大一上学期高数复习要点
同志们,马上就要考试了,考虑到这是你们上大学后的第一个春节,为了不影响阖家团圆的气氛,营造以人文本,积极向上,相互理解的师生关系,减轻大家学习负担,以下帮大家梳理本学期知识脉络,抓住复习重点;
1.主要以教材为主,看教材时,先把教材看完一节就做一节的练习,看完一章后,通过看小结对整一章的内容进行总复习。
2.掌握重点的知识,对于没有要求的部分可以少花时间或放弃,重点掌握要求的内容,大胆放弃老师不做要求的内容。
3.复习自然离不开大量的练习,熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理!
一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。
一函数与极限
熟悉差集对偶律(最好掌握证明过程)邻域(去心邻域)函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则(重新推导证明过程)熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理
本章公式:
两个重要极限:
二.导数与微分
熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数
洛必达法则:
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意:
①在着手求极限以前,首先要检查是否满足或型,否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时(不包括∞情形),就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则失效,应从另外途径求极限 .
②洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止.
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具,但是如果仅用洛必达法则,往往计算会十分繁琐,因此一定要与其他方法相结合,比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.
曲线的凹凸性与拐点:
注意:首先看定义域然后判断函数的单调区间
求极值和最值
利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断(注意二阶导数的符号)
四.不定积分:(要求:将例题重新做一遍)
对原函数的理解
原函数与不定积分
1 基本积分表基本积分表(共24个基本积分公式)
不定积分的性质
最后达到的效果是会三算两证(求极限,求导数,求积分)(极限和中值定理的证明),一定会取得满意的成绩!
高数高频易错点
1.求极限请注意自变量趋向什么。我们知道:lim(x趋向0)sinx/x=1,但是当x趋向无穷limsinx/x=0,原因:无穷小量×有界函数=无穷小量。这里:|sinx|<=1,1/x是无穷小量。再次重申:请注意x趋向什么。
2.关于极限的保号性。若 lim f(x)=A , A>0或(A<0),则存在δ>0,当x取x0的δ去心
x->x0 邻域时,f(x)>0(或f(x)<0)。这是最原始结论:如果结论中不取去心邻域,那么结论是错的。比如举例分段函数:当x=0时,f(x)=-1,当x不为0时,f(x)=x^2+1,显然lim(x 趋向0)f(x)=1>0,然而并不满足f(x)>0(在x=0处)。介绍这个定理的作用:解一类题。请看:已知f(x)可导,且当x趋向0,limf(x)/|x|=1,判断f(x)是否存在极值点。因为f(x)可导,那么f(x)必连续,因为lim(x趋向0)f(x)/|x|=1这个极限存在且为1,那么我们得到结论:lim(x趋向0)f(x)=0,否则不会存在极限的,又因为f(x)连续,那么f(0)=0,令f(x)/|x|=g(x),根据保号性,因为limg(x)=1>0,那么:g(x)>0,那么由于|x|在x趋向0时>0,所以f(x)>0,而0=f(0),所以f(x)>f(0),根据极小值的定义,x=0为f(x)的极小值点。★综上:已知limg(x)=a,a的正负已知,可以使用保号性。
3. 请注意当题目说:x趋向无穷时,那么题目包含两个意思:x趋向正无穷和x趋向负无穷。在含有e^x,arctanx,等等类的题目时,请看清楚x趋向无穷还是趋向正无穷或者是负无穷。补充:在含有绝对值的题目时,这点尤其重要,如果说x趋向无穷,那么在去||时,必须考虑|x|中x是趋向正无穷还是负无穷,当然题目不一定非要以绝对值出现,有些题会以√(x^2)出现。
4.关于和差化积积化和差公式的记忆。8字口诀:同c异s,s异c同。前者用来记住积化和差,后者用来记住和差化积。举例:sinacosb=?因为它们的三角函数名异名,那么使用s,sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b)),★说明:1,纯粹个人记忆方法,接受不了也正常;2,这个口诀的使用基于你知道=右边的基础轮廓,比如所有的积化和差,右边是1/2(()+(或者-)());3,实在不会,死记硬背吧,或者请教别的大神。
5. 关于极值点的3种判别法:■法一:定义法;■法二:若f(x)可导,f'(xo)=0,且f’’(x)不为0,则f(x)在xo处取得极值,若二阶导<0,取得极大;>0,极小。法三:(n阶判别法):若f'(xo)=二阶导(xo)=…=n-1阶导(xo)=0,且n阶导不为0,若n为偶数,且n阶导>0,极小,反之,极大;若n为奇数,n阶导不等于0,则(xo,f(xo)为拐点,xo不是极值点。证明:略
6.参数方程二阶导问题(无数不懂事的孩子搞不清楚),我们说一般地,y''表示对x的二阶导数,不是对参数t的二阶导数。y''=d^2y/dx^2=[d(dy/dx)]/dx,对于求dy/dx,我们采用求关于t的y’(t),和关于t的x'(t),因为dy/dx=(dy/dt)×(dt/dx)=y'(t)/x‘(t)。举例:已知y=cost,x=t^2,那么求dy/dx,d^2y/dx^2。标准解答:1:y'(t)=-sint,x'(t)=2t,所以dy/dx=-sint/2t;2:d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx={d[(-sint)/2t]}/dt * (dt/dx)=(-tcost+sint)/(4t^3) ………★综上:二阶导是一个整体记号,不是简单的除法。
7.等价无穷小只能使用于乘除(题外:其实它可以使用于加减的,这里不说,以防混淆)。比如:初学者可能会认为这个极限为0,lim(x趋向0)(tanx-sinx)/x^3=0[计算思路:(x-x)/x^3=0],事实上它等于1/2.原因:提取tanx后等价无穷小。等价无穷小必须自己去
背的,没有人可以帮你。
8.对隐函数求导的问题很多同学搞不清楚。错误一:把变量当做常量。比如:y=x^x,标准解答lny=xlnx,两边对x求导,y'/y=1+lnx,所以y'=(x^x)(1+lnx)。错误做法:y=x^x,y'=x(x^(x-1))=x^x。(但愿你们找到了错误在哪),错误二:搞不清楚对x求导是什么意思。当然:y=x^2求导大家都会吧,y'=2x,当出现对y^2=x^2,很多同学就迷茫了,我们说y是x的函数,所以最后必须乘y',对y^2=x^2求导,得到:2yy'=2x.再则:对隐函数求导我们把其中一个看成常量,比如y=yx+x^2,那么求导:y'=y+y'x+2x。★综上:对隐函数求导,若是单独y,求导为y',一切关于y的函数(比如y^2,lny,a^y等),先对这个函数求导再乘y'.
9.函数在某点可导的本质仅仅是该点的问题,与它的邻域无关,也就是说点可导,在中心点的去心邻域内的点未必可导。比如函数f(x)=0 当x是有理数。
f(x)=x^2 当 x是无理数。
只在x=0处点连续,并可导。按定义可验证在x=0处导数为0.
10.无穷小×有界=无穷小,但是:无穷大×有界未必等于无穷大。正确结论:无穷大×有界=未知,比如:当x趋向正无穷,x,x^2始终为无穷大,而1/x,1/x^2为有界量。注意到:x*(1/x^2)=1/x就是一个无穷小,而x^2*(1/x)=x却是无穷大,而x*(1/x)=1却是有限的。11.可导与连续是完全不一样的。有些同学看到题目说某个分段函数在某点xo连续,特别开心,他说易得:左导=右导=f(xo),你太天真了。其实:连续是说左极限=右极限=f(xo),可导是:lim(x->xo)f(x)=f(xo),且左导=右导。请搞清楚你要处理的问题。不要学了一个学期都是云里雾里,当然一学期没上过一节课的同学,除外。补充:在一元函数微分学中,可导必然连续,连续未必可导(这个显然嘛,y=|x|在x=0处连续但是不可导)。
12.很多初学者认为:∫(a到x)f(t)dt中,变量是t,这是错的,你忽略了变限积分的来历,自己去回顾一下变限积分的来历是大有裨益的。记住:这里x是变量,它求导=f(x)。
13.还有人问为什么高等数学中分母可以为0,他说比如0/0不是以0为分母,他的错误在于没有搞清楚我们所说的0不是真正的初等数学中的数字0,它表示极限0,由于极限等于0,我们习惯称为0/0形式。也就是说:若没有lim这个符号,0/0没有意义。事实上:再比如:货真价实的数字1,1^无穷 =1,若是(极限1)^无穷,则结果待定。★★★高等数学中由于极限的四则运算包括幂指数运算无法解决形如:0/0,1^无穷,无穷/无穷,等等7类运算。为此,产生了7种特殊的式子:不定式。由于结果不确定,所以称之为不定式。…………◆综上:我们现在学的是高等数学,几乎所有问题都是放在极限这个概念下讨论,但是你不能抛弃原有的初等数学知识理论,并且注意区分。
14.求数列极限不可直接使用洛必达,数列是整标函数,每个孤立点不连续,不可导,故不符合洛必达的条件1,为此:正确做法:先令n为x,再使用洛必达,最后换为n.
15. 无穷大的倒数是无穷小,无穷小的倒数是无穷大[但是请注意:这里的无穷小除去了0。
16.x趋向0,limsinx/x=1不可以使用洛必达法则证明,原因:(sinx)‘=cosx这个公式的证明使用了limsinx/x=1,所以犯了循环论证的错误~
17.关于洛必达法则的运用条件绝非0/0,无穷/无穷那么简单。洛必达的3个条件:⑴ x→a 时, lim f(x)=0,lim F(x)=0;
⑵在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;
⑶ x→a时, lim( f'(x)/F'(x) )存在或为无穷大
则x→a时,lim( f(x) / F(x))=lim( f'(x)/F'(x) ) ,◆◆◆请注意:1,第三点很容易被忽略,一般地:含有lim(x趋向无穷)sinx,或者cosx,是不会采用洛必达的;2,在解含有抽象函数f(x)时尤其注意第二点,在求最后一步导时我们使用的是导数定义,也就是你不能不停地洛必达直到把它洛出来,因为你不确定它最后一步时是否满足第二个条件,所
以每次做含有抽象函数的题使用洛必达+最后一步使用导数定义!3,单侧极限对于第二点的要求只是去心邻域内单侧可导。(如果你不注意以上这些,虽然在平常考试时有些老师不在意,但是如果你考研的话是会扣一半分以上的)
18.一般地:我们有以下结论:lim(x趋向xo)f(x)=a,则必然有lim(x趋向xo)|f(x)|=|a|。注意:★若a不为0,上述结论的逆命题未必成立[大多是不成立的],若a=0,上述结论逆命题仍然成立!
19.并不是所有二元函数极限都可以使用极坐标求解[尽管极坐标是一个好方法]。在使用极坐标时,应该同时注意到:θ和ρ的任意性。比如:(x,y)趋向(0,0),求lim(xy)/(x y),容易证明该极限不存在(一条路径:y=x,另一条:y=x^2-x),倘若使用极坐标,则得:limρ(cosθsinθ)/(cosθ+sinθ),此时有分母出现0的可能(取θ=45度),因此不确定该极限是否存在,本法失效,或者说:你无法证明(cosθsinθ)/(cosθ+sinθ)有界。综上:倘若使用极坐标,须同时考虑θ,ρ的任意性,不可盲目使用。
20. 注意仅当y=f(x)时有:y'=f'(x)。若y=f(■),■不等于x时,y'不等于f'(■)。比如:y=f(x^2),y'=f'(x^2)2x,而不是等于f'(x^2)。下面说明f'(■)和[f(■)]’的区别:f'(■)表示已知f'(x)的表达式,并且把■当做x代入,这个过程是代值过程;而[f(■)]‘的意思是求导,至于对谁求导,则根据■确定。注意:仅当■=x时,f'(■)=[f(■)]’,即:f'(x)=[f(x)]’,其他情况没有这个式子。综上:[f(■)]’=f’(■)■’。
21.一元函数中说f(x)连续可导不是指f(x)既连续又可导,“连续可导”意思是说f(x)的导函数连续。……………………………………ps:f(x)的导函数连续当然有f(x)既可导又连续,反之不然。
22.还有多少人不会三角函数中辅助角的两个公式:asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+u),其中u=arctan(b/a),强制要求a>0;asinx+bcosx=√(a^2+b^2)cos(x+u),其中u=arctan(-a/b),强制要求b>0。………………………………………………………………■ps:为什么要强制要求?[以第一个为例,第二个同理]原因在于:我们既然采用了用u=arctan[b/a]来确定u的值,好处在于u在[-派/2,派/2]上是一一对应的(因为y=tanx在该范围内单调),事实上,u的范围就是[-派/2,派/2],由此我们再来看给出的公式:asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+u),将右边展开得:√(a^2+b^2)cosusinx+√(a^2+b^2)sinucosx,根据待定系数原则可得:cosu=a/√(a^2+b^2),倘若我们不控制a>0,比如取a<0的话,那么cosu<0,显然u的范围已经落在二三象限中去了,而我们规定u在[-派/2,派/2],即一四象限,由此出现矛盾,所以a必须大于0,u的范围才吻合公式左右。
23.有谁考虑过为什么要强制要求重积分中上限不小于下限?其实,原因很简单。在于:dφ,dθ,dρ,dx,dy,dz,dr都是正数。
24.一个关于三角换元小疑问的研究与解答。我相信不止一个人考虑过这个问题。请看:求定积分I=∫[0,a]√[a^2-x^2]dx,当然可以用面积来做,这里为了说明疑问,不用面积做,而用三角换元做。……………★书上对定积分换元法的说明是这样的:设f(x)在[a,b]上连续,【当t从α变到β时,x=φ(t)要从φ(α)=a(单调地)变到φ(β)=b,这里不必要求φ(t)单调,即不必要求x=φ(t)有反函数存在】,但不允许x=φ(t)的取值变到区间[a,b]之外。此外,还要求φ(t)在[α,β]上具有连续的导数φ’(t),这时,定积分的换元公式才成立。…………………………■:简单说就是满足两个条件,单值加连续导数。…………■下面来做本题:令x=asint,则dx=acostdt,【当x=0时,t取0,x=a时,t取:派/2】,对于这个【】里面的过程有些同学无法接受,[问题1]凭什么x=0,t要取0,为什么不可以取派或者别的使得式子成立的t? [问题2]凭什么一定要上限>下限。解答问题1:首先为了满足单值,不可以取一个形如[派,5派/2]的区间去对应原来的[0,a]尽管相对于x
尽管相对x=asint来说不存在任何问题,但是你忽略了定积分换元的条件[单值],在此区间[派,5派/2]内x=asint不是单值的[意思是:令x=k,解得t不唯一]。所以不能取一个区间不满足单值的。比如:你取一个[0,派/2]这样的就是合适的,当然你取[派,派/2]这个也是对的,为什么请看证明?我们无疑地知道I=∫[0,a]√[a^2-x^2]dx=派a^2/4[用面积显然],下面通过计算来说明为什么取t属于[派,派/2]也是正确的。I=∫[0,a]√[a^2-x^2]dx=∫[派到(派/2)]a|cost|costdt。[说明:这里开根号注意是绝对值],由于此时t的范围是[派,派/2],所以cost<0,去绝对值时请注意这点,下面再用降幂公式易证答案正确。……………ps:你取任何一个单值区间满足题意都是正确的。只不过计算过程的问题。…………………………… 解答问题2:事实[问题1]证明在换元时可以上限<下限。■:综上:三角换元可以取你想取的值,但是请注意使用条件以及计算的简便化。末了附注:本题中a>0
25.收敛级数加括号仍然收敛,发散级数加括号未知;正项级数敛散形不受加括号的影响。
求极限的计算方法总结(转)
高等数学I 1. 当0x x →时,()(),x x αβ都是无穷小,则当0x x →时( D )不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是( C ). (A ) 1 (B ) e (C ) a e cot (D ) a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续,则a =( D ). (A ) 1 (B ) 0 (C ) e (D ) 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导,那么= --+→h h a f h a f h )2()(lim 0( A ). (A ) )(3a f ' (B ) )(2a f ' (C) )(a f ' (D ) ) (31 a f ' 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由 x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x ),则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行,则直 线l 的方程为 13 121 1--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 (-∞,0)和(1,+∞ ) . 三、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分) 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-.
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()() x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt = -? ,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ()( , )(2)( )(1 =+=? x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且 设 (A )2 2x (B )2 2 2 x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 )31(lim . 6. , )(cos 的一个原函数 是已知 x f x x = ? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 22 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 121 2 2 11 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. . d ) 1(17 7x x x x ? +-求
高数总复习(上) 一、求极限的方法: 1、利用运算法则与基本初等函数的极限; ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论
结论2: ()f x 是基本初等函数,其定义区间为D ,若0x D ∈,则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质; ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或(lim ()0x f x →∞ =) 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1:有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设 ~,~ααββ'',
且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则; ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。
(本小题5分) t 2 设 x e 2^ st 确定了函数y y (x ),求 dy . y e si nt dx (本小题5分) 求 x.、1 xdx . (本小题5分) (本小题5分) sin x , 2 dx. sin x (本小题5分) 设 x(t) e kt (3cos t 4sin t),求 dx . (本小题5分) 设函数y y (x )由方程y 2 ln y 2 x 6 所确定,求史. dx (本小题5分) 求函数y 2e x e x 的极值 (本小题5分) 求极限 H m (X 1)2 (2x 1)2 (3x 1)2 吃」 x (10x 1)(11x 1) (本小题5分) 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计80分) (本小题5 分) 求极限 lim x 2 (本小题5 分) (1 (本小题5 分) 3 X 3 12x 16 2x 3 9x 2 12x dx. 求极限 limarctan x x (本小题5分) arcsin 丄 求一^dx. 1 x (本小题5分) 求—x ,1 t 2 dt . dx 0 (本小题5分) 求 cot 6 x csc 4 xd x. (本小题5分) 1 2 x cos dx. 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 求函数 y 4 2x x 2的单调区间 Y
求 cos 空 dx. 1 sin xcosx 二、 解答下列各题 (本大题共2小题,总计14分) 1、 (本小题7分) 某农场需建一个面积为 另三边需砌新石条围沿 2、 (本小题7分) 2 求由曲线y -和y 2 三、 解答下列各题 (本大题6分) 设f (x ) x (x 1)( x 2)( x 3),证明f (x ) 0有且仅有三个实根. 512平方米的矩形的晒谷场, 一边可用原来的石条围 沿, , 问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省. 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 体积. 8 一学期期末高数考试( 答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计77分) 1、(本小题3分) 解:原式 lim 23x 12 - x 2 6x 18x 12 6x lim x 2 12x 18 2 2、(本小题3分) x 2 2 d x x ) d(1 x 2) "~L 2\ 2 (1 x ) 1 c. (1 丄 2 2 1 x 3、(本小题3分) 因为 arctanx 故 limarctan x x 4、 (本小题3分) x . dx 1 x 1x1, dx 1 x , dx dx 1 x x In 1 x 5、 (本小题3分) 1 而 limarcsin o 2 x x arcsin - o x C .
总复习(上) 一、求极限的方法: 1、利用运算法则与基本初等函数的极限; ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论 结论2: ()f x 是基本初等函数,其定义区间为D ,若0x D ∈,则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质; ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或(lim ()0x f x →∞ =) 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1:有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则; ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 1 0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。 未定式为0,,,0,00∞ ∞∞-∞?∞∞ 类型. ①定理(x a →时的0 型): 设 (1)lim ()lim ()0x a x a f x F x →→==; (2) 在某(,)U a δo 内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠;
大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂,则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小,但不是等价无穷小;(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小; (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小;(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小>0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值; (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值; (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值,但点(0,F(0))为曲线>'=F(x)的拐点; (D) 函数F(x)在* = °处没有极值,点(°,F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数,-W(x) = x + 2j o* f(t)dt,贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定,求0(兀)以及以。).
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是 等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .
大一上学期高数期末考试 、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1 设 f ( X )cos x (x sin x ),则在 x 0 处有( (A) f (0) 2 (B) f (0)1 (C) f (0)° c 设(x) 1 x , (x) 3 33 x ? 则当 x 1 时( 2. 1 X (A) g 与 M 是同阶无穷小,但不是等价无穷小; 是等价无穷小; (C) (X )是比(x)高阶的无穷小; (D) 无穷小? (A) 函数F (x )必在X 0处取得极大值; (B) 函数F (x)必在x 0处取得极小值; (C) 函数F(x)在xo 处没有极值,但点(o,F (o ))为曲线yF(x)的拐点; (D) 函数F”)在xO 处没有极值,点(:F (o ))也干是曲 线YF(x)的拐点。4设f (x)是连续函数,且 "X ) 22 X X 、僅產题(本夫龊右4小题' 2 8. 斥曰 二 ' 解答题(本大题有 5小题,每小题8分,共40分)exy sin(xy)1 9. 设函数y y (x)由方程确定,求y (x)以及y (0). 求I X 10. x(心 3?若F f(x) (X) 0 (2t x)f(t )dt ,其中f (x)在区间上(")二阶可导且 )? (D) MX)不可导. ) (B) (X)与(X) (X )是比(x)高阶的 2of(t)dt,则 f(x)( (D)? 4分,共16分) 5. lim (1 3x)办 x0\ / 6. 已知沪空是f(X)的一个原函数 X I r COS X 则 7. lim n —(cos 2 — n n cos3 ) n 2 x arcsin x i dx x 2 1 V1 A 2
1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) .d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) . 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求
(第七题删掉了) 8、(本小题5分) 设确定了函数求.x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) . 求dx x x ?+3 1 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间 y x x =+-422 11、(本小题5分) . 求? π +20 2sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) .,求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 .y y x y y x dy dx =+=()ln ,226
14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) . d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题,总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) . 823 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230
高等数学I (大一第一学期期末考试题及答案) 1. 当0x x →时,()(),x x αβ都是无穷小,则当0x x →时( D )不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限 a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是( C ). (A ) 1 (B )e (C )a e cot (D )a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续,则a =( D ). (A ) 1 (B ) 0 (C )e (D )1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导,那么= --+→h h a f h a f h )2()(lim 0( A ). (A ))(3a f '(B ))(2a f ' (C) )(a f '(D )) (31 a f ' 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是a 1. 6. 由x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x ),则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行,则直 线l 的方程为13 1211--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为(-∞,0)和(1,+∞). 三、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分) 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-. 解:1 1 ln(1)120 00(1)1 ln(1)lim lim lim 2x x x x x x x e e x x e e e x x x +-→→→+--+-===-
咼数期末考试 一、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 2 .lim (1 + 3x)sin x = 1. x -0 _______________________________________ . 已知cosx 是f(x)的一个原函数, 则 2. x x 兀 2兀 2 2兀 2 n — 1 lim — (cos 2 — + cos 2 ——+||| + cos 2 兀)= 3. “世 n n n n ______________ . 1 2 2 x arcsin x 1 , dx 二 2 — 1 书1 一 X 4. _ 运 ______________________ . 二、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 设口(x) = —x , P (x)=3-3%'x ,则当 X T 1 时( ) 5. 1 x . (A) 〉(x)与-(x) 是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )〉(x)与](x) 是等价无穷小; (C (X)是比-(x)高阶的无穷小; (D ) -(x) 是比〉(X)高阶的 无穷小. 6 设 f (x) = cos x( x + sin x ),则在 x = 0处有 ( A C ) ■ (D ) f(x) 不可导. x 7.若 F (x ) 二0( 2 —x ) f ( t ) dt ,其中f (x)在区间上(-1,1)二阶可导且 f (x) ,则( ). (A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值; (B) 函数F (x)必在x = 0处取得极小值; (C) 函数 F(x)在x=0处没有极值,但点(0, F(0))为曲线y = F(x)的拐点; (D) 函数F (x)在x=0处没有极值,点(0 ,F(0) )也不是曲线y 二F(x)的拐点。 1 设f (x)是连续函数,且 f (x) = x + 2 j° f (t)dt ,贝U f (x)=( (A ) 2 解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 10. 设函数厂y (x) 由方程e x y - sin(x y)二1 确定,求y (x) 以及y (°). 1 - x 7 8. 2 —+2 (B ) 2 (C ) x 1 (D ) x 2. 9. 三
第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) . d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) . 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) . 求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求.x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) . 求dx x x ?+30 1 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间 y x x =+-422Y 11、(本小题5分) .求? π +20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) .,求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 .y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分)
第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 (1)导数,左导数,右导数,微分以及导数和微分的几何意义 (2) 定理与运算法则 定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导,则)(x f y =在点x 0处连续;反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则:设)(,)(x v v x u u ==均可导,则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u , )0()(2≠-=v v udv vdu v u d (3)基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 (1)复合函数微分法 (2)反函数的微分法 (3)由参数方程确定函数的微分法 (4)隐函数微分法 (5)幂指函数微分法 (6)函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法:对数求导法(即先对式子的两边取自然对数,然后在等式的两端再对x 求导). (7)分段函数微分法 3. 高阶导数 (1)定义与基本公式
高阶导数公式:a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式: (2)高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , (K 为整数).问: (1)当K 为何值时,)(x f 在0=x 处不可导; (2)当K 为何值时,)(x f 在0=x 处可导,但导函数不连续; (3)当K 为何值时,)(x f 在0=x 处导函数连续? 解 函数)(x f 在x=0点的导数: 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当,,当发散 即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在, 当1>K 时, )(x f 的导函数为: ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K
广东技术师范学院期末考试试卷A 卷 参考答案及评分标准 高等数学(上) 一、填空题(每小题3分,共30分) 1. 如果函数)(x f y =的定义域为]1,0[,则)(ln x f 的定义域为],1[e .(3分) 2.已知2)0('=f ,而且0)0(=f ,则=→x x f x )2(lim 0 4 .(3分) 3.已知22lim e x x kx x =??? ??+∞→,则=k 1 .(3分) 4.曲线x x y ln =在点)0,1(处的切线方程是 1-=x y .(3分) 5.函数653 )(2+--=x x x x f 的间断点个数为 2 .(3分) 6.如果???????>+=<=0,)1ln(0 ,0, sin )(x x x x k x x x x f 在0=x 处连续,则=k 1 .(3分) 7.函数x e x f 2)(=的带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林展式为:(3分) )10()!1(2!2221)(112 <<++++++=++θθn x n n n x n e x n x x x f . 8.函数)0,,()(2≠++=p r q p r qx px x f 是常数,且,则)(x f 在区间],[b a 上 满 足拉格朗日中值公式的ξ=2b a +.(3分) 9.定积分()dx x x x 1011 sin ?-+的值为61.(3分) 10.设? +=C x F dx x f )()(,则?--dx e f e x x )(=C e F x +--)(.(3分) 二.计算题(要求有计算过程,每小题5分,共40分) 11.求极限113lim 21-+--→x x x x .(5分) 解:)13)(1()13)(13(lim 113lim 2121++--++-+--=-+--→→x x x x x x x x x x x x ---------(3分) 42)13)(1(2lim 1-=++-+-=→x x x x ----------------------------------(5分)
大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题 本大题有 小题 每小题 分 共 分 )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f ( )(0)2f '= ( )(0)1f '=( )(0)0f '= ( )()f x 不可导 )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα ( )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; ( )()()x x αβ与是等价无穷小; ( )()x α是比()x β高阶的无穷小; ( )()x β是比()x α高阶的无穷小 若 ()()()02x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ) ( )函数()F x 必在0x =处取得极大值; ( )函数()F x 必在0x =处取得极小值; ( )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; ( )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 ) ()( , )(2)( )(10=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 ( )22x ( )222x +( )1x - ( )2x + 二、填空题(本大题有 小题,每小题 分,共 分) =+→x x x sin 20)31(lim
,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =??x x x x f d cos )(则 lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ =-+? 21 21 2211arcsin -dx x x x 三、解答题(本大题有 小题,每小题 分,共 分) 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .d )1(177x x x x ?+-求 . 求,, 设?--?????≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x 设函数)(x f 连续, =?1 0()()g x f xt dt ,且→=0()lim x f x A x ,A 为常数 求'()g x 并讨论 '()g x 在=0x 处的连续性 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1 (1)9y 的解 四、 解答题(本大题 分) 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点 M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的 倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程 五、解答题(本大题 分) 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及 轴围成 平面图形
大一第一学期期末高等数学上试题及答案 Last revision on 21 December 2020
1、(本小题5分) 2、(本小题5分) 3、(本小题5分) 4、(本小题5分) 5、(本小题5分) 6、(本小题5分) (第七题删掉了) 8、(本小题5分) 9、(本小题5分) 10、(本小题5分) 11、(本小题5分) 12、(本小题5分) 13、(本小题5分) 14、(本小题5分) 15、(本小题5分) 16、(本小题5分) 二、解答下列各题 (本大题共2小题,总计14分) 1、(本小题7分) 2、(本小题7分) 三、解答下列各题 ( 本大题6分 ) (答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计77分) 1、(本小题3分) 2、(本小题3分) 3、(本小题3分) 4、(本小题3分) 5、(本小题3分) 6、(本小题4分) 8、(本小题4分) 9、(本小题4分) 10、(本小题5分) 解: ) , (+∞ -∞ 函数定义域 11、(本小题5分) 12、(本小题6分) 解:dx x t dt ='() 13、(本小题6分)
14、(本小题6分) 解:定义域,且连续(),-∞+∞ 15、(本小题8分) 16、(本小题10分) 二、解答下列各题 (本大题共2小题,总计13分) 1、(本小题5分) 2、(本小题8分) 三、解答下列各题 ( 本 大 题10分 ) 一、填空题(每小题3分,本题共15分) 1、.______)31(lim 2 0=+→x x x 。 2、当 时,?????>+≤=00 e )(2x k x x x f x 在0=x 处连续. 3、设x x y ln +=,则______=dy dx 4、曲线x e y x -=在点(0,1)处的切线方程是 5、若?+=C x dx x f 2sin )(,C 为常数,则=)(x f 。 二、单项选择题(每小题3分,本题共15分) 1、若函数x x x f =)(,则=→)(lim 0x f x ( ) A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在 2、下列变量中,是无穷小量的为( ) A. )0(1 ln +→x x B. )1(ln →x x C. ) 0(cosx →x D. )2(422→--x x x
大一上学期高数复习要点 同志们,马上就要考试了,考虑到这是你们上大学后的第一个春节,为了不影响阖家团圆的气氛,营造以人文本,积极向上,相互理解的师生关系,减轻大家学习负担,以下帮大家梳理本学期知识脉络,抓住复习重点; 1.主要以教材为主,看教材时,先把教材看完一节就做一节的练习,看完一章后,通过看小结对整一章的内容进行总复习。 2.掌握重点的知识,对于没有要求的部分可以少花时间或放弃,重点掌握要求的内容,大胆放弃老师不做要求的内容。 3.复习自然离不开大量的练习,熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理! 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律(最好掌握证明过程)邻域(去心邻域)函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则(重新推导证明过程)熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式: 两个重要极限: 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数
洛必达法则: 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: ①在着手求极限以前,首先要检查是否满足或型,否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时(不包括∞情形),就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则失效,应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具,但是如果仅用洛必达法则,往往计算会十分繁琐,因此一定要与其他方法相结合,比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点: 注意:首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断(注意二阶导数的符号) 四.不定积分:(要求:将例题重新做一遍) 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表(共24个基本积分公式) 不定积分的性质 最后达到的效果是会三算两证(求极限,求导数,求积分)(极限和中值定理的证明),一定会取得满意的成绩!
高数期末考试 一、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 2. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 3. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 4. = -+? 2 12 12 211 arcsin - dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 5. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的 无穷小. 6. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 7. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 8. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )2 2x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 9. 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 10. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 11. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '=(B )(0)1f '=(C )(0)0f '=(D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小;(B )()()x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小;(D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则(). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x -(D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则. 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ. 8. = -+? 2 1 2 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. . 求,, 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x