证明两角相等的方法
黄冈中学初三数学备课组【重点解读】
证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。
【相关定理或常见结论】
1、相交线、平行线：
（1）对顶角相等；
（2）等角的余角（或补角）相等；
（3）两直线平行，同位角相等、内错角相等；
（4）凡直角都相等；
（5）角的平分线分得的两个角相等.
2、三角形
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）；
（3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和
（4）全等三角形的对应角相等；
（5）相似三角形的对应角相等.
3、四边形
（1）平行四边形的对角相等；
（2）菱形的每一条对角线平分一组对角；
（3）等腰梯形在同一底上的两个角相等.
4、圆
（1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等.
（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角. （5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角. （6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角.
（7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等. 6、利用三角函数计算出角的度数相等
【典题精析】
（一） 利用全等相关知识证明角相等
例1 已知：如图，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与CD 交于点O ，且BD CE =． 求证：AO 平分BAC ∠．
分析：要证AO 平分BAC ∠，因为CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，所以只要证明OD=OE ；若能证明若能证△OBD ≌△OCE 即可，因为可证 ∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE ，而BD=CE ，故问题得到解决． 证明：∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E
∴∠ODB=∠OEC=90° 在△O BD 和△OCE 中
∠ODB=∠OEC ∠BOD=∠COE BD=CE
∴△OBD ≌△OCE ∴OD=OE
∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴AO 平分BAC ∠．
说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理
例2 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是梯形内一点，ED ⊥AD ，BE=DC ，∠ECB=45 o
．
求证：∠EBC ＝∠EDC
分析：要证明∠EBC ＝∠EDC ，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果
能构造出两个全等的三角形即可。延长DE与BC交于点于点F，这样就很容易证
△BEF≌△DCF，从而问题得到解决。
证明：延长DE与BC交于点于点F
AD∥BC，ED⊥AD
∴DF⊥BC
∴∠BFE=∠DFC=90°
∵∠ECB=45 o
∴∠ECB=∠CEB=45 o
∴CF=EF
在Rt△BEF和Rt△DCF中
EF=CF ，BE=DC
∴Rt△BEF≌Rt△DCF
∴∠EBC＝∠EDC
说明：本例运用全等三角形的对应角相等，来证明两角相等
例3如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，CD∥BA，四边形AEBC是平行四边形．
求证：∠ABD＝∠ABE．
分析：要证∠ABD＝∠ABE，若能证△ABD≌△ABE即可．因为可证BE＝AC＝BD，AE＝BC＝AD，而AB为公共边，故问题得到解决．
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD＝BC，AC＝B D．
∵四边形AEBC是平行四边形，∴BC＝AE，AC＝BE．
∴AD＝AE，BD＝BE．
又∵AB＝AB，∴△ABD≌△ABE．
∴∠ABD＝∠ABE．
说明：本例通过运用等腰梯形的性质来证明三角形全等从而证明两角相等．
总结：这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质，在中考中也是常考的题型，在证明过程中，特别要抓住一些基本图形，同时还要注意常用辅助线的作法。
（二）利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系
例4．已知：△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE ，G 是垂足， 求证：⑴G 是CE 的中点；⑵∠B=2∠BCE.
分析：⑴已知中多垂直和中线条件， 可联想直角三角形斜边上的中线性质； 要证明G 是CE 的中点，结合已知条件DG ⊥CE ， 符合等腰三角形三线合一中的两个条件，
故连结DE ，证明△DCE 是等腰三角形，由DG ⊥CE ， 可得G 是CE 的中点.
⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BE=DE ，∠B 转化为∠EDB.
证明：⑴连结DE ，
∵∠ADB=90°，E 是AB 的中点，
∴DE=AE=BE （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 又∵DC=BE ，∴DC=DE ， 又∵DG ⊥CE ，
∴G 是CE 中点（等腰三角形底边上的高平分底边）. ⑵∵DE=DC ，∴∠DCE=∠DEC （等边对等角），
∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE （三角形的外角等于两不相邻内角的和）， 又∵DE=BE ，∴∠B=∠EDB ，∴∠B=2∠BCE
直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线. 特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.
例5 如图，直线AC BD ∥，连结AB ，直线AC BD ，及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连结PA PB ，，构成PAC ∠，APB ∠，PBD ∠三个角．
（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角
是0o
角．）
（1）当动点P 落在第①部分时，求证：APB PAC PBD ∠=∠+∠；
（2）当动点P 落在第②部分时，APB PAC PBD ∠=∠+∠是否成立（直接回答成立或不成立）？
（3）当动点P 在第③部分时，全面探究PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
分析：本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理和外角性质 （1）解法一：如图1
延长BP 交直线AC 于点E ∵ AC ∥BD , ∴ ∠PEA = ∠PBD . ∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA , ∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD . 解法二：如图2
过点P 作FP ∥AC , ∴ ∠PAC = ∠APF . ∵ AC ∥BD , ∴FP ∥BD . ∴ ∠FPB =∠PBD . ∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC + ∠PBD . 解法三：如图3，
∵ AC ∥BD , ∴ ∠CAB +∠ABD = 180° 即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°. 又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°, ∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD . （2）不成立. （3）(a)当动点P 在射线BA 的右侧时，结论是 ∠PBD=∠PAC+∠APB . (b)当动点P 在射线BA 上，
A
B C
D
①
②
③
A B C D P ①
② ③ ④ A B C D ① ② ③ ④ ④ 图1
图2 图3 图4
结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .
或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°， ∠PAC =∠PBD （任写一个即可）. (c) 当动点P 在射线BA 的左侧时， 结论是∠PAC =∠APB +∠PBD . 选择(a) 证明：
如图4，连接PA ，连接PB 交AC 于M ∵ AC ∥BD ,
∴ ∠PMC =∠PBD .
又∵∠PMC =∠PAM +∠APM , ∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB . 选择(b) 证明：如图5
∵ 点P 在射线BA 上，∴∠APB = 0°. ∵ AC ∥BD , ∴∠PBD =∠PAC . ∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB 或∠PAC =∠PBD+∠APB
或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD. 选择(c) 证明：
如图6，连接PA ，连接PB 交AC 于F ∵ AC ∥BD , ∴∠PFA =∠PBD . ∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA , ∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD
总结：这类题主要考查平行线的性质，三角形的内角和，外角性质及其应用，在求解角的度数时，一般运用三角形的角及外角的关系，把所求的角集中在同一个三角形中，然后利用内角和求角度，在证明角之间的关系时，常考虑利用三角形的内角和定理和外角性质，若题中没有三角形，常通过作辅助线构造三角形。
（三）利用四边形的相关知识证明角的有关问题
例6 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是AB 的中点，以点E 为圆心，EB 为半径画弧，交BC 于点D ，连结ED ，并延长ED 到点F ，使，连结FC ．求证：∠F ＝∠A ． 分析：要证明∠F ＝∠A ，由图知只要证明四边形AEFC 是平行四边形即可。 证明：∵AB=AC
图5
图6
∴∠ABC=∠ACB
∵EB=ED
∴∠EBD=∠EDB
∴∠EDB=∠ACB
∴EF∥AC
E是AB的中点
∴AE=EB
∵DF＝DE，EB=ED
∴AE=EB= DF＝DE
∴AE+EB= DF+DE
即AB=EF
∵AB=AC
∴EF=AC
又∵EF∥AC
∴四边形AEFC是平行四边形
∴∠F＝∠A
说明：本例的证明用到了等腰三角形的两底角相等，平行四边形的对角相等。（四）利用圆的相关知识
例7如图，已知BC是直径，??
AB AG
=，AD⊥BC.
求证：（1）∠EAF=∠AFE （2）BE=AE=EF
分析：由BC是直径，得到∠BAC是直角，再利用??AB AG
=，
得到∠ABE=∠BAE；再证∠EAF=∠FAE。
证明：（1）∵BC是直径
∴∠BAC=90 o
∴∠ABE+∠EFA=90 o ，∠BAE+∠EAF=90 o
∵??AB AG
∴∠ABE=∠BAE
∴∠EAF=∠AFE
（2）略
说明：本例的证明用到了等弧所对的圆周角相等，等角的余角相等
例8已知：如图，AD为锐角△ABC外接圆的直径，AE⊥BC于E，交⊙O于F。
求证：∠1=∠2
分析：∠1和∠2分别是
?BD和?CF所对的两个圆周角，故只需证?BD=?CF，但不易证明，由于∠2+∠C=90 o ，联想到把∠1放到直角三角形中，连结BD，可得∠ABD=90 o，从而问题得证。
证明：连结BD
∵AD为直径
∴∠ABD=90 o
∴∠1+∠D=90 o
∵AE⊥BC于E
∴∠2+∠C=90 o
∵∠C=∠D
∴∠1=∠2
总结：此题关键是见直径构造90 o的圆周角
例9已知：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，CD⊥AB于D，若AE＝AC，BE交⊙O于点F，连结EF、DE．
求证：（1）AE2＝AD·AB；
（2）∠ACF＝∠AED．
分析：（1）因为AE=AC，要证AE2＝AD·AB，实际上证AC2＝AD·AB，可转化成比例式，放入三角形中用相似三角形来证明。
（2）欲证∠ACF＝∠AED，又知∠ACF＝∠ABE，则只需证∠AED=∠ABE，由（1）得
△ADE∽△AEB，对应角相等得证
证明：（1）连结BC．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．
又∵CD ⊥AB 于D ，∴∠ADC ＝90°． 而∠CAB ＝∠DAC ，∴△CAB ∽△DAC ． ∴
AC
AB AD AC =
，∴AC 2
＝AD ·AB ． 又AE ＝AC ，∴AE 2
＝AD ·AB ． （2）由（1），AE 2
＝AD ·AB ，∴
AE
AB
AD AE =
． 在△AED 和△ABE 中，∠EAB ＝∠DAE ， ∴△EAB ∽△DAE ．∴∠ABE ＝∠AED ．
而∠ABE ＝∠ACF ， ∴∠ACF ＝∠AED ．
总结：圆周角定理可提供等角、直角等结论，进而可用于相似三角形判定，从而可得比例式，求线段长等结论，解决此类问题是灵活选用圆周角定理和相似等内容，并适时添加辅助线。
（五）利用三角函数求两角之间的关系
例10 已知抛物线2
y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C （0，3），过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ，抛物线的顶点为M ，直线y= x+5经过D 、M 两点. （1）求此抛物线的解析式；
（2）连接AM 、AC 、BC ，试比较∠MAB 和∠ACB 的大小，并说明你的理由. 解：（1）∵CD ∥x 轴且点C （0，3），
∴设点D 的坐标为(x ，3) ． ∵直线y= x+5经过D 点， ∴3= x+5．∴x=－2． 即点D(－2，3) ．
根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M （－1，y ）， 又∵直线y= x+5经过M 点， ∴y =－1+5，y =4．即M （－1，4）． ∴设抛物线的解析式为2
(1)4y a x =++． ∵点C （0，3）在抛物线上，∴a=－1．
即抛物线的解析式为2
23y x x =--+． （2）作BP ⊥AC 于点P ，MN ⊥AB 于点N ．
由（1）中抛物线2
23y x x =--+可得 点A （－3，0），B （1，0），
∴AB=4，AO=CO=3，AC= ∴∠PAB ＝45°．
∵∠ABP=45°，∴PA=PB=
∴PC=AC －． 在Rt △BPC 中，tan ∠BCP=
PB
PC
=2． 在Rt △ANM 中，∵M （-1，4），∴MN=4．∴AN=2． tan ∠NAM=
MN
AN
=2． ∴∠BCP ＝∠NAM ． 即∠ACB ＝∠MAB
说明：本例第二问判断∠ACB 和∠MAB 的大小关系是通过构造直角三角形，通过计算这两个角的三角函数值来解决问题的。在解决这类问题时如果不能用全等等方法来寻找思路时，不妨从直角三角形入手，分别计算所求角的三角函数值，从而使问题得到解决.同时还要注意通过一些特殊的点，可能构成特殊的三角形。
【智能巧练】
⒈如图，△ABC 中，∠B 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于点D ，则∠D 与
∠A 的比是________
⒉.已知，如图，在△ABC 中，AC 2
=AD AB 。 求证：∠ACD=∠ABC 。
⒊ 如图，已知：平行四边形ABCD 中，E 是CA 延长线上的点，
F 是AC 延长线上的点，且AE=CF 求证：⑴∠E=∠F ；
⑵BE=DF
⒋ 如图，△ABC 中，高BD 、CE 交于点F ，且CG=AB ，BF=AC ，连接AF ， 求证：AG ⊥AF
第4题 第5题
⒌ Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 上任意一点，DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，垂足分别为F 、E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并说明之.
6．已知：如图，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D. 延长DA 交△ABC
的外接圆于点F.
⑴求证：∠FBC=∠FCB ；
⑵若FA AD ==FB 的长.
第8题
7．梯形ABCD
中AB 在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论 组成一个正确的命题，并证明这个命题. ①AD=BC ②MN ⊥BC ③AM=DM
8．⑴如图，已知直线AB 过圆心O ，交⊙O 于A 、B ，直线AF 交⊙O 于F （不与B 重
合），直线l 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连结AC 、AD ． 求证：①∠BAD ＝∠CAG ；②AC ·AD ＝AE ·AF ．
⑵在问题⑴中，直线l 向下平行移动，与⊙O 相切，其他条件不变． ①请你画出变化后的图形，并对照图，标记字母；
②问题⑴中的两个结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
B
9．如图，⊙O 的内接△ABC
的外角∠ACE 的平分线交⊙O 于点D ，DF ⊥垂足为E ，给出下列4个结论：
①CE=CF ；②∠ACB=∠EDF ；③DE 是⊙O 的切线；④D A ))=D B )
)；
其中一定成立的是（ ）
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③④ D . ①②④
10．已知，如图，在四边形ABCD 中，AB=DC ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延长线分别与EF 的延长线交于H 、G.
求证：∠BHE=∠CGE
11．已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于M ，点E 是B C A )
))上一动点.
⑴ 如图1，若DE 交AB 于N ，交AC 于F ，且DE=AC ，连结AD 、CE ，
求证：①∠CED=∠ADE ②2DN =NF ·NE
⑵ 如图2，若DE 与AC 的延长线交于F ，且DE=AC ，那么2DN =NF ·NE 的结论是否成立？
若成立请证明，若不成立请说明理由.
图1 图2
【答案点击】
⒈ 1∶2； ⒉证明△ACD ∽△ABC ； ⒊证明△ABE ≌△CDF ，或连结ED 、FB ，证明平行四
B
O A
图（2）
·
图(1)
B
O
A F
D
C G
E l
·
边形EBFD ； ⒋证明△CAG ≌△BFA ，∴∠G=∠BAF ，∵∠G+∠GAE=90°，∴∠BAF+∠GAE=90°，∴AG ⊥AF ； ⒌△MEF 是等腰Rt △，连结AM ，证△AME ≌△BMF 6、⑴∵∠DAC=∠FBC ，∠EAD=∠FAB=∠FCB ，∵∠DAC =∠EAD ，∴∠FBC=∠FCB ⑵证明△FBA ∽△FDB ，得FB=6 7、题设①② 结论③ 证明略8、⑴①略，②连结DF ，可证得△ACE ∽△AFD ，⑵结论仍成立.
9、分析 ①可证得△CDF ≌△CDE ，得CE=CF 成立；
②∠ACB 和∠EDF （无直接关系，找相关的角）：∠ACB 与∠ACE 邻角互补，∠EDF 也和∠ACE 互补(四边形的内角和360°)，同角的补角相等，即∠ACB=∠EDF ；
④D A ))所对的圆周角为∠DCA ，D B )
)所对的圆周角为∠DAB ，∵∠DAB=∠DCE （四边形的外角等于不相邻的内角），又∠DCA=∠DCE ，∴∠DCA=∠DCE ，
D A ))=D B )
)，故选D.
一般的，证明线段相等或角相等，可根据条件寻找三角形，证三角形全等；无三角形全等时，可找与之相关连的线段或角，探索等量关系；证明弧相等，可以转化为证明弧所对的圆周角或圆心角相等，即转化为证明角相等的问题. 10、提示:
连结BD ，取BD 的中点M ，连结FM 、EM.只需证FM=EM ，即可证得∠BHE=∠CGE. 11、⑴证明：①∵DE=AC ，
∴C A E D )
)))=，D C E A ))))=
∴∠CED=∠ADE ②连结CN
∴CN=DN ， ∠NCF=∠ADE （圆的轴对称性质） ∵∠CED=∠ADE ，∠CNF=∠ENC ∴△NCE ∽△NFC ∴
NC
NE NF NC =
，NF NE NC 2
?= ∴2DN =NF ·NE
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1．已知如左图，在ABC中, ∠BAC=90°， AB=AC,M为AC的中点，AD⊥BM。
求证:∠AMB=∠DMC
2.如右图在△ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，G在AC边上并且∠GDC=∠EFB，
求证：∠AGD=∠ACB
3、如图，在△ABC中，∠B=90，点G、E在BC边上，且AB=BG=GE=GC。
求证:∠AGB=∠AEB+∠ACB
4、如图，△ABC內接于圆，D是弧BC的中点，AD交BC于E，
求证：∠ABD=∠AEC
5、已知：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB 于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF，与直线CD交于点G.
求证：∠ACD=∠F.
答案：
1、过点C作CF⊥AC交AD的延长线于F.
证明：△ABM≌△ACF，再证△MCD≌△FCD
2、分析：CD∥EF ∵EF⊥AB，CD⊥AB∴CD∥EF ∴∠DCB=∠EFB ∵∠GDC=∠EFB∴∠DCB=∠GDC
∴GD∥CB∴∠AGD=∠ACB
3、分析先证明△AGE∽△CGA，再利用外角性质
4、分析要证明两个角相等，
可放入两三角形△ABD、△AEC，证三角形相似，
条件有两个：∠D=∠C，∠BAD=∠CAD（等弧所对的圆周角相等）
证明：∵D是弧BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD
∵∠D=∠C，∴△ABD∽△AEC
∴∠ABD=∠CEA
5、分析要证明∠ACD=∠F，可通过角之间的转化，
已知中AB是⊙O的直径是关键的条件，
连结BC，得∠ACB=90°，∠ACD=∠B（直角三角形母子三角形中的对应角相等），
∠F=∠B，（同弧所对的圆周角相等）.
证明：⑴连结BC，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
即∠ACD+∠DCB=90°
∵CD⊥AB ∴∠DCB+∠B=90°，∴∠ACD=∠B（同角的余角相等）
∵∠F=∠B，∴∠ACD=∠F（等量代换）.
证明角相等时，如果没有三角形全等，我们常找与它们都相关或都有联系的角作为桥梁，实现角之间的转化，从而证明它们的等量关系. 直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的线段要熟悉.