函数的奇偶性、对称性和周期性
一、函数奇偶性、周期性的定义
奇函数:对于定义域内的任意x ,总有()()f x f x 成立,则称()f x 是奇函数
偶函数:对于定义域内的任意
x ,总有()()f x f x 成立,则称()f x 是偶函数
1.奇函数和偶函数的定义
(1)定义的等价形式:
奇函数:()()
f x f x ()
()()0()
f x f -x f x f x 1偶函数:()
()f x f x ()
()()01
()f x f x f x f x (2)定义域在数轴上关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数的必要不充
教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请想一下有哪些美? 对于对称美,请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢? 生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?若给它适当地建立直角坐标系,那么会发现什么特点? 数学中对称的形式也很多,这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数
二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用
三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0;如果f(x)是偶函数时,f(0)不一定为0,如f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个.
考点2 周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y =f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg 1-x 1+x ;(2)f(x)= ? ? ?x2+x(x>0), x2-x(x<0); (3)f(x)= lg(1-x2) |x2-2|-2 .
函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求:了解函数的奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标:1、理解函数奇偶性的概念; 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法; 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法; 4、培养学生观察和归纳的能力,培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点:1、理解奇偶函数的定义; 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法,并探索其中简单的规律。 教学难点:1、对奇偶性定义的理解; 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程: 一、知识要点: 1、函数奇偶性的概念 一般地,对于函数)(x f ,如果对于函数定义域内任意一个x ,都有)()(x f x f =-,那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地,对于函数)(x f ,如果对于函数定义域内任意一个x ,都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解: (1)奇偶性是针对整个定义域而言的,单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是,奇偶性是一个“整体”性质,单调性是一个“局部”性质; (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类,函数可分为四类: 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象:
奇函数?图象关于原点成中心对称的函数,偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质: ①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。 ②常用的结论:若f(x)是奇函数,且x 在0处有定义,则f(0)=0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同,最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a函数的奇偶性与周期性练习题
函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +2)为偶函数,则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. -2 B.-1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中,最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-,则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,()f x =2(1)x x -,则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中,既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 (A )3y x = (B) 1y x =+ (C )21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是() A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数,则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 .
函数的奇偶性 一、选择题 1.若)(x f 是奇函数,则其图象关于( ) A .x 轴对称 B .y 轴对称 C .原点对称 D .直线x y =对称 2.若函数y f x x R =∈()()是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象 上的是( ) A . (())a f a ,- B . (())--a f a , C . (())---a f a , D .(())a f a ,- 3.下列函数中为偶函数的是( ) A .x y = B .x y = C .2x y = D .13+=x y 4. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数,且最小值是5,那么)(x f 在[]3,7--上是( ) A .增函数,最小值是-5 B .增函数,最大值是-5 C .减函数,最小值是-5 D .减函数,最大值是-5 5. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数,则a 的值为( ) A .1- B .2- C .1 D .2 6.已知偶函数)(x f 在],0[π上单调递增,则下列关系式成立的是( ) A .)2()2 ()(f f f >- >-π π B .)()2 ()2(ππ ->->f f f C .)2 ()2()(π π- >>-f f f D .)()2()2 (ππ ->>- f f f 二、填空题 7.若函数)(x f y =是奇函数,3)1(=f ,则)1(-f 的值为____________ . 8.若函数)(x f y =)(R x ∈是偶函数,且)3()1(f f <,则)3(-f 与)1(-f 的大小关系为__________________________. 9.已知)(x f 是定义在[)2,0-?(]0,2上的奇函数,当0>x 时,)(x f 的图象如右图所示,那么f (x ) 的值域是 .
函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],
【知识要点】 一、函数的奇偶性的定义 对于函数()f x ,其定义域D 关于原点对称,如果,x D ?∈恒有()()f x f x -=-,那么函数()f x 为奇函数;如果,x D ?∈恒有()()f x f x -=,那么函数()f x 为偶函数. 二、奇偶函数的性质 1、奇偶函数的定义域关于原点对称; 2、 偶函数的图像关于y 轴对称,奇函数的图像关于原点对称; 3、偶函数在对称区间的增减性相同,奇函数在对称区间的增减性相反; 4、 奇函数在原点有定义时,必有 (0)0f =. 三、判断函数的奇偶性的方法 判断函数的奇偶性的方法,一般有三种:定义法、和差判别法、作商判别法. 1、定义法 首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求()f x -;最后比较()f x -和()f x 的关系,如果有()f x -=()f x ,则函数是偶函数,如果有()f x -=-()f x ,则函数是奇函数,否则是非奇非偶函数. 2、和差判别法 对于函数定义域内的任意一个x ,若()()0f x f x -+=,则()f x 是奇函数;若()()0f x f x --=,则()f x 是偶函数. 3、 作商判别法 对于函数定义域内任意一个x ,设()0f x -≠,若()1()f x f x =--,则()f x 是奇函数,() 1() f x f x =-,则()f x 是偶函数. 【方法讲评】
方法一 定义法 使用情景 具体函数和抽象函数都适用. 解题步骤 首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求()f x -;最后比较()f x -和()f x 的关 系,如果有()f x -=()f x ,则函数是偶函数,如果有()f x -=-()f x ,则函数是奇函数,否 则是非奇非偶函数. 【例1】判断下列函数的奇偶性. (1)x x x x f -+-=11)1()( (2)2lg(1) ()22 x f x x -=-- 【点评】(1)判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数是非奇非偶函数. (2)函数的定义域关于原点对称,是函数为奇偶函数的必要非充分条件.(3)函数的定义域求出来之后,还要注意在解题中应用,不是走一个过场和形式.第2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简. 【例2】 定义在实数集上的函数()f x ,对任意x y R ∈、,有()()f x y f x y ++-2()()f x f y =? 且(0)0f ≠ ①求证:(0)1f = ②求证:()y f x =是偶函数
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利用奇偶函数图象的特点解决相关问题,利用函数奇偶性求函数值,根据函数奇偶性求参数值等. 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题. 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意: 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 1
2 3.奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 若f (x )是奇函数,且在x =0处有定义,则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数,则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点? (1)判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (2)判断函数f (x )的奇偶性时,必须对定义域内的 每一个x , 均有f (-x )=-f (x )、f (-x )=f (x ), 而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)、f (-x 0)=f (x 0). (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0=f . (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2.判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法: 1)首先要研究函数的定义域,
x x x f 1)(+ =1 )(2+= x x x f x x f 1)(= 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1.偶函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f =-, 0)()(=--x f x f ,那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ,都有()()x f x f -=-, 0)()(=+-x f x f ,那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意:(1)判断函数的奇偶性,首先看定义域是否关于原点对称,不关于原点对称是非奇非偶函数,若函数的定义域是关于原点对称的,再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 (2)在判断()x f 与()x f -的关系时,只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴ x x x f +=2)(,(2) x x x f -=3)( (3) ()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(,(8) 提示:上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 (1)判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 (2)常见的奇函数有:x x f =)(,3 )(x x f =,x x f sin )(=, (3)常见的奇函数有:2 )(x x f =,x x f =)(,x x f cos )(= (4)若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 为 偶函数,()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时, ) () (x g x f 为偶函数。 (5)若()x f ,()x g 都是奇函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 是奇函数,()-x f ()x g 是奇函数,()()x g x f ?是偶函数,当()x g ≠0时, ) () (x g x f 是偶函数。
1.10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点:①能够正确判断函数的奇偶性和周期性;②运用基本初等函数的性质解题。 一.基础练习 1. 写出下列函数中,奇函数是________;偶函数是________;非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2. 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++,系数,,,a b c d 满足__________时,()f x 是奇函数; 满足___________时,它是偶函数. 3. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,则(2)f =________. 4. 函数sin 2y x =的周期是________;tan y x π=的周期是________. 5. 已知函数()f x 是定义在(-3,3)上的奇函数,当03x << ()f x 图象如右,则不等式 ()0f x x >的解集是____________. 二、例题讲解 例1:判断下列函数的奇偶性 (1)2 ()2||3f x x x =-- (2)22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--? (3)()|3|f x x x =+- 例2:含有字母的函数性质问题. (1)设函数()(),()x x f x x e ae x R -=+∈是偶函数,则实数a=____________. (2)函数2 ()(2)3f x ax b x =+-+是定义在[,34]a a --上的偶函数,则log a b =__________. (3)定义在(1,1)-上的奇函数()f x ,满足在(1,1)-上单调递减,若2 (1)(1)0f a f a -+-<,则实数a 的范围是____________. (4)若函数2 ()cos ,[, ]22f x x x x ππ =-∈- ,且(2)()63 f a f ππ ->,实数a 的范围是____________.
精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号11sh11sx00 学员编号: 年级:高二课时数:3 学员姓名:辅导科目:数学学科教师: 课题函数的奇偶性和周期性 授课日期及时段 教学目标 1、理解函数的周期性与奇偶性的概念 2、能根据函数的周期性求函数值或在相关区间上的函数解析式 3、会判断函数的奇偶性,并会结合周期性与奇偶性解决相关问题 教学内容 一、知识点梳理及运用 知识点一、函数的奇偶性 1、定义:设() y f x =,x A ∈,如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为奇函数;如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为偶函数 2、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称 3、() f x是偶函数?() f x的图象关于y轴对称 () f x是奇函数?() f x的图象关于原点对称 4、若奇函数() f x的定义域包含0,则(0)0 f= 5、判断函数奇偶性的方法: ①定义法:首先判断其定义域是否关于原点对称 若不对称,则为非奇非偶函数 若对称,则再判断()() f x f x =-或()() f x f x =-是否成立 ②性质法:设() f x,() g x的定义域分别是 12 , D D,那么在它们的公共定义域 12 D D D =?上: 奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇?奇=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇 典型例题 例1、(判断奇偶性)判断下列函数的奇偶性 (1)35 ()35 f x x x =+(2)2 ()3||1 f x x x =-+(3) 2 2 (0) () (0) x x x f x x x x ?+< ? =? -+> ?? (4)()|1||1| f x x x =+--
函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1.偶函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f =-, 0)()(=--x f x f ,那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数:一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ,都有()()x f x f -=-, 0)()(=+-x f x f ,那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意:(1)判断函数的奇偶性,首先看定义域是否关于原点对称,不关于原点对称是非奇非偶函数,若函数的定义域是关于原点对称的,再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 (2)在判断()x f 与()x f -的关系时,只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2 )(,(2)x x x f -=3 )( (3)()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(,(8) 提示:上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 (1)判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 (2)常见的奇函数有:x x f =)(,3 )(x x f =,x x f sin )(=, (3)常见的奇函数有:2 )(x x f =,x x f =)(,x x f cos )(= (4)若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在(x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 为 偶函数,()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时, ) () (x g x f 为偶函数。 (5)若()x f ,()x g 都是奇函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上,()x f +()x g 是奇函数,()-x f ()x g 是奇函数,()()x g x f ?是偶函数,当()x g ≠0时, ) () (x g x f 是偶函数。 (6)常函数()()为常数c c x f =是偶函数,()f x =0既是偶函数又是奇函数。 (7)在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(8)对于复合函数()()[]x g f x F =;若()x g 为偶函数, ()f x 为奇(偶)函数,则()x F 都为