组合数学论文
现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好像是有思维的。组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。
广义的组合数学就是离散数学，离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。
狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。
组合数学中有几个著名的问题：
地图着色问题：对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是否总共只需四种颜色？这是图论的问题。
船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河？
这是线性规划的问题。
中国邮差问题：由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然后再用欧拉路径算法求解。这也是图论的问题。
货郎问题：一个货郎要去若干城镇卖货，然后会到出发地，给定各个城镇之间的旅行时间，应怎么样计划他的路线，使他可以去每个城镇而且所用的时间最短。这个问题至今都没有有效的算法。
这几个问题将组合数学研究的问题具体表现出来，同时也可以看出他在我们生活中有着很重要的地位。
组合数学中主要可以分成以下几个部分：排列组合与容斥原理、二项式定理、递推关系与生成函数、polya定理。下面我将以这四个部分分别介绍组合数学的各方面问题。
1、排列组合与容斥原理：
排列组合里面的4个重要的基本原理：加法原理、乘法原理、减法原理、除法原理
前面两个最为基本，后面两个是根据前两个派生出来的。乘法原理有的时候的应用很巧妙，可以作为一种打开思路的办法。
基本的排列组合之后，接下来引出了多重集。多重集的排列组合是一个很经典的问题，总结如下：
多重集的排列：
全排列的话只需应用除法原理就可以了。n个元素的多重集的r排列需要利用指数生成函数来做。
多重集的组合：
n个元素的多重集的r组合，如果r小于等于任何一个元素可选的个数，那么就归结为经典的不定方程的解数问题，可以利用“隔板法”来做。结果就是一个组合数。如果r大于某些元素的可选个数，那么一种方法是利用容斥原理，一种方法还是要依靠生成函数（编程序的时候可以用动归做）。
如果是一个环形的排列组合，那么问题就困难许多，要利用置换群和polya定理。
单纯的依靠四项基本原理来计数，有的时候会显得力不从心，这个时候就需要容斥原理的帮助。容斥原理特别适合解决若干限制条件的交、并问题，也是打开思路的一种方法。
利用容斥原理解决的经典问题有：错排问题，带禁止位置的排列。禁位排列总觉得用容斥原理解决的不够优美，不知道有没有可以编程的数学方法。
跟排列组合相关的还有就是生成排列和组合。生成排列利用那个什么字典序法好像足够了，编程好实现。生成组合方法类似。
计算不具有某几个属性物体个数：
公式：
=|S|- ∑R-1 + ∑R-2 - ∑R-3 ... +(-1)^mR-m
---------
一种情况的化简
情况：各R-i组合个数相同(k个i组合计数相同)
=a0 - C(m,1)a1 + C(m,2)a2 - C(m,3)a3 + ... + (-1)^k C(m,k)ak + ... + (-1)^m am
计算至少具有某几个属性之一的物体个数
公式：
=∑R-1 - ∑R-2 + ∑R-3 ... +(-1)^(m+1) R-m
情况：n个不同元素，k种，非无限，没种限制为r1...rk。在n种元素中取r组合。
解决方法：
按无限多重组合运算共C(n+k-1)种
按1组合到k组合计算每种组合的补集的无限多重组合计数(1组合|A1|,|A2|,2组合|A1 & A2|...)
其中|Ai|=C(r-ri-1+k-1,r-ri+i) (备注：r-ri-1为先取ai达到ri+1个后，进行无限多重组合计数的总位数)
公式：
按容斥原理=[C(n+k-1) - 1组合 + 2组合 + 。。。 + (-1)^k k组合计数]
错位排列问题：
记Ai表示数字i恰好排在第i个位置的排列集合，|Ai|=card(Ai)表示集合中元素个数；€Ai表示Ai的余集（补集）现在求的是∩€Ai，即任意i都不会出现在第i个位置的排列集合；根据容斥原理得|∩€Ai|=|€∪Ai|=n!-|∪Ai|而|∪Ai|=∑C(n,k)(-1)^(k+1)(n-k)! （这里k从1到n）从而|∩€Ai|=n!-|∪Ai|=n!+∑(-1)^k*C(n,k)(n-k)!发现k=0恰好(-1)^k*C(n,k)(n-k)!=n!所以结果可以改写为∑(-1)^k*C(n,k)(n-k)! （这里k从0到n）C(n,k)(n-k)! 的意义表示其中指定某k个数字排在它对应的位置，其他的n-k个数字可
以任意排列的个数为(n-k)!个，而指定k个可以有C(n,k)种指定方式。
2、组合数学中的二项式定理
有很多公式，用的时候可以现查。终于知道了三角形数原来跟排列组合有关，而且是一个很简洁的公式。
很多公式的推导用的思想很妙。有一个很好的思想就是把(1 + x) ^ n利用二项式定理展开，然后求导、求积分，居然可以导出很多的公式。
还有一个很重要的定理就是pascal定理，pascal递推式很有用（展开后有两种形式，一种是上下限均不定，一种是下限不定），可以解决很多组合数的求和问题。
另外一个重要的定理就是牛顿二项式定理，在生成函数中应用广泛，可就是推导起来有点繁。抽屉原理：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是组合数学中一个重要的原理。
原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件；[证明]（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能. 原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。[证明]（反证法）：若每个抽屉至多放进m 个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能原理3 把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。. 原理1 2 3都是第一抽屉原理的表述
原理2：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（mn—1）个物体。[证明]（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能
3、递推关系与生成函数：
许多组合数学计数问题依赖于一个整数参数n，这个整数参数n常常表示问题中某个基本集（笛卡尔集）或多重集的大小、组合的大小、排列中的位置数等等。因此一个计数问题常常不是一个孤立的问题，而是一系列单个问题的综合。本章中，我们将讨论涉及一个整数参数的某些计数问题的代数求解方法。这些方法类似于上一章所介绍的棋盘多项式方法一样，通过引入一个函数（称为生成函数，它实质上是一个幂级数，其各项系数对应于相应计数问题的解）结合递推关系来求解相应的计数问题。
求解线性递推关系的特征方程的方法还是有一定价值的，但是编程不适用。n解线性齐次递推方程有矩阵解法。稍微复杂点的递推关系（非线性），特征方程就不够用了，必须祭出生成函数这个有力的武器。感觉生成函数实在是太优美、太强大了。生成函数的关键就是要把多项式拆分成(1-rx)^n这种形式，这样就可以利用牛顿二项式定理展开了。
在特殊计数序列里面提到了盒装球问题。将p个不同的球放入k个相同的盒子（每个盒子非空）的方法数是第二类Stirling数S(p, k)；将p个相同的球放入k个相同的盒子（每个盒子非空）的方法数是分拆数，可以归结为整数划分问题，用动态规划求解；将p个不同的盒子放入不同的k个盒子并且每个非空的方法数为k! * S(p, k)。
有几个很经典的递推关系：斐波那契数列、Catalan数（几种经典的形式：三角剖分数、二叉生成树个数、+1-1序列、加括号序列等等）、Stirling数（两种，第二种比较常用）、汉诺塔、n个圆切割平面数、n条直线k个交点切割平面数等等。此外，格路径中提到的平移、反射和一一对应这三种分析问题的方法也很值得借鉴。
例1.确定平面一般位置上的n 个互相交叠的圆所形成的区域数。（互相交叠是指每两个圆相交在不同的两个点上；一般位置是指没有同心圆）
例2.年初把性别相反的一对新生兔子放进围栏，从第二个月开始每月生出一对性别相反的兔子，每对新兔也从第二个月开始每月生出一对性别相反的兔子，问一年后围栏内共有多少对兔子。定义1：设f 0=0, f 1=1, 那么满足递推关系f n = f n-1+ f n-2, 的序列叫斐波那契（Fibonacci ）序列。结论：Fibonacci 序列的部分和为s n = f 0+ f 1+…+ f n = f n+2-1.沿Pascal 三角形左边向上对角线上的二项式系数和是Fibonacci 数,即f n =???? ??-0
1n +???
?
??-12n +…+???
?
??--1k k n , 其中:k=?21
+n ?. 定义1:令h 0, h 1, h 2,…, h n ,…是一个数列,若存在量a 1, a 2, …,a k 和b n (a k ≠0,每个量是常数或依赖于n 的数)使得:
h n = a 1h n-1+ a 2h n-2+…+ a k h n-k +b n (n ≥k)
则称序列满足k 阶线性递推关系. 若b n =0,称齐次的;若a 1, a 2, …,a k 取常数,称常系数的. 令q 为一个非零数,则h n =q n 是常系数线性齐次递推关系
h n = a 1h n-1+ a 2h n-2+…+ a k h n-k (a k ≠0,n ≥k) (1) 的解,当且仅当q 是多项式方程 x k -a 1x k-1- a 2x k-2-…- a k =0
(2)
的一个根.若多项式方程有k 个不同的根q 1, q 2,…, q k ,则 h n =c 1q 1n + c 2q 2n +…+ c k q k n (3)
是下述意义下(1)的一般解: 无论给定h 0, h 1, …,h k-1什么初始值,都存在c 1, c 2,…, c k 使得(3)式是满足(1)式和初始条件的唯一的序列. 令q 1, q 2,…, q t 为常系数线性齐次递推关系:
h n = a 1h n-1+ a 2h n-2+…+ a k h n-k (n ≥k)
的特征方程的互异的根,此时,如果q i 是s i 的重根,则该递推关系对q i 的部分一般解为:
H n (i) = c 1q i n + c 2nq i n +…+ c s i n s i -1q i n
递推关系的一般解为:
h n = H n (1) + H n (2) +…+ H n (t)
递归和生成函数
令h 0, h 1, h 2,…, h n ,…为满足k 阶常系数线性齐次递推关系: h n = c 1h n-1+ c 2h n-2+…+ c k h n-k (c k ≠0,n ≥k) (1)
的数列,则它的生成函数g(x)形如:
g(x)=
)
()(x q x p (2)
其中:q(x)是具有非零常数次的k 次多项式,p(x)是小于k 次的多项式.反之, 给定这样的多项式p(x)和q(x), 则存在序列h 0, h 1, h 2,…, h n ,…满足(1)式的k 阶常系数线性齐次递推关系, 其生成函数由(2)式给出.
4、Polya 定理
P ólya
原理是组合数学中，用来计算全部互异的组合状态的个数的一个十分高效、简便
的工具。
Redfield-Polya 定理是组合数学理论中最重要的定理之一．自从 1927 年 Redfield 首次运用 group reduction function 概念，现在称之为群的循环指标（circle index of a group），至今 60 多年来，他在许多实际计数问题上得到了广泛的应用，它以置换群为理论基础，与生成函数有机地结合在一起，揭示了一类具有组合意义的计数的规律性．
抽象地说在一集合内，定义了一个等价关系，人们往往关心由这个等价关系所决定的等价类的数目，Refield-Polya 理论就是为解决这类问题而发展起来的复杂计数理论．polya 定理是组合数学中比较难的一部分。首先需要对置换群、集合论有一定的了解，这样有助于理解burnside引理的证明。其次，polya定理只是对于在环上存在旋转、反射等等价的变换的一种计数方法，实际的题目中很多需要其他的知识来进行辅助。
环上的计数主要就是处理置换 -> 着色这种情况。很关键的一点是同一循环内着色相同。因此很多题目就在置换和着色上下文章。
最最简单的polya定理题目是置换数目很少，每种颜色不限，这种情况下只需手工数出所有的置换就可以了，一般就是一个公式。这个定理比较难，没太懂。
浅谈如何优化小学数学课堂教学 云县茶房乡茶房完小教师肖聪贤 小学数学课堂教学是数学教学最基本的组织形式，是实现小学数学教学目的的主要途径，是在数学教师指导下使学生自觉、积极地掌握系统的数学基础知识和基本技能，发展能力，养成良好的学习习惯，形成科学的世界观和提高觉悟的活动。课堂教学的好坏直接关系到学校教育教学与人才培养的质量。同时，课堂教学的成败也是衡量一名教师教学水平高低的客观依据。尤其在当前对人才的需求以及广大教师在数学教学改革第一线所遇到的：“想改，但不知怎样改，渴求具体改革措施和方法”的实际状况，研究小学数学课堂教学最优化的任务，很现实地摆在了我们面前。如何精心设计小学数学课堂教学结构？怎样提高数学课堂教学的效益？现将在数学课堂教学最优化探 讨中的主要体会分述如下： 一、优化导入 好的新课引入不仅是新、旧知识的纽带，承上启下的桥梁，更应能引发学生学习的兴趣，启迪学生的想像力，激励学生探索新知的欲望，让学生积极思考问题，培养学生的创新思维能力，让学生学到更多的知识，为将来的发展打好坚实的基础．在新课程标准的实施过程中，就如何进行新课的引入，总结了以下几点体会，供同行们参考．（一）从学生生活经验导入新课，让学生在具体的情境中开始学习。
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动”；大量的实践也证明：当学习的材料来自于现实生活时，学生的学习兴趣会倍加高涨；当数学和学生的现实生活密切结合时，数学才是活的、富有生命力的。因此，新课导入应该关注学生的生活经验，“选择学生身边的、感兴趣的事物，提出有关的数学问题”，努力为学生创设一个“生活化”情境，让学生在生动具体的现实情景中开始数学学习，体验和理解数学。 （二）设置活动情景，激发学生学习兴趣，让学生在愉悦的体验下开始学习。 心理学的研究表明：学生的学习不仅仅是认知的参与，更需要情感的投入；只有激发起学生良好情感体验的学习，才是真正意义上的自主学习。陶行知先生说：“应创设教学中良好的师生关系，教师要以自己真诚的情感与学生交往，教师最重要的两个品质是‘亲切和热心’，教学中要使学生尽可能少地感受到威胁，因为在自由、轻松气氛下，学生才能最有效地学习，才最有利于创造力的发展。 因此，新课导入应该关注学生的情感体验，努力营造一个平等、民主、和谐、宽松、自由、安全的开课氛围，使学生在愉悦的情感体验下开始数学学习。 （三）巧用旧知，设置悬念，让学生在“启”、“发”氛围中学习。
七年级九班 李蕙茹
研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，也是自然科学史研究下属的一个重要分支。和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史研究所使用的方法主要是历史科学的方法，在这一点上，它与通常的数学研究方法不同。它研究的对象是数学发展的历史，因此它与通常历史科学研究的对象又不相同，所以，我们既可以在数学中学到历史，又可以在历史中学到数学。数学是研究现实世界的图形和数量关系的科学，包括代数、几何、三角、微积分等。它来源于生产，服务于生活，并不是空中楼阁，而是人类智慧的结晶。 二、目的意义： 对数学产生兴趣，轻松学好数学。通过查找名人趣事、数学常识等资料，对数学的功用问题有一个正确的认识，从而让我们对数学产生兴趣，提高数学成绩，开发我们的脑力，使自己不断提高能力，从而达到事倍功半的效果。 三、探究方法： 1、历史研究法，又叫历史考证法。数学自东汉以来的《九章算术》到现代的《微积分》，上上下下经历了几千年的时间，与现代数学联系起来，对数学历史的考证有巨大的作用。 2，自主探究法。所谓自主探究，就是通过各种途径找到对自己有用的资料，进行整理，这是一种比较常见的方法。
（一）数学的起源与早期发展 据《易?系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。 用算筹记数，有纵、横两种方式： 表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间〔法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当〕，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。 筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。
浅谈小学数学教学与生活的联系 教育对经济发展和社会发展具有积极的促进作用，而这种作用的发挥是通过受教育者的能动性来实现的。义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展。小学教育工作者在教学工作中应注意建立学生生活与数学学习的关系。以下是笔者的一些看法。 标签：小学数学;教学;生活;联系 一、理念——面向学生的生活世界 学生是一个有血有肉、有思想、有个性的活生生的人，不是灌装知识的“容器”。1993年联合国教科文组织在北京召开的“面向21世纪的教育”的国际研讨会，就将“高境界的理想、信念与责任感，强烈的自主精神，坚强的意志和良好的环境适应能力、心理承受能力”列为21世纪人才规格的显著特征。 学生不是一张白纸，他们在日常生活中积累了一定的生活经验，这些经验往往与数学概念、法则、公式、数量关系等数学知识有着密切的内在联系。教师可以根据不同年级学生的身心发展特点和学习规律，提供基本内容的现实情景，让数学内容包含在学生熟悉的事物和具体情境之中，加深学生对学习的理解。 教师在教学过程中，要面向小学生的生活世界和社会实践，让数学课程走向生活;尊重学生已有的知识与经验，并在此基础上展开教学活动;教师要引导学生经历知识形成的过程，积极倡导自主、合作、掷究的学习方式，让他们做学习的主人，让课堂充满创新活力，激发学生的学习热情;实施综合性评价，体现人文关怀，以促进师生的共同发展。 二、意义——丰富学生的生活世界 传统的数学课程体系大多是严格按照学科体系展开的内容一般是一系列经过精心组织的、条理清晰的知识结构，这样的内容便于教师教给学生系统的数学知识和逻辑的思考方法。但这些内容是否真实而有意义，是否贴近学生的生活世界，是否有利于学生认识和理解数学，却往往考虑甚少。由于学生平时极少接触高深的数学知识，缺乏数学感悟，如果对这部分结构较为复杂的知识不事先进行铺垫就直接教学，很可能会导致部分学生因无法利用已有生活经验，而对他们感悟、理解并完善认知结构带来一定的障碍。 面向学生，面向生活，面向社会。学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。学生生活在现实社会中，并最终走向社会，如果数学内容的题材能贴近学生的生活实际，走入他们的生活世界，呈现的形式能丰富多样，生动活泼，就会让他们感到亲切，并产生乐学、好学的动力。当学生对学习内容产生了极大兴趣的时候，学习过程对他们来说就不是一种负担，而是一种心理满
数学广角 《课题一排列组合》教学设计 教学内容： 《义务教育课程标准实验教科书·数学（二年级上册）》第99页的的内容---排列、组合。 教材分析： 课标中指出数学不仅是人们生活和劳动必不可少的工具，通过学习数学还能提高人的推理能力和抽象能力。排列与组合的思想方法不仅应用广泛，而且是后面学习概率统计知识的基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。本节课我试图在渗透数学思想方法方面探索和研究，通过学生日常生活中简单的事例呈现出来，并运用操作、演示等直观手段解决问题。在向学生渗透这些数学思想和方法的同时，初步培养学生有顺序地、全面地思考解决问题的意识。教学目标： 1使学生通过观察、猜测实验等活动，找出最简单的事物排列数和组合数。 2培养学生初步的观察能力、分析能力及推理能力 3初步培养学生有序的全面思考问题的意识。 情感态度与价值观：通过解决生活中的一些实际问题，感受数学与生活的密切联系培养学生积极思维的品质。 教学重点：有序排列的思想和方法 过程与方法：通过实践活动，经历找排列数与组合数的过程，体验排
列与组合的思想方法。 课时：1课时 教学设计 情景导入 师：同学们喜欢去广场吗？为什么？ 走进新课 师：今天我们也要到一个有意思的地方，哪呢？课件（数学广角）对，那里没有好吃的，好玩的，但是那里有趣的数学问题等待我们开动我们聪明的小脑袋瓜儿解决他们，想去吗？ 在去之前，我们先打扮一下自己，穿上漂亮的衣服，老师这有四件衣服（课件）你喜欢那套衣服，同学们有这么多的选择。那到底能搭配多少套呢？拿出手中的学具摆摆看。 学生分组讨论 汇报交流 同学们表现的真不错，你喜欢那一套，我们就在心理穿上你喜欢的衣服去数学广角了。 展开活动 1、开启大门 数学广角的大门是由1和2 这两个数字摆成的两位数，这道 门的密码可能是那些数？ 生；12、21。 师：这两个数字有什么不同？
数学发展简史 数学发展史大致可以分为四个阶段。 一、数学形成时期（——公元前5 世纪） 建立自然数的概念，创造简单的计算法，认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。 二、常量数学时期（前5 世纪——公元17 世纪） 也称初等数学时期，形成了初等数学的主要分支：算术、几 何、代数、三角。该时期的基本成果，构成中学数学的主要内容。 1．古希腊（前5 世纪——公元17 世纪） 毕达哥拉斯——“万物皆数” 欧几里得——《几何原本》 阿基米德——面积、体积 阿波罗尼奥斯——《圆锥曲线论》 托勒密——三角学
丢番图——不定方程 2．东方（公元2 世纪——15 世纪） 1）中国 西汉（前2 世纪）——《周髀算经》、《九章算术》 魏晋南北朝（公元3 世纪——5 世纪）——刘徽、祖冲之出入相补原理，割圆术，算π 宋元时期（公元10 世纪——14 世纪）——宋元四大家杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰 天元术、正负开方术——高次方程数值求解； 大衍总数术——一次同余式组求解 2）印度 现代记数法（公元8 世纪）——印度数码、有0；十进制（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法）
数学与天文学交织在一起 阿耶波多——《阿耶波多历数书》（公元499 年） 开创弧度制度量 婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》、《肯特卡迪亚格》代数成就可贵 婆什迦罗——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12 世纪）算术、代数、组合学 3）阿拉伯国家（公元8 世纪——15 世纪） 花粒子米——《代数学》曾长期作为欧洲的数学课本 “代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。 阿布尔．维法 奥马尔．海亚姆
-可编辑修改- 华中师范大学组合数学期末考试试卷（A ） 课程名称组合数学课程编号 任课教师 王春香 题型 填空题 证明题 计算题 应用题 总分 分值 20 20 40 20 100 得分 得分 评阅人 一、填空题：（20分）（共5题，每题4分） 1. 由n 个字符组成长为m 的字符串，则相同的字符不相邻的方案数为 n n m C 1+- 。 2. 5男4女，分成两队，每队4人，要求每队至少有1位女生的方案数： 1680 。 3．求12341234+++20,3105,x x x x x x x x =≥≥≥≥，，，的整数解的个数 144 。 4．平面上有n 条直线，其中无两条平行，无三线共点，则交点数为： n-1 。 5．50！尾部有 12 个数字0 。 得分 评阅人 二、证明题（20分）：（共2题，每题10分） 21211. 1n p n n p n p n =-????= ? ?-???? ∑证明： 院（系 ）： 专业： 年级： 学生 姓名： 学号： --- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- -- -- -- 密 -- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- - 封 --- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- -- -- 线 ---- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- --
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数学课堂教学方法 充分关注学生课堂表现，调动学生的学习积极性，体现学生的主体地位 在教学过程中，教师要随时了解学生对所讲内容的掌握情况。如在讲完一个概念后，让学生复述;讲完一个例题后，将解答擦掉，请中等水平学生上台板演。有时，对于基础差的学生，可以对他们多提问，让他们有较多的锻炼机会。同时教师根据学生的表现，及时进行鼓励，培养他们的自信心，让他们能热爱数学，学习数学。 学生是学习的主体，教师要围绕学生展开教学，在教学过程中，自始至终让学生唱主角，使学生变被动学习为主动学习，让学生成为学习的主人，教师成为学习的领路人。根据课堂教学内容的要求，教师要精选例题，关键是讲解例题的时候，要能让学生也参与进来。教师应腾出十来分钟时间或更多的时间，让学生做做练习或思考教师提出的问题，或解答学生的提问，以进一步强化本堂课的教学内容。若课堂内容相对轻松，也可以指导学生进行预习，提出适当的要求，为下一次课做准备。 恰当使用多媒体教学 计算机辅助教学是中学数学教育现代化的一个重要标志。采用现代化的教学手段是时代的需要，更是历史赋予我们的重任。它以图文并茂、声象俱佳、动静皆宜的表现形式，展示了数学的本质及内涵，良好的改善了认知环境，大大增强了学生对抽象事物与过程的理解和感受，从而将数学课堂教学引入了一个全新的境界，所以被广泛的应用。可是一旦为其不可，缺其不行，那也会将其引入一个误区――教学过程自动生成，教师起不到应有的示范作用。 因为没有了教师的板书示范，学生往往在书写过程中丢三落四，师生间不能针对问题进行有效的沟通，阻碍学生的思维，使教学的亲和力下降，教学效果大打折扣。因此教师在使用计算机辅助教学时，必须合理恰当。要有必要的板书示范，制作课件也切忌哗众取宠。应把解决数学问题放在首位，让数学自身魅力放出光芒。不仅于此，还要充分认识到计算机是辅助教学，而不是教学的主宰，我们应根据内容精心制作合适的多媒体课件，使之更加贴近学生的认知结构，进而达到最佳的教学效果。 3 激发学生数学学习兴趣 创设问题情境，引发积极思维 前苏联教育家苏霍姆林斯基曾经说过：“如果教师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于教授知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力劳动就会带来疲倦。”因此，教师应精心设计问题情境，
《简单的排列组合》教学案例分析 【教学背景】 在日常生活中，有很多需要用排列组合来解决的知识。如体育中足球、乒乓球的比赛场次，密码箱中密码的排列数，电话机容量超过多少电话号码就要升位等。在数学学习中经常要用到推理，如加法和乘法的一些运算定律的推导过程，能被2、5、3整除的数的推导等。这节课安排生动有趣额活动，让学生通过这些活动进行学习。例1给出了一副学生用数学卡片摆两位数的情境图，学生在进行小组合作学习，先用2个卡片摆，学生通过操作感受摆的方法以后，再用3个卡片摆；然后小组交流摆卡片的体会：怎样摆才能保证不重复、不遗漏。 【教材分析】 “数学广角”是新编实验教材新增设的内容，是新教材在向学生渗透数学思想方法方面做出的新的尝试。排列和组合的思想方法不仅应用广泛，而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，这部分内容重在向学生渗透简单的排列、组合的数学思想方法，并初步培养学生有顺序地全面思考问题的意识。 【教学目标】 ．通过观察、实验等活动，使学生找出最简单的事物的
排列数和组合数，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程； 2．使学生初步学会排列组合的简单方法，锻炼学生观察、分析和推理的能力； 3．培养学生有序、全面思考问题的意识，通过小组合作探究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。 【教学重点】经历探索简单事物排列与组合规律的过程【教学难点】初步理解简单事物排列与组合的不同 【教学准备】多媒体、数字卡片。 【教学方法】观察法、动手操作法、合作探究法等。 【课前预习】 预习数学书99页，思考以下问题： 、用1、2两个数字能摆出哪些两位数？ 2、用1、2、3这3个数字能摆出哪些两位数？可以动手写一写。 3、想一想：你是怎么摆的，先摆什么，再摆什么？有什么好方法才会不遗漏，不重复。 【教学准备】PPT 【教学过程】 …… 一、以游戏形式引入新课 师：同学们，今天老师带大家去数学广角做游戏。在门
七年级九班 李蕙茹 一、探究背景： 研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，也是自然科学史研究下属的一个重要分支。和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史研究所使用的方法主要是历史科学的方法，在这一点上，它与通常的数学研究方法不同。它研究的对象是数学发展的历史，因此它与通常历史科学研究的对象又不相同，所以，我们既可以在数学中学到历史，又可以在历史中学到数学。数学是研究现实世界的图形和数量关系的科学，包括代数、几何、三角、微积分等。它来源于生产，服务于生活，并不是空中楼阁，而是人类智慧的结晶。 二、目的意义： 对数学产生兴趣，轻松学好数学。通过查找名人趣事、数学常识等资料，对数学的功用问题有一个正确的认识，从而让我们对数学产生兴趣，提高数学成绩，开发我们的脑力，使自己不断提高能力，从而达到事倍功半的效果。 三、探究方法： 1、历史研究法，又叫历史考证法。数学自东汉以来的《九章算术》到现代的《微积分》，上上下下经历了几千年的时间，与现代数学联系起来，对数学历史的考证有巨大的作用。 2，自主探究法。所谓自主探究，就是通过各种途径找到对自己有用
的资料，进行整理，这是一种比较常见的方法。 四、探究结果： （一）数学的起源与早期发展 据《易?系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。 用算筹记数，有纵、横两种方式： 表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间〔法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当〕，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。 筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。 在几何学方面《史记?夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理〔西方称勾股定理〕的特例。战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。
如何把小学数学教学与生活相联系 数学源于生活，数学植根于生活，生活中处处有数学，数学蕴藏在生活中的每个角落。以生活实践为依托，将生活经验数学化。数学也是哲学的一门衍生物。是解决生活问题的钥匙，数学是人们生活、劳动和学可必不可少的工具。因此，数学都能在生活中找到其产生的踪迹。面向21世纪的数学教学，我们的理念是“人人学有用的数学，有用的数学应当为人人所学，不同的人学不同的的数学”，“数学教育应努力激发学生的学习情感，将数学与学生的生活、学习联系起来，学习有活力的、活生生的数学”。如何根据教材的特点，把枯燥的数学变得有趣、生动、易于理解、让学生活学、活用、从而培养学生的创造精神与实践能力呢？通过反复思考，我就从课堂教学入手，联系生活实际讲数学，把生活经验数学化，把数学问题生活化。 一利用生活经验来解决问题 低年级学生尽管具备了一定的生活经验，但他们对周围的各种事物、现象有着很强的好奇心。我就紧紧抓住这份好奇心，结合教材的教学容，创设情境，设疑引思，用学生熟悉的生活经验作为实例，引导学生利用自身已有的经验探索新知识，掌握新本领。 1.借用学生熟悉的自然现象学习数学 在教学“可能性”一课时，先让学生观看一段动画，在
风和日丽的春天，鸟儿在飞来飞去，突然天阴了下来，鸟儿也飞走了，这一变化使学生产生强烈的好奇心，这时老师立刻抛出问题：“天阴了，接下来可能会发生什么事情呢？”学生就会很自觉地联系他们已有的经验，回答这个问题。学生说：“可能会下雨”，“可能会打雷、电闪”，“可能会刮风”，“可能会一直阴着天，不再有变化”，“可能一会儿天又晴了”，“还可能会下雪”……老师接着边说边演示：“同学刚才所说的事情都有可能发生，其中有些现象发生的可能性很大如下雨，有些事情发生的可能性会很小如下雪……在我们身边还有哪些事情可能会发生？哪些事情根 本不可能发生？哪些事情发生的可能性很大呢？”通过这一创设情境的导入，使学生对“可能性”这一含义有了初步的感觉。学习“可能性”，关键是要了解事物发生是不确定性，事物发生的可能性有大有小，让学生联系自然界中的天气变化现象，为“可能性”的概念教学奠定了基础。 2.结合生活经验，在创设活动中学数学 在教“元角分的认识”一课中，我首先创设了这样一个情境：母亲节快到了，小明想给妈妈买一件礼物，就把自己攒的1角硬币都拿出来，一数有30个，拿着这么多硬币不方便，于是小明就找隔壁的老爷爷来帮忙想办法，老爷爷说这好办，收了小明的30个1角硬币，又给了小明31元钱，小明有点不高兴，觉得有点吃亏。你们说小明拿30个1角
1．用两种方法证明公式：. 2．将个相同的球放到个不同的盒子里，每个盒子至少有个球（），问有多少种放法？ 3．求解递推关系： 二．（10分）用集合可以组成多少个不同的位数？其中要求1和3每个出现偶数次. 三．（10分）求在1和1000之间不能被5，6和8整除的数的个数. 四．（10分）有级台阶，一个小孩从下往上走，每次只能跨一级或两级，问他从地面走到第级台阶有多少种不同的方法？ 五．（10分）设表示把元集划分成非 空子集的方法数，当元集时，求出方法数. 六．（10分）从4种水果中选出个，使得苹果数为偶数个，香蕉数为5的倍数，橘子数不超过4个，梨子数为0或1个，问选出个的选法数. 七．（18分）（1）用四颗珠子穿项链，现可对珠子染3种不同的颜色，问可得到多少个不同的项链？（注：项链可旋转或翻转） （2）设计一个由6个花瓣和1个中心花蕊组成的图案，这7个部分由3种不同的颜色组成，要求其中出现2蓝2红3黄，此花朵可以旋转，问可以有多少种不同的设计方案？ 保洁员协议书 甲方：村村民委员会 乙方：，身份证号： 为了确保本村的清洁卫生得到正常有序地运行，使全村的环境卫生保持清洁.干净。切实做好全村生活垃圾的收集处置工作。经甲.乙双方协商同意，特订如下协议： 一.垃圾收集范围： 屯主要道路的路边.溪边经常保持整洁，及时清理白色污染.无明显垃圾堆积物：清除屯主要道路两边杂草：对屯内公共树木养护：沟 乱刻画.乱散发. 止和清理。 二.保洁员报酬工资合计 周清洁2 月发放。 三.保洁所需一切工具均由乙方自己承担，乙方还要自备垃圾清运车辆。在工作期间注意自身安全，如发生意外，其责任自负，甲方不承担任何责任。 四.工作要求: 1.屯内道路路段保洁要求：对屯内道路及路两旁的沟.涵管必须清理疏通，道路两旁的绿化
数学课堂教学的特点 淇县实验学校张红芳 初中八年级的数学教学就有一定的难度，怎样能高效的上好数学课了？教师们应该掌握课堂教学的特点。数学课堂应有以下几方面的特点： 1）为学生创设宽松和谐的学习环境好的课应当有宽松和谐的学习气氛，使学生能在探索和学习过程中产生丰富的情感体验。上“板着面孔”的课，学生可能会掌握有关的知识技能，但他们不会对学习数学产生兴趣，也不会有积极主动地参与热情。宽松和谐的环境并不意味着只有通过游戏或生动的情境才能实现，教师生动的语言，和蔼的态度，富有启发性和创造性的问题，有探索性的活动等都可以为学生创造和谐的环境。如“大数目的认识”，让学生说出生活中的大数目，提供一万人、几万人的情境，让学生亲自数一数一万粒大米有多少。这样一些活动，都为学生提供了和谐的气氛。 2）关注学生的学习过程，让学生有体验数学的机会新课程的一个重要理念就是为学生提供“做”数学的机会，让学生在学习过程中去体验数学和经历数学。数学学习，特别是新概念、新方法的学习，应当为学生提供具体的情境，让学生在实际的操作、整理、分析和探索中去体会数学。如认识圆时，给学生不同的工具，让学生选择几种，通过交流体会合作画出一个圆来。在画的过程中，学生既体会到圆的特征，也体验了“做”数学的乐趣。 3）为学生创设了思考的空间和时间好的课堂教学应当是富于思考的，学生应当有更多思考的余地。学习归根结底是学生自己的事，教师是一个组织者和引导者。学习的效果最终取决于学生是否真正参与但学习活动中，是否积极主动地思考。而教师的责任更多的是为学生提供思考的机会，为学生留有思考的时间与空间。最简单的一个指标是教师提问以后是否给学生一定的思考时间，至少用几秒钟让学生思考，而不是急于下结论，判定学生会不会，特别是那些需要深入理解和需要一定的创造性才能解决的问题，更要让学生有一定的思考时间。 4）一堂好课应该注重学生有效学习，关注课堂效率有效学习一定是有价值的学习，对学生有用的学习，是针对学生普遍需要解决的问题及进行的学习。例如有老师在上复习课时，一共出了八道题，一道一道讲，刚讲完第六道题的时候，下课了。我们发现在学生中间，这些题只有两三个同学不会，但老师还要从头到尾全班讲，这种现象很普遍，所谓复习课几乎都是这样进行的，没有提出一个有效学习的针对性问题，集体浪费时间，只是为了完成所谓的教学任务、教学计划。可想而知，这样的课堂教学的有效性有没有。有效率的课是学生积极参与课堂，而不是去“迎合”老师的问题，学生敢于提出自己的问题，能提出有深度的问题。所以，一堂好课也是解决了学生问题的课。评课时，最终是要观察学生能不能提出问题，解决问题。一是解决他提出的问题，而是解决他在此过程中带出别的问题。问题解决了，就是好课，是有内容的课，有效率的课，也就是充实的课，是关注学生发展的课。有效率的课应当关注学生的差异，尊重不同学生在知识、能力、兴趣等方面的需要。应当有针对性地设计不同层次的问题、不同类型和不同水平的题目，使学生都有机会参与教学活动，都能在学习过程中有所收获。 5）运用灵活的方法，适应学生的事迹和内容的要求。教学方法的选择和运用应根据不同年龄和不同发展水平学生的需要，同时也要符合不同的学习内容。探索与发现的方法是值得提倡的，但并不是所有的内容都应当用这样的方法. 评价课堂教学，应该看着堂课是否有新意，是否符合学生实际，是否体现以学生为主体，是否以学生发展为本，是否有让新思想、新观念、新信息、新内容进入课堂。
《组合数学》课程教学大纲 课程英文名Combinatorics 执笔人：晁福刚编写日期：2010.7.9 一、课程基本信息 1. 课程编号：07010132 2. 课程性质/类别：限选课/专业基础课 3. 学时/学分：48学时/ 2学分 4. 适用专业：数学与应用数学信息与计算科学专业 二、课程教学目标及学生应达到的能力 组合数学主要研究一组离散对象满足一定条件的安排的存在性，以及这种安排的构造、枚举计数及优化等问题，这是整个离散数学的一个重要组成部分。 《组合数学》课程的教学目标是通过本课程的学习，使学生初步掌握组合数学的基本原理和思想方法。了解和掌握并会应用鸽巢原理、排列与组合、容斥原理、递推关系、生成函数等组合数学基本知识。 三、课程教学内容与基本要求 （一）鸽巢原理（8学时） 1．主要内容： 鸽巢原理的简单形式，鸽巢原理的加强形式，Ramsey问题与Ramsey数，Ramsey 数的推广。 2．基本要求 1．了解鸽巢原理的简单形式和加强形式，会用鸽巢原理解决简单的问题。 2．了解Ramsey问题的历史由来，会求简单的Ramsey数，Schur数。 3．自学内容：无 4．课外实践：无 （二）基本计数问题（10学时） 1．主要内容： 加法原则与乘法原则，排列与组合，多重集合的排列与组合，二项式系数，集合的分划与第二类Stirling数，正整数的分拆，分配问题。 2．基本要求 1．了解加法原则和乘法原则，会求简单的排列组合问题。 2．掌握多重集合的排列和组合技巧。 3．会证明组合恒等式。 4．了解集合的分划与第二类Stirling数，知道两类数之间的关系。 5．知道正整数分拆问题的递推关系及研究进展。 6．知道一些简单的分配问题的解法。 3．自学内容： 排列组合
数学发展简史 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
数学发展简史数学发展史大致可以分为四个阶段。 一、数学形成时期（——公元前 5 世纪） 建立自然数的概念，创造简单的计算法，认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。 二、常量数学时期（前 5 世纪——公元 17 世纪） 也称初等数学时期，形成了初等数学的主要分支：算术、几 何、代数、三角。该时期的基本成果，构成中学数学的主要内容。 1．古希腊（前 5 世纪——公元 17 世纪） 毕达哥拉斯——“万物皆数” 欧几里得——《几何原本》 阿基米德——面积、体积 阿波罗尼奥斯——《圆锥曲线论》
托勒密——三角学 丢番图——不定方程 2．东方（公元 2 世纪——15 世纪） 1）中国 西汉（前 2 世纪）——《周髀算经》、《九章算术》 魏晋南北朝（公元 3 世纪——5 世纪）——刘徽、祖冲之出入相补原理，割圆术，算π 宋元时期（公元 10 世纪——14 世纪）——宋元四大家杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰 天元术、正负开方术——高次方程数值求解； 大衍总数术——一次同余式组求解 2）印度 现代记数法（公元 8 世纪）——印度数码、有 0；十进制
（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法） 数学与天文学交织在一起 阿耶波多——《阿耶波多历数书》（公元 499 年） 开创弧度制度量 婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》、《肯特卡迪亚格》代数成就可贵 婆什迦罗——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12 世纪）算术、代数、组合学 3）阿拉伯国家（公元 8 世纪——15 世纪） 花粒子米——《代数学》曾长期作为欧洲的数学课本 “代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。 阿布尔．维法
组合数学期末重点 第一章：7 11 14 25 26 7. n 个男n 个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？ [解].(1)若第1个位置是男，有n ?n ?(n -1)?(n -1)???3?3?2?2?1?1=(n!)2种排法； 若第1个位置是女，也有(n!)2种排法； 故n 个男n 个女排成一男女相间的队伍，有2(n!)2种不同的排法。 因为若不记座位的差别，只记人与人之间的相对位置的变化，则每一种坐法可产生2n 个男女相间的排列，从而坐法为22 ])!1[()!1(!2)!(2-=-=n n n n n n 种， 若不记顺、逆时针则有坐法22])!1[(2 1 )!1(!2122)!(2-=-=?n n n n n n 种。 (2)若第1个座位坐男，有n 个可能，则第2个坐女为n 个可能，……，根据乘法原理，故有n ?n ?(n -1)?(n -1)???3?3?2?2?1?1=(n!)2种方案。同理，第1个座位坐女，也有(n!)2种方案。故有2(n!)2种方案。 11.凸10边形的任意三条对角线不共点。试求这凸10边形的对角线交于多少个点？又把所有的对角线分割成多少段？ [解].(参见柯召《组合数学》上册。P 34 例1.6.1) (2)从上。一个点引出的7条线中第一条线上有7个点，故将该线段分成8段；第二条线上有12个点，故将该线段分成13段，故从一个点出发的7条线上的段数为 第11题图1 第11题图2
8+13+16+17+16+13+8=91 故有10个点。故总的段数可为91?10=910。但有重复，重复数为2（因为每条线有两个端点）。故总的段数为 4552 910 =。 14.从26个英文字母中取出6个字母组成一字,若其中有2或3个母音.问分别可构成多少个字(不允许重复)? [解].英语中有6个元音字母a,e.i,(y),o,u,其余20个是辅音。 (1)若取出6个字母组成一字,其中有2个元音,可构成 1234561256123417181920!626420???????????????=???? ? ?????? ??=52 326 000 (2)若有三个元音,可构成 123456123456123181920!636320???????????????=???? ? ?????? ??=16 416 000； 另一种解法认为有5个元音，其余21个是辅音 (1)若取出6个字母组成一字,其中有2个元音,可构成 1234561245123418192021!625421???????????????=???? ? ?????? ??=43 092 000 (2)若有三个元音,可构成 1234561245123192021!635321?????????????=???? ? ?????? ??=9 576 000。 25.5台教学机器m 个学生使用，使用第1台和第2台的人数相等，有多少种使用方案？ [解].先从m 个学生中选取k 个使用第1台机器，再从剩下的m -k 个学生中选取k 个使用第2台机器，其余m -2k 个学生可以任意使用剩下的3台机器，按乘法原理，其组合数为C (m,k) C (m -k ,k )?3(m -2k )。这里k=0,1,2,?,q (?? ? ???=2m q )，于是，按加法原理，共有 ) 2(q k 3 ),(),(k m k k m C k m C -=?-∑种使用方案。 26.在由n 个0及n 个1构成的字符串中，任意前k 个字符中，0的个数不少于1的个数的字符串有多少？ [解].转化为格路问题（弱领先条件—参见P36例4该例是强领先条件）。即从(0,0)到(n,n)，只能从对角 线上方走，但可以碰到对角线。它可看作是从(0,1)到(n,n+1)的强领先条件（只能从对角线上方走，但不可以碰到对角线）的格路问题。更进一步的，它 可看作是从(0,0)到(n,n+1)的强领先条件的格路问题(n+1,n+1) (0,1) (1,0) (n,n+1) (n,n) (0,0) 第26题图1
浅谈如何提高小学数学课堂教学的有效性 教学有效性，始终是课堂教学的生命线。在小学数学课改实施过程中，我们的课堂教学也发生了翻天覆地的变化：以往的“填鸭式”变成了“自主探索”，学生的个性得到了张扬，教学气氛活跃。然而，我们不难看出，华丽的“外衣”、热闹的“学习活动”掩饰不了形似神离的痕迹，放任而浮躁，也折射出一个令人深思的问题——随着课程改革的不断深入，如何创造宽松、和谐且便于学生思考、乐于探究的优质课堂教学就显得尤为重要，但打造高效的小学数学课堂更是关键。怎样才能实现课堂的高效呢? 一、准确解读，创造性地使用教材 数学是一门系统性、逻辑性都很强的学科，各部分知识之间的纵横联系十分紧密。教师解读教材要做到“瞻前顾后”，既要关注学生已有的知识基础和生活经验，也应关注相关知识的后续学习任务及要求。同时，解读教材要做到“入木三分”，如果没有对教材的深入解读，也就不可能有对教材的正确解读、准确把握，留下的只是对教材的“背离”和“误读”。因此，唯有以审慎的态度解读教材，并从教材“出发”，对其进行合理的加工、重组、改造，才能真正做到超越教材，实现科学、有效、创造性地使用教材，使课堂教学更有效率。比如，教学三年级初步认识平均数“比一比”时，学生在操作中通过“移多补少”理解平均数的统计意义后，依托“平均分”的基础，借鉴“移多补少”法求平均数的经验，学生不难想到用“先合后分”的方法来直接求平均数。接着拓展情景，深化对平均数本质的理解，设计以下教学环节，结合统计图观察，虚线表示的平均数6和最多的比怎样？和最少的比呢？使学生明白平均数一定会在最多与最少之间，接着让学生观察：比平均数6个多的有谁？比平均数6少的有谁？从中你有什么发现？通过讨论使学生明白多的和与少的和肯定一样多，要不就拉不平。紧接着，教师抛出问题，如果佳佳投中的不是9个，而是5个，那平均数会怎样？如果佳佳投中的比9个还要多，是13个，那平均数又是多少呢？这样三次拓展情景，使学生对一组数据的平均数介于原始数据的最大值与最小值之间、数据中每一个数与平均数之差的总和为0及平均数易受一组数据中每个数据的影响等特性有一个初步的认识，帮助学生从不同侧面丰富了这一统计量意义的构建，深化了学生对平均数内涵的理解和把握，对学生而言，通过这三个环节的教学，平均数的概念变得丰富、饱满而灵动。当然，创造性使用教材要建立在对教材的整体知识体系的把握上，并充分了解学生，理解新课程的理念。只有恰当地、科学地、灵活地处理教材，真正地为学生的全面发展设计课堂教学，才会真正实现教学的有效性。 二、创设情境，让学生的学习过程充满活力 苏霍姆林斯基指出：“教师在教学中如果无法使学生产生高昂情绪和智力振奋的内心状态，而只是不动情感的脑力劳动，就会带来疲倦。”教学情境对学生而言具有较强的吸引力，容易激发他们的好奇心和求知欲，进而促使其思维处于异常活跃的状况，更重要的是要在情境中产生数学问题，让学生在情境中发现数学问题，让学生在理解情境的情节与内容的基础上通过联想与识别，在自主学习与合作探究中找到解决问题的方法。因此，教师应营造轻松愉快的教学情境，引导学生涉境体味，使学生乐此不疲地致力于学习。
《简单的排列组合》教学反思 本节课的知识是排列和组合简单的知识，但对学生来说，教师又不能直接讲解排列组合，如何讲解比较深奥的知识，这是应该正视的问题。在处理教材时，没有直接呈现排列组合原理，而是从排列组合的基本思考方法入手——科学枚举法。因为学生只有恰当的分类，将事情的各种情况能够一一列举出来，就能够保证计数时不重复不遗漏——这是本节课的重点和难点所在。所以本节课没有要求学生解决比较复杂的计数问题，也不要求发现加法原理与乘法原理，而是要求学生通过科学枚举法，感受计数方法。在教学中，为了突破重点，从多方面想办法：一是让学生认识到排列与组合学习是生活中的必须；二是让学生通过摆、画、列表等活动，学习“不重复、不遗漏”的计数的方法。本课教学后我进行了认真反思，觉得有以下可取之处和不足之处。 一、创设情境，激发学生探究的兴趣。 创设形象生动、亲近学生生活实际的教学情景，将有效地激发学生学习的兴趣。本节课通过创设“衣服的穿法、早餐搭配、数字游戏”等与学生的实际生活相似的情境，唤起了学生“独立思考、合作探究”解决问题、注意让小组合作学习从形式走向实质。 在合作探究中，保证了合作学习的时间，并深入小组中恰当地给予指导。合作探究后，教师还能够及时、正确的评价。教师从实际的学习效果出发，考虑如何组织合作学习，有利于调动广大学生参与学习的全过程，防止合作学习走过场。 二、让学生在丰富多彩的教学活动中感悟新知。 通过组织学生参与“连一连，写一写，画一画”等教学活动，充分调动了学生的多种感官协调合作，感悟了新知，发展了数感，体验了成功，获取了数学活动经验，真正体现了学生在课堂教学中的主体作用。2、注意让小组合作学习从形式走向实质。 三、利用自主探究的学习方式。 本节课设计时，注意精选合作的时机与形式，在教学关键点、重难点时，适应地组织了同桌或四人小组的合作探究。在学生合作探究前，提出了明确的要求。
中国数学发展史——宋元数学 中国数学发展史概述 中国是世界文明古国之一，地处亚洲东部，濒太平洋西岸。黄河流域和长江流域是中华民族文化的摇篮，大约在公元前2000年，在黄河中下游产生了第一个奴隶制国家——夏朝（前2033-前1562）,共经历十三世、十六王。其后又有奴隶制国家商（前562年—1066年,共历十七世三十一王）和西周［前1027年—前771年,共历约二百五十七年，传十一世、十二王］。随后出现了中国历史上的第一次全国性大分裂形成的时期——春秋（前770年-前476年）战国（前403年-前221年），春秋后期,中国文明进入封建时代,到公元前221年秦王赢政统一全国,出现了中国历史上第一个封建帝制国家——秦朝（前221年—前206年）,在以后的时间里,中国封建文明在秦帝国的封建体制的基础不断完善地持续发展,经历了统一强盛的西汉（公元前206年—公元8年）帝国、东汉王朝（公元25年—公元220年）、战乱频仍与分裂的三国时期（公元208年-公元280年）、西晋（公元265年—公元316年）与东晋王朝（公元317年—公元420年）、汉民族以外的少数民族统治的南朝（公元420年—公元589年）与北朝（公元386年—公元518年）。到了公元581年，由隋再次统一了全国，建立了大一统的隋朝（公元581—618年），接着经历了强大富庶文化繁荣的大唐王朝（公元618年—907年）、北方少数民族政权辽（公元916年-公元1125年）、经济和文化发达的北宋（公元960年~公元1127年）与南宋（公元1127年-公元1279年）、蒙古族建立的控制范围扩张至整个西亚地区的疆域最大的元朝（公元1271年-1368年）、元朝灭亡后，汉族人在华夏大地上重新建立起来的封建王朝——明朝（公元1368年-公元1644年），明王朝于17世纪中为少数民族女真族（满族）建立的清朝（公元1616年-公元1911年）所代替。清朝是中国最后一个封建帝制国家。自此之后，中国脱离了帝制而转入了现代民主国家。 中国文明与古代埃及、美索不达米亚、印度文明一样，都是古老的农耕文明，但与其他文明截然不同，它其持续发展两千余年之久，在世界文明史上是绝无仅有的。这种文明十分注重社会事务的管理，强调实际与经验，关心人和自然的和谐与人伦社会的秩序，儒家思想作为调解社会矛盾、维系这一文明持续发展的重要思想基础。 一、中国数学的起源与早期发展 据《易?系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。
初中数学课堂教学模式 课堂教学模式是在一定教学思想指导下所建立的比较典型的、稳定的教学程序或框架。它是人们在长期教学实践中不断总结、改良教学而逐步形成的，它源于教学实践，又反过来指导教学实践，是影响教学的重要因素。它具有完整性、针对性、简约性和可操作性等特点，能较全面、客观地反映某一类教学活动情况，便于教师从整体上把握。 改革课堂教学，提高课堂教学效率，是基础教育课程改革的关键内容。课堂改革的核心是什么？就是把课堂还给学生。洋思也好，杜郎口也好，东庐也好所有成功的课堂都是“以人为本”“以学为主”的课堂。为此，在结合我区实际，借鉴外地的成功经验的基础上，构建了初中数学各课型课堂教学模式，供广大教师进行实验研究。 一、基本思路 1．数学教学模式的选择，是决定学生在课堂教学中能否很好地学会学习，获取知识、形成能力的关键因素。《数学课程标准》提出数学教育要以有利于学生全面发展为中心，倡导有意义的学习方式为基本点。在此理念下，数学教学应是数学活动的过程。教师要重视知识的发生和发展，给学生留有充分的时间与空间，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，激发数学学习兴趣，培养运用数学的意识与能力。把教学的重点放在过程和情感性目标上，指导学生在动手实践、自主探索和合作交流上下工夫，鼓励学生在课堂上发现问题，提出问题和解决问题，促进学生全面、持续、和谐地发展。 2。数学课堂的教学模式是开放性的。优秀的数学教师，不仅要学习和掌握各种类型的教学模式，还要在实践中不断加以创新，才能针对当前课程及教学内容选用恰当模式，形成自己独特的教学风格，并因材制宜地调控和综合运用最优组合模式，从而达到最佳教学效果。作为一名数学教师，要针对不同课型选择不同教学模式。主要抓好三点：（1）课堂的空间管理，教学环境要适应课程改革的需要，有利于教师关注全体学生。（2）课堂的时间管理，要求教师从以学科为中心转向以学生为中心。教师应从完成课时任务为中心转向设计合作教学环境为中心，要重视课堂的二次设计，根据课堂实际及时调整教学策略，课堂活动形式要服务于学生的发展。（3）课堂的行为管理，注重学生良好行为习惯的培养和思维品质的培养，防止课堂上出现“活”而无序、“活”而无效的现象。 3。在教材使用中，教师要从大处着眼，小处着手，先从整体上把握重、难点，再从每个知识点每个课时上做文章。不但要研究教法，还要研究学法，不但要遵循课本内容，还要在此基础上挖掘教材，整合教材，使课堂教学设计更适合自己的学生。 二、数学课堂教学基本操作流程 数学课堂教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。因此，数学课堂教学必须从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在老师的指导下生动活泼地、主动地富有个性地学习。 在初中阶段，数学课堂教学总体上都要围绕“问题情境——建立模型——解释或应用”这一基本的