第3节圆的方程
最新考纲掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程
.
知识梳理
1.圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程标准
(x－a)2＋(y－b)2
＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
?
?
?
?
?
－
D
2，－
E
2
半径r＝
1
2D
2＋E2－4F
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r?M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圆外；
(2)|MC|＝r?M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圆上；
(3)|MC|＜r?M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圆内.
[微点提醒]
1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r
2.
2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.()
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.()
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()
解析(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.
(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜1
4
或m＞1时表示圆.
答案(1)√(2)×(3)×(4)√
2.(必修2P124A1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()
A.(2，3)，3
B.(－2，3)， 3
C.(－2，－3)，13
D.(2，－3)，13
解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝13.
答案 D
3.(必修2P130例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()
A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C.(x－1)2＋(y－1)2＝4
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
答案 C
4.(2018·成都调研)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()
A.(－1，1)
B.(0，1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.a＝±1
解析因为点(1，1)在圆的内部，
所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1 答案 A 5.(2019·荆州模拟)若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是() A.2 B.－2 C.1 D.－1 解析由题意知直线y＝kx＋3过圆心(1，1)， 即1＝k ＋3，解得k ＝－2. 答案 B 6.(2016·浙江卷)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________. 解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 答案 (－2，－4) 5 考点一 圆的方程 【例1】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________. (2)(一题多解)(2019·安徽“江南十校”联考)已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，则圆C 的方程为________. 解析 (1)法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则???? ?F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0， 解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0， 故圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 法二 设O (0，0)，A (1，1)，B (2，0)，则k OA ＝1，k AB ＝－1，所以k OA ·k AB ＝－1，即OA ⊥AB ，所以△OAB 是以角A 为直角的直角三角形，则线段BO 是所求圆的直径，则圆心为C (1，0)，半径r ＝1 2|OB |＝1，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0. (2)法一 ∵所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a ，－a ). 又∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝ 2|a | 2 ＝2|a |. 又所求圆在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3| 2， ∴d 2＋? ????622 ＝r 2，即（2a －3）2 2＋3 2＝2a 2，解得a ＝1， ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则圆心(a ，b )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|a －b －3| 2 ， ∴r 2＝（a －b －3）22＋ ? ????622 ，即2r 2＝(a －b －3)2＋3.① 由于所求圆与直线x －y ＝0相切，∴(a －b )2＝2r 2.② 又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴a ＋b ＝0.③ 联立①②③，解得???? ?a ＝1，b ＝－1，r ＝2， 故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为? ????－D 2，－E 2，半径r ＝12 D 2＋ E 2－4 F ， ∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴－D 2－E 2＝0，即D ＋E ＝0，① 又∵圆C 与直线x －y ＝0相切， ∴??????－D 2＋E 22 ＝12 D 2＋ E 2－4 F ， 即(D －E )2＝2(D 2＋E 2－4F )， ∴D 2＋E 2＋2DE －8F ＝0.② 又知圆心? ????－D 2，－E 2到直线x －y －3＝0的距离d ＝????? ?－D 2＋E 2－32， 由已知得d 2＋? ?? ?? 622 ＝r 2， ∴(D －E ＋6)2＋12＝2(D 2＋E 2－4F )，③ 联立①②③，解得???? ?D ＝－2，E ＝2，F ＝0， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案 (1)x 2＋y 2－2x ＝0 (2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 【训练1】 (1)(2019·新乡模拟)若圆C ：x 2＋? ? ???y ＋12m 2 ＝n 的圆心为椭圆M ：x 2＋my 2＝1的一个焦 点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则圆C 的标准方程为________. (2)(2018·枣庄模拟)已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，且圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为________. 解析 (1)∵圆C 的圆心为? ? ? ??0，－12m ，∴ 1m －1＝12m ，m ＝1 2.又圆C 经过M 的另一个焦点，则 圆C 经过点(0，1)，从而n ＝4.故圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4. (2)∵圆M的圆心在y＝－x＋2上， ∴设圆心为(a，2－a)， ∵圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切， ∴圆心到直线x－y＝0的距离等于圆心到直线x－y＋4＝0的距离， 即|2a－2| 2 ＝ |2a＋2| 2 ，解得a＝0， ∴圆心坐标为(0，2)，圆M的半径为|2a－2| 2 ＝2， ∴圆M的标准方程为x2＋(y－2)2＝2. 答案(1)x2＋(y＋1)2＝4(2)x2＋(y－2)2＝2 考点二与圆有关的最值问题多维探究 角度1斜率型、截距型、距离型最值问题 【例2－1】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值. 解原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆. (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0| k2＋1 ＝3，解得k＝±3(如图1). 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最 大值或最小值，此时|2－0＋b| 2 ＝3，解得b＝－2±6(如图2). 所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3). 又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 规律方法把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见： (1)形如m＝y－b x－a 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 角度2利用对称性求最值 【例2－2】已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为() A.52－4 B.17－1 C.6－2 2 D.17 解析P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3).所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝52，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4. 答案 A 规律方法求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路： (1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； (2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 【训练2】(1)设点P是函数y＝－4－（x－1）2图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________. (2)已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|P A |＋|PQ |的最小值是________. 解析 (1)函数y ＝－ 4－（x －1）2的图象表示圆(x －1)2＋y 2＝4在x 轴及下方的部分，令点Q 的坐标为(x ，y )，则?????x ＝2a ，y ＝a －3， 得y ＝x 2－3，即x －2y －6＝0，作出图象如图所示， 由于圆心(1，0)到直线x －2y －6＝0的距离d ＝ |1－2×0－6|12 ＋（－2） 2 ＝5>2，所以直线x －2y －6＝0 与圆(x －1)2＋y 2＝4相离，因此|PQ |的最小值是5－2. (2)因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆.设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故?????m ＋02＋n ＋2 2＋2＝0， n －2 m －0＝1， 解得?????m ＝－4， n ＝－2，故A ′(－4，－2). 连接A ′C 交圆C 于Q ，由对称性可知 |P A |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5. 答案 (1)5－2 (2)2 5 考点三 与圆有关的轨迹问题 【例3】 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程. 解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y ). 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠2). (2)设PQ 的中点为N (x ，y ). 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |. 设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程； (4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等. 【训练3】 已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标； (2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程. 解 (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4， 所以圆C 1的圆心坐标为(3，0). (2)设M (x ，y )， 因为点M 为线段AB 的中点， 所以C 1M ⊥AB ， 所以kC 1M ·k AB ＝－1，当x ≠3时可得y x －3·y x ＝－1，整理得 ? ???? x －322 ＋y 2＝94， 又当直线l 与x 轴重合时，M 点坐标为(3，0)，代入上式成立. 设直线l 的方程为y ＝kx ，与x 2＋y 2－6x ＋5＝0联立， 消去y 得：(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0. 令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k 2)×5＝0，得k 2＝45，此时方程为95x 2－6x ＋5＝0，解上式得x ＝5 3，因此5 3 ＋y 2 ＝94? ?? ??53 1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数. 2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算. [易错防范] 1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程. 2.求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线. 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1.已知圆C的圆心为(2，－1)，半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，则圆C的标准方程为() A.(x＋1)2＋(y－2)2＝4 B.(x－2)2＋(y－1)2＝4 C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16 解析根据圆C的半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，可得半径长为4，故要求的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16. 答案 C 2.(2019·合肥模拟)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为() A.(x－3)2＋(y＋4)2＝100 B.(x＋3)2＋(y－4)2＝100 C.(x－3)2＋(y－4)2＝25 D.(x＋3)2＋(y－4)2＝25 解析圆C的圆心的坐标C(6，8)， 则OC的中点坐标为E(3，4)， 则所求圆的半径|OE|＝32＋42＝5， 则以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25. 3.若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪? ???? 23，＋∞ B.? ?? ?? －23，0 C.(－2，0) D.? ? ? ??－2，23 解析 方程为? ????x ＋a 22 ＋(y ＋a )2 ＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23. 答案 D 4.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 解析 设圆上任一点为Q (x 0 ，y 0 )，PQ 的中点为M (x ，y )，则???x ＝4＋x 2，y ＝－2＋y 0 2， 解得?????x 0 ＝2x －4， y 0 ＝2y ＋2. 因 为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2 ＝4， 化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 A 5.(2018·兰州模拟)已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a ，2)，B (－4，a )，C (2a ＋2，2)，则△ABC 外接圆的方程是( ) A.x 2＋(y －3)2＝5 B.x 2＋(y ＋3)2＝5 C.(x －3)2＋y 2＝5 D.(x ＋3)2＋y 2＝5 解析 由题意，得2a ＝－4，∴a ＝－2， ∴△ABC 外接圆的半径为 BC 2＝ [－4－（－2）]2＋（－2－2）2 2 ＝5，圆心为(－3，0)， ∴△ABC 外接圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝5. 答案 D 二、填空题 6.已知圆C ：(x －2)2＋(y ＋m －4)2＝1，当m 变化时，圆C 上的点与原点O 的最短距离是________. 解析 圆C ：(x －2)2＋(y ＋m －4)2＝1表示圆心为C (2，－m ＋4)，半径r ＝1的圆，则|OC |＝22＋（－m ＋4）2，所以当m ＝4时，|OC |的最小值为2，故当m 变化时，圆C 上的点与原点的最短距离是|OC |－r ＝2－1＝1. 答案 1 7.(2019·宜昌模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________. 解析 圆C 的方程可化为? ???? x ＋k 22 ＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大. 答案 (0，－1) 8.已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________. 解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2 ＋y 2 －4x －2y ＝0的圆心为C (2，1)，∵k CM ＝ 1－02－1 ＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0. 答案 x ＋y －1＝0 三、解答题 9.已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程. 解 (1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2). 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得 a ＋b －3＝0.① 又因为直径|CD |＝410，所以|P A |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.② 由①②解得???a ＝－3，b ＝6或???a ＝5， b ＝－2. 所以圆心P (－3，6)或P (5，－2). 所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 10.已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程； (2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积. 解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y ). 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为x ＋3y －8＝0. 又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为410 5， 所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝16 5， 故△POM 的面积为16 5. 能力提升题组 (建议用时：20分钟) 11.若圆Ω过点(0，－1)，(0，5)，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27，则圆Ω的方程为( ) A.x 2＋(y －2)2＝9或(x ＋4)2＋(y －2)2＝25 B.x 2＋(y －2)2＝9或(x －1)2＋(y －2)2＝10 C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x ＋4)2＋(y －2)2＝17 D.(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x －4)2＋(y －1)2＝16 解析 由于圆Ω过点(0，－1)，(0，5)， 所以圆心在直线y ＝2上， 设圆心坐标为(a ，2)， 由题意得|a－2| 2 ＝a2＋（5－2）2－ ? ? ? ? ? 27 2 2 ， 解得a＝0或a＝－4. 当a＝0时，圆心坐标为(0，2)，半径为3； 当a＝－4时，圆心坐标为(－4，2)，半径为5， 所以圆Ω的方程为x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25. 答案 A 12.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|P A|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________. 解析设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|P A|2＝x20＋(y0＋1)2＋x20＋(y0－1)2＝2(x20＋y20)＋2.x20＋y20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x20＋y20)max＝(5＋1)2＝36，∴d max＝74. 答案74 13.(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若∠F AC＝120°，则圆的方程为________. 解析由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a). 又F(1，0)，所以AC→＝(－1，0)，AF→＝(1，－a). 由题意得AC→与AF→的夹角为120°， 得cos 120°＝ －1 1×1＋a2 ＝－1 2 ，解得a＝ 3. 所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1. 答案(x＋1)2＋(y－3)2＝1 14.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程. 解(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0). 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 由???y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4 k 2. 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4 k 2. 由题设知4k 2＋4 k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1. (2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则 ?????y 0＝－x 0＋5，（x 0 ＋1）2 ＝（y 0－x 0＋1）2 2＋16. 解得???x 0＝3，y 0＝2或???x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系 [典例] (2021·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝8. (1)求l 的方程； (2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． [解] (1)由题意得F(1,0)，l 的方程为y ＝k(x －1)(k ＞0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由??? y ＝k x －1，y2＝4x 得k2x2－(2k2＋4)x ＋k2＝0. Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝2k2＋4k2 . 所以|AB|＝|AF|＋|BF| ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2 . 由题设知4k2＋4k2 ＝8， 解得k ＝1或k ＝－1(舍去)． 因此l 的方程为y ＝x －1. (2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)， 所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)， 即y ＝－x ＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， 则? ?? y0＝－x0＋5， x0＋12＝y0－x0＋122＋16. 解得??? x0＝3，y0＝2或??? x0＝11，y0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. [方法技巧] 1．确定圆的方程必须有3个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r(或D ，E ，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2．几何法在圆中的应用 专题六、解析几何（一） 直线和圆 1.直线方程：0=+++=c by ax t kx y 或 2.点关于特殊直线的对称点坐标： （1）点),(00y x A 关于直线方程x y = 的对称点),(n m A '坐标为：0y m =，0x n =； （2） 点),(00y x A 关于直线方程b x y +=的对称点),(n m A '坐标为：b y m -=0，b x n +=0； （3）点),(00y x A 关于直线方程x y -=的对称点),(n m A '坐标为：0y m -=，0x n -=； （4）点),(00y x A 关于直线方程b x y +-=的对称点),(n m A '坐标为：b y m +-=0，b x n +-=0； 3.圆的方程：()()2 2 2 x a y b r -+-=或() 2 2 2 2 040x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 无xy 。 4.直线与圆相交： （1）利用垂径定理和勾股定理求弦长: 弦长公式：222d r l -=（d 为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后，化简为：02 =++c bx ax ，其判别式为?，则 弦长公式（万能公式）：12l x =-= a k a c a k ? +=--+=2 2214b 1）（ 注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可， 再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧，它可以简化运算，降低思考难度，在解析几何中具有十分广泛的应用。 5.圆的切线方程： （1）点在圆外： 如定点()00,P x y ，圆：()()2 2 2 x a y b r -+-=，[()()2 2 2 00x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =，求出k ，从而得到切线方程，这里的切线方程的有两条。特别注意：当k 不存在时，要单独讨论。 （2）点在圆上： 若点P ()00x y ，在圆()()2 2 2 x a y b r -+-=上，利用点法向量式方程求法，则切线方程为： ?=--+--0)(()((0000b y y y a x x x ））()()()()200x a x a y b y b r --+--=。 点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。 由（1）（2）分析可知：过一定点求某圆的切线方程，要先判断点与圆的位置关系。 （3）若点P ()00x y ，在圆()()2 2 2x a y b r -+-=外，即()()2 2 200x a y b r -+->， 过点P ()00x y ，的两条切线与圆相交于A 、B 两点，则AB 两点的直线方程为： 200))(())((r b y b y a x a x =--+--。 6.两圆公共弦所在直线方程： 圆1C ：2 2 1110x y D x E y F ++++=，圆2C ：2 2 2220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程。 7.圆的对称问题： （1）圆自身关于直线对称：圆心在这条直线上。 （2）圆C 1关于直线对称的圆C 2：两圆圆心关于直线对称，且半径相等。 （3）圆自身关于点P 对称：点P 就是圆心。 高三数学复习圆的方程 5．圆的方程 一、内容归纳 1. 知识精讲. ①圆的方程 (1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。 (2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)，其中圆心为(-，-)，半径为， (3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1， y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）（4）半圆方程：等 (5)圆系方程： i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：Ax+By+C=0的交点的 圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 ii)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2： x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)该方 程不包括圆C2； （时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆 时则为两圆的对称轴方程） (6) 圆的参数方程 圆心在(0,0),半径为r的圆的参数方程为为参数 圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程为为参数 ②圆的一般方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的 关系； 二元二次方程表示圆的充要条件A=C≠0，B=0 ，D2+E2-4AF0。 二、问题讨论 例1、根据下列条件，求圆的方程。 (1)和圆x2+y2=4相外切于点P(-1，)，且半径为4； (2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上； (3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得 的线段长为4，求圆的方程。 解：(1)设圆心Q的坐标为(a，b) ∵⊙O与⊙Q相外切于P ∴O、P、Q共线，且λ==-=- 由定比分点公式求得a=-3， b=3 ∴所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=16 (2)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为： = 即x+y-1=0 解方程组 x+y-1=0 2x+3y+1=0 得圆心C的坐标为(4，-3)。又圆的半径 第二节圆的方程 高考试题 考点一求圆的方程 1.(2009年辽宁卷,理4)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( ) (A)(x+1)2+(y-1)2=2 (B)(x-1)2+(y+1)2=2 (C)(x-1)2+(y-1)2=2 (D)(x+1)2+(y+1)2=2 解析:由题意可设圆心坐标为(a,-a), 解得a=1,故圆心坐标为(1,-1), 半径 所以圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 答案:B 2.(2010年广东卷,理12)已知圆心在x轴上,y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是. 解析:设圆心坐标为(a,0),且a<0,由题意得 ∴a=-2. ∴圆的方程为(x+2)2+y2=2. 答案:(x+2)2+y2=2 3.(2010年新课标全国卷,理15)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆的方程为. 解析:由题意知A、B两点在圆上, ∴直线AB的垂直平分线x=3过圆心. 又圆C与直线y=x-1相切于点B(2,1), ∴k BC=-1. ∴直线BC的方程为y-1=-(x-2), 即y=-x+3. y=-x+3与x=3联立得圆心C的坐标为(3,0), ∴ ∴圆C的方程为(x-3)2+y2=2. 答案:(x-3)2+y2=2 考点二直线与圆的位置关系的判定与应用 1.(2013年天津卷,理4)已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的1 2 ,则其体积缩小到原来的 1 8 ; ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; ③直线x+y+1=0与圆x2+y2=1 2 相切. 其中真命题的序号为( ) 08高考数学直线与圆的方程 一、重点知识结构 本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。 直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础； 两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容； 用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意； 曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据； 圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。 二、高考要求 1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系； 3、会用二元一次不等式表示平面区域； 4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用； 5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法； 6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。 三、热点分析 在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。 四、复习建议 本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。 直线 【例题】 【例1】已知点B（1，4），C（16，2），点A在直线x－3y＋3 = 0上，并且使 AB C的面积等于21，求点A的坐标。 解：直线B C方程为2x＋5y－22 = 0,|B C| = 29，设点A坐标(3y－3,y)，则可求A到 教材分析： 教 学重点、难点 重点：掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程。 难点：二元二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程 教学过程： 1、情境设置：问题提出 方程014222=++-+y x y x 表示什么图形？方程064222=+--+y x y x 表示什么图形？（采用由特殊到一般，由具体到抽象的认知方式） 对给出的方程通过配方，化成圆的标准方程的形式，第一个方程为4)2()1(22=++-y x ，它表示以(1，-2)为圆心，2为半径的圆；第二个方程为 1)2()1(22-=-+-y x ， 由于不存在点的坐标),(y x 满足这个方程，所以它不表示任何图形。 2、探索研究： 方程02 2=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆？ 配方得4 4)2()2(2222F E D E y D x -+=+++。(1)当0422>-+F E D 时，方程表示以)2,2(E D --为圆心，F E D 42 122-+为半径的圆； (2)当0422=-+F E D 时，方程表示一个点 )2 ,2(E D -- ； (3) 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图 形。 关于y x ,的二元二次方程 022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 成为圆方程的充要条件是(1)2x 和2y 的系数相同且不等于0，即A=C ≠0；(2)没有xy 这样的二次项，即B=0；(3) 0422>-+AF E D 。 对于圆的一般方程，要熟练地通过配方法，求出圆的圆心坐标和半径。 根据已知条件求圆的方程，仍然采用待定系数法，但要注意的是待定的方程是设标准方程还是设一般方程，这要根据已知条件而定。 3、思考交流 圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？ 圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显。圆的一般方程与圆的标准方程可以相互转化。 例1：已知方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k 的取值范围。 分析：由二元二次方程成为圆方程的条件，得到关于k 的不等式。 解： 方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆， ∴0)83(44)2(2 2>+-+k k ，解得14-<>k k 或 ∴当14-<>k k 或时，方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。 总结：在圆的一般方程02 2=++++F Ey Dx y x 中，系数D 、E 、F 必须满足0422>-+F E D 。 例2：求经过三点A （1，－1）、B （1,4）、C （4，－2）的圆的方程。 解：设所求圆的方程为02 2=++++F Ey Dx y x ， A （1，－1）、 B （1,4）、 C （4，－2）三点在圆上，代入圆的方程并化简，得 ?? ???-=+--=++-=+-20241742F E D F E D F E D ，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2 ∴所求圆的方程为02372 2=+--+y x y x 。 总结：待定系数法是求圆的方程最常见的方法，但是在求圆的方程时是设标准方程还是设一般方程，要由已知条件确定。一般地，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标或半径列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程。 例3、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。 圆的方程测试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题（本题共12道小题，每小题0分，共0分） 已知曲线C的方程是 2 21 x y m +=（m∈R，且0 m≠），给出下面三个命题中正确的命题是 （）． ①若曲线C表示圆，则1 m=； ②若曲线C表示椭圆，则m的值越大，椭圆的离心率越大； ③若曲线C表示双曲线，则m的值越大，双曲线的离心率越小． A．①B．①②C．①③ D．①②③ 2. 在平面直角坐标系xOy中，以（﹣2，0）为圆心且与直线（3m+1）x+（1﹣2m）y﹣5=0（m ∈R）相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是（） A．（x+2）2+y2=16 B．（x+2）2+y2=20 C．（x+2）2+y2=25 D．（x+2）2+y2=36 3. 设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（） A．5B． +C．7+D．6 4. 某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，则圆C的方程为（） A．（x﹣1）2+（y+1）2=1 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y+1）2=D．（x﹣1）2+（y+1）2= 5. 已知圆C：x2+y2+2x﹣4y=0，则圆C的圆心坐标为（） A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2） 课时活页作业（四十四） [基础训练组] 1．(2015·高考广东卷)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是 ( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 [解析] 设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题意有|0＋0＋c|22＋12 ＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选A. [答案] A 2．若曲线C ∶x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞) D ．(2，＋∞) [解析] 曲线C 的方程可化为(x ＋a)2＋(y －2a)2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a)，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a ＞2. [答案] D 3．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( ) A ．30 B ．18 C ．6 2 D ．5 2 [解析] 由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为32，则圆上的点到 直线x ＋y －14＝0的最大距离为|2＋2－14|2＋32＝82，最小距离为|2＋2－14|2 －32＝22，故最大距离与最小距离的差为6 2. [答案] C 4．(2015·高考新课标卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43 圆的方程 一. 教学目标 1.了解确定圆的几何要素(圆心、半径、不在同一直线上的三个点等)；掌握圆的标准方程与一般方程． 2.能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系并会进行互化． 二. 知识梳理 1. 圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径． 2. 圆的标准方程 (1) 以(a ，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2． 求标准方程的方法——关键是求出圆心 (),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 (2) 特殊的，x 2＋y 2＝r 2(r>0)的圆心为(0，0)，半径为r ． 3. 圆的一般方程 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0变形为? ????x ＋D 22＋? ?? ??y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. (1) 当D 2＋E 2－4F>0时，方程表示以? ????－D 2 ，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆； (2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点? ????－D 2 ，－E 2； (3) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形． 重点解析 1.22 0Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 2222000 04040A B A B C C D E AF D E F A A A ??=≠=≠????=?=????+->??????+-?> ? ?????? ? 当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为??? ??--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+= 当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法，先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 4. 点与圆的位置关系 点M(x 0，y 0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系： (1) 若M(x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2>r 2． (2) 若M(x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2． (3) 若M(x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2 年高三数学圆的方程试题(含答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 圆的方程测试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（本题共12道小题，每小题0分，共0分） 1. 已知曲线C 的方程是2 21x y m +=（m ∈R ，且0m ≠），给出下面三个命题中正确的命题是 （ ）． ①若曲线C 表示圆，则1m =； ②若曲线C 表示椭圆，则m 的值越大，椭圆的离心率越大； ③若曲线C 表示双曲线，则m 的值越大，双曲线的离心率越小． A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 2. 在平面直角坐标系xOy 中，以（﹣2，0）为圆心且与直线（3m+1）x+（1﹣2m ）y ﹣5=0（m ∈R ）相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是（ ） A ．（x+2）2+y 2=16 B ．（x+2）2+y 2=20 C ．（x+2）2+y 2=25 D ．（x+2）2+y 2=36 3. 设P ，Q 分别为圆x 2 +（y ﹣6）2 =2和椭圆+y 2 =1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A ．5 B ． + C ．7+ D ．6 4. 某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a ，b ，且直线ax+by+8=0与以A （1，﹣1）为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC=120°，则圆C 的方程为（ ） A ．（x ﹣1）2 +（y+1）2 =1 B ．（x ﹣1）2 +（y+1）2 =2 C ．（x ﹣1）2 +（y+1）2 = D ．（x ﹣1）2+（y+1）2 = 5. 已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y=0，则圆C 的圆心坐标为（ ） A ．（1，﹣2） B ．（﹣1，2） C ．（1，2） D ．（﹣1，﹣2） 6. 抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（ ）2021圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系 教学案 高三数学一轮复习
高考数学直线和圆的方程专题复习(专题训练)
高三数学复习圆的方程
高考数学试题汇编圆的方程
08高考数学第二轮复习直线与圆的方程
浙江省衢州市高三数学《圆的一般方程》教案
2018年高三数学圆的方程试题(含答案)
【创新大课堂】高三数学(文)一轮复习活页作业：8.3圆的方程(含答案解析)
高考数学-圆的方程
高三数学圆的方程试题(含标准答案)
相关主题
文本预览