积分中值定理

编号 2010011202

毕业论文（设计）

（ 2014 届本科）

论文题目：积分中值定理

学院：数学与统计学院

专业：数学与应用数学

班级： 2010级本科（2）班

作者姓名：曹强

指导教师：完巧玲职称：副教授

完成日期： 2014 年 5 月 5 日

目录

诚信声明-------------------------------------------------------------------------------------------------- 错误！未定义书签。摘要 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2

1.1定积分中值定理及推广 ---------------------------------------------------------------------------------------------- 2

1.1.1定积分中值定理----------------------------------------------------------------------------------------------- 2

1.1.2定积分中值定理的推广 ------------------------------------------------------------------------------------- 2

1.2定积分第一中值定理及推广---------------------------------------------------------------------------------------- 3

1.2.1定积分第一中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 3

1.2.2定积分第一中值定理的推广 ------------------------------------------------------------------------------- 3

1.3定积分第二中值定理及推广---------------------------------------------------------------------------------------- 4

1.3.1定积分第二中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 4

1.3.2积分第二中值定理的推广 ---------------------------------------------------------------------------------- 6

1.4 重积分的中值定理 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 7

1.4.1二重积分的中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 7

1.4.2三重积分的中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 8

1.5曲线积分中值定理 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 8

1.5.1第一曲线积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------- 8

1.5.2第二曲线积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------- 8

1.6 曲面积分中值定理 -------------------------------------------------------------------------------------------------- 10

1.6.1第一曲面积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------ 10

1.6.2第二曲面积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------ 10 2中值点的渐进性 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10

2.1第一积分中值定理中值点的渐进性 ----------------------------------------------------------------------------- 10

2.2第二积分中值定理中值点的渐进性 ----------------------------------------------------------------------------- 13 3积分中值定理的应用--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14

3.1估计积分值------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14

3.2求含定积分的极限 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 15

3.3确定积分值符号 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 15

3.4比较积分大小---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16

3.5证明函数的单调性 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 16

3.6证明定理---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 结论 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18 参考文献--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 19 英文摘要-------------------------------------------------------------------------------------------------- 错误！未定义书签。致谢 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明

本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师完巧玲的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

作者签名：

二O一四年五月五日

积 分 中 值 定 理

曹 强

(陇东学院数学与统计学院 甘肃庆阳 745000)

摘要：本文主要讨论定积分第一积分中值定理与第二积分中值定理以及它们的推广，并给出这些定理的证明，研究了中值定理中值点ξ的渐进性并对第一积分中值定理的ξ点进行了详细的讨论，对第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中一种情形，其他证明过程只做简要说明，最后归纳积分中值定理的应用.

关键词：积分中值定理；积分中值定理的推广；积分中值定理的应用；渐进性

1积分中值定理

1.1定积分中值定理及推广 1.1.1定积分中值定理

定理1[1] （定积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使下式

()()(),()b

a

f x dx f b a a b ξξ=-≤≤?

备注1：很显然，积分中值定理中公式

()()()b

a f x dx f

b a ξ=-? （ξ在a 与b 之间）

不论a b <或a b >都是成立的.

1.1.2定积分中值定理的推广

定理2（推广的定积分中值定理） ：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，则在开区间(,)a b 至少存在一个点ξ，使得下式

()()(),()b

a f x dx f

b a a b ξξ=-<

证明：作辅助函数()F x 如下：

()(),[,]x

a

F x f t dt x a b =∈?.

由于()f x 在闭区间[,]a b 连续，则()F x 在[,]a b 上可微，且有()()F x f x '=成立。由微分

中值定理可知：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()

F b F a F b a ξ'-=-成立。并且有()()b

a

F b f t dt =?，()0F a =，此时即可得到下式

()()(),(,)b

a

f t dt f b a a b ξξ=-∈?

，

命题得证.

1.2定积分第一中值定理及推广 1.

2.1定积分第一中值定理

定理3[1] （定积分第一积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，

()g x 在[]b a ,上不变号，并且()g x 在[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得

()()()(),()b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx a b ξξ=≤≤?

?

成立.

1.2.2定积分第一中值定理的推广

定理4（推广的定积分第一中值定理）： 若函数()f x 是闭区间[,]a b 上可积函数，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，则在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得

()()()(),(,)b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx a b ξξ=∈?

?

成立.

证明：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，令

()()()x

a

F x f t g t dt =?，()()x

a

G x g t dt =?，很显然(),()F x G x 在[,]a b 上连续。并且

()0,()()()b a

F a F b f t g t dt ==?，()0,()()b

a

G a G b g t dt ==?，()()()F f g ξξξ'=，()()G g ξξ'= .

由柯西中值定理即可得到

()()()

,(,)()()()

F b F a F a b

G b G a G ξξξ'-=∈'-，

即

()()()()

()

()b

a

b

a

f t

g t dt

f g g g t dt

ξξξ=

?

?

，

()()()(),(,)b

b

a

a

f t

g t dt f g t dt a b ξξ=∈?

?，

命题得证.

1.3定积分第二中值定理及推广 1.3.1定积分第二中值定理

定理5[1] （定积分第二中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，而()g x 在区间[]b a ,上单调，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立

()()()()()()b

b

a

a

f x

g x dx g a f x dx g b f x dx ξξ

=+??? （1-1）

特别地，如果()g x 在区间(,)a b 上单调上升且()0g a ≥ ，那么存在ξ，使下式成立 ()()()()b

b

a f x g x dx g

b f x dx ξ

=?? （1-2）

如果()g x 在区间(,)a b 上单调下降且()0g b ≥，那么存在ξ，使下式成立

()()()()b

a

a

f x

g x dx g a f x dx ξ

=?? （1-3）

证明：由题设条件知(),()f x g x 在区间[,]a b 上都是可积的，由积分性质可知()()f x g x ?也是可积的。我们先证明（1-2）式，即在()g x 非负、且在区间(,)a b 上单调上升的情形下加以证明。 对于（1-3）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明（1-1）式.

在区间[,]a b 上取一系列分点使011i i n a x x x x x b -=<<

<<<

<=，记1i i i x x x -?=-，

其中i ω为()g x 在i x ?上的幅度，即11[]

[]

sup {()}inf {()}i i i i i x x x x g x g x ω----=-，再将所讨论的积分作如下改变：将积分限等分为如下n 等份，并且记

1

1

()[()()]i

i n

x i x i f x g x g x dx ρ-=-=∑?

，1

1

()()i

i n

x i x i g x f x dx σ-==∑?

.

则

1

1()()()()i

i n

b

x a

x i f x g x dx f x g x dx -==∑??

1

1

1

1

()()()[()()]i

i

i i n

n

x x i i x x i i g x f x dx f x g x g x dx σρ--===+-≡+∑∑?

?

，

因为()f x 在[,]a b 上可积，且区间[,]a b 是有限的，所以()f x 在[,]a b 上有界，此时我们不妨假设()f x L ≤.

估计ρ如下：

1

1()[()()]i

i n

x i x i f x g x g x dx ρ-==

-∑?

1

1

()()()i

i n x i x i f x g x g x dx -=≤-∑?

1

1

()

()()i

i n

x i i x i f x g x g x dx -=≤-∑?

1

1

1i

i n

n

x i i i x i i L dx L x ωω-==≤=?∑∑?

由于()g x 可积，所以当max 0i x λ=?→时，有1

0n

i i i x ω=?→∑，从而有0

lim 0λρ→=，从而

可知

()()lim()lim lim b

a

f x

g x dx λλλσρσρ→→→=+=+?

1

1

lim lim ()()i

i n

x i x i g x f x dx λλσ-→→===∑?

我们记dt t f x F b

x

?=)(）（，由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，那么函数()F x 是[,]

a b 上的连续函数，并且有最大值和最小值M 和m ，记为()i m F x M ≤≤，很显然

1

1()()()i

i x i i x f x dx F x F x --=-?

，0)()(==b F x F n ，

从而

1

1

()()i

i n

x i x i g x f x dx σ-==∑?

[]11

()()()n

i i i i g x F x F x -==-∑

11

1

()()()()n n

i i i i i i g x F x g x F x -===-∑∑

1

1012

1

()()()()()()n n i i i i i i g x F x g x F x g x F x --===+-∑∑

1

1011

()()[()()]()n i i i i g x F x g x g x F x -+==+-∑

因为()g x 是非负的，并且在区间(,)a b 上单调上升，即有10()()()0g x g x g a ≥=≥、

1()()0i i g x g x +-≥成立，所以有下式成立

()()1

1

11111

1

{()()()}{()()()}n n i i i i i i m g x g x g x M g x g x g x σ--++==+-≤≤+-∑∑.

即有

()()mg b Mg b σ≤≤

成立。从而可以得到)(lim 0

b g μσλ=→，其中μ满足m M μ<<。由于函数()F x 连续，则在[,]

a b 之间存在一点ξ，使()()b

F f x dx ξ

μξ==?成立，从而有公式（1-2）成立，即

()()()()b

b

a

f x

g x dx g b f x dx ξ

=?

?

成立，（1-2）式得证.

对于()g x 单调下降且()0g b ≥的情形即公式（1-3）的证明过程是类似的，证明略. 对于()g x 是一般单调上升情形，我们作辅助函数()()()x g x g a ψ=-，其中ψ为单调上升且()0a ψ≥，此时公式（1-2）对于()x ψ是成立的，即存在ξ使

[][]()()()()()()b

b

a

f x

g x g a dx g b g a f x dx ξ

-=-??

成立，这就证明了公式（1-2）

()()()()()()b b

a

a

f x

g x dx g a f x dx g b f x dx ξξ

=+?

??。

对于()g x 是一般单调下降的情形，此时应用公式（1-3），同样可得到（1-2）式，此

命题得证.

1.3.2积分第二中值定理的推广

定理6（推广定积分第二中值定理）： 如果函数()f x 在闭区间[,]a b 可积，()g x 在区

间[,]a b 上可积且不变号，则在(,)a b 上必存在一点ξ，使得

)()()()()()()()()(x d x f b g x d x f a g x d x g x f b

a

b

a

???+=ξ

ξ ）（b a ,∈ξ

成立 。

证明过程详见参考文献[9].

1.4 重积分的中值定理 1.4.1二重积分的中值定理

定理7[2]（二重积分的中值定理）：假设函数(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，其中σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη使得 (,)(,)D

f x y ds f ξησ=???

成立.

定理8（二重积分第一中值定理）：若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，),(y x g 在D 上

可积且不变号，则存在一点

D ∈），（ηξ，使得 σηξσd y x g f d y x g y x f D

D

????=),(),(),(),(

成立.

证明：不妨设),(y x g ≥0 （

D y x ∈）（,）.令f m M 分别,上的最大、最小值，从而 σσσd y x g M d y x g y x f d y x g m D

D

D

??????≤≤),(),(),(),(

若0,=??σd y x D

）（，则由上式0),(,=??σd y x g y x f D

）（，于是任意取

D ∈）（ηξ,，即可. 若??≠D

y x g 0,0),(则必大于，于是

M d y x g d y x g y x f m D

D

≤≤

????σ

σ

),(),(),(，

由介值性定理，存在

D ∈）（ηξ,，使得

?????=

D

D

gd gd f f σ

σ

ηξ),(，

即

σηξσd y x g f d y x g y x f D

D

????=),(),(),(),(

1.4.2三重积分的中值定理

定理9[2]（三重积分的中值定理）：设函数(,,)f x y z 在有界空间闭区域D 上连续，其中A 是D 的体积，则在D 上至少存在一点(,,)ξηζ使得

(,,)(,,)D

f x y z ds f A ξηζ=????

成立.

定理10（三重积分第一中值定理）：设函数(,,)f x y z 在有界空间闭区域D 上连续，

),,(z y x g 在D 上可积且不变号，则存在一点D ∈），，（ζηξ使得

σζηξζηξσd g f d z y x g z y x f D

D

??????=),,(),,(),,(),,(

成立.

1.5曲线积分中值定理 1.5.1第一曲线积分中值定理

定理11[6]（第一型曲线积分中值定理）： 如果函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使

(,)(,)C

f x y ds f S ξη=?

成立，其中S 为曲线C 的弧长. 1.5.2第二曲线积分中值定理

定理12[6]（第二型曲线积分中值定理）：如果函数(,)f x y 在光滑有向曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使得

(,)(,)C

f x y dx f I ξη=±??

成立。其中I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影，其中符号“±”是由曲线C 的方向

确定的.

证明：因为函数(,)f x y 在有界闭曲线C 上连续，所以存在,m M R ∈，其中

(,)m f x y M ≤≤，对上式进行第二型曲线积分可得

(,)c

C

c

m dx f x y dx M dx ≤≤???（3-6）

其中c

dx ?为有向光滑曲线C 在x 轴上的投影，此时我们不妨记c

dx I =±?，并且分以下两种

情况进行讨论：

[1]假设c

dx I =?，将（3-6）式除以I 可得

1

(,)C

m f x y dx M I ≤

≤?. 因为(,)f x y 在C 上连续，故由介值定理，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使

1

(,)(,)C f x y dx f I

ξη=? 成立，即有

(,)(,)C

f x y dx f I ξη=??

成立.

[2]同理当c

dx I =-?，式左右两边同时除以I -可得

1

(,)C

M f x y dx m I -≤-

≤-?， 因为(,)f x y 在C 上连续，故由介值定理，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使

1

(,)(,)C f x y dx f I

ξη-

=? 成立，即有

(,)(,)C

f x y dx f I ξη=-??

成立，由上面证明过程可得

(,)(,)C

f x y dx f I ξη=±??

，

命题得证.

1.6 曲面积分中值定理 1.6.1第一曲面积分中值定理

定理13[3]（第一型曲面积分中值定理）：设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中

(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z 在S 上连续，则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使

(,,)(,,)S

f x y z d f A σξηζ=???

成立，其中A 是曲面S 的面积. 1.6.2第二曲面积分中值定理

定理14[3]（第二型曲面积分中值定理）：若有光滑曲面:(,),(,)xy S z x y x y D ∈，其中xy

D 是有界闭区域，函数(,,)f x y z 在S 上连续，由此在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使

(,,)(,,)S

f x y z dxdy f A ξηζ=±??

成立，其中A 是S 的投影xy D 的面积.

2中值点的渐进性

2.1第一积分中值定理中值点的渐进性

定理15[8] ：假设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，其中()f x 在a 点的直到1n -阶右导数

为0，而n 阶右导数不为0，即(1)(

)()()0n f a f a f a -+++

'''====

，()()0n f a +≠，并且有()()

n f x 在a 点连续；函数()g x 在[,]a b 可积且不变号，并且对于充分小的0()a b δδ>+<， ()g x 在

[,]a a δ+上连续，且()0g a ≠，则第一积分中值定理中的中值点ξ满

足

0l i m ,(,)x a a x a b x a ξ→+-=∈-. 证明：对任意(,)x a b ∈，我们做一个辅助函数()F x 如下：

1

()()()()()()

x

x

a

a

n f t g t dt f a g t dt

F x x a +-=

-?

?

一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则

()()()()

lim ()lim

(1)()n

x a x a f x g x f a g x F x n x a →+→+-=+- 0

()()()

lim ()1

n

x a f x f a g x x a n →+-=-+ 001()()

lim ()lim

1()n

x a x a f x f a g x n x a →+→+-=

??+- 由积分中值定理和洛比达法则可以得到

()0()

()()lim ()!

n n x a f a f x f a x a n +→+-=

-， 从而

()0()()

lim ()(1)!n x a g a f a F x n +→+=+. （2-1）

且有

()0()()()lim ,()()!

n n x a f a f f a a x a n ξξξ+→+-=<<- 成立.

另一方面，由积分中值定理和洛比达法则可得 1

()()()()lim ()lim

()

x x

a

a

n x a x a f g t dt f a g t dt

F x x a ξ+→+→+-=-??

=0()()()lim ()x

n

a n x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ→+??--?????? ???---??

????

? 000

()()()lim lim lim ()a n

a n x a x a g t dt

f f a a a x a δ

δξξξδ

+→+→+→+--??

=?? ?--??

?

由洛比达法则，则有0

()lim

()a a

g t dt

g a δ

δδ

+→+=?，因此可得

)(lim 0x F a x +→()0()()lim ,()!n

n x a f a g a a a x n x a ξξ+→+-??

=?<< ?-??. （2-2） 比较（2-1）式与（2-2

）式可以得到0

lim

(,)x a a

x a b x a

ξ→+-=∈-. 定理16[8]：假设函数()f x 在[,]a b 上连续，()f a +'存在并且有()0f a +'≠，

()[,]g x a b 在上有m 阶导数，

有(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====， ()()0m g a +≠成立，

并且()()m g x 在a 点连续，()g x 不变号，则第一积分中值定理中的点ξ满足

1

lim

,(,)2

x a a

m x a b x a

m ξ→+-+=

∈-+. 证明：对任意的(,)x a b ∈，构造辅助函数()H x 如下

2

()()()()()()

x

x

a

a

m f t g t dt f a g t dt

H x x a +-=

-?

?

一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有

1

()()()()

lim ()lim

(2)()

m x a x a f x g x f a g x H x m x a +→+→+-=+- =0

()()()1

lim ()2

m

x a f x f a g x x a x a m →+-??--+ 由于0x a →+，则0

()()

lim ()x a f x f a f a x a

+→+-'=-，且函数()[,]g x a b 在上有m 阶导数，则上

式等于

()0()1()1()lim ()2()2!

m m x a g x g x f a f a m x a m m +++

→+''??=??+-+ （2-3） 另一方面，由积分中值定理

()()()()x

x

a

a

f t

g t dt f g t dt ξ=?

?

则

2

[()()]()lim ()lim

()()

x

a

m x a x a f f a g t dt

H x a x x a ξξ+→+→+-?=<<-?

=10()[()()]lim ()

x

a m x a g t dt

f f a a a x a x a ξξξ+→+--??---? =1000()[()()]lim lim lim ()x

a

m x a x a x a g t dt f f a a a

x a x a ξξξ+→+→+→+--??---?

对()H x 使用洛比达法则可得

)(lim 0x H a x +→ =()

0()()lim

(1)!m x a g a a

f a m x a

ξ++→+-'??+- （2-4）

比较（2-3），（2-4）式我们可以得到0

1

lim

,(,)2

x a a

m x a b x a

m ξ→+-+=

∈-+. 2.2第二积分中值定理中值点的渐进性

定理17]7[ ：假设函数()[,]f x a b 在上单调，并且在a 点的右导数存在，且有(0)0f a '+≠；

()g x 在[,]a b 上可积，在a 点的右极限存在，且(0)0g a +≠。则第二积分中值定理中的ξ满

足

01

lim

,

(,)2x a a

x a b x a ξ→+-=∈-.

证明：对于任意的(,)x a b ∈，构造辅助函数()F x 如下

2

()()()()()()

x

x

a

a

f t

g t dt f a g t dt

F x x a -=

-?

?.

一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则可得

()()()()

lim ()lim

2()

x a x a f x g x f a g x F x x a →+→+-=-

001()()1lim lim ()(0)(0)02()2

x a x a f x f a g x f a g a x a →+→+-'=

=++≠- （2-5） 另一方面，由第二积分中值定理，有 2

()()()()()()lim ()lim

()

x x

a

a

x a x a f a g t dt f x g t dt f a g t dt

F x x a ξξ→+→++-=-???

2

()()()()()()()lim

()x x

a

a a a x a f a g t dt f x g t dt g t dt f a g t dt x a ξ

ξ→+??+--????=-?

???

[][]2

()()()()()()lim

()

x

a a x a f x f a g t dt f x f a g t dt

x a ξ

→+---=-??

00()()()()lim lim x a

a x a x a g t dt g t dt f x f a x a x a

ξ→+→+??

--??=??--????

?? 00()()()()lim lim x a a x a x a g t dt g t dt f x f a a x a x a a x a ξξξ→+→+??--??=-?

??

----????

??

0(0)(0)(0)lim x a a f a g a g a x a ξ→+-?

?'=++-+??-??

0(0)(0)1lim x a a f a g a x a ξ→+-?

?'=++-??-??

（2-6）

比较（2-5）、（2-6）式知0

11lim 2x a a

x a

ξ→+--=

-，即可得到01lim 2

x a a x a ξ→+-=-.

3积分中值定理的应用 3.1估计积分值

例1 应用中值定理估计积分??≤+++=

10

||||22cos cos 100y x y x d I σ

的值. 解 由于{}10|y ||||),(cos cos 1001

),(22≤+=++=

x y x D y

x y x f 在上连续，据中值定理

知：存在

D ∈）（ηξ,使得 η

ξ2

2c o s c o s 100++=D

S I ， 从而 100

102D D S

I S ≤≤， 即

251

100

≤≤I . 例2 估计dx x

x ?

+1

03

6

191的值.

解 由推广的积分第一中值定理,得

,1120111136

10

19

36103619ξξ+=+=+??dx x x x 其中[]1,0∈ξ 因为

,10≤≤ξ 所以

,

111

2

1

3

6

3

≤+≤

ξ

即

，

20

1

112012

201

363≤+≤

ξ

故

.20

112

201

1

03

6

193

≤

+≤?

dx x x

3.2求含定积分的极限

例3 求极限1

2

0lim 1n

n x x →∞+?

解：利用推广的积分中值定理

dx x dx x x n n n ?

?+=+1

2

1

011

1ξ

11022

11

[],(01)11(1)(1)

n x n n ξξξ+==≤≤++++ 则

1

2201lim lim 01(1)(1)

n n n x dx x n ξ→∞→∞==+++? 3.3确定积分值符号 例4 确定 20

sin x

dx x

π

?

的符号. 解 220

0sin sin sin x

x x dx dx dx

x x x ππππ=+?

??

00000sin sin()()sin sin sin ()

x t dx d t x t x x dx dx x x x dx x x π

ππππππππππ+=+++=-+=+?????

利用推广的积分中值定理可知

20

sin x

dx x π

?

0sin ()x dx x x πππ=+?sin 0()

πξξξπ=>+(0,)ξπ∈

综上所述 20

sin x

dx x

π?

的符号为正号.

3.4比较积分大小

例5 比较积分3

40

sin x π

?和240

sin x π

?的大小

解：当(0,)4

x π

∈时，0s i n 1x

<<，从而有320sin sin 1x x <<<，于是我们有32440

sin sin x x π

π

≤?

?，即340

sin x π

?小于等于240

sin x π

?.

3.5证明函数的单调性

例6设函数()f x 在(0,)+∞上连续，其中0()(2)()x

F x x t f t dt =-?，试证：在(0,)+∞内，

若()f x 为非减函数，则()F x 必为非增函数.

证明：利用分歩积分法，将()F x 化为

()(2)()()2()x x x

F x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-???

对上式求导，可以得到：

()()()2()()()x x

F x f t dt xf x xf x f t dt xf x '=+-=-??.

由积分中值定理，可得：

()()()(()()),(0)F x xf xf x x f f x x ξξξ'=-=-≤≤.

若()f x 为非减函数，则有()()0f f x ξ-≤成立，因此可以得到()0F x '≤，故()F x 为非增函数，命题得证.

3.6证明定理

例7 证明（阿贝尔判别法）如果()f x 在[,)a +∞上可积，()g x 单调有界，那么

()()a

f x

g x dx +∞

?

收敛.

证明：由假设条件，利用第二中值定理，在任何一个区间[,]A A '上（其中,A A a '>），

存在[,]A A ξ'∈，使得

()()()()()()A A A

A

f x

g x dx g A f x dx g A f x dx ξξ

'

'

'=+?

??.

因为()f x 在[,)a +∞上可积，则()a

f x dx +∞

?

收敛，所以对于任何0ε>，存在0A a ≥，使

得当0,A A A '≥时，成立

(),

()A A

f x dx f x dx ξξ

εε'

<

?.

又由0(),,g x L A A A '<≥所以当时，有

()()()()()()A A A

A

f x

g x dx g A f x dx g A f x dx ξξ

'

'

'=+?

??

()

()()

()2A A

g A f x dx g A f x dx L ξ

ξ

ε'

'≤+≤?

?，

根据柯西收敛原理可推知积分()()a

f x

g x dx +∞

?

收敛.

例8 证明（狄里克莱判别法）如果()()A

a

F A f x dx =?有界，即存在0K >，使得

(),()

A

a

f x dx K

g x ≤?

单调且当x →+∞时趋向于零，那么积分()()a

f x

g x dx +∞

?收敛.

证明：因为()0()g x x →→+∞，所以对任意的0ε>，存在0A ，当0

,A A A '≥

时，()g A ε<，

()g A ε'<。又因

()A

a

f x dx K ≤?

，所以

()()()2A

A

a

a

f x dx f x dx f x dx K ξ

ξ

=

-≤?

?

?，

同样我们有

()2A f x dx K ξ

'

≤?.

由第二积分中值定理，只要0,A A A '≥，就有

()()()

()()

()4A A A

A

f x

g x dx g A f x dx g A f x dx K ξ

ξ

ε'

'

'≤+≤?

?

?

所以积分()()a

f x

g x dx +∞?收敛，命题得证.

结论

本论文通过讨论积分中值定理，对积分中值定理内容如积分中值定理的定义、推广、渐进性质、应用加以说明，并对积分中值定理的各个方面有关情形都一一加以讨论，使我们对积分中值定理有了全面的了解。而且对现在比较热门研究的渐进性问题做了初步了解，但相对于当今的研究方向来说讨论还是比较少的，并且讨论的时候对于给出的条件比较苛刻。此外，在积分中值定理的应用方面，讨论了积分中值定理在估计积分值，确定积分值的符号，求含定积分的极限，比较积分大小，证明函数单调性，以及微积分一些定理的证明.

积分中值定理的推广与应用

积分中值定理的推广与应用 系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月

国内图书分类号： 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学 申请学位学士学位 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月

摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用

ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications.

中值定理证明

中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

第二积分中值定理

第二积分中值定理 若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而()p x 是区间[,]a b 上的单调有界函数，则有点()c a c b ≤≤，使 ()()d () ()d () ()d b c b a a c p x f x x p a f x x p b f x x + - =+? ? ? 其中()lim ()x a p a p x + +→=【右极限】，()lim ()x b p b p x --→=【左极限】。特别，若()0p a +=，则 ()()d () ()d b b a c p x f x x p b f x x - =? ? ()a c b ≤≤ 证明前的说明：()p x 是单调有界函数，所以它是可积的，而()()p x f x 作为可积函数的乘积也是可积的。其次，在下面的证明中， ①不妨认为()0p a +=，否则，令()()()q x p x p a +=-，则()0q a +=，于是由 ()()d () ()d b b a c q x f x x q b f x x - =? ? 即 [()()]()d [()()]()d b b a c p x p a f x x p b p a f x x + - + -=-?? ，可得一般情形 ()()d () ()d () ()d b c b a a c p x f x x p a f x x p b f x x + - =+? ? ? ②不妨认为()p x 是单调增加函数，因为若()p x 是单调减小函数，就用[()]p x -替换()p x 。 证 首先划分区间[,]a b ，即 01211i i n n a x x x x x x x b --=<<< <<<<<= 而在每一个小区间1[,]i i x x -上，都存在点1(,)i i i x x ξ-∈，使 1 1()d ()()i i x i i i x f x x f x x ξ--=-? 【第一积分中值定理】 于是，1 1() ()d ()()()i i x i i i i i x p f x x p f x x ξξξ--=-? ，求和得 1 11 1 ()()d ()()()i i n n x i i i i i x i i p f x x p f x x ξξξ--=== -∑∑? （※） 现在，将左端做变换，即 1 11 1 ()()d ()()d ()d i i i i n n x b b i i x x x i i p f x x p f x x f x x --==?? =-??????∑∑ ? ?? ξξ 1 11 2 () ()d ()()()d i n b b i i a x i p f x x p p f x x ξξξ--=??=+ -??∑? ? 因为()p x 是单调增加函数且()()0p x p a +≥=，所以11()0,()()0i i p p p ξξξ-≥-≥；再用m 和

谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理

若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：

推广的积分中值定理及其应用

推广的积分中值定理及其应用 摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性. 关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理 Promotion of Integral Mean Value Theorem and Its Application Abstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system to promote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after. Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem

关于高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

高等数学-中值定理证明

第三章中值定理证明

1.闭区间上连续函数定理① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ① ② ③ ④ 3.积分中值定理 ① ② 不等式证明思路 ①构造函数（利用极值） ②拉格朗日中值定理 ③函数凹凸性定义

1.若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0 f f ξλξ'+=2.设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)() b a ae be e a b ξξ-=--3.设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0 F ξ''=4.设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.

5.若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

(完整版)中值定理的应用方法与技巧

中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对

二元函数的积分中值定理的探究

目录 摘要................................................................................ I 关键词.............................................................................. I Abstract ........................................................................... II Key words .......................................................................... II 前言.. (1) 1预备知识 (1) 1.1相关定理 (1) 2 多元函数积分中值定理的各种形式 (2) 2.1 曲线积分中值定理的推广 (2) 2.1.1第一型曲线积分中值定理 (2) 2.1.2第二型曲线积分中值定理 (4) 2.2二重积分中值定理的探究及推广 (5) 2.3曲面积分中值定理的探究及推广 (7) 2.3.1第一型曲面积分中值定理 (7) 2.3.2第二型曲面积分中值定理 (7) 结论 (9) 参考文献 (10) 致谢 (11)

摘要：积分中值定理是数学分析的重要定理，我们主要讨论了二元函数的曲线、重积分、曲面的各种形式中值定理，而且还给出了这些定理的证明过程，最后总结出各类积分中值定理的形式. 关键词：积分中值定理；第二中值定理；曲线积分中值定理；二重积分中值定理；曲面积分中值定理

拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。 怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。 罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。 拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令 (1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。 由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数

我们知道其导数为 且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立.

积分中值定理的证明与应用

积分中值定理的证明与应用 作者：王晶岩 作者单位：黑龙江工商职业技术学院,黑龙江,哈尔滨,150000 刊名： 中国新技术新产品 英文刊名：CHINA NEW TECHNOLOGIES AND PRODUCTS 年，卷(期)：2009，""(5) 被引用次数：0次 参考文献(4条) 1.刘玉琏.傅沛仁教学分析 1988 2.马玲高等数学解题方法指导 1996 3.阎政平积分中值定理证明的一点注记 1996(04) 4.薛嘉庆高等数学题库精编 2000 相似文献(10条) 1.期刊论文余桂东.YU Gui-dong积分中值定理的逆-安庆师范学院学报（自然科学版）2001,7(1) 从积分中值定理的几何意义出发,探讨出有关积分中值定理的逆,并进一步推出微分中值定理的逆. 2.期刊论文郝玉芹.时立文.欧阳占瑞.HAO Yu-qin.SHI Li-wen.OUYANG Zhan-rui对积分中值定理结论的一点改动-河北能源职业技术学院学报2007,7(3) 本文对积分中值定理中取值区间进行讨论,证明在开区间上该定理仍然成立.这样可使积分中值定理与微分中值定理中的取值区间得以统一,从而更能体现积分中值定理的中值性以及两个中值定理之间的联系. 3.期刊论文张武关于积分中值定理的正确应用与理解-太原教育学院学报2002,20(4) 积分中值定理是微积分学中最基本的定理之一,但是在实际教学与应用中常常会有误解,对它的理解也不够全面和深刻.因此,有必要对一般情况下积分中值定理进行推广和证明,并阐述它与微分中值定理的关系. 4.期刊论文唐伟国.唐仁献微分中值定理的级数表达式-湖南科技学院学报2008,29(8) 本文探寻得到了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理的级数表达式,并作为其应用,方便地得到了第一积分中值定理的两种新的形式. 5.期刊论文唐仁献微分中值定理的级数表达式-零陵学院学报2004,25(6) 探寻得到了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理的级数表达式,并作为其应用,方便地得到了第一积分中值定理的两种新的形式. 6.期刊论文潘新对积分中值定理的推广与应用-考试周刊2008,""(26) 文章对积分中值定理进行了讨论与推广.得到了四个推论,并且对给出的积分中值定理进行了一些应用. 7.期刊论文孙翠芳.程智微积分中值定理间点的关系-高等数学研究2009,12(6) 根据微分中值定理和积分中值定理定义微分点与积分点.证明严格单调函数与凸(凹)函数中微分点与积分点间的一些关系式,指出在函数对称的情况下微分点与积分点之间也存在着对称关系,并给出一类向量函数以及多项式函数中微分点与积分点间的关系式. 8.期刊论文宁存法.陈丫丫关于积分中值定理的注记-太原大学教育学院学报2007,25(z1) 在分析教材中第一积分中值定理的条件下,证明了介值点ξ必可在开区间(a,b)内取得,进一步将这个结论推广到被积函数f以区间端点a和b为第一类间断点或瑕点以及在(a,b)内有间断点的情形,并且给出以上结果的一些应用. 9.期刊论文哈申浅谈微分中值定理与牛顿-莱布尼兹公式-内蒙古科技与经济2007,""(21) 本文介绍微分中值定理与牛顿-莱布尼兹公式的简单应用,找出微分中值定理与牛顿-莱布尼兹公式的辩证关系,从而使我们深入理解和运用微积分学的基本定理. 10.期刊论文薛国民关于一道数学竞赛题的解法探讨-考试周刊2008,""(26) 本文对江苏省普通高等学校第六届高等数学竞赛中一道试题的解法进行了探讨,分析了原有解法的不足,并且给出了另一种解法. 本文链接：https://www.doczj.com/doc/3c8095804.html,/Periodical_zgxjsxcpjx200905194.aspx 授权使用：台州科技职业学院(tzkjzy)，授权号：1d0d7b6a-acd1-4f5e-850e-9e170098c7d5 下载时间：2010年10月22日

积分中值定理

编号 2010011202 毕业论文（设计） （ 2014 届本科） 论文题目：积分中值定理 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级： 2010级本科（2）班 作者姓名：曹强 指导教师：完巧玲职称：副教授 完成日期： 2014 年 5 月 5 日

目录 诚信声明-------------------------------------------------------------------------------------------------- 错误！未定义书签。摘要 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.1定积分中值定理及推广 ---------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.1.1定积分中值定理----------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.1.2定积分中值定理的推广 ------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.2定积分第一中值定理及推广---------------------------------------------------------------------------------------- 3 1.2.1定积分第一中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 3 1.2.2定积分第一中值定理的推广 ------------------------------------------------------------------------------- 3 1.3定积分第二中值定理及推广---------------------------------------------------------------------------------------- 4 1.3.1定积分第二中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 4 1.3.2积分第二中值定理的推广 ---------------------------------------------------------------------------------- 6 1.4 重积分的中值定理 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 1.4.1二重积分的中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 7 1.4.2三重积分的中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.5曲线积分中值定理 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.5.1第一曲线积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.5.2第二曲线积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.6 曲面积分中值定理 -------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 1.6.1第一曲面积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------ 10 1.6.2第二曲面积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------ 10 2中值点的渐进性 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 2.1第一积分中值定理中值点的渐进性 ----------------------------------------------------------------------------- 10 2.2第二积分中值定理中值点的渐进性 ----------------------------------------------------------------------------- 13 3积分中值定理的应用--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 3.1估计积分值------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 3.2求含定积分的极限 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 15 3.3确定积分值符号 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 15 3.4比较积分大小---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 3.5证明函数的单调性 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 3.6证明定理---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 结论 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18 参考文献--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 19 英文摘要-------------------------------------------------------------------------------------------------- 错误！未定义书签。致谢 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21

微分与积分中值定理及其应用

第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ．

二、三重积分中值定理的证明与应用

《数学分析》自主研究课题： 二、三重积分中值定理的证明和应用 摘要：本报告探究的是由积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理引伸出的推广形式的二重积分中值定理和二、三重积分中值定理的证明及其相关应用。 关键词：积分第一中值定理，推广形式的二重积分中值定理，二、三重积分中值定理 一、引言 在《数学分析》的学习过程中我们已经详细了解了的积分第一中值定理（一重积分中值定理）及其证明和应用，而对二、三重积分中值定理并没有给出详细的证明和应用，所以本报告将详细的对其作出证明和说明其简单的应用. 二、积分第一中值定理（一重积分中值定理） (积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点ε∈[a,b],使得 )()()(a b f dx x f b a -=? ε.

??=D D S f d y x f ),(),(ηεσ和(推广形式的积分第一中值定理)若f 和g 都在[a,b]上连续，且）（x g 在[a,b]上不变号，则至少存在一点b][a,∈ε，使得 ? ?=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ε （明显当1g ≡） （x 时，即为积分第一中值定理） 三、推导二、三重积分中值定理及证明 由积分第一中值定理我们类似的推导出 二重积分中值定理：若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存 在D ∈） ηε,(，使得 ??=D D S f d y x f ),(),(ηεσ, 这里S D 是区域D 的面积. 证明：由于),(y x f 在有界闭区域D 上连续，S D 为这个区域的面积.存在最大值M 和最小值m ，得 m ≤),(y x f ≤M,D y x ∈),(, 使用积分不等式性质得 mS D ≤??D d y x f σ),(≤MS D , 即 m ≤ ??D D d y x f S σ),(1 ≤M. 再由连续函数的介值性，至少存在一点D ∈） ηε,(,使 ??= D D d y x f S f ,),(1 ),(σηε 即