北师大版七年级数学上册第四章基本平面图形专题练习题
专题(一) 线段的计算
1、如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点．
(1)若AC＝9 cm，CB＝6 cm，则MN＝_____cm；
(2)若AC＝a cm，CB＝b cm，则MN＝_____cm；
(3)若AB＝m cm，求线段MN的长；
(4)若C为线段AB上任意一点，且AB＝n cm，其他条件不变，你能猜想MN的长吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论．
2、若MN＝k cm，求线段AB的长．
3、若C在线段AB的延长线上，且满足AB＝p cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，并说明理由．
4、如图，已知点C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点．
(1)若AB＝24，CD＝10，求MN的长；
(2)若AB＝a，CD＝b，请用含有a，b的式子表示出MN的长．
5、如图，N 为线段AC 中点，点M ，B 分别为线段AN ，NC 上的点，且满足AM ∶MB ∶BC ＝1∶4∶3.
(1)若AN ＝6，求AM 的长； (2)若NB ＝2，求AC 的长．
6、如图，点B ，D 在线段AC 上，BD ＝13AB ，AB ＝3
4CD ，线段AB ，CD 的中点E ，F 之间的距离
是20，求线段AC 的长．
7、已知线段AB ＝60 cm ，在直线AB 上画线段BC ，使BC ＝20 cm ，点D 是AC 的中点，求CD 的长．
8、如图，数轴上A ，B 两点对应的有理数分别为10和15，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q 同时从原点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t 秒．
(1)当0＜t ＜5时，用含t 的式子填空：
BP ＝____，AQ ＝____； (2)当t ＝2时，求PQ 的值； (3)当PQ ＝1
2AB 时，求t 的值．
专题(二) 角度的计算
1、如图，已知∠AOB 内部有三条射线OE ，OC ，OF ，且OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC. (1)若∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则∠EOF ＝____； (2)若∠AOC ＝α，∠BOC ＝β，则∠EOF ＝____；
(3)若∠AOB ＝θ，你能猜想出∠EOF 与∠AOB 之间的数量关系吗？请说明理由．
2、若∠EOF ＝γ，求∠AOB.
3、如图，若射线OC 在∠AOB 的外部，且∠AOB ＝θ，OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，则上述(3)中的结论还成立吗？请说明理由．
4、如图，已知∠AOB内部有顺次的四条射线：OE，OC，OD，OF，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOD.
(1)若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，则∠EOF的度数为____；
(2)若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF的度数；
(3)从(1)(2)的结果中，你能看出什么规律吗？
5、如图，OC平分∠AOB，∠AOD∶∠BOD＝3∶5，已知∠COD＝15°，求∠AOB的度数．
6、如图，OC是∠AOB的平分线．
(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；
(2)在(1)的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；
(3)当∠AOB＝α，∠EOC＝90°时，直接写出∠AOE的度数．(用含α的式子表示)
7、如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠BOC ＝60°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OB 上，另一边OM 在直线AB 的上方．
(1)在图1中，∠COM ＝30度；
(2)将图1中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转，使得ON 在∠BOC 的内部，如图2，若∠NOC ＝1
6
∠MOA ，求∠BON 的度数； (3)将图1中的三角板绕点O 以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线ON 恰好平分锐角∠BOC 时，旋转的时间是____秒；(直接写出结果) (4)在旋转过程中，∠MOC 与∠NOB 始终保持的数量关系是____，并请说明理由． 参考答案
专题(一) 线段的计算
1、如图，点C 在线段AB 上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点．
(1)若AC ＝9 cm ，CB ＝6 cm ，则MN ＝7.5cm ； (2)若AC ＝a cm ，CB ＝b cm ，则MN ＝1
2(a ＋b)cm ；
(3)若AB ＝m cm ，求线段MN 的长；
(4)若C 为线段AB 上任意一点，且AB ＝n cm ，其他条件不变，你能猜想MN 的长吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论．
解：(3)因为点M 是AC 的中点，所以CM ＝1
2AC.
因为点N 是BC 的中点，所以CN ＝1
2BC.
所以MN ＝CM ＋CN ＝12AC ＋12BC ＝12AB ＝1
2m cm.
(4)猜想：MN ＝12AB ＝1
2
n cm.
结论：当C 为线段AB 上一点，且M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN ＝1
2AB 一定成立．
2、若MN ＝k cm ，求线段AB 的长． 解：因为点M 是AC 的中点，所以CM ＝1
2AC.
因为点N 是BC 的中点，所以CN ＝1
2BC.
所以MN ＝CM ＋CN ＝12AC ＋12BC ＝1
2AB.
所以AB ＝2MN ＝2k cm.
3、若C 在线段AB 的延长线上，且满足AB ＝p cm ，M ，N 分别为AC ，BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，并说明理由．
解：猜想：MN ＝12AB ＝1
2p cm.理由如下：
当点C 在线段AB 的延长线上时，如图．
因为点M 是AC 的中点，所以CM ＝1
2AC.
因为点N 是BC 的中点，所以CN ＝1
2BC.
所以MN ＝CM －CN ＝12(AC －BC)＝12AB ＝1
2
p cm.
4、如图，已知点C ，D 为线段AB 上顺次两点，M ，N 分别是AC ，BD 的中点． (1)若AB ＝24，CD ＝10，求MN 的长；
(2)若AB ＝a ，CD ＝b ，请用含有a ，b 的式子表示出MN 的长．
解：(1)因为AB ＝24，CD ＝10， 所以AC ＋DB ＝AB －CD ＝14. 因为M ，N 分别是AC ，BD 的中点， 所以MC ＋DN ＝1
2(AC ＋DB)＝7.
所以MN ＝MC ＋DN ＋CD ＝17. (2)因为AB ＝a ，CD ＝b ， 所以AC ＋DB ＝AB －CD ＝a －b. 因为M ，N 分别是AC ，BD 的中点， 所以MC ＋DN ＝12(AC ＋DB)＝1
2
(a －b)．
所以MN ＝MC ＋DN ＋CD ＝12(a －b)＋b ＝1
2(a ＋b)．
5、如图，N 为线段AC 中点，点M ，B 分别为线段AN ，NC 上的点，且满足AM ∶MB ∶BC ＝1∶4∶3.
(1)若AN ＝6，求AM 的长； (2)若NB ＝2，求AC 的长．
解：设AM ＝x ，则MB ＝4x ，BC ＝3x ， 所以AC ＝AM ＋MB ＋BC ＝8x. 因为N 为线段AC 中点， 所以AN ＝NC ＝
1
2AC ＝4x.
(1)因为AN ＝6， 所以4x ＝6.解得x ＝3
2.
所以AM ＝3
2
.
(2)NB ＝NC －BC ＝4x －3x ＝2，解得x ＝2. 所以AC ＝8x ＝16.
6、如图，点B ，D 在线段AC 上，BD ＝13AB ，AB ＝3
4CD ，线段AB ，CD 的中点E ，F 之间的距离
是20，求线段AC 的长．
解：设BD ＝x ，则AB ＝3x ，CD ＝4x ， 因为线段AB ，CD 的中点分别是E ，F ， 所以BE ＝12AB ＝1.5x ，DF ＝1
2CD ＝2x.
因为EF ＝BE ＋DF －BD ＝20， 所以1.5x ＋2x －x ＝20.解得x ＝8.
所以AC ＝AE ＋EF ＋CF ＝1.5x ＋20＋2x ＝12＋20＋16＝48.
7、已知线段AB ＝60 cm ，在直线AB 上画线段BC ，使BC ＝20 cm ，点D 是AC 的中点，求CD 的长．
解：当点C 在线段AB 上时，如图1.
图1
CD ＝12AC ＝12(AB －BC)＝12×(60－20)＝1
2×40＝20(cm)．
当点C 在线段AB 的延长线上时，如图2.
图2
CD ＝12AC ＝12(AB ＋BC)＝12×(60＋20)＝1
2×80＝40(cm)．
所以CD 的长为20 cm 或40 cm.
8、如图，数轴上A ，B 两点对应的有理数分别为10和15，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q 同时从原点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t 秒．
(1)当0＜t ＜5时，用含t 的式子填空： BP ＝5－t ，AQ ＝10－2t ； (2)当t ＝2时，求PQ 的值； (3)当PQ ＝1
2
AB 时，求t 的值．
解：(2)当t ＝2时，AP ＜5，点P 在线段AB 上，OQ ＜10，点Q 在线段OA 上，如图1.
图1
此时PQ ＝OP －OQ ＝(OA ＋AP)－OQ ＝(10＋t)－2t ＝10－t ＝8. (3)①当点P 在点Q 右边时，如图2.
图2
此时，AP ＝t ，OQ ＝2t ，OA ＝10，AB ＝5. 所以PQ ＝OA ＋AP －OQ ＝10＋t －2t ＝10－t. 当PQ ＝1
2AB 时，即10－t ＝2.5，解得t ＝7.5.
②当点P 在点Q 左边时，如图3.
图3
此时，OQ ＝2t ，AP ＝t ，OA ＝10，AB ＝5. 所以PQ ＝OQ －OA －AP ＝2t －10－t ＝t －10.
当PQ ＝1
2AB 时，即t －10＝2.5，解得t ＝12.5.
综上所述，当PQ ＝1
2AB 时，t ＝7.5或12.5.
专题(二) 角度的计算
1、如图，已知∠AOB 内部有三条射线OE ，OC ，OF ，且OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC. (1)若∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则∠EOF ＝45°； (2)若∠AOC ＝α，∠BOC ＝β，则∠EOF ＝α＋β
2
；
(3)若∠AOB ＝θ，你能猜想出∠EOF 与∠AOB 之间的数量关系吗？请说明理由．
解：∠EOF 与∠AOB 之间的数量关系是∠EOF ＝12∠AOB ＝1
2θ.
理由：因为OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ， 所以∠EOC ＝12∠BOC ，∠COF ＝1
2
∠AOC.
所以∠EOF ＝∠EOC ＋∠COF ＝12∠BOC ＋12∠AOC ＝12(∠BOC ＋∠AOC)＝12∠AOB ＝1
2θ.
2、若∠EOF ＝γ，求∠AOB.
解：因为OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ， 所以∠EOC ＝12∠BOC ，∠COF ＝1
2
∠AOC.
所以∠EOF ＝∠EOC ＋∠COF ＝12∠BOC ＋12∠AOC ＝12(∠BOC ＋∠AOC)＝1
2∠AOB.
因为∠EOF ＝γ， 所以∠AOB ＝2γ.
3、如图，若射线OC 在∠AOB 的外部，且∠AOB ＝θ，OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ，则上述(3)中的结论还成立吗？请说明理由．
解：∠EOF ＝1
2
θ成立，
理由：因为OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOC ， 所以∠EOC ＝12∠BOC ，∠COF ＝1
2
∠AOC.
所以∠EOF ＝∠COF －∠EOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC)＝12∠AOB ＝1
2
θ.
4、如图，已知∠AOB 内部有顺次的四条射线：OE ，OC ，OD ，OF ，且OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD.
(1)若∠AOB ＝160°，∠COD ＝40°，则∠EOF 的度数为100°； (2)若∠AOB ＝α，∠COD ＝β，求∠EOF 的度数； (3)从(1)(2)的结果中，你能看出什么规律吗？
解：(2)因为∠EOF ＝∠COE ＋∠COD ＋∠FOD ＝12∠AOC ＋∠COD ＋12∠BOD ＝1
2(∠AOC ＋∠BOD)＋
∠COD ＝12(∠AOB －∠COD)＋∠COD ＝12∠AOB ＋1
2∠COD ，∠AOB ＝α，∠COD ＝β，
所以∠EOF ＝12α＋12β＝1
2
(α＋β)．
(3)若∠AOB 内部有顺次的四条射线：OE ，OC ，OD ，OF ，且OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，
则∠EOF ＝1
2
(∠AOB ＋∠COD)．
5、如图，OC 平分∠AOB ，∠AOD ∶∠BOD ＝3∶5，已知∠COD ＝15°，求∠AOB 的度数．
解：设∠AOD ＝3x ，则∠BOD ＝5x. 所以∠AOB ＝∠AOD ＋∠BOD ＝3x ＋5x ＝8x. 因为OC 平分∠AOB ，
所以∠AOC ＝12∠AOB ＝1
2×8x ＝4x.
所以∠COD ＝∠AOC －∠AOD ＝4x －3x ＝x. 因为∠COD ＝15°， 所以x ＝15°.
所以∠AOB ＝8x ＝8×15°＝120°. 6、如图，OC 是∠AOB 的平分线． (1)当∠AOB ＝60°时，求∠AOC 的度数；
(2)在(1)的条件下，∠EOC ＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE 的度数； (3)当∠AOB ＝α，∠EOC ＝90°时，直接写出∠AOE 的度数．(用含α的式子表示)
解：(1)因为OC 是∠AOB 的平分线，
所以∠AOC ＝1
2∠AOB.
因为∠AOB ＝60°， 所以∠AOC ＝30°.
(2)如图1，∠AOE ＝∠EOC ＋∠AOC ＝90°＋30°＝120°.
如图2，∠AOE ＝∠EOC －∠AOC ＝90°－30°＝60°. 所以∠AOE 的度数为120°或60°. (3)90°＋α2或90°－α
2
.
7、如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠BOC ＝60°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OB 上，另一边OM 在直线AB 的上方．
(1)在图1中，∠COM ＝30度；
(2)将图1中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转，使得ON 在∠BOC 的内部，如图2，若∠NOC ＝1
6
∠MOA ，求∠BON 的度数； (3)将图1中的三角板绕点O 以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线ON 恰好平分锐角∠BOC 时，旋转的时间是3或21秒；(直接写出结果)
(4)在旋转过程中，∠MOC与∠NOB始终保持的数量关系是∠MOC－∠NOB＝30°，并请说明理由．
解：(2)设∠NOC＝x°，则∠MOA＝6x°，∠BON＝60°－x°.
由题意，得6x°＋90°＋60°－x°＝180°，解得x＝6.
所以∠BON＝60°－x°＝60°－6°＝54°.
图3
(4)∠MOC－∠NOB＝30°，
①当ON在∠BOC的内部时，如图3，
因为∠MOC＋∠CON＝∠NOM＝90°，所以∠MOC＋(∠BOC－∠NOB)＝90°.
所以∠MOC＋60°－∠NOB＝90°.所以∠MOC－∠NOB＝30°.
图4
②当ON在∠BOC的外部时，如图4，
因为∠MOC－∠CON＝∠NOM＝90°，
所以∠MOC－(∠NOB－∠BOC)＝90°.
所以∠MOC－∠NOB＋60°＝90°.
所以∠MOC－∠NOB＝30°.
综上所述，∠MOC－∠NOB＝30°.