2020年北京高考数学模拟试题一
一、选择题
（1）已知复数z =2+i ，则z z ?= （ ） （A ）3
（B ）5
（C ）3
（D ）5
（2）已知集合A ={x |–1
（B ）（1，2）
（C ）（–1，+∞）
（D ）（1，+∞）
（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 （ ） （A ）1
2y x = （B ）y =2x -
（C ）12
log y x =
（D ）1
y x
=
（4）y ＝
x －1
2x
－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)
D ．[－2,0]∪[1,2]
(5) 在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝4 B ．x 2＋(y －1)2＝2 C ．x 2＋(y －1)2＝8
D ．x 2＋(y －1)2＝16
(6) 若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间????0，π3上单调递增，在区间????π3，π
2上单调递减， 则ω＝( ) A ．3 B ．2 C ．3
2
D ．23
(7) 已知四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P -ABCD 的四个侧面中面积最大的
是( )
A ．3
B ．25
C ．6
D ．8
(8) 已知f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )单调递增，f (1)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值
范围为( )
A ．{x |0＜x ＜1或x ＞2}
B ．{x |x ＜0或x ＞2}
C ．{x |x ＜0或x ＞3}
D ．{x |x ＜－1或x ＞1}
(9) “k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2
k －9
＝1表示双曲线”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
（10）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A ．6升
B ．8升
C ．10升
D ．12升 二、填空题
(11) 设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为
________．
（12）已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 共线，则m 的值为________．
（13）O 为坐标原点,F 为抛物线2
:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,
则POF ?的面积为__________．
（14）设ABC ?的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则
角C =__________．
(15) 已知函数f (x )＝?????
12x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (|a |)，则实数a 的取值范围是________．
三、解答题
（16）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .
(Ⅰ)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (Ⅱ)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．
（17）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？
（18）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
甲
乙
丙
丁
100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300
√ × √ × 85
√ × × × 98
×
√
×
×
（Ⅰ）（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
商
品 顾 客 人 数
（19）设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为5
3
，点A
的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2. (Ⅰ)求椭圆的方程．
(Ⅱ)设直线l ：y ＝kx (k ＞0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ，
若|A Q ||P Q |
＝524sin ∠AO Q (O 为原点)，求k 的值．
（20）已知函数f (x )＝e x －ax 2.
(Ⅰ)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (Ⅱ)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .
（21）设n ∈N *，对1,2，…，n 的一个排列i 1i 2…i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称(i s ，i t )
是排列i 1i 2…i n 的一个逆序，排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记f n (k )为1,2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (Ⅰ)求f 3(2)，f 4(2)的值；
(Ⅱ)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示)．
答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 答案 D C A C B 题号 6 7 8 9 10 答案 C
C
A
A
B
二、填空题
11、y ＝±22x 12、－1
2 13、2
3 14、23
π 15、(－1,1) 三、解答题
16、解：(1)证明：由已知可得BF ⊥PF ，BF ⊥EF ， 又PF ∩EF ＝F ， 所以BF ⊥平面PEF . 又BF ?平面ABFD ， 所以平面PEF ⊥平面ABFD . (2)如图，作PH ⊥EF ，垂足为H . 由(1)得，PH ⊥平面ABFD .
以H 为坐标原点，HF ―→，HP 的方向分别为y 轴，z 轴正方向，|BF ―→
|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H -xyz . 由(1)可得，DE ⊥PE . 又DP ＝2，DE ＝1， 所以PE ＝ 3.
又PF ＝1，EF ＝2，所以PE ⊥PF . 所以PH ＝
32，EH ＝32. 则H (0,0,0)，P ?
?
?
?
0，0，
32，D ????－1，－32，0， DP ―→＝????1，32，32，HP ―→＝????
0，0，32.
又HP ―→
为平面ABFD 的法向量， 设DP 与平面ABFD 所成角为θ，
则sin θ＝|HP ―→·DP ―→
||HP ―→||DP ―→|
＝3
43＝3
4. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34
.
17、（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=，所以2d =.
又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =L . （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =.
所以61
642128b -=?=.
由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等.
18、（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为
200
0.21000
=. （Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100200
0.31000
+=.
（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为
200
0.21000
=， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为
100200300
0.61000++=， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为
100
0.11000
=， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.
19、解：(1)设椭圆的焦距为2c ，
由已知有c 2a 2＝5
9，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .①
由已知可得|FB |＝a ，|AB |＝2b ， 又|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6.② 联立①②解得a ＝3，b ＝2. 所以椭圆的方程为x 29＋y 2
4
＝1.
(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)． 由已知有y 1＞y 2＞0，故|P Q |sin ∠AO Q ＝y 1－y 2. 又因为|A Q |＝y 2sin ∠OAB ，而∠OAB ＝π
4，
所以|A Q |＝2y 2.
由|A Q ||P Q |
＝52
4sin ∠AO Q ，可得5y 1＝9y 2.
由方程组?????
y ＝kx ，x 29＋y 24＝1消去x ，可得y 1＝6k
9k 2＋4 . 易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，
由方程组?????
y ＝kx ，x ＋y －2＝0
消去x ，可得y 2＝2k k ＋1.
由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方， 整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝11
28.
所以k 的值为12或11
28.
20、解：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －
x －1≤0.
设函数g (x )＝(x 2＋1)e －
x －1，
则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)e －
x ＝－(x －1)2e －
x . 当x ≠1时，g ′(x )＜0，
所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．
而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －
x .
f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点． (ⅰ)当a ≤0时，h (x )＞0，h (x )没有零点；
(ⅱ)当a ＞0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －
x .
当x ∈(0,2)时，h ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0. 所以h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 故h (2)＝1－4a
e
2是h (x )在(0，＋∞)上的最小值．
①当h (2)＞0，即a ＜e 2
4时，h (x )在(0，＋∞)上没有零点．
②当h (2)＝0，即a ＝e 2
4
时，h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．
③当h (2)＜0，即a ＞e 2
4时，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)上有一个零点．
由(1)知，当x ＞0时，e
x
＞x 2，所以
h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a 3(e 2a )2＞1－16a 3(2a )4
＝1－1
a ＞0，故h (x )在(2,4a )上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)上有两个零点． 综上，当f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点时，a ＝e 2
4.
21、解：(1)记τ(abc )为排列abc 的逆序数，对1,2,3的所有排列，有
τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3， 所以f 3(0)＝1，f 3(1)＝f 3(2)＝2.
对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此f 4(2)＝f 3(2)＋f 3(1)＋f 3(0)＝5.
(2)对一般的n (n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以f n (0)＝1. 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以f n (1)＝n －1.
为计算f n ＋1(2)，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n ＋1添加进原排列，n ＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此f n ＋1(2)＝f n (2)＋f n (1)＋f n (0)＝f n (2)＋n .
当n ≥5时，f n (2)＝[f n (2)－f n －1(2)]＋[f n －1(2)－f n －2(2)]＋…＋[f 5(2)－f 4(2)]＋f 4(2)＝(n －1)＋(n －2)＋…＋4＋f 4(2)＝n 2－n －2
2，
因此，当n ≥5时，f n (2)＝n 2－n －2
2.