2017-2018 学年度第二学期北师大版九年级数学下册
第二章 二次函数 单元检测试题
考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
1.若函数? = ?? ? 1 + ?? + 3是二次函数，则? = ( )
A. ? 3 B.3 C.3或 ? 3 D.2
2.二次函数? = ??2 + ?? + ?(? ≠ 0)的图象如图，对称轴? =? 1，下列结论：①
1 1
2? ? ? = 0； ? + ? + ? < 0； ? ? ? > ? 2 ? ??； ? ? ? + ? > 0； ??2
② ③ ? ④ 2 4 ⑤ 1
? 2 ? ? ? ? ?
+ ? 1 = ??2 + ? 2，且 1 ≠ 2， 1 + 2 =? 2．其中正确的有（ ）
A.①③④ B.①②④⑤ C.②③⑤ D.①③④⑤
3.为了准备毕业联欢会，工作人员的工作台上到处可见各种各样的函数图
象．明明学过抛物线，便信口开河道：图1可能是? =? ?2 + 4?；图2可能是?
= (? ? 2)2 ? 1；图3可能是? =? 3?2 ? 4? + 1；图4可能是? =? ?2 ? 4? + 1，你
认为其中必定不正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.抛物线? = ?2 + 3? + 2与?轴的交点坐标是（ ）
A.(2,?0) B.(1,?0) C.(3,?2) D.(0,?2)
2
5.如图是抛物线?1 = ?? + ?? + ?(? ≠ 0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标?
(1,?3)，与?轴的一个交点?(4,?0)，直线?2 = ?? + ?(? ≠ 0)与抛物线交于?，?
两点，下列结论：
①2? + ? = 0；②??? > 0；③方程??2 + ?? + ? = 3有两个相等的实数根；
④抛物线与?轴的另一个交点是( ? 1,?0)；⑤当1 < ? < 4时，有?2 < ?1．
其中正确结论的个数是（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
6.已知非负数?，?，?满足? + ? = 2，? ? 3? = 4，设? = ?2 + ? + ?的最大值为?，
最小值为?，则? ? ?的值为（ ）
A.9 B.8 C.1 10
D. 3
7.如果二次函数? = ??2 + ?? + ?的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的
是（ ）
A.? > 0 B.? < 0 C.? > 0 D.??? > 0
8.如图是二次
函数? = ??2 + ?? + ?的图象，点?(? + ?,???)是坐标平面内的点，
则点?在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.如图，平面直角坐标系中，已知点?(2,?1)，过点?作?? ⊥ ?轴，垂足为?，若
1
抛物线? = 2 + ?与 △ ???的边界总有两个公共点，则实数?的取值范围是（ ）
2?
1
A. ? 2 < ? < 0 ? 2 < ? <
B. 8
1
C. ? 2 < ? D. 4
10.如图，已知二次函数? = ?(? ? ?)2 + ?在坐标平面上的图象经过(0,?5)、
(10,?8)两点．若? < 0，0 < ? < 10，则?的值可能为（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
11.抛物线? =? ?2 + ?? + ?的图象如图，若将其向左平移2个单位，再向下平移
3个单位，则平移后的解析式为________．
12.体育课上，小明同学练习推铅球，如图是铅球被推出后所经的路线，铅球从
1 2 5
点?处出手，在点?处落地，它的运行路线满足? =? 2 + ? + ，则这次推铅
12? 3 3
球的成绩是________米．
13.对于二次函数? = (? ? 1)2 + (? ? 3)2，当? = ________时，函数有最小值
________．
14.如图所示的抛物线是二次函数? = ??2 ? (?2 ? 1)? + 1的图象，那么?的值是
________．
15.一抛物线与?轴的交点是?( ? 2,?0)、?(1,?0)，且经过点?(2,?8)．则该抛物线
的解析式为________；
顶点坐标是________．
16.把二次函数? =? 2?2 + 4? + 3化成? = ?(? ? ?)2 + ?的形式是________．
17.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图
放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为________．
18.某市“安居工程”新建成的经济房都是8层高，房子的价格?（元/?2）随楼层
数?（楼）的变化而变化(? = 1,?2,?3,?4,?5,?6,?7,?8)；已知点(?,??)都在一个二次函数
的图象（如图）上，对称轴方程为：? = 4，则6楼房子的价格为_______
_元/?2．
19.如图为二次函数? = ??2 + ?? + ?的图象，在下列说法中：
2
①?? < 0； ②方程?? + ?? + ? = 0的根是?1 =? 1，?2 = 3
③? + ? + ? > 0 ④当? > 1时，?随?的增大而增大．
正确的说法有________．
2
20.如图，已知抛物线?1 =? 2? + 2，直线?2 = 2? + 2，当?任取一值时，?对应
的函数值分别为?1，?2．若?1 ≠ ?2，取?1，?2中的较小值记为?；若?1 = ?2，
记? = ?1 = ?2．例如：当? = 1时，?1 = 0，?2 = 4，?1 < ?2，此时? = 0．那
么使得? = 1的?值为________．
三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）
21.已知：函数? = ??3? ? 1 + 4? ? 5是二次函数．
已知：函数? = ??3? ? 1 + 4? ? 5是二次函数．
(1)求?的值；
(2)写出这个二次函数图象的对称轴：________，顶点坐标：________；
(3)求图象与?轴的交点坐标．
22.在平面直角坐标系???中，二次函数? = ??2 ? (? + ?)? + ?(? < 0)的图象
与?轴正半轴交于?点．
(1)求证：该二次函数的图象与?轴必有两个交点；
(2)设该二次函数的图象与?轴的两个交点中右侧的交点为点?，若∠??? = 45 ° ，
将直线??向下平移2个单位得到直线?，求直线?的解析式；
(3)在(2)的条件下，设?(?,??)为二次函数图象上的一个动点，当 ? 3 < ? < 0时，
点?关于?轴的对称点都在直线?的下方，求?的取值范围．
23.有一座抛物线形拱桥，以坐标原点?为抛物线的顶点，以?轴为抛物线的对称
轴建立如图所示的坐标系，桥下面在正常水位??时，宽20米，水位上升3米就
达到警戒线??，这时水面宽为10米．求抛物线的解析式及警戒线??到拱桥顶?
的距离．