一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系;
(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由
(3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长.
【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP的长为62
或
23
.
【解析】
【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE;
(2)如图2中,延长EO交CF于K,由已知证明△ABE≌△BCF,△AOE≌△COK,继而可证得△EFK是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK,OF=OE;
(3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.
【详解】(1)如图1中,延长EO交CF于K,
∵AE⊥BE,CF⊥BE,∴AE∥CK,∴∠EAO=∠KCO,
∵OA=OC,∠AOE=∠COK,∴△AOE≌△COK,∴OE=OK,
∵△EFK是直角三角形,∴OF=1
2
EK=OE;
(2)如图2中,延长EO交CF于K,
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,
∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF,AE=BF,
∵△AOE≌△COK,∴AE=CK,OE=OK,∴FK=EF,
∴△EFK是等腰直角三角形,∴OF⊥EK,OF=OE;
(3)如图3中,点P在线段AO上,延长EO交CF于K,作PH⊥OF于H,
∵|CF﹣AE|=2,3AE=CK,∴FK=2,
在Rt△EFK中,tan∠3
∴∠FEK=30°,∠EKF=60°,
∴EK=2FK=4,OF=1
2
EK=2,
∵△OPF是等腰三角形,观察图形可知,只有OF=FP=2,
在Rt△PHF中,PH=1
2
PF=1,3OH=23
∴()2
2
12362
+-=
如图4中,点P 在线段OC 上,当PO=PF 时,∠POF=∠PFO=30°, ∴∠BOP=90°, ∴OP=
33OE=233
, 综上所述:OP 的长为62 或
23
3
. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.
2.如图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB ,以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ,点P 在AB 的延长线上,且∠CAB=2∠BCP . (1)求证:直线CP 是⊙O 的切线. (2)若BC=2
,sin ∠BCP=
,求点B 到AC 的距离.
(3)在第(2)的条件下,求△ACP 的周长.
【答案】(1)证明见解析(2)4(3)20 【解析】
试题分析:(1)利用直径所对的圆周角为直角,2∠CAN=∠CAB ,∠CAB=2∠BCP 判断出∠ACP=90°即可;
(2)利用锐角三角函数,即勾股定理即可. 试题解析:(1)∵∠ABC=∠ACB , ∴AB=AC , ∵AC 为⊙O 的直径, ∴∠ANC=90°,
∴∠CAN+∠ACN=90°,2∠BAN=2∠CAN=∠CAB,
∵∠CAB=2∠BCP,
∴∠BCP=∠CAN,
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°,
∵点D在⊙O上,
∴直线CP是⊙O的切线;
(2)如图,作BF⊥AC
∵AB=AC,∠ANC=90°,
∴CN=CB=,
∵∠BCP=∠CAN,sin∠BCP=,
∴sin∠CAN=,
∴
∴AC=5,
∴AB=AC=5,
设AF=x,则CF=5﹣x,
在Rt△ABF中,BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2,
在Rt△CBF中,BF2=BC2﹣CF2=2O﹣(5﹣x)2,
∴25﹣x2=2O﹣(5﹣x)2,
∴x=3,
∴BF2=25﹣32=16,
∴BF=4,
即点B到AC的距离为4.
考点:切线的判定
3.在正方形ABCD中,BD是一条对角线.点P在射线CD上(与点C,D不重合),连接AP,平移△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,过点Q作QH⊥BD于点H,连接AH、PH.
(1)若点P在线CD上,如图1,
①依题意补全图1;②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;
(2)若点P在线CD的延长线上,且∠AHQ=152°,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果)
【答案】(1)①如图;②AH=PH,AH⊥PH.证明见解析(2)或
【解析】
试题分析:(1)①如图(1);②(1)法一:轴对称作法,判断:AH=PH,
AH⊥PH.连接CH,根据正方形的每条对角线平分一组对角得:△DHQ等腰Rt△,根据平移的性质得DP=CQ,证得△HDP≌△△HQC,全等三角形的对应边相等得PH=CH,等边对等角得∠HPC=∠HCP,再结合BD是正方形的对称轴得出∠AHP=180°-∠ADP=90°,∴AH=PH且AH⊥PH.四点共圆作法,同上得:∠HPC=∠DAH,∴A、D、P、H共向,∴∠AHP=90°,∠APH=∠ADH=45°,∴△APH等腰Rt△.
(2)轴对称作法同(1)作HR⊥PC于R,∵∠AHQ=152°,∴∠AHB=62°,∴∠DAH=17°
∴∠DCH=17°.设DP=x,则.由代入HR,CR解方程即可得出x的值. 四点共圆作法,A、H、D、P共向,∴∠APD=∠AHB=62°,
∴.
试题解析:(1)①
法一:轴对称作法,判断:AH=PH,AH⊥PH
证:连接CH,得:△DHQ等腰Rt△,又∵DP=CQ,∴△HDP≌△△HQC,∴PH=CH,
∠HPC=∠HCP
BD为正方形ABCD对称轴,∴AH=CH,∠DAH=∠HCP,∴AH=PH,∠DAH=∠HPC,
∴∠AHP=180°-∠ADP=90°,∴AH=PH且AH⊥PH.
法二:四点共圆作法,同上得:∠HPC=∠DAH,∴A、D、P、H共向,∴∠AHP=90°,
∠APH=∠ADH=45°,∴△APH等腰Rt△.
(2)法一:轴对称作法
考虑△DHQ 等腰Rt △,PD =CQ ,作HR ⊥PC 于R ,∵∠AHQ =152°,∴∠AHB =62°,∴∠DAH =17°
∴∠DCH =17°.设DP =x ,则
.
由得:,∴.即PD=
法二:四点共向作法,A 、H 、D 、P 共向,∴∠APD =∠AHB =62°,∴
.
考点:全等三角形的判定;解直角三角形;正方形的性质;死电脑共圆
4.如图①,抛物线y =ax 2+bx+c 经过点A (﹣2,0)、B (4,0)、C (0,3)三点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)点P 是y 轴上的一个动点,连接PA ,试求5PA+4PC 的最小值;
(3)如图②,若直线l 经过点T (﹣4,0),Q 为直线l 上的动点,当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时,试求直线l 的解析式. 【答案】(1)233
384
y x x =-++;(2)5PA+4PC 的最小值为18;(3)直线l 的解析式为3
34
y x =
+或3
34
y x =--.
【解析】 【分析】
(1)设出交点式,代入C 点计算即可 (2)连接AC 、BC ,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过
点P 作PD ⊥BC 于点D ,易证△CDP ∽△COB ,得到比例式PC PD BC OB =,得到PD=4
5
PC ,所以5PA+4PC =5(PA+
4
5
PC )=5(PA+PD ),当点A 、P 、D 在同一直线上时,5PA+4PC =5(PA+PD )=5AE 最小,利用等面积法求出AE=
18
5
,即最小值为18 (3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90°,即∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q ,∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个;此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ,利用cos ∠QFT 求出QG ,分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时,分别代入直接l 得到解析式即可 【详解】
解:(1)∵抛物线与x 轴交点为A (﹣2,0)、B (4,0) ∴y =a (x+2)(x ﹣4) 把点C (0,3)代入得:﹣8a =3 ∴a =﹣
38
∴抛物线解析式为y =﹣
38(x+2)(x ﹣4)=﹣38x 2+34
x+3 (2)连接AC 、BC ,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点P 作PD ⊥BC 于点D ∴∠CDP =∠COB =90° ∵∠DCP =∠OCB ∴△CDP ∽△COB ∴
PC PD
BC OB
= ∵B (4,0),C (0,3)
∴OB =4,OC =3,BC ∴PD =
45
PC ∴5PA+4PC =5(PA+
4
5
PC )=5(PA+PD ) ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时,5PA+4PC =5(PA+PD )=5AE 最小 ∵A (﹣2,0),OC ⊥AB ,AE ⊥BC ∴S △ABC =12AB?OC =1
2
BC?AE ∴AE =
6318
55
AB OC BC ?== ∴5AE =18
∴5PA+4PC 的最小值为18.
(3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆 当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,
∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90° ∴∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q
∵当Q 在⊙F 上运动时(不与A 、B 重合),∠AQB =90° ∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个 此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ∴∠FQT =90°
∵F 为A (﹣2,0)、B (4,0)的中点 ∴F (1,0),FQ =FA =3 ∵T (﹣4,0) ∴TF =5,cos ∠QFT =
3
5
FQ TF = ∵Rt △FGQ 中,cos ∠QFT =3
5
FG FQ = ∴FG =
35FQ =95
∴x Q =1﹣9455=-,QG =2
222912FQ 355FG ??-=-= ???
①若点Q 在x 轴上方,则Q (412
55
-,) 设直线l 解析式为:y =kx+b
∴404125
5k b k b -+=???-+=?? 解得:343k b ?
=??
?=? ∴直线l :3
34
y x =
+ ②若点Q 在x 轴下方,则Q (41255
--,
) ∴直线l :3
34
y x =-
- 综上所述,直线l 的解析式为3
34
y x =
+或3
34
y x =--
【点睛】
本题是二次函数与圆的综合题,同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点,综合度比较高,需要很强的综合能力,第三问能够找到满足条件的Q 点是关键,同时不要忘记需要分情况讨论
5. 兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩,南至七里河马滩,是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图,小明站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是31°,拉索AB 的长为152米,主塔处桥面距地面7.9米(CD 的长),试求出主塔BD 的高.(结果精确到0.1米,参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)
【答案】主塔BD 的高约为86.9米. 【解析】 【分析】
根据直角三角形中由三角函数得出BC 相应长度,再由BD=BC+CD 可得出. 【详解】
在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,
sin BC
A AB
=
. ∴sin 152sin311520.5279.04BC AB A ?=?=?=?=.
79.047.986.9486.9
BD BC CD
=+=+=≈(米)
答:主塔BD的高约为86.9米.
【点睛】
本题考察了直角三角形与三角函数的结合,熟悉掌握是解决本题的关键.
6.如图,在?ABCD中,AC与BD交于点O,AC⊥BC于点C,将△ABC沿AC翻折得到△AEC,连接DE.
(1)求证:四边形ACED是矩形;
(2)若AC=4,BC=3,求sin∠ABD的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
613
【解析】
【分析】
(1)根据?ABCD中,AC⊥BC,而△ABC≌△AEC,不难证明;
(2)依据已知条件,在△ABD或△AOC作垂线AF或OF,求出相应边的长度,即可求出∠ABD的正弦值.
【详解】
(1)证明:∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC,
∴BC=CE,AC⊥CE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴AD=CE,AD∥CE,
∴四边形ACED是平行四边形,
∵AC⊥CE,
∴四边形ACED是矩形.
(2)解:方法一、如图1所示,过点A作AF⊥BD于点F,
∵BE=2BC=2×3=6,DE=AC=4,
∴在Rt△BDE中,
2222
BD BE DE64213
=+=+=∵S△BDE=1
2
×DE?AD=
1
2
AF?BD,
∴AF613
213
=,
∵Rt△ABC中,AB22
34
+5,
∴Rt △ABF 中,
sin ∠ABF =sin ∠ABD =613613
5
AF AB ==
方法二、如图
2所示,过点O 作OF ⊥AB 于点F , 同理可得,OB =1
132
BD =, ∵S △AOB =11
OF AB OA BC 22
?=?, ∴OF =
23655
?=, ∵在Rt △BOF 中,
sin ∠FBO =
0613
513F OB ==
, ∴sin ∠ABD =
613
.
【点睛】
本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质,矩形的判定和性质,平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度,关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin ∠ABD .
7.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的边AB 在x 轴上,点B 坐标(﹣6,0),点C 在y 轴正半轴上,且cos B =
3
5
,动点P 从点C 出发,以每秒一个单位长度的速度向D 点移动(P 点到达D 点时停止运动),移动时间为t 秒,过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q .
(1)求点D 坐标;
(2)求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式,并求出S 的最大值; (3)在直线l 移动过程中,是否存在t 值,使S
=320ABCD
S 菱形?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)点D 的坐标为(10,8).(2)S 关于t 的函数关系式为S =
24(04)
220
(410)3
3t t t t t ??
?-+?,S 的最大值为503.(3)3或7. 【解析】 【分析】
(1)在Rt △BOC 中,求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标;(2)分两种情况分析:①当0≤t ≤4时和②当4<t ≤10时,根据面积公式列出解析式,再求函数的最值;(3)分两种情况分析:当0≤t ≤4时,4t =12,;当4<t ≤10时,2220
1233t t -+= 【详解】
解:(1)在Rt △BOC 中,∠BOC =90°,OB =6,cos B =
35
, 10cos OB
BC B
∴=
= 228OC BC OB ∴=-=∵四边形ABCD 为菱形,CD ∥x 轴, ∴点D 的坐标为(10,8).
(2)∵AB =BC =10,点B 的坐标为(﹣6,0), ∴点A 的坐标为(4,0). 分两种情况考虑,如图1所示.
①当0≤t ≤4时,PQ =OC =8,OQ =t ,
∴S =1
2PQ ?OQ =4t ,
∵4>0,
∴当t =4时,S 取得最大值,最大值为16;
②当4<t ≤10时,设直线AD 的解析式为y =kx +b (k ≠0),
将A (4,0),D (10,8)代入y =kx +b ,得:
4k b 010k b 8+=??
+=?,解得:4k 3
16b 3?=????=-??
, ∴直线AD 的解析式为416
3
3
y x =-. 当x =t 时,416
33
y t =
-, 4164
8(10)3
33PQ t t ??∴=--=- ???
21220
233
S PQ OP t t ∴=
?=-+ 22202502
(5),033333S t t t =-+=--+-<∴当t =5时,S 取得最大值,最大值为
503
. 综上所述:S 关于t 的函数关系式为S =24(04)
220(410)3
3t t t t t ??
?-+?,S 的最大值为503.
(3)S 菱形ABCD =AB ?OC =80. 当0≤t ≤4时,4t =12, 解得:t =3; 当4<t ≤10时,2220
33
t t -
+=12, 解得:t 1=5﹣7(舍去),t 2=5+ 7. 综上所述:在直线l 移动过程中,存在t 值,使S =
3
20
ABCD S 菱形,t 的值为3或5+7.
【点睛】
考核知识点:一次函数和二次函数的最值问题.数形结合,分类讨论是关键.
8.如图,在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ,点B 到航线l 的距离BD 为4km ,点A 位
于点B 北偏西60°方向且与B 相距20km 处.现有一艘轮船从位于点A 南偏东74°方向的C 处,沿该航线自东向西航行至观测点A 的正南方向E 处.求这艘轮船的航行路程CE 的长度.(结果精确到0.1km )(参考数据:3≈1.73,sin74°≈0.96,cos74°≈0.28,tan74°≈3.49)
【答案】20.9km 【解析】
分析:根据题意,构造直角三角和相似三角形的数学模型,利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可. 详解:如图,
在Rt △BDF 中,∵∠DBF=60°,BD=4km ,
∴BF=
cos 60BD
=8km ,
∵AB=20km , ∴AF=12km ,
∵∠AEB=∠BDF ,∠AFE=∠BFD , ∴△AEF ∽△BDF ,
∴
AE BD
AF BF , ∴AE=6km ,
在Rt △AEF 中,CE=AE?tan74°≈20.9km . 故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km .
点睛:本题考查相似三角形,掌握相似三角形的概念,会根据条件判断两个三角形相似.
9.在等腰△ABC 中,∠B=90°,AM 是△ABC 的角平分线,过点M 作MN ⊥AC 于点N ,∠EMF=135°.将∠EMF 绕点M 旋转,使∠EMF 的两边交直线AB 于点E ,交直线AC 于点F ,请解答下列问题:
(1)当∠EMF 绕点M 旋转到如图①的位置时,求证:BE+CF=BM ;
(2)当∠EMF 绕点M 旋转到如图②,图③的位置时,请分别写出线段BE ,CF ,BM 之间的数量关系,不需要证明;
(3)在(1)和(2)的条件下,tan ∠BEM=
,AN=
+1,则BM= ,CF= .
【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3)1,1+或1﹣
【解析】
【分析】
(1)由等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N,可得BM=MN,∠BMN=135°,又∠EMF=135°,可证明的△BME≌△NMF,可得BE=NF,
NC=NM=BM进而得出结论;
(2)①如图②时,同(1)可证△BME≌△NMF,可得BE﹣CF=BM,
②如图③时,同(1)可证△BME≌△NMF,可得CF﹣BE=BM;
(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中,,
可得Rt△ABM≌Rt△ANM,后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长,结合(1)(2)的结论对图①②③进行讨论可得CF的长.
【详解】
(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠C=45°,
∵AM是∠BAC的平分线,MN⊥AC,
∴BM=MN,
在四边形ABMN中,∠,BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°,
∵∠ENF=135°,,
∴∠BME=∠NMF,
∴△BME≌△NMF,
∴BE=NF,
∵MN⊥AC,∠C=45°,
∴∠CMN=∠C=45°,
∴NC=NM=BM,
∵CN=CF+NF,
∴BE+CF=BM;
(2)针对图2,同(1)的方法得,△BME≌△NMF,
∴BE=NF,
∵MN⊥AC,∠C=45°,
∴∠CMN=∠C=45°,
∴NC=NM=BM,
∵NC=NF﹣CF,
∴BE﹣CF=BM;
针对图3,同(1)的方法得,△BME≌△NMF,
∴BE=NF,
∵MN⊥AC,∠C=45°,
∴∠CMN=∠C=45°,
∴NC=NM=BM,
∵NC=CF﹣NF,
∴CF﹣BE=BM;
(3)在Rt△ABM和Rt△ANM中,,
∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL),
∴AB=AN=+1,
在Rt△ABC中,AC=AB=+1,
∴AC=AB=2+,
∴CN=AC﹣AN=2+﹣(+1)=1,
在Rt△CMN中,CM=CN=,
∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1,
在Rt△BME中,tan∠BEM===,
∴BE=,
∴①由(1)知,如图1,BE+CF=BM,
∴CF=BM﹣BE=1﹣
②由(2)知,如图2,由tan∠BEM=,
∴此种情况不成立;
③由(2)知,如图3,CF﹣BE=BM,
∴CF=BM+BE=1+,
故答案为1,1+或1﹣.
【点睛】
本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合,难度较大,需综合运用所学知识求解.
10.我市在创建全国文明城市的过程中,某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一副宣传条幅,在乙楼顶部C点测得条幅顶端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯角为30°,若甲、乙两楼之间的水平距离BD为12米,求条幅AE的长度.(结果保留根号)
【答案】AE 的长为(123)+ 【解析】 【分析】
在Rt ACF 中求AF 的长, 在Rt CEF 中求EF 的长,即可求解. 【详解】
过点C 作CF AB ⊥于点F 由题知:四边形CDBF 为矩形
12CF DB ∴==
在Rt ACF 中,45ACF ∠=?
tan 1AF
ACF CF
∴∠=
= 12AF ∴=
在Rt CEF 中,30ECF ∠=? tan EF
ECF CF
∴∠= 3
123
EF ∴
=
43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为(1243+
【点睛】
本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.