平面向量易错题解析
赵玉苗整理
1你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？
2 ___________
2、你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用|a|2a ；|a| x2—y2）
3、你知道解决向量问题有哪两种途径？（①向量运算；②向量的坐标运算）
4、你弄清"a b x1x2 y°2 0 ”与"a//b 捲y2x2y1 0” 了吗？
［问题］:两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？
（1）在实数中：若a 0,且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若a 0,且a? b 0，不能推
出b 0 .
（2）已知实数a, b,c, （b o），且ab bc，则a=c,但在向量的数量积中没有a? b b? c a c .
(3) 在实数中有（a ?b） ?c a ?（b ?c），但是在向量的数量积中(a? b) ? c a?(b?c)，这是因为
左边是与c共线的向量，而右边是与a共线的向量.
5、向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗？
6、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？
1、向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注
uuu
意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2 ），则把向量A B按向量a =（- 1,3 ）平移后得到的向量是__________ （答：（3,0 ））
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
uuu
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是AB ）;
|AB| （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作： a // b , 规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平
行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直
r uuu umr
线重合；③平行向量无传递性！（因为有0）;④三点A B、C共线AB AC共线；
（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。
如下列命题：（1）若a b，则a b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
uuu umr uur uuir r r r r （3）若AB DC , UABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则AB DC。（5）若a b,b c , 则a c。（6）若a//b,b//c，贝U ；//：。其中正确的是_________ （答: （4）（5））
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a , b , c等；（3）坐标表示法：在平面内建立
直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为基底，则平面内的任一向量a可表示为
a xi y j x, y ，称x, y 为向量a 的坐标，a = x, y 叫做向量a 的坐标表示。如果 向量的起点在 原点，那么向量的坐
标与向量的终点坐标相同。
3.
平面向量的基本定理：如果e i 和e 2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对该平面内的任一向量 a ，
有且只有一对实数 1、 2，使a = 心+ 2 e 2O 女口( 1)若a (1,1)b
r r 1 r 3r
一 (1, 1),c (1,2)，则c __________ (答：—a -b ); (2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A.
2 2
um IT in IT uu irmi13 e (0,0), e 2 (1, 2) B. q ( 1,2)0 (5,7) C. q (3,5)(2 (6,10) D.耳(2, 3)忌(-,-)
urnr uuu uuir r uuu r uur
r r
(答：B );( 3)已知AD,BE 分别是 ABC 的边BC,AC 上的中线，且AD a,BE b ,则BC 可用向量a,b 表
2 r 4 r
示为______ (答：2a -b )；( 4)已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD 2 DB , CD r AB sAC ,
3 3
则r s 的值是—(答: 0)
4、 实数与向量的积 ：实数 与向量a 的积是一个向量，记作
a ，它的长度和方向规定如下：
r r — — _ _
1 a a , 2当 >0时， a 的方向与a 的方向相同，当 <0时， a 的方向与a 的方向相反，当 r r ?
=0 时， a 0 ,注意： a M 0。
5、 平面向量的数量积：
- uuu r uuu r (1)两个向量的夹角：对于非零向量a , b ，作OA a, OB b , AOB
称为向量a , b 的夹角，当
=0时，a , b 同向，当
= 时，a , b 反向，当 =一时，
2
—fe-
f
a ,
b 垂直。
f _
r r
(2)平面向量的数量积：如果两个非零向量 a , b ，它们的夹角为
，我们把数量|a||b|cos 叫做
a 与
b 的数量积(或内积或点积)，记作：a ? b ，即卩a ? b = a b cos 。规定：零向量与任一向量的数 量积是0,注
意数量积是一个实数，不再是一个向量
。如
(1) △ ABC 中, | AB | 3 , | AC | 4 , | BC | 5，则 AB BC __________ (答:- 9);
r 1 r 1 r r r u r r r u (2) 已知 a (1-),b
(0, -),c a kb,d a b , c 与 d 的夹角为—，则 k 等于 ___ (答：1 )； 2 2 4 r r
(3) 已知a 2, b 5,ago ___ 3，贝U a b 等于 (答：J23 );(4)已知a,b 是两个非零向量，
且
a b a b ，则a 与a b 的夹角为 _____________ (答: 3。°)
(3) b 在a 上的投影为| b | cos ，它是一个实数，但不一定大于 0。如已知|a| 3 , | b | 5,且
(4) a ?b 的几何意义：数量积a ?b 等于a 的模| a |与b 在a 上的投影的积。
(5)向量数量积的性质：设两个非零向量 a , b ，其夹角为
则：
r r r r ① a b a ?b 0 ；
—b- f —r r r2 r r r 2 r f T 2 f T T r
②当a , b 同向时，a ? b = a b ，特别地，a a?a a , a va ;当a 与b 反向时，a ? b =
r r r r
r r r r
— a b ；当为锐角时，a ? b >0, 且a 、b 不同向，a b 0是
为锐角的必要非充分条件；当为钝 12，则向量a 在向量b 上的投影为 _________ 12 （答:—）
5
角时，
L r r
a ?
b v 0，且a、b不反向,
r
a b 0是为钝角的必要非充分条件；
-一a?b r r r r
③非零向量a , b夹角的计算公式：cos ?卡：④| a ?b | | a || b |。如(1)已知a ( ,2 ),
b (3 ,2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则
的取值范围是
(答:
4
或 0 且 1 ); (2)
3
3
已知 OFQ 的面积为S ，且OF FQ 1 , S —，贝U OF , FQ 夹角的取值范围是 2
(cosx,s in x),b (cosy,si n y), a 与 b 之间有关系式 ka
(—,—));(3 )已知 a 4 3
73 a kb ，其中k 0 ,①用k 表示a b ;②求a b 的最小值，并求此时a 与b 的夹角 的大小(答: --(k 0);②最小值为— 4k 2 60o ) 6、向量的运算： (1)几何运算： ① 向量加法：利用“平行四边形法则” 外，向量加法还可利用“三角形法则” uuu uuu uuu a b AB BC AC ; ② 向量的减法：用 点指向被减向量的终点。
iuu uuiu nur ② AB AD DC 进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之 :设 unr T uuu T AB a, BC b ，那么向量 uur T T
AC 叫做a 与b 的和，即 uur :设AB T uuur T
T a, AC b,那么 a
“三角形法则” 注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 uuu uuu uuiT uuiT ③(AB CD) (AC BD) uuu T uuu 形ABCD 的边长为1, AB a,BC I uuu UULT OB OC 所在平面内一点，且满足 T uuiT T T b, AC c ,则 |a uuu uuur uuu OB OC 2OA ，则 VABC 若D 为 ABC 的边BC 的中点， ABC 所在平面内有一点 则 的值为—(答：2); ( 5)若点O 是厶ABC 的外心， (答: 120o ); T T
(2)坐标运算：设 a (x 1, y 1), b (x 2, y 2)，则：
T T
①向量的加减法运算：a b (x 1 x 2, y 1 y 2)。
LUU UUT UULT AP AB AC( R)，则当 时, uu u AB unr uuu
A C C A ，由减向量的终 ? uuu uuu uuu
如(1)化简：①AB BC CD ; uuu uuu T
(答：①AD :②CB :③0 ); (2)若正方 (答：2 近)；(3)若 O 是 VABC 的形状为 P ，满足 uu u PA uu u BP UU U OA uu u OB UU LT CO
_(答：直角三角形);(4) UJU
UUU T | API CP 0，设电UQ
, |PD|
则△ ABC 的内角C 为
已知点 A(2,3), B(5,4) , C(7,10)，若 1
点P 在第一、三象限的角平分线上(答： —);(2)已知 2
1 uuu A(2,3),B(1,4),且 AB
2 用在点A(1,1)的三个力 (答: (9,1 )) ②实数与向量的积 (sin x,cos y) , x,y uu F 1 uu (3,4), F 2 (2, (--)，贝y x y ____________ (答：一或 )；(3)已知作 2 2 6 2 UT LT uu uu uu 5),F
3 (3,1)，则合力F F 1 F 2 F 3的终点坐标是 ________
h uuu ③若 A(X 1,y 1)
, B(x>,Y 2)，则 AB N , y i 。
X 2 段的终点坐标减去起点坐标。 如设A(2,3), B( 心2 y 1 ， uiLT 1,5)，且 AC 即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线 1 uuu HIIT uuu
-AB , AD 3AB ，贝U C D 的坐标分别是 3
11 ______ (答: (1,-3-),( 7,9))； ④平面向量数量积 =(-i , 0)。( 1)若 女口已知向量 a =( sinx , cosx ) , b =( sinx , sinx ) , c 3
x =—，求向量a 、c 的夹角；(2)若x € [ 3 :a?b x 1x 2 y 1y 2。 ,］，函数f (x) a b 的最大值 8 4 为1
，求的值(答:
2
(1)150);(2)1 或
2 1);
2
⑤向量的模：|a|
x 2 y , a |a|2 x 2
uu r '— 么 | a 3b | = _____ (答：y/l 3)；
n~r
y 2。如已知a,b 均为单位向量，它们的夹角为
3 -);(2)以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB B 90，则点B 的坐标是 _____________ (答:
2 r r tr . n . ir tr
(1,3)或(3, - 1 )) ； ( 3)已知n (a,b),向量n m ，且n m ，贝U m 的坐标是 ________________________ (答：
(b, a)或(b,a))
10.线段的定比分点：
(1 )定比分点的概念：设点P 是直线P 1 P 2上异于P 1、P 2的任意一点，若存在一个实数 ，使
uuu uuur uuu uuur
PP PF 2，贝U 叫做点P 分有向线段PP 2所成的比，P 点叫做有向线段 pp 2的以定比为
的定比分点；
(2) 的符号与分点P 的位置之间的关系：当P 点在线段P 1P 2上时 >0;当P 点在线段P 1P 2 uuu 的延长线上时 <—1 ；当P 点在线段P 2P 1的延长线上时 1 0 ；若点P 分有向线段pp 2所
成
uuur 1 uur 3 uu
的比为 ，则点P 分有向线段 BP 所成的比为 丄。如若点P 分AB 所成的比为-，则A 分BP 所成的比为 2 1
4
______ (答: 7 )
3
⑥两点间的距离：若A x-], y 1 , B x 2, y 2 标系xOy 中， uur 的：若OP x? ye ，，其中e,：
分别为与 点斜坐标为(
x, y)。(1)若点P 的斜坐标为(
(2)求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系
x 2
,则 | AB| ■' x 2 x ,
xOy 60°,平面上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐 tr u tr ur xei ye 2，其中 e ,e 2 2
2
y 2 y 1 。如如图，在平面斜坐
标是这样定义 y 2 xy 1 0 )； x 轴、y 轴同方向的单
2, - 2),求P 到O 的 xOy 中的方程。 口 . J C
位向量，贝U P 距离丨PO|; (1) 2; (2)
7、 向量的运算律 ： (1 )交换律：abb a , a
a , r r r r r r r r r r r r r r r r r a
b
c a b c, a b c a b c , a ?b a?b a? r r r r r r r r r r r r r r a a a, a b a b , a b ?c a?c b?c 。 a (b c) a b a c ； ②a (b c) (a b) c ； ③(
a b)2 |a |2
r r r r r 2|a| |b | |b | ；④若 a b
0,则a 0或b 0;⑤若 a b c b,则a r r 「2 「2 r r 2 r 2 r r ?
⑧(a b) a b :⑨(a b)2 a 2a b b 。其中正确的是
(答：1 如下 a?b
(2)结合律: 分配律：
题中：①
c :⑥
①⑥⑨) 提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、
两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约 去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的"乘法”不满足结合律 为什么？ &向量平行(共线)的充要条件：a//b a 量 a (x,1),b r r r r u a 2b , v 则k = 时， ，即 a(b?c) (a?b)c ， 为丫 2 = 0。如(1)若向 (4,x)
, (10,k), (a b)2 (|a||b|)2 (4, x)，当x = _____ 时a 与b 共线且方向相同(答： 2)； (2)已知a (1,1)b r r r r ULU uiu 2a b ，且 u//v ，贝U x = _______ (答：4) ( 3)设 PA (k,12),PB A,B,C 共线(答：一2或11)
r 一 uuu (4,5), PC 9、向量垂直的充要条件：a uuu uuir
AB AC
(■utu
u AB tuutr^)
AC
uuu (
AB (-uuu AB uuiu AC uuu ujur )。女如 (1)已知 OA ( AC 0 |a b| |a b|
uiu uiu 1,2), OB (3,m)，若 OA X 1X
2
uuu
OB ,
Y I Y 2 0 .
(答:
60°，那
uuuu
(3)线段的定比分点公式
:设R(X 1,y 1)、F 2(X 2,y 2), P(x, y)分有向线段RP 2所成的比为
，则
为 x 2
2
yi y 2。在使用定比分点的坐
2
标公式时，应明确(x, y)，(x i ,yj 、(x 2,y 2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时 应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比
。如(1)若M (-3，-2)，
口 1 7
N(6，-1 )，且 MP - MN ，则点 P 的坐标为 ______________ (答：(6, -))；(2)已知 A(a,O), B(3,2 a)，
3 3
1 uuuu uuur
直线y —ax 与线段AB 交于M ，且AM 2MB ，则a 等于 _______________ (答：2或—4)
2
11.平移公式：如果点P(x, y)按向量a h,k 平移至P(x,y )，贝U x x h ；曲线f (x, y) 0按 y y k 向量a h,k 平移得曲线f (x h,y k) 0.注意：(1)函数按向量平移与平常
“左加右减”有何联系？
(2)向量平移具有坐标不变性， 可别忘了啊！女(1)按向量a 把(2, 3)平移到(1, 2)，则按向量a 把点(7,2)
OC 1 OA 2 OB ,其中1, 2 R 且1
2
1,则点C 的轨迹是 ___________ (答：直线AB )
x-i
x 2
1
，特别地，当
y y 2
1
=i 时，就得到线段 p P 2的中点公式
平移到点
(答: (—8,3) ); (2)函数 y
sin 2x 的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是
y cos2x 1,则 a =
(答:(
12、向量中一些常用的结论 ：
(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
b| |a| |b|，特别地，当a 、b 同向或有0
r r
r r r r r a b 反向或有 0 |a b| |a| |b|
||a| |b|| |a b| ；
|b|(这些和实数比较类似).
中，①若 A x 1,y 1 , B x 2, y 2 ,C
||a| ||；|
(
(2) ||a| |b|| |a b| ； 当 r r b| |a| ABC |b|| |a r r |b|| |a 3 )在 |a b| |a| |b| r r
当a 、b 不共线
X 2 X 3 y 1 y
也。如若"ABC 的三边的中点分别为(
则"ABC 的重心的坐标为
(答:(
2 4、
3,3))；
X 3,y 3
1 )、 则其重 (-3 , 4 )、
心的坐标为
(-1 , -1 ),
umr
②PG
uuu 1(PA uu u
PB
uuu PC) ABC 的重心，特别地 uu u PA uu u PB uuu r
PC 0 ABC 的重
心; uuu ③PA rur
PA P 为 ABC 的垂心; uu u PC
uuir PC uur -JU F )( AC | uuu uuu uur
uur ⑤|AB|PC |BC|PA |CA|PB 0 JUJJ
(3)若P 分有向线段RP 2所成的比为 juur uuur MP 1 MP 2 .
2
uur uur
PB 、PC 中三终点A 、
uuu uuu PB PB uur A Q ④向量(ABr |AB| I uuur 、‘
uur 为P 1P 2的中点
MP
0)所在直线过 urn uuu ABC 的内心(是 BAC 的角平分线所在直线
ABC 的内心;
UJIUI
uuuu
M 为平面内的任一点，则MP ―MP 2 1
，特别地P
uur uuu PB PC 且
,若点C 满足
uuu 使得PA uur
(4)向量PA
1 .如平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1) , B( 1,3)
B 、
C 共线 存在实数
例题1 已知向量a
cos3x,sin3x,b cos
x . x sin- 2 2
，且x
2,求
2 2
(1) a b 及a b ;
(2)
若f x a
b 2 a b
的最小值是 -,求实数 的值.
2
错误分析：⑴ 求出a b =P2 2cos2x 后,而不知进一步化为 2cosx ,人为增加难度
(2)
化为关于cosx 的二次函数在 0,1的最值问题,不知对对称轴方程讨论?
答案：(1) 易求 a b cos2x , a b =2cosx ；
(2) f x a b 2 a b = cos2x 2 2cosx = 2cos x 4 cosx 1
2
2
=
2 cosx 2 1 x 0,
cosx 0,1
2
从而：当 0时，f X min 1与题意矛盾，
0不合题意；
2 3
1
当 °
1
时，f X min 2 1
, ；
2 2
3
5
1 当 1时，f x min 1
4
—,解得 —，不满足 1;综合可得：实数 的值为一.
2
8
2
11
2 3 13
11
k
亍.综合上面讨论可知，k 3或k
或k 亍
3
例题4 已知向量 m=(1,1)，向量n 与向量m 夹角为一，且m ? n =-1 ,
4
(1)求向量n ；
错误分析: 是自以为是, 凭直觉认为某个角度是直角，而忽视对诸情况的讨论.
答案：(1)
若 BAC 90 ,即 AB AC,故 AB AC 0,从而 2 3k 0,解得k
2
■
3 ；
(2)
若
BCA
90 ,即 BC AC ,也就是 BC AC 0 ,而 BC
AC AB 1,k
3,
故1 3 <13 k k 3
0,解得 k -
;
2
若 ABC
90 ,即BC AB ,也就是 BC AB 0,而 BC
1,k 3 ,故
2 3 k 3 0, 解得
1,k ,且 ABC 的一个内角为直角，求实数k 的值?
例题2在 ABC 中，已知AB
2,3 , AC
第一部分：平面向量的概念及线性运算 欧阳光明（2021.03.07） 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向； 当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线
段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________． 变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .
2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设
高中数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(9 5 )2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2 )1()1(-+-βα的最小值是
高中数学平面向量公式１、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤ ２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。 向量的向量积运算律 a×b=－b×a； （λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)； （a+b)×c=a×ｃ+b×c。 注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣； 专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 （一）平面向量知识结构图 （二）重点难点分析 本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用． 课标要求： 平面向量（约12课时） （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 （4）平面向量的数量积 ①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 （5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 （一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系 本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。 比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。 概念辨析： 2017年高考备考：高中数学易错点梳理 一、集合与简易逻辑 易错点1 对集合表示方法理解存在偏差 【问题】1: 已知{|0},{1}A x x B y y =>=>，求A B I 。 错解：A B =ΦI 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。 正确结果：A B B =I 【问题】2: 已知22 {|2},{(,)|4}A y y x B x y x y ==+=+=，求A B I 。 错解： {(0,2),(2,0)}A B =-I 正确答案：A B =ΦI 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。 反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。 易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集 【问题】: 已知2 {|2},{|21}A x a x a B x x =<<=-<<，且B A ?，求a 的取值范围。 错解：[-1，0） 剖析：忽视A =?的情况。 正确答案：[-1，2] 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合B A ?就有可能忽视了A =?，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。 易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性 【问题】: 已知1∈{2a +,2 (1)a +, 2 33a a ++ }，求实数a 的值。 错解：2,1,0a =-- 剖析：忽视元素的互异性，其实当2a =-时，2 (1)a +=233a a ++=1；当1a =-时， 2a +=2 33a a ++=1；均不符合题意。 正确答案：0a = 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。 易错点4 命题的否定与否命题关系不明 【问题】: 写出“若a M a P ??或，则a M P ?I ”的否命题。 错解一：否命题为“若a M a P ??或，则a M P ∈I ” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。 错解二：否命题为“若a M a P ∈∈或，则a M P ∈I ” 剖析：知识不完整，a M a P ??或的否定形式应为a M a P ∈∈且。 正确答案：若a M a P ∈∈且，则a M P ∈I 第一部分：平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa； 数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa； ＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说， 即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题) 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中数学中的易错题分类及解析关键词：高考数学易错题全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩. 易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性. 易错题的分类解析: 分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析. 本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集. 下表是易错题分类 表： 数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动 . 从 数学学习的认知结构上讲， 数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深 度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构 . 所以，数 学中有许多题目，求解的思路并不繁杂， 但解题时，由于读题不仔细， 或者对某些知识点的 理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨 论??等等原因，都会导致错误的出现 . “会而不对，对而不全” ，一直以来都是严重影响考 生数学成绩的重要因素 . 一．易错题的典型特征 解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有 关 度有关 . 同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关 . 1．考生自我心理素质 ：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的 产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程 . 部分考生题意尚未 明确， 加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维 定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍 . 2．易错点的隐蔽性 ：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体， 而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五 个因素组成 . 数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考 生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用 . 个体思维的跳跃性是产生思维漏洞 的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强 3．易错点形式多样性 ：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般 有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、 数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等 . 4．易错题的可控性 ：学生的认识结构有其个性特点 . 在知识总量大体相当的情况下，有的 学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对 知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取 . 在学生形成了 一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理 和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和 完善，所谓“吃一堑长一智” . 只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的 “警戒点” , 养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少 . 1. 数学概念的理解不透 数学概念所能反映的数学对象的属性， 不仅是不分精粗的笼统的属性， 它已经是抓住了 数学对象的根本的、 最重要的本质属性 . 每一个概念都有一定的外延与内涵 . 而平时学习中对 概念本质的不透彻， 对其外延与内涵的掌握不准确， 都会在解题中反映出来， 导致解题出错 例 1. 若不等式 ax 2 +x+a < 0 的解集为 Φ，则实数 a 的取值范围（ ） 1 1 1 1 1 1 A.a ≤ - 或 a ≥ B.a < C.- ≤ a ≤ D.a ≥ 2 2 2 2 2 2 【错解】选 A.由题意，方程 ax 2 +x+a=0的根的判别式 0 1 4a 2 0 , 又与试题的难易程 易错题的分类解析 一、 知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222， 速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？ 解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇 第三讲：极化恒等式与矩形大法 解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB 高中数学平面向量专题训练 一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D 高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路栋胡思敏 李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如 果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。 错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小 值是分析2 1 ,第二 原式 由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。 错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。 高中数学易错题集锦 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37 )3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固 地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2)1()1(-+-βα的最小值是 不存在)D (18)C (8)B (4 49)A (- 思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1 ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同),(),(2211y x y x =?? ?==?2 12 1y y x x 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： 第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时高中数学平面向量doc
80个高中数学易错题
(完整word版)高中数学-平面向量专题.doc
高中数学平面向量习题及答案
高中数学知识点总结(精华版)
高中数学易错题分类及解析
高三数学复习微专题之平面向量篇矩形大法教师
(完整版)高中数学平面向量专题训练
高一数学平面向量知识点及典型例题解析
高中数学易错题集锦
高中数学易错题集锦
高中数学平面向量知识点总结及常见题型(供参考)
20高考数学平面向量的解题技巧
相关主题
文本预览