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数学归纳法在恒等式中的应用
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毕业论文
数学归纳法在恒等式中的应用
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目录
摘要 (1)
1.数学归纳法的定义概述 (2)
1.1常用数学证明方法 (2)
1.2数学归纳法的定义 (3)
2.数学归纳法的步骤 (4)
3.易错分析 (5)
3.1弄不清n k
=+时的式子变化 (5)
=到1
n k
3.2运用数学归纳法时忽略了n k
=时的假设条件 (5)
4.运用数学归纳法的典型例题 (5)
5.中学数学中关于数学归纳法的用途 (6)
参考文献 (6)
致谢 (6)
数学归纳法在恒等式中的应用
【摘要】数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法。数学归纳法在恒等式的证明中有着其非常巧妙的一面,尤其是在证明与自然数有关的命题时更是有其独特之处.要熟练的应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。最后我们在通过用数学归纳法证明简单恒等式的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。
【关键词】归纳法猜想恒等式证明方法
【ABSTRACT】Mathematical induction is a very important mathematical methods, it is not only to our middle school mathematics learning have great help, but also in higher mathematics after the study and research is also an important way. Mathematical induction in the proof of identity has its very clever side, especially in the proof and nature of the proposition when there is unique. To the application of mathematical induction skilled, we must first accurately understand its significance and skilled The master problem-solving steps, and in three steps into the use of assumptions is particularly critical, the use of assumptions summarized introduced guess the most important. In the end we proved that by using a simple mathematical induction identities in the process, can more deeply understand and master, "summed up - guess - that" this discovery to explore ways of thinking.
【KEY-WORDS】Induction; Suspicion; Identical equation; Proof
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数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻
辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 证明了前 n 个奇数的总和是2n。最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成:递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。不要把整个第二步称为归纳假设。) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。
1 数学归纳法的概述
1.1 常用数学证明方法
数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学恒等式的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，常用的数学方法大致有以下几种：
1.1.1 演绎推理——从一般到特殊的推理叫做演绎推理，它又称演绎法。
1.1.2 归纳推理——由特殊到一般的推理叫做归纳推理，它又称归纳法。归纳推理分为完全归纳法不完全归纳法两种。
1.1.3 不完全归纳法——根据某类事物中一些事物具有某种属性，推出该类事物全体都有这种属性的归纳推理，叫做不完全归纳法。
1.1.4 完全归纳法——在研究了事物的所有（有限）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。(完全归纳法得出的结论是可靠的)。
1.1.5 数学归纳法——数学归纳法是证明与自然数n相关命题的一种方法。
1.2 数学归纳法的定义
数学归纳法概念: 数学归纳法是一种先得出首个例子的正确性,而后通过递推的方式证明命题是否正确的一种方法. 常用来证明与自然数n有关的相关命题
2 数学归纳法的步骤
数学归纳法步骤严谨,如果把要证明的命题记作P(n),那么数学归纳法的步骤为: (1) 证明当n取对命题适用的第一个自然数n1时,p(n1)正确。
2
(2)假设n=k(*
且k大于等于零)时,命题成立,即p(k)正确.证明当n=k+1时命
k N
题成立。
(3)根据(1) 、(2) 当k 大于等于零 且 *k N ∈ 时 ,即p(n)正确。
运用数学归纳法证题时, 以上三个步骤缺一不可, 步骤(1)时 正确的奠基步骤,称之为归纳基础, 步骤(2)反应了无限递推关系,即命题的正确性具有传递性,若只有步骤
(1), 而无步骤(2),只是证明了命题在特殊情况下的正确性是不完全归纳法,若只有步骤(2),而没有步骤1,那么假设n=k 成立,就时没有根据的,缺少递推的基础,也无法进行递推,有了步骤(1)和步骤(2)使递推成为了可能,步骤(3)是将步骤(1)步骤(2)结合完成数学归纳法中递推的全过程,因此三个步骤缺一不可。
3 易错分析
刚刚接触数学归纳法时容易出现对步骤把握不清的现象，下面针对几种常见错误进行分析
3.1 弄不清n k =到1n k =+时的式子变化
例1 用数学归纳法证明: (1)(2)(n+n)=213(21)n n n n ++??- ,从“k ”到“1k +”左端需增乘的代数式为：
A .2(21)k + B.2(1)k + C.211k k ++ D.231
k k ++ 错误解法：n k =时，式子左端为(1)(2)()(1)(2)(3)2k k k k k k k k +++=+++ ，
1n k =+时，式子左端为(1)(2)(11)k k k k +++++ 故选B 。
分析：1n k =+时，左端第一个因式也有所变化，不能简单地看后面的因式。
正确解法：当n k =时，左端为(1)(2)2k k k ++ 为从1k +到2k 连续整数的乘积。
3.2 运用数学归纳法时忽略了n k =时的假设条件。
例2 用数学归纳法证明：*n N ∈时，
1111335(21)(21)21n n n n +++=??-?++ 错误解法： (1)当n=1时，左边=11133=?， 右边=13
,等式成立。 (2)假设(1n k k =≥，*k N ∈)时，等式成立。 即1111335(21)(21)21
k k k k +++=??-?++ 则当1n k =+时， 3
11111335(21)(21)(21)(23)
k k k k ++++??-?++?+
=11111111(1233521212123
k k k k -+-++-+--+++ ) =11(1)223k -+=12(1)1
k k +++ 所以1n k =+时，等式成立
综上所述 当*n N ∈时，1111335(21)(21)21
n n n n +++=??-?++ 成立 分析：在证明1n k =+等式成立时，没有用到归纳假设
正确解法：
(1)当1n =时，左边=113?=13
=右边，等式成立。 (2)假设(1n k k =≥，*k N ∈)时，等式成立，
121(21)(23)k k k k ++++=(23)1(21)(23)k k k k ++++=2231(21)(23)k k k k ++++=123k k ++=12(1)1
k k +++ 所以1n k =+时，等式也成立
综上所述，对一切*n N ∈，1111335(21)(21)21
n n n n +++=??-?++ 都成立。 数学归纳法要运用“归纳假设”，没有“归纳假设”的证明不是数学归纳法。
4 运用数学归纳法的典型例题
例3 用数学归纳法证明：
tan tan 2tan 2tan3tan(1)tan()n n αααααα+++- =*tan()(tan
n n n N α-∈，2)n ≥ 分析：本题第一步的验证要取2n =，在第二步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的和角公式
证明：(1)当2n =时，右边=tan 22tan αα-=2221tan α--=222tan 1tan αα
- =tan tan 2αα =左边，等式成立
(2)假设当n k =时，等式成立，就是tan tan 2tan 2tan 3αααα++
tan(1)tan()k k αα+- =tan()tan k k αα
-. =tan()tan k αα+[]
tan(1)tan()(1)tan (1)k k k k k αααα+--++-=tan(1)(1)tan k k αα+-+ 4
点评：本题在第(2)步的证明过程中使用了正切和差角的变形形式，即
1tan(1)tan()k k αα++ =[]
tan(1)tan()tan (1)k k k k αααα+-+-。因此在用数学归纳法证明三角命题时，应针对1n k =+时命题的特征，合理地选择和使用三角公式。
证明三角恒等式时,常动用有关三角知识、三角公式及三角的变换法.
例4 求证:
11112446682(22)n n ++++=???+ *()4(1)n n N n ∈+ 证明:(1)当n=1时,等式左边= 11248=? 右边= 114(11)8
=?+,等式成立. (2) 假设*()n k k N =∈时等式成立,即11112446682(22)
k k ++++=???+ *()4(1)
n n N n ∈+成立，由(1)和(2)可知*()n N ∈等式均成立。 5 中学数学中关于数学归纳法的用途
数学归纳法在讨论涉及正数无限性的问题时是一种非常重要的方法,在中学数学着中它的地位和作用可以从三个方面来看:(1)中学数学中的许多重要结论,如等差数列、等比数列的的通项公式与前n 项和公式,二项公式定理等都可以用数学归纳法进行证明. 对于由完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们也常采用数学归纳法来证明它们的正确性。(2)运用数学归纳法可以证明许多数学问题.既可以开阔眼界,又可以受到推理论证的训练.对于一些用常规的分析终合法不好证明的题,用数学归纳法往往会得到一些意想不到的好结果 (3) 数学归纳法在进一步学习数学时会经常用到,因此掌握这种方法可以为今后的高等数学的学习打下一个良好的基础.
6 结 论
数学归纳法主要是针对一些自然N 的相关命题,所以在证明和自然数N 有关的恒等式子中有着不可替代的作用,对于一些和自然数N 有关的长式子、繁式子都有化长为短、化繁为简的功效.用数学归纳法证明数学问题时,要注意它的两个步骤缺一不可,第一步是命题递推的基础,第二步是命题递推的依据,也是证明的关键和难点,两个步骤各司其职,互相配合,同时,数学归纳法的证明步骤与格式的规范是数学归纳法的特征,如n=k 时的假设是第二步证明的“已知”步证明时一定要用到它,否则就不是数学归纳法,证明
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三角恒等式时,常动用有关三角知识、三角公式以及三角的变换法.通过这些变换可以更容易的让命题得证.在证明n=k+1时命题成立,要用到一些技巧,如:一凑假设,二凑结论,加减项、拆项、不等式的放缩、等价转化等，这些解题的技巧要在实践中不断总结和积累,，总之要记住三句话：“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写时莫忘掉”,这样我们才可以更好的运用数学归纳法.数学归纳法是一种重要的数学方法,也是中学数学的重难点之一,它在对于开阔眼界,训练推理能力等方面都有很大的帮助.在中学数学中,数学归纳法对于许多重要的结论,如等差数列、等比数列的的通项公式与前n项和公式,二项公式定理等都可以用数学归纳法进行证明,进而可以加深对教材以及知识的理解.当然不仅在中学数学中,在进一步学习高等数学的过程中,数学归纳法也是一种不可或缺的方法
【参考文献】
[1] 华罗庚 .数学归纳法 [M] 北京：科学出版社,2002. 12-15
[2] 王力，张宇.数学归纳法的教学[J].初等数学研究.2007, 23(9).120-123
[3] G·波利亚著. 涂泓、冯承天译.怎样解题[M].上海:上海科技教育出版
社,2007.15-18
致谢
本篇论文虽然凝聚着自己的汗水，但却不是我个人智慧的产品，没有老师的指导和赠予，没有同学们和朋友们的帮助和支持，我在大学的学术成长肯定会大打折扣。当我打完毕业论文的最后一个字符的时候。涌上心头的不是我已经完成了毕业论文带给我的喜悦，而是源自心底的诚挚谢意。我首先要感谢我的指导老师冯全民，对我的构思以及论文的内容和论文格式书写不厌其烦的进行多次指导和悉心指点，使我在完成论文的同时也深受启发和教育！再次还要感谢数学与计算机系的黄顺发主任、方俊等老师对我的指导和教诲，在本次论文设计中，我从指导老师冯全民身上学到了很多东西。冯全民老师认真负责的工作态度，严谨治学的精神和深厚的理论水平都使我受益匪浅，在理论和实践重点都给予我很大的帮助！我也在努力的积蓄着力量，尽自己最大的努力回报母校的培育之情，争取让自己在以后的人生中对社会产生积极的价值从而提升自己的人生价值！
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浅谈数学归纳法 国良 井冈山大学数理学院邮编：343009 指导老师：艳华 [摘要]用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的两个步骤缺一不可，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据，也是证明的关键和难点，两个步骤各司其职，互相配合.数学归纳法经历无数数学的潜心研究与科学家们的利用，是数学归纳法得以发展和它为数学问题与科学问题的发现做出了极大的贡献。学好归纳法是科学问题研究的最基础的知识. [关键词]理论依据；数学归纳法；表现形式 1 数学归纳法的萌芽和发展过程 数学归纳法思想萌芽可以说长生于古希腊时代。欧几里德在证明素数有无穷多多个时，使用了反证法，通过反设“假设有有限多个”，使问题变成“有限”的命题，其中证明里隐含着：若有n个素数，就必然存在第n+1个素数，因而自然推出素数有无限多个，这是一种是图用有限处理无限的做法，是人们通过过有限和无限的最初尝试。 欧几里德之后直到16世纪，在意大利数学家莫洛克斯的《算术》一书中明确提出一个“递归推理”原则，并用它证明了1+2+3+…+（2n-1）=2n,对任何自然数n都成立。不过他并没有对这原则做出清晰的表述。 对数学归纳法首次作出明确而清晰阐述的是法国数学家和物理学家帕斯卡，他发现了一种被后来成为“帕斯卡三角形”的数表。他在研究证明有关这个“算术三角形”的一些命题时，最先准确而清晰的指出了证明过程且只需的两个步骤，称之为第一条引理和第二条引理：
第一条引理 该命题对于第一底（即(n=1)成立，这是显然的。 第二条引理 如果该命题对任意底（对任意n ）成立，它必对其下一底（对n+1）也成立。 由此可得，该命题对所有n 值成立。 因此，在数学史上，认为帕斯卡是数学归纳法的创建人，因其所提出的两个引理从本质上讲就是数学归纳法的两个步骤，在他的著作《论算术三角形》中对此作了详尽的论述。 帕斯卡的思想论述十一例子来述归纳法的，而在他的时代还未建立表示一般自然数的符号。直至十七世纪，瑞士数学家J 。伯努利提出表示任意自然熟的符号之后，在他的《猜度术》一书中，才给出并使用了现代形式的数学归纳法。由此，数学归纳法开始得到世人的承认并得到数学界日益广泛的应用。十九世纪，意大利数学家皮亚若建立自然数的公理体系时，提出归纳公理，为数学归纳法奠定了理论基础。即：对于正整数N +的子集M ，如果满足：①1∈M;②若a ∈M ，则a+1∈M ；则M=N +. 2 数学归纳法的表现形式 2.1 第一数学归纳法 原理1：设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果 （1）当00()n n n N +=∈时，()P n 成立； （2）假设0(,)n k k n k N +=≥∈时命题成立,由此推得n=k+1时，()P n 也成立； 那么，对一切正整数n 0n ≥,()P n 成立。 证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么S ≠?，于是由最小数原理，S 中有最小数a ,
1# 数学归纳法 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在 第二步时，正确的证法是 ( ) A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立 C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立 2．(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1
说明：这是论文提纲模版（你现在正在看的这个文件），在下载这一文件后，你可以就在这一模版上，编写你的论文（将这一文件中相应位置的内容，改写为你的论文内容即可）。请注意这一文件中的格式形式，即字体、字号、标题序号的使用方法。以后的提纲稿件，都在此基础上进行修改。 （看后请将所有的红蓝字全部删除，以下相同） 东北财经大学自学考试本科毕业论文 银行在如理中何防范客务风险(论文主标题,黑体2号加粗) ——兼展趋论了不起的发势(黑体小2号加粗，如无副标题，可删除) 作者张家港 专业 总考号 指导教师 答辩日期 成绩
内容提要(黑体3号 ) 由于……………………为了………………………，阐述了………在各个方面的现状，……，论文集中分析了………………………，重点讨论了……………，就…………问题提出了………………………………个人的看法，并说明了…………………………。文中的创新之处在于………………………。本文共由××××、×××××、××××××、×××××九大部分构成。（说明：宋体、小四、行间距：固定值20磅） 说明：摘要中要写作的内容应包括： ①选题的动机（为什么要写作你所选择的题目，要达到什么目的或写作这一题目有什么意义或作用等）； ②论文正文中的主要写作内容（由哪几大部分组成或论述了哪些主要内容或从哪几个方面论述了问题，针对问题提出了哪些解决办法等等）； ③写作者对所论述问题的主要观点或结论等（有什么创新观点，或你提出了什么新的见解，或你赞同什么观点等）。 摘要应是上述内容的综合，并形成一个完整、顺畅的段落，字数要控制在300——500字之间。] 关键词(黑体4号)：管理会计应用研究发展趋势(黑体小4号)… 以下是写作论文提纲（纲要）的一种模式：把要写作的内容构思与基本框架，以一、二、三级标题的形式，按以下方式列示出来，字数在600——1200字之间。（建议采用这一格式，也就是你可仿照下面的形式，编写你的提纲）。
《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？
1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发
本科生毕业论文（设计）册 作者姓名： 指导教师： 所在学部：信息工程学部 专业：数学与应用数学 班级（届）：2014届2班 二〇一四年五月十日
学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文《谈谈数学归纳法》，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者（签名）：指导教师确认（签名）： 年月日年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学汇华学院有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学汇华学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在年解密后适用本授权书） 论文作者（签名）：指导教师（签名）： 年月日年月日
河北师范大学汇华学院本科毕业论文（设计）任务书 编号：2014230302099 学部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级： 2014届2班 学生姓名：学号： 2010511882 指导教师：张硕职称：副教授 1、论文（设计）研究目标及主要任务 通过对数学归纳法定义、理论依据、基本形式等深入的学习，灵活的运用数学归纳法,分析其易错点和解题技巧，并给出自己的建议与思考. 2、论文（设计）的主要内容 （1）数学归纳法的定义、数学归纳法的理论依据、数学归纳法的基本类型； （2）研究数学归纳法解决的常见题型； （3）剖析使用数学归纳法解决应用问题时易出现的错误和解题技巧； （4）数学归纳法的推广应用. 3、论文（设计）的基础条件及研究路线 基础条件：学校拥有大型图书馆和校园网，到学校图书馆查找资料或者上网检索收集大量相关的最新资料，在写作的过程中有指导老师的指导. 研究路线：通过对数学归纳法基本内容的学习研究，归纳总结其在解决问题中的应用方法，并从中分析出解题的误区和一些做题的技巧，提出自己的思考建议． 4、主要参考文献 [1]张莉,贺贤孝.数学归纳法的历史[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),1999, (2):102-106. [2]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京大学出版社,1997:37-38． [3]余元希等.初等代数研究（上册）[M].高等教育出版社,2010:8-11． [4]李明振、齐建华、王跃进等. 数学方法与解题研究[M].上海科技教育出版社, 2014:183-201 [5]吴志翔著.证明不等式[M]．河北人民出版社，1982:56-59． 指导教师: 年月日教研室主任: 年月日
解析数学归纳法思想 嘉兴教育学院吴明华 从数学和思想的含义去理解，所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果．数学思想是人们对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识（文①第1页）．数学思想广泛存在于数学的概念、方法和过程之中，具有奠基性、总结性和广泛性的特征．与数学方法相比，数学思想具有更高的概括抽象水平，因而更本质、更深刻．可以这么说，数学思想是数学方法的精神实质与理论基础，而数学方法则是实施有关数学思想的技术与操作程式． 数学归纳法是一种特殊的证明方法，它的基本形式是：对于一个与自然数（此处约定最小的自然数为1，即正整数）有关的命题，如果①当时命题成立；②假设当时命题成立，则当时命题也成立，那么命题对一切自然数n都成立． 在“中学数学核心概念、思想方法体系及其教学设计”课题第8次活动中，围绕两位教师的课堂展示，课题组对数学归纳法及其教学进行了广泛和深入的讨论，涉及到一些本质性的问题但尚未达成统一的认识．本文阐述笔者对数学归纳法所蕴涵的数学思想的一些认识，试图从本质上去理解数学归纳法． 1．数学归纳法中的归纳思想 对于一个与自然数有关的命题，数学归纳法将命题理解为一系列命题： ，，，…，即N}．然后由命题，，，…都成立去下结论“命题成立”，这就是笔者重点所指的数学归纳法中的归纳思想．所谓归纳，是指从特殊到一般，从局部到整体的推理．命题是一般的、整体的，而命题，，，…中的每一个都是特殊的、局部的，即使从所有命题，，
，…都成立去概括得出命题成立，其思想也是归纳的思想（完全归纳）．让我们想想，对于一个与自然数有关的命题，我们是否有过不用归纳法去处理的经历？譬如说，求证，我们曾经这样做过： 设，则， 所以，故． 我们的证明只是“就一般的自然数n而言”，也就是说，我们并没有逐个地去考察 ，，…命题是否成立，而只是把n当作“某个”（当然是任意一个）自然数直接去考察命题是否成立，这在数学上叫做“不失一般性”．其实，这样的例子在数学中比比皆是． 让我们从更一般的情形来阐述归纳思想．对于一个数学对象P，如果P可以分解为若干个种类，，，…，那么从研究，，，…入手，概括得到对象P的属性的思想，就是归纳的思想．这与分类讨论有点相似，但分类讨论常常是获得对象P在各种情况下的不同结果，而归纳则取向于获得，，，…的共性，以及由这些共性所反映的对象P的本质． 有几个问题是必须讲清楚的．首先，数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推” 工作，实际上是两个命题的证明，即证明①命题“”成立，②命题“若，则”成立，而这两个命题自身的证明常常用的是“演绎法”．其次，以“归纳递推”为大前提，以命题成立为小前提，得出命题成立，等等的推理过程也是演绎的．还有，若将自然数公理中的归纳公理（见本文后述）理解为大前提，将数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推”理解为小前提，那么得出命题成立的推理过程也是演绎的（文①第110页）．但这些都不妨碍数学归纳法在处理与自然数有关的命题时所体现出来的归纳思
_ 成 绩 评 定 答辩小组评语： 论文首先介绍了五种数学归纳法，并给出相关的例题。紧接着又介绍了数学归纳法在初等数论中的应用且应注意的问题。该生参考了一定的文献资料，对其理解和应用一般，文章篇幅基本符合学院规定，内容基本完整，层次结构安排基本恰当，但论文选题一般且缺乏个人见解。论文选题符合专业培养目标，题目有一定难度，但工作量一般，基本达到了本科毕业论文的要求。 论文观点明确，文字基本通顺，答辩时表达基本清楚，回答问题基本正确，经答辩小组充分讨论，一致同意通过毕业论文答辩。 评定成绩（优秀、良好、中等、及格、不及格）： 答辩小组组长签名： 年 月 日 分学位委员会意见： 分学位委员会主席签名： 年 月 日 洛阳师范学院 本科生毕业论文（设计）基本情况表 __数学科学学院__院（系） 开 题 报 告 姓 名 性别 学 号 专 业 年 级 孙** 女 110412016 数学与应用数学 2011级 题 目 数学归纳法及其在初等数论中的应用 课题来源 （2） 综 述 选题目的、国外研究现状、选题意义、需要解决的主要问题及可行性等。 选题目的：数学归纳法我们从中学就开始接触，但是有时对的原理并非特别清楚。在诸多证明方法中，数学归纳法那种机械又明快的结构，特立独行. 它的思想性价值很高，是从有限通向无限的第一条高速公路，有里程碑式的作用。特别是在初等数论中的应用。 国内外研究现状：在国内外大学教育中，数学归纳法是数学研究中必不可少的一部分，具有特别重要的地位，因此引起了大量学者对它的研究，其研究也是比较完整和全面的。 选题意义：虽然在课本上有许多例题应用数学归纳法，但是并没有详细介绍它的来源和原理，而且它在证明初等数论中的定理和各种各样的数学问题时，还有着非常广泛 的应用，这就是这篇论文产生的必要性。 需要解决的主要问题及可行性：大学课本上关于数学归纳法定理的证明不是十分完整。本文将会补充完整.说明一些定理在初等数论中成立，最后再将这些定理通过一些例题进行应用。 思 路 及 方 法 思路：首先叙述数学归纳法内容和它的定理的证明，在此基础上再用数学归纳法来 证明初等数论中的例题，最后说明应用数学归纳法在初等数论中应该注意的问题。 方法：本论文采用文献研究法，演绎推理，反证法等多种方法。 指导教师签名： 年 月 日 课题来源：（1）教师建议；（2）学生拟定；（3）企业和社会征集；（4）科研单位提供
议论文写作提纲（示例1） 《谈意气》 一、引论（1）用雏鹰翱翔天宇、骏马驰骋万里引出中心论点：英雄创业靠的是舍我其谁勇战万方的勇气。（类比） 二、本论（2—7）分三层论证中心论点。第一层（2-3）分论点1：舍我其谁的意气使人奋起。（例证、引证） 论据：李贺、陈胜、孟子豪言壮语（效果分析法） 第二层（4-5）分论点2：献身理想的意气使人勇敢。（例证、排比） 论据：布鲁诺、哥伦布、红军的事例（因果分析法） 第三层（6-7）分论点3：勇于探索的意气使人发挥潜力。（例证） 论据：杨振宁、李政道、吴剑雄、王淦昌（因果分析法） 三、结论（8）用浆、巨轮、彼岸作比归纳全文，激励人们。（比喻） 谈意气 如果说雏鹰腾飞苍穹要经历风雨的击打，那么那搏击长空的意气就是它那犀利的双眼；如果说骏马奔驰于旷野要经历千万里奔跑的锤炼，那么那奔腾万里为夙愿的意气就是助其翻越千山万水的铁蹄；人，欲傲立于世，成为一代雄杰，成就一世伟业，那舍我其谁，勇战万方的意气就是其成功的基石。 舍我其谁的意气，使人奋起。 看惯了凡人的庸庸碌碌，听厌了庸人的自怨自艾，一句“男儿何不带吴钩，收取关山五十州”使我们心中重燃建功立业的激情；听厌了对命运的感伤，想破了身世的无济，那句“王侯将相宁有种乎”的振臂一呼，使我们重生改变命运的豪气。舍我其谁，使我们重新审视自己，重新找到自己身上的闪光点，重新树立起一个全新的自我形象。舍我其谁的意气，使我们充分认识到自己的价值与能力，使我们为了自己身上所担负的重任而勇猛作战。——舍我其谁的意气，是人们腾飞的起点。 献身理想的意气，使人勇敢。 凡人欲成大事者，皆需受尽千磨万砺。也许上天就是喜欢捉弄那矢志于成功的人们，他总是要为孜孜于辉煌的人们设置障碍。那障碍， 可能是罗马宗教裁判所前的熊熊烈火，可能是哥伦布远航新大陆中连天风雷，可能是红军长征中的雪山草地。然而，幸运的人们呵，他们还有理想，在献身理想的意气的指引下，他们如布鲁诺一般投身于火海，为捍卫真理而与烈火永生；他们在献身理想的意气指引下，如哥伦布一般义无反顾地踏上征途为探寻未知世界而披肝沥胆；在献身理想的意气的指引下，他们如红军战士一般豪气顿生征服千山万水为拯救民族而抗争，献身理想的意气，是成功的精神动力。勇于探索的意气，是人们发挥潜能的金钥匙。 科学，充满了未知的美。好奇的人类站在自然与社会圣殿的门口，不时的规探其中的奥妙，而只有勇于探索的人勇敢地踏入了上帝设置的禁区，徜佯于科学的无尽美妙。于是我们看见杨振宁李政道勇于质疑前 人，看见吴剑雄勤于实验破解谜云，看见一代大师王淦昌在极其恶劣的科研条件下为物理学发展献计献策。——勇于探索的意气，是成功之眼。 …… 望尽人类千载悠悠的历史，凡成大事者，皆为意气风发，慷慨激越之人。让我们以舍我其谁的意气为帆，以献身理想的意气为指引，以勇于探索，勇于挑战的意气为浆，驾起人生的巨轮，向着成功的彼岸远航！ 议论文写作提纲（示例2） 《学会历史般的旁观》（议论性散文）
如何编写论文提纲 编写提纲的步骤： (一)确定论文提要，再加进材料，形成全文的概要 论文提要是内容提纲的雏型。一般书、教学参考书都有反映全书内容的提要，以便读者一翻提要就知道书的大概内容。我们写论文也需要先写出论文提要。在执笔前把论文的题目和大标题、小标题列出来，再把选用的材料插进去，就形成了论文内容的提要。 (二)原稿纸页数的分配 写好毕业论文的提要之后，要根据论文的内容考虑篇幅的长短，文章的各个部分，大体上要写多少字。如计划写20页原稿纸(每页300字)的论文，考虑序论用1页，本论用17页，结论用1—2页。本论部分再进行分配，如本论共有四项，可以第一项3—4页，第二项用4—5页，第三项3—4页，第四项6—7页。有这样的分配，便于资料的配备和安排，写作能更有计划。毕业论文的长短一般规定为8000—10000字，因为过短，问题很难讲透，而作为毕业论文也不宜过长，这是一般大专、本科学生的理论基础、实践经验所决定的。 (三)编写提纲 论文提纲可分为简单提纲和详细提纲两种。简单提纲是高度概括的，只提示论文的要点，如何展开则不涉及。这种提纲虽然简单，但由于它是经过深思熟虑构成的，写作时能顺利进行。没有这种准备，边想
边写很难顺利地写下去。以《关于培育和完善建筑劳动力市场的思考》为例，简单提纲可以写成下面这样： 一、序论 二、本论 (一)培育建筑劳动力市场的前提条件 (二)目前建筑劳动力市场的基本现状 (三)培育和完善建筑劳动力市场的对策 三、结论 详细提纲，是把论文的主要论点和展开部分较为详细地列出来。如果在写作之前准备了详细提纲，那么，执笔时就能更顺利。下面仍以《关于培育和完善建筑劳动力市场的思考》为例，介绍详细提纲的写法：一、序论 1．提出中心论题； 2，说明写作意图。 二、本论 (一)培育建筑劳动力市场的前提条件 1．市场经济体制的确立，为建筑劳动力市场的产生创造了宏观环境；2．建筑产品市场的形成，对建筑劳动力市场的培育提出了现实的要求； 3．城乡体制改革的深化，为建筑劳动力市场的形成提供了可靠的保证； 4．建筑劳动力市场的建立，是建筑行业用工特殊性的内在要求。
第2课时数学归纳法的应用双基达标(限时20分钟) 1．利用数学归纳法证明1 n＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n<1(n∈N *，且n≥2)时，第二步 由k到k＋1时不等式左端的变化是 ()． A．增加了 1 2k＋1 这一项 B．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项 C．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项，同时减少了 1 k这一项 D．以上都不对 解析不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n 的等差数列，当n＝k时，左端为1 k＋ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k；当n＝k＋1时， 左端为 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ，对比两式，可得结论． 答案 C 2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是 ()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确 B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确 C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确 D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*) 解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确． 答案 B 3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于
()．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2 解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分． 答案 C 4．已知S n＝1 1·3＋ 1 3·5＋ 1 5·7＋…＋ 1 (2n－1)(2n＋1) ，则S1＝________，S2＝________， S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________. 解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝n 2n＋1 . 答案1 3 2 5 3 7 4 9 n 2n＋1 5．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除． 答案2x2k－y2k能被x＋y整除 6．用数学归纳法证明： 1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 n2＜2－ 1 n(n≥2)． 证明：(1)当n＝2时，1＋1 22＝ 5 4＜2－ 1 2＝ 3 2，命题成立． (2)假设当n＝k时命题成立，即1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 k2＜2－ 1 k，当n＝k＋1时， 1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 k2＋ 1 (k＋1)2 ＜2－ 1 k＋ 1 (k＋1)2 ＜2－ 1 k＋ 1 k(k＋1) ＝2－ 1 k＋ 1 k－ 1 k＋1＝2－ 1 k＋1 ，命题成立． 由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立． 综合提高(限时25分钟)
目录 1、数学归纳法---------------------------------------------------------- 3 1.1 归纳法定义-------------------------------------------------------- 3 1.2 数学归纳法体现的数学思想----------------------------------------- 4 1.2.1 从特殊到一般------------------------------------------------ 4 1.2.2 递推思想---------------------------------------------------- 4 2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧------------------------------------- 5 2.1 强调------------------------------------------------------------- 5 2.1.1 两条缺一不可------------------------------------------------ 5 2.2 技巧------------------------------------------------------------- 5 2.2.1 认真用好归纳假设-------------------------------------------- 5 2.2.2 学会从头看起------------------------------------------------ 6 2.2.3 在起点上下功夫---------------------------------------------- 7 2.2.4 正确选取起点和过渡------------------------------------------ 8 2.2.5 选取适当的归纳假设形式-------------------------------------- 9 3、数学归纳法在中学数学中的应用 ---------------------------------------- 9 3.1 证明有关自然数的等式--------------------------------------------- 9 3.2 证明有关自然数的不等式------------------------------------------ 11 3.3 证明不等式------------------------------------------------------ 11 3.4 在函数迭代中的应用---------------------------------------------- 12 3.5 在几何中的应用-------------------------------------------------- 14 3.6 在排列、组合中的应用-------------------------------------------- 16 3.7 在数列中的应用-------------------------------------------------- 16 3.8 有关整除的问题-------------------------------------------------- 17
1.5 归纳法原理与反归纳法 数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n =1正确；若假设此命题对n －1正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n =1正确，因而命题对n =2也正确，然后命题对n =3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明． 定理1.19 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对n =1是正确的，而且假定如果命题Ｔ对n 的正确性就能推出命题Ｔ对n +1也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法） 证明 设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 (1) M ∈1． 设M n ∈，则命题Ｔ对n 正确，这时命题对n n '=+1也正确，即 (2) M n ∈' 所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立． 下面我们给出一个应用数学归纳法的命题． 例１ 求证 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 证明 (1)当n =1时，有 16 ) 112()11(112 =+?++?= 所以n =1，公式正确． (2)假设当k =n 时，公式正确，即 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 那么当k =n ＋１时，有 =+++++=+++++2 2222222)1()21()1(21n n n n =++++2 ) 1(6 ) 12)(1(n n n n =++++6 ) 1(6)12)(1(2 n n n n =++++6 )] 1(6)12()[1(n n n n =+++6 ) 672)(1(2 n n n =+++6) 32)(2)(1(n n n =+++++6 ) 1)1(2)(1)1)((1(n n n 所以公式对n +1也正确．
数学毕业（学位）论文题目汇总 一、数学理论 1.试论导函数、原函数的一些性质。 2.有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。 3.数学中一些有用的不等式及推广。 4.函数的概念及推广。 5.构造函数证明问题的妙想。 6.对指数函数的认识。 7.泰勒公式及其在解题中的应用。 8.导数的作用。 9.Hilbert空间的一些性质。 10.Banach空间的一些性质。 11.线性空间上的距离的讨论及推广。 12.凸集与不动点定理。 13.Hilbert空间的同构。 14.最佳逼近问题。 15.线性函数的概念及推广。 16.一类椭圆型方程的解。 17.泛函分析中的不变子空间。 18.线性赋范空间上的模等价。 19.范数的概念及性质。 20.正交与正交基的概念。 21.压缩映像原理及其应用。 22.隐函数存在定理的再证明。 23.线性空间的等距同构。 24.列紧集的概念及相关推广。 25.Lebesgue控制收敛定理及应用。 26.Lebesgue积分与Riemann积分的关系。 27.重积分与累次积分的关系。 28.可积函数与连续函数的关系。 29.有界变差函数的概念及其相关概念。 30.绝对连续函数的性质。 31.Lebesgue测度的相关概念。 32.可测函数与连续函数的关系。 33.可测函数的定义及其性质。 34.分部积分公式的推广。 35.Fatou引理的重要作用。 36.不定积分的微分的计算。 37.绝对连续函数与微积分基本定理的关系。 38.Schwartz不等式及推广。 39.阶梯函数的概念及其作用。 40.Fourier级数及推广。
41.完全正交系的概念及其作用。 42.Banach空间与Hilbert空间的关系。 43.函数的各种收敛性及它们之间的关系。 44.数学分析中的构造法证题术， 45.用微积分理论证明不等式的方法 46.数学分析中的化归法 47.微积分与辩证法 48. 积分学中一类公式的证明 49.在上有界闭域的D中连续函数的性质 50.二次曲线中点弦的性质 51.用射影的观点指导中学初等几何内容 52.用近代公理分析中学几何中的公理系统 53.球上Hardy空间上的加权复合算子 54.多圆盘上不同Bergman空间上的加权复合复合算子 55.从加权Bergman空间到Bloch空间的加权复合算子 56.从加权Bergman空间到加权Bloch空间的加权复合算子 57.刻画I[x] ,K[x,y](进而R[x],R为Pid)中的素理想，其中I为整数环，K为域。 58.给出求方程X2+Y2=Z2 的所有整数解的三种不同方法。 59.对于每个n≥2,找出对称群Sn 在Mn(Z) 中的一个表示(模型),其中Mn(Z)为整数环Z上的n 阶矩阵环. 60.给出Euler定理(若(a,m)=1，则) 的三种不同证明。 61.试论矩阵环（代数）Mn(K)的基本结构性质，其中以为域，n≥2. 62.试述函数在数学中的地位和作用。 63.阐明函数理论在高等数学中的地位和作用。 64. 浅谈微分学（或积分学）在中学数学教学中的应用 65.论在数学教学中培养学生的创新精神。 66.初等几何变换在中学数学（代数、几何、三角）中的应用 67.从随机方法（概率方法）处理非随机数学问题看数学的统一性。 68.构造函数证题的妙想与思维方法的特点 69.数学知识的分类及其教学策略 70.数学知识的分类测量与评价 71.关于导函数性态的讨论与研究 72.泰勒公式及其应用 73.概率方法在讨论其它数学问题中的一些应用 74.随机变量函数的分布密度及其求法 75.用微积分理论证明不等式的方法 76.数学分析中的化归法 77.微积分与辩证法 78.刻画I[x] ,K[x,y](进而R[x],R为Pid)中的素理想，其中I为整数环，K为域。 79.给出求方程X2+Y2=Z2 的所有整数解的三种不同方法。 80.对于每个n≥2,找出对称群Sn 在Mn(Z) 中的一个表示(模型),其中Mn(Z)为整数环Z上的n 阶矩阵环. 81.给出Euler定理(若(a,m)=1，则) 的三种不同证明。 82.试论矩阵环（代数）Mn(K)的基本结构性质，其中以为域，n≥2.
作为毕业生，面临毕业论文该如何撰写呢？而文章都有一个提纲，如果按照提纲来写，可以提高速率。现提供大学生毕业论文提纲范文，希望对毕业的你有帮助。 摘要：目录引言 1 一、我国外贸依存度的现状2 二、我国名义外贸依存度提升的原因3 三、我国外贸依存度实际水平的估算和与国际间贸易的比较5 （一）我国外贸依存度实际水平的估算 5 1、加工贸易在对外贸易结构中的比重较大 5 2、我国GDP总值被低估 5 3 目录 引言 1 一、我国外贸依存度的现状 2 二、我国名义外贸依存度提升的原因 3 三、我国外贸依存度实际水平的估算和与国际间贸易的比较 5 （一）我国外贸依存度实际水平的估算 5 1、加工贸易在对外贸易结构中的比重较大 5 2、我国GDP总值被低估5 3、汇率的影响 5 4、外资企业的影响 6 5、产业结构的影响 6 （二）我国外贸依存度的实际水平的国际比较 6 四、外贸依存度增高对我国经济的影响7 （一）外贸依存度增高对我国经济的不利影响7 1、对外贸易摩擦加剧8 2、影响国家经济安全8
3、影响国内产业发展8 4、恶化贸易条件8 （二）外贸依存度增高对我国经济有利影响9 1、促进了有序竞争9 2、中国在世界贸易中的分额上升9 3、通过加工贸易熟悉了国外的技术、管理、市场9 4、中国贸易的发展创造了大量的就业机会9 五、合理调控外贸依存度的措施9 1、继续扩大对外开放9 2、扩大内需10 3、促进加工贸易的升级转型10 4、大力发展服务贸易10 5、重视我国进出口依存度的结构性指标，推进市场多元化和出口产品结构优化战略10 6、完善国内经济核算制度10 7、完善人民币汇率形成机制，保持人民币汇率基本稳定11 结论与启示11 参考文献11 作文提纲的形式一般有两种。 1．标题式提纲 这种提纲比较简单，只写出行文各段的标题。
高中数学公式大全及巧记口诀 离2012年高考只剩63天了，因为高中数学在高考中占有较大的比分，很多同学在数学上失分很多，其主要原因是同学们对数学基础知识记忆和掌握不够到位。因此我们乐恩特教育网整理了高中数学公式大全及巧计口诀，以便同学们轻松掌握数学公式，在高考数学复习上达到事半功倍的效果！以下就是整理的高中数学公式大全及巧记口诀： 一、《集合与函数》 内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。 复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。 指数与对数函数，两者互为反函数。底数非１的正数，１两边增减变故。 函数定义域好求。分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数； 正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。 两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴； 求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。 幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数， 奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割； 中心记上数字１，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角， 顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小， 变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变， 将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值， 余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。 计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。 逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。
大学毕业论文提纲模板范例 提纲，是一个反映了论文的基本观点、佐证材料、论证角度和步骤，下面是搜集整理的毕业模板，供大家阅读参考。 通常，毕业论文提纲模板有以下几部分： 第一章引言 1.1问题的提出(或写作背景、研究背景) 1.2研究的目的 1.3研究的方法 第二章有关理论综述 2.1有关理论的涵义 2.2有关理论的内容 2.3有关理论的新发展 第三章 ××公司简介 3.1××的历史沿革 3.2××的现状(生产经营、组织机构、职工队伍……) 3.3××存在的问题 第四章 ××公司状况的调查分析 4.1调查方法 4.2调查样本的选择 4.3基本结论 或者： 第四章 ××公司存在问题及其原因分析 4.1××存在的问题
4.2××存在问题的原因分析 或者： 第四章 ××××经验 4.1… 4.2… 4.3… 第五章 ×××××对策建议 5.1…… 5.2…… 5.3…… …… (注意对策建议与问题的呼应)或者： 第五章 ×××经验的有益启示5.1…… 5.2…… 5.3…… 第六章结束语 范文： 摘要 6-9 ABSTRACT 9-12 目录 13-18 第1章绪论 18-40 1.1 研究背景和意义 18-24
1.1.1 研究背景 18-23 1.1.2 研究意义 23-24 1.2 国内外文献综述 24-35 1.2.1 国外文献综述 24-31 1.2.2 国内文献综述 31-35 1.3 研究内容与方法 35-38 1.3.1 研究内容与基本框架 35-38 1.3.2 研究方法 38 1.4 主要创新点 38-40 第2章资源型区域经济发展方式转变与金融功能的理论基础 40-56 2.1 研究对象界定 40-46 2.1.1 资源 40-41 2.1.2 资源型区域 41-46 2.2 经济发展方式转变的内涵 46-49 2.2.1 经济发展目标的多元化 46-47 2.2.2 经济发展动力的转变 47-48 2.2.3 经济结构优化 48-49 2.3 金融功能理论 49-55 2.3.1 金融发展理论的演进 49-51 2.3.2 金融功能理论框架 51-54 2.3.3 本研究在金融功能理论体系中的定位 54-55 2.4 小结 55-56 第3章资源型区域金融功能分析 56-86