2.6曲线与方程
2.6.1曲线与方程
1．了解曲线与方程的对应关系，理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念．(重点、难点)
2．理解数形结合思想，会处理一些简单的曲线与方程问题．(难点)
3．曲线与方程的对应关系．(易错点)
[基础·初探]
教材整理曲线的方程方程的曲线
阅读教材P60例1以上的部分，完成下列问题．
1．方程与曲线的定义
在直角坐标系中，如果曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足以下关系：
如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．
2．方程与曲线的关系
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程f (x ，y )＝0就是曲线的方程．( )
(2)如果f (x ，y )＝0是某曲线C 的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程．( )
(3)若曲线C 上的点满足方程f (x ，y )＝0，则坐标不满足方程f (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．( )
(4)方程x ＋y －2＝0是以A (2,0)，B (0,2)为端点的线段的方程．( )
(5)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2．点A ? ??
??m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，则m ＝________. 【解析】 据题意，有14m 2＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或－185.
【答案】 2或－185
3．方程|y |＝|2x |表示的曲线是________．
【解析】 ∵|y |＝|2x |，∴y ＝±2x ，表示两条直线．
【答案】 两条直线
4．已知曲线C 的方程为x 2－xy ＋2y －7＝0，则下列四点中，在曲线C 上的点有________(填序号)．
①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)．
【解析】 把各点的坐标代入检验知，只有(－1,2)满足方程．
【答案】 ①
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3： 解惑：
[小组合作型]
曲线与方程概念的理解
(1)判断点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)是否在方程x 2＋y 2
＝25(x ≤0)所表示的曲线上；
(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N ? ??
??32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值．
【精彩点拨】 由曲线与方程的关系知，只要点M 的坐标适合曲线的方程，则点M 就在方程所表示的曲线上；而若点M 为曲线上的点，则点M 的坐标(x 0，y 0)一定适合曲线的方程．
【自主解答】 (1)把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25中，满足方程，且点A 的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；
把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．
把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．
(2)因为点M (m ，2)，N ? ??
??32，n 在曲线C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m 2(m 2
－1)＝2×1，34×? ????－14＝n 2(n 2－1)，解得m ＝±2，n ＝±12或±32.
1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．
(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；
(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．
2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．
[再练一题]
1．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题正确的是________(填序号)．
①方程f(x，y)＝0的曲线是C；
②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；
③f(x，y)＝0是曲线C的方程；
④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
【解析】只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答．易知①③④错误．
【答案】②
由方程确定曲线
方程2
【精彩点拨】由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图象，可由方程的特点入手分析．
【自主解答】方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，
而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0， ∴x －1＝0且y ＋1＝0，即x ＝1，y ＝－1.
∴方程表示点(1，－1)．
曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性.
[再练一题]
2．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？
【解】 方程(x ＋y －1)x －1＝0等价于?????
x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.
故方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1).
点与曲线的关系及应用
(1)点P (a ．
(2)若曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，a ∈R ，则实数k 的取值范围是________．
【精彩点拨】 (1)利用点在曲线上，则点的坐标满足方程，代入解方程可得；(2)点(a ，－a )在曲线上，则点(a ，－a )适合方程，把k 用a 表示出来，利用求值域的方法得k 的范围．
【自主解答】 (1)因为点P (a ＋1，a ＋4)在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上，
所以a ＋4＝(a ＋1)2＋5(a ＋1)＋3，即a 2＋6a ＋5＝0，解得a ＝－1或－5.
(2)∵曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，
∴a 2＝－a 2＋2a ＋k ，
∴k ＝2a 2－2a ＝2? ??
??a －122－12， ∴k ≥－12，
∴k 的取值范围是????
??－12，＋∞. 【答案】 (1)－1或－5 (2)????
??－12，＋∞
判断点与曲线位置关系的方法
如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，点P 的坐标为(x 0，y 0)．
(1)点P (x 0，y 0)在曲线C ：f (x ，y )＝0上?f (x 0，y 0)＝0.
(2)点P (x 0，y 0)不在曲线C ：f (x ，y )＝0上?f (x 0，y 0)≠0.
[再练一题]
3．若点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，则m 的值为________.
【导学号：09390055】
【解析】 ∵点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，∴m －m 2＝0，
解得m ＝0或m ＝1.
【答案】 0或1
[探究共研型]
曲线与方程的关系
探究1 【提示】 定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即
曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．
曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．
探究2 理解曲线的方程与方程的曲线的概念时应注意什么？
【提示】 (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可．
方程(x －4y －12)[(－3)＋log 2(x ＋2y )]＝0的曲线经过点A (0，－3)，
B (0,4)，
C ? ??
??53，－74，D (8,0)中的________个点． 【精彩点拨】 方程表示两条直线x －4y －12＝0和x ＋2y －8＝0，但应注意对数的真数大于0，即x ＋2y >0.
【自主解答】 由对数的真数大于0，得x ＋2y >0.
∴A (0，－3)，C ? ??
??53，－74不符合要求； 将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．
【答案】 2
点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可.
[再练一题]
4．已知直线l ：x ＋y ＋3＝0，曲线C ：(x －1)2＋(y ＋3)2＝4，若P (1，－1)，
则点P与l，C的关系是________．
【解析】由1－1＋3≠0，∴P不在l上，即P?l；
又(1－1)2＋(－1＋3)2＝4，
∴点P在曲线C上，即P∈C.
【答案】P?l，P∈C
[构建·体系]
1．设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下面命题中正确的是________(填序号)．
①坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；
②曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0；
③坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；
④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.
【解析】因为命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，所以其否定：存在不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0，是正确的，即④正确．
【答案】④
2．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的________条件.
【导学号：09390056】【解析】∵f(x0，y0)＝0，可知点P(x0，y0) 在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0，
∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．
【答案】 充要
3．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为_______________________．
【解析】 ∵P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，∴4－9a ＝1，解得a ＝13.
【答案】 13
4．如图2-6-1中，方程表示图中曲线的是________．
图2-6-1
【解析】 ∵x 2＋y 2＝1表示单位圆，故①错；x 2－y 2＝0表示两条直线y ＝x 和y ＝－x ，故②错；lg x ＋lg y ＝0可化为xy ＝1(x >0，y >0)，故④错；只有③正确．
【答案】 ③
5．方程(x ＋y －2)·x 2＋y 2－9＝0表示什么曲线？
【解】 (x ＋y －2)·x 2＋y 2－9＝0变形为
x 2＋y 2－9＝0或?????
x ＋y －2＝0，x 2＋y 2－9≥0，
表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x ＋y －2＝0在圆x 2＋y 2－9＝0外面的两条射线．
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题 1．如图2-6-2所示，方程y ＝|x |x 2表示的曲线是________．
图2-6-2
【解析】 y ＝|x |x 2＝????? 1x ，x ＞0，－1x ，x ＜0，所以图②满足题意．
【答案】 ②
2．方程(x ＋y －1)x －y －3＝0表示的曲线是________．
【解析】 方程(x ＋y －1)x －y －3＝0等价于?????
x －y －3≥0，x ＋y －1＝0，或x －y －3＝0.
即x ＋y －1＝0(x ≥2)或x －y －3＝0，故方程(x ＋y －1)
x －y －3＝0表示射线
x ＋y －1＝0(x ≥2)和直线x －y －3＝0.
【答案】 射线x ＋y －1＝0(x ≥2)和直线x －y －3＝0
3．条件甲“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，条件乙“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的图形”，则甲是乙的________条件．
【解析】 在曲线的方程和方程的曲线定义中，下面两个条件缺一不可：(1)曲线上点的坐标都是方程的解，(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上．很显然，条件甲满足(1)而不一定满足(2)．所以甲是乙的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
4．在平面直角坐标系中，方程|x 2－4|＋|y 2－4|＝0表示的图形是________．
【解析】 易知|x 2－4|≥0，|y 2－4|≥0，由|x 2－4|＋|y 2－4|＝0，得????? x 2－4＝0，y 2－4＝0，
解得?????
x ＝±2，y ＝±
2，表示的图形为(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点． 【答案】 (2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点
5．下列命题正确的是________(填序号)．
①方程x y －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线； ②△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0；
③到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；
④曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.
【解析】 对照曲线和方程的概念，①中的方程需满足y ≠2；②中“中线AO 的方程是x ＝0(0≤y ≤3)”；而③中动点的轨迹方程为|y |＝5，从而只有④是正确的．
【答案】 ④
6．下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是________________(填序号).
【导学号：09390057】
①y＝x与y2＝x；②y＝x与x
y＝1；
③y2－x2＝0与|y|＝|x|；④y＝lg x2与y＝2lg x.
【解析】①中y＝x时，y≥0，x≥0，而y2＝x时，x≥0，y∈R，故不表
示同一曲线；②中x
y
＝1时，y≠0，而y＝x中y＝0成立，故不表示同一曲线；④中定义域不同，故只有③正确．
【答案】③
7．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.
【解析】由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.
【答案】 5
8．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的直线是________(填序号)．
①过点P且垂直于l的直线；
②过点P且平行于l的直线；
③不过点P但垂直于l的直线；
④不过点P但平行于l的直线．
【解析】点P的坐标(x0，y0)满足方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0，因此方程表示的直线过点P.又∵f(x0，y0)为非零常数，∴方程可化为f(x，y)＝f(x0，y0)，方程表示的直线与直线l平行．
【答案】②
二、解答题
9．分析下列曲线上的点与方程的关系．
(1)求第一、三象限两轴夹角平分线上点的坐标满足的关系；
(2)作出函数y＝x2的图象，指出图象上的点与方程y＝x2的关系；
(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系．
【解】(1)第一、三象限两轴夹角平分线l上点的横坐标x与纵坐标y相等，
即y＝x.
①l上点的坐标都是方程x－y＝0的解；
②以方程x－y＝0的解为坐标的点都在l上．
(2)函数y＝x2的图象如图所示是一条抛物线，这条抛物线上的点的坐标都满足方程y＝x2，即方程y＝x2对应的曲线是如图所示的抛物线，抛物线的方程是y ＝x2.
(3)如图所示，直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解，然而坐标满足方程|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是直线l的方程．
10．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)，M2(－25，2)是否在这个圆上．
【解】①设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以x20＋y20＝5，也就是x20＋y20＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．
②设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x20＋y20＝25，两边开方取算术平方根，得x20＋y20＝5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点．
由①②可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．
把点M1(3，－4)代入方程x2＋y2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，
所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－25，2)代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不相等，(－25，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上．
[能力提升]
1．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________．
【解析】 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或5π3.
【答案】 π3或5π3 2．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是____________(填序号)．
图2-6-3
【解析】 由题意可得x ＋y ＋1＝0或?????
x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0， 它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．
【答案】 ③
3．由方程(|x |＋|y |－1)(x 2＋4)＝0表示的曲线所围成的封闭图形的面积是________．
【解析】 表示的曲线为|x |＋|y |＝1，其图形如图所示，为一正方形，S ＝(2)2＝2.
【答案】 2
4．已知点P(x0，y0)是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，求证：点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．
【证明】因为P是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，所以P在曲线f(x，y)＝0上，即f(x0，y0)＝0，P在曲线g(x，y)＝0上，即g(x0，y0)＝0，所以f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0＋λ0＝0，故点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上.