 又由()(2)0af x g x +≥，可得 221 (22)(22)022 x x x x a ---++≥， ∵12x ≤≤，∴ 315 2224 x x -≤-≤， 令22x x t -=-，则0t >，将不等式整理即得：2a t t ? ?≥-+ ?? ? ． ∵31524t ≤≤，∴172257660t t ≤+≤，∴176 a ≥-．故选C ． 例3：定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[0,2)x ∈时，2()48f x x x =-+．若在 区间[,]a b 上，存在(3)m m ≥个不同的整数i x （1i =，2，L ，m ），满足1 11 ()()72m i i i f x f x -+=-≥∑ ， 则b a -的最小值为（ ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18 【答案】D 三、函数的周期性
2011—2012学年济源一中高三复习适应性检测 数学（文）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置上贴好条形码。 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。在试题卷上答题无效。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1． 若集合}1|{},02|{2 >=<-=x x B x x x A ，则B A I 为 A ．}21|{<
6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3115,22,a S ==则数列{}n a 的公差d 为 A ．—1 B ．— 13 C ． 13 D ．1 7．若函数+b y ax y x ==∞与在（0，） 上都是减函数，则2 (,0)y ax bx =+-∞在上是 A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增 8．已知函数113(01) ()(12) x x f x x x --?≤≤?=?<≤??，对于[0,2]a ?∈，下列不等式成立的是 A.1()03f a -≥ B.()()0f x f a -≥ C.1()02 f a -≥ D.()()0f a f x -≥ 9．已知抛物线C ：2 y =4x ，过点（1，0）3C 于M 、N ，则|MN|= A ． 14 3 B ．5 C ． 16 3 D ．6 10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个 几何体的外接球的表面积为( ) A. 83 π B.43π C. 163 π D.3π 11．已知函数()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，下列四个命题： ①将()f x 的图像向右平移 2 π 个单位可得到()g x 的图像； ②()()y f x g x =是偶函数； ③ y ＝ () () f x g x 是以π为周期的周期函数； ④对于1x ?∈R ，2x ?∈R ，使f （x 1）＞g （x 2）． 其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12．已知0,0x y >>，若2282y x m m x y +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．4m ≥或2m -≤ B ．2m ≥或4m -≤ C ．24m -<< D ．42m -<<
高考文科数学专题复习导数训练题（文) 一、考点回顾 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。 2.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。 ３.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大(小）值，而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小）值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析： ()2'2+=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案：3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 例２. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22y x = +,则 (1)(1)f f '+= 。 解析：因为 21= k ，所以()211'= f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25 ,所 以 ()25 1= f ,所以()()31'1=+f f 答案：3
例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析： 443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-， 带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为:025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3+-=，直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00 ≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析: 直线过原点，则 ()000 ≠= x x y k 。由点 () 00,y x 在曲线C 上,则 02 30023x x x y +-=，∴?2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ,∴ 在 ()00,y x 处 曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ,∴?2632302 002 0+-=+-x x x x ，整理 得:0 3200=-x x ,解得： 230= x 或00=x (舍），此时,830-=y ,41 - =k 。所以，直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23。 答案：直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23 点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。 解析:函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0' 2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。 函 数 【1.２.1】函数的概念 （1)函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应(包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ，(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数 x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <. （３)求函数的定义域时,一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时,定义域是全体实数. ②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零(负)指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （４）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小(大)值．因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度 2018全国卷I高考压轴卷 文科数学 本试卷共23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分?在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合M = xy =lg ⑺，N J xx ：：1 ［则M - C R N- (A) (0,2) (B) 0,2〕(C) 1,2 (D) 0, 2. 若a ? R，则“ a =1 ”是“ a a—1 =0”的 A.充分而不必要条件 B ?必要而不充分条件 C.充要条件 D .既不充分又不必要条件 3.若复数z满足(1 - i ) z=2+3i (i为虚数单位)，则复数z对应点在( ) A.第一象限 B.第二象限C .第三象限D .第四象限 4.已知数列｛a n｝的前n项和S n =n2 2n，则数列｛｝的前6项和为() a n a n 1 2 r4510 A.B C.D 15151111 5.在区间［- 1,1］ 上任选两个数x和y , 2 2 则x y_1的概率为( ) “兀 1 二JI 1 JT A. 1 B C. 1 ——D 4 2 88 2 4 6. 过直线y =2x ? 3上的点作圆x2y^4x 6y 1^0的切线，则切线长的最小值为() A. 19 B . 2 5 C. .. 21 D . —55 5 1 7. 已知x1, x2( x1：: x2)是函数f(x) lnx的两个零点， x —1 若a洛,1 , b1,X2，则 A. f (a) < 0 , f(b) <0 B . f(a) ：：0 , f(b) 0 C. f (a) 0, f(b) 0 D . f(a) 0, f(b) ：：：0 1、已知函数2()x f x x e -=。 （Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围。 2、设函数f(x)=x^3-kx^2+x (1).当k=1时，求f(x)得单调区间（2）当K ＜0时，求函数f(x)在［k,-k ］上的最小值m 和最大值n 3、设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2 x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>??=??? (Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; (Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())( 1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313 x x x ++>. 4、已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |＞1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值． 5、已知函数f(x)＝ 22,0, ln,0, x x a x x x ?++< ? > ? 其中a是实数，设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该 函数图象上的两点，且x1＜x2. (1)指出函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2－x1≥1； (3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围． 6、已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R)． (1)设a≥0，求f(x)的单调区间； (2)设a＞0，且对任意x＞0，f(x)≥f(1)．试比较ln a与－2b的大小． 函数的图像 一、基础知识 1、做草图需要注意的信息点： 做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点 （1）一次函数：y kx b =+,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线 特点：两点确定一条直线 信息点：与坐标轴的交点 （2）二次函数：()2 y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图像，另一侧由对称性可得。函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图像更为精确 特点：对称性 信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点 （3）反比例函数：1 y x = ,其定义域为()(),00,-∞+∞U ，是奇函数，只需做出正版轴图像即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线 特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线 信息点：渐近线 注： （1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，x 轴是渐近线，那么当x →+∞，曲线无限向x 轴接近，但不相交，则函数在x 正半轴就不会有x 轴下方的部分。 （2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若x →+∞（或-∞）时，()f x →常 2018全国Ⅲ卷高考压轴卷 文科数学 本试卷共23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合M ＝{}4x x ≤，N ＝{} 2log x y x =，则M N ?=（ ） A ．[)4,+∞ B ．(],4-∞ C ．()0,4 D ．(]0,4 2. “1a =”是“关于x 的方程2 30x x a -+=有实数根”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3. z 为复数z 的共轭复数，i 为虚数单位，且1i z i ?=-，则复数z 的虚部为( ) A ．i - B ．-1 C ．i D ．1 4. 下列说法中正确的是 A. 先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为Λ150,100,50+++m m m 的学生，这样的抽样方法是分层抽样法 B. 线性回归直线a x b y ???+=不一定过样本中心点),(y x C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1 D.若一组数据1、a 、3的平均数是2，则该组数据的方差是3 2 5. 已知命题p :),0(0+∞∈?x ,使得0 01 69x x - =，命题q : +∈?N x ,0)1(2>-x 都有，则下列命题为真命题的是（ ） A.q p ∧ B.q p ∨? )( C.()q p ? ? ∧ )( D.())( q p ? ? ∨ 6. 若3 cos()45 πα-=，则s 2in α=（ ） A ．725 B ．37 C.35- D ．35 7. 执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则p 的取值范围是（ ） A ． 3748 p <≤ B ．516p > C ．75816p ≤< D ．75816p <≤ 2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2019年高考重庆卷（文））函数21 log (2) y x = -的定义域为 （ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(2,3) (3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 ．（2019年高考重庆卷（文））已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = （ ） A ．5- B ．1- C ．3 D ．4 【答案】C 3 ．（2019年高考大纲卷（文））函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数 （ ） A ． ()1021x x >- B ．()1 021 x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A 4 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 5 ．（2019年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a << 【答案】A 6 ．（2019年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 （ ） A ．(-∞,1) B ．(1, + ∞) C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞ 【答案】B 7 ．（2019年上海高考数学试题（文科））函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是 高三数学试卷中函数专题复习策略 一、《考试说明》对函数部分的要求 1.函数.理解函数的概念、定义域、值域、奇偶性，了解函数的单调性、周期性、最大值、最小值； 2.基本初等函数.了解幂函数的概念及图象，理解指数函数、对数函数的概念及图象和性质，理解指数及对数的运算. 3.函数与方程.了解函数的零点与方程根的联系，能够用二分法求相应方程的近似解. 4.函数模型及应用.理解常见的函数模型在实际问题中的应用. 5.理解导数的几何意义,会根据公式、四则运算法则、复合函数求导法则求函数的导数，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值. 二、函数部分命题特点 函数是高中数学的核心内容，是学习高等数学的基础，作为高中数学中最重要的知识模块，贯穿着中学数学的始终.综观近几年的高考情况，函数命题呈现如下特点： 1.知识点覆盖面全.近几年高考题中，函数的所有知识点基本都考过，特别是函数的图象性质、导数的几何意义与应用以及函数与不等式的综合基本上年年必考. 2.题型难度涉及面广.在每年高考题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且填空、解答题型都有. 3.综合性强.为了突出函数在中学数学中的主体地位，近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透，例如，解析几何中经常涉及函数的值域的求法，三角、数列本质上也是函数问题. 三、函数复习中关注方面 （一）关注函数的定义域 定义域的求法实际上就是解不等式，考生必须能够做到以下两点：一是熟知定义域常见要求，如分式的分母不为零；偶次根号下非负；对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；零次幂的底数不为零；三角函数中的正切、余切的定义域等等；二是熟练掌握常见不等式的解法，如二次不等式、分式不等式、根式不等式、三角不等式以及简单的指对数不等式. 例1.（2012年江苏卷）函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ． 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 函数与导数(11) 1．[2018·北京卷]设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． 解析：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . 所以f ′(1)＝(1－a )e. 由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1. (2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x . 若a >12，则当x ∈? ?? ??1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值． 若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0， 所以f ′(x )>0. 所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是? ?? ??12，＋∞. 2．[2019·安徽省安庆市高三模拟]已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性； (2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x ＋2e x ≤0. 解析：解法一 (1)f ′(x )＝e x －a (x >0)， ①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．2014高中数学抽象函数专题
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