第2章随机变量及其分布
§1 随机变量
定义1（随机变量）设是一个概率空间，称可测函数为该空间上的一个随机变量。
例1 在箱中编号为1到20的球中不放回随机取出3个球。那么球的最大号码
是一个随机变量，其值域空间为。并且，给定值域空间中的一点，其原像对应于一个随机事件。例如，，对应于事件，，以及其所有可能的轮换。因此，可以认为本身是样本空间上的一个随机事件。以后我们经常需要讨论的是类似事件的概率。
例2考虑等候公共汽车的时间，显然。
这里必须强调，对任意的，。
定义2（分布函数）设是概率空间上的一个随机变量。对任意，称函数为分布函数。
分布函数满足如下性质
（1）是非降右连续函数；（2），。
§2 离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量
离散型随机变量是一个比较特殊的情形。
定义1（离散型随机变量）如果随机变量的值域空间是一个由有限或可列个值构成的集合，就称之为离散型随机变量。
例伯努利试验；泊松分布等。
2．离散随机变量的分布律
对离散随机变量，由于其值域空间是离散的，因此其分布函数是一个阶梯函数，我们也可用另一种等价方式来刻画。
定义2 （分布律）设随机变量的值域本空间为，那么称为其分布律。
显然分布律和分布函数是相互唯一确定的。
分布律显然满足。
3. 常见的离散随机变量
（1）分布
如果，且其分布律为，，其中。
例1 抛掷硬币，出现反面时令，正面时，则其服从分布。
（2）几何分布
连续不断抛掷硬币，令是首次出现正面时已抛掷的次数。那么，其值域空间为，而分布律。
（3）二项分布
连续抛掷硬币（可以解释为伯努利试验）次。成功的次数记为，那么其值域空间为，而其分布律。
（4）泊松分布
设分布律为的随机变量。
例2如果内，某事件的发生次数。那么下面的假设是合理的：
（1）在时间内，发生一次事件的概率为；
（2）发生两次或两次以上事件的概率为；
（3）事件发生具有独立性。
下面证明此时。
把等份，，。
那么，在假定发生事件的总数是时，其中是每个区间至多只发生一次事件的事件组成，是至少有一个区间事件发生的次数有两次或两次以上的事件组成。那么
。
§3 连续型随机变量及其密度函数
1．连续型随机变量
如果随机变量的值域空间不再是取至多可列个值，那么就不能用分布律来表示该分布了。定义（连续型随机变量）对随机变量的分布函数，如果存在非负函数，使，就称是一个连续型随机变量，而称为该随机变量分布的（概率）密度函数。
密度函数有如下性质：
（1），
（2）；
（3）如过在连续，那么。
2. 常见的连续型随机变量
（1）均匀分布
如果，且，；，。
例1（P.55）
（2）指数分布
例2考虑事件首次发生需等候的时间的分布。显然，。因此，，即。
因此，等候时间的分布是指数分布。指数分布具有无记忆的特性：
。
即。
反之，具有无记忆性的分布一定是指数分布。
（3）正态分布
密度函数为的连续随机变量。
易证，这确实是一个密度函数（积分为1）。
正态分布满足的性质：
（1）对称性：关于对称；
（2）在达到最大值；
（3）基本图形。
§4 随机变量的函数的分布
有时需要考虑随机变量的函数的分布。
例1是上的均匀分布，问的分布是什么？
解，因此，如果，则；
若，；若，。
相应的密度函数。
例2 ，则。P65
例3 ，则。P64
第四讲
第二章随机变量及其分布
同时处理一维和二维随机变量，以适应较快节奏的教学。
§1 随机变量及其分布函数
在前面已定义随机变量：把基本事件与一个数字相联系，得到一个可测函数。
定义（一维随机变量）设是一个概率空间，而是测度空间，称可测函数
为随机变量。
注一般的随机变量只要把换为一般的测度空间即可。
例（伯努利试验中的一些随机变量）所谓Bernoulli试验即每次试验只有两个结果：成功或失败，概率分别是和。
相应的随机变量
，成功取1，失败取0。
可以把这种试验独立进行，就得到随机变量序列。
首次成功时刻：如果试验成功即停止试验，需要进行的试验次数。
即。
如果试验进行次，，即试验中总的成功次数。
思考题上面这两个随机变量都有相应的概率空间。分别确定相应的概率空间。
提示第一个概率空间
，；
第二个概率空间
，。
一些记号。由，或其它关系确定的是一些随机事件：
，
一般都把随机变量的自变量表示为隐含的变量。
例在箱中编号为1到20的球中不放回随机取出3个球。那么球的最大号码是一个随机变量，其值域空间为。并且，给定值域空间中的一点，其原像对应于一个随机事件。例如，，对应于事件，，以及其所有可能的轮换。因此，可以认为本身是样本空间上的一个随机事件。以后我们经常需要讨论的是类似事件的概率。
例考虑等候公共汽车的时间，显然。
这里必须强调，对任意的，，这是随机变量为可测函数的结果。
思考题证明一个随机变量确定了一个事件域：
。
而随机变量考虑的概率空间为，而概率函数可由下面的分布函数确定。定义（分布函数）设是概率空间上的一个随机变量。对任意，称函数为分布函数。
由分布函数可确定事件的概率：。
由此，就确定了。
思考题分布函数是否能确定一般事件的概率，其中？
例掷骰子，硬币，均匀分布的分布函数。
分布函数满足如下性质
（1）是非降右连续函数；（2），。
注：分布函数确定了所有由随机变量确定的随机事件的概率。
高维随机变量在定义和分布函数的定义上并无实质性的困难，以二维为例，对概率空间上的基本事件，定义一个二元函数可测函数：
就给定了一个二维随机变量。
二维随机变量也可以定义联合分布函数：
。
同样，联合分布函数确定了由该两个随机变量确定的所有事件的概率。思考题证明一个单调增加函数，且，，即已知联合分布，则就确定了每个随机变量的分布函数。但反之不然，举例说明不一定成立。如果等式成立，就称这两个随机变量是独立的。
§2 离散型和连续型随机变量
根据分布函数的类型可对随机变量分类。这里讨论两个极端的情形：
离散型和连续型随机变量。
如果是纯跳跃函数，就称随机变量为离散型随机变量。如果连续，且存在密度函数使，则称随机变量是连续型随机变量。
本课程只限于讨论这两类随机变量或它们的混合。
注分布函数连续并不能推得一定存在密度函数，即随机变量是连续型的。
1. 离散型随机变量
离散型随机变量的值域空间的元素个数一定是有限或可列的。
事实上离散型随机变量的分布函数是由跳跃点和相应的跳跃高度唯一确定的，把后者称为分布律。
分布律
此处，。
分布律性质：，。
常见的离散随机变量
（1）分布
称具有如下分布律的随机变量服从分布，
其中，。
概率模型：抛掷硬币（可能非均匀），出现反面时令，正面时，则其服从分布。
（2）几何分布
概率模型：连续不断抛掷硬币，令是首次出现正面时已抛掷的次数。那么，其值域空间为，而分布律。
（3）二项分布
连续抛掷硬币（可以解释为伯努利试验）次。成功的次数记为，那么其值域空间为，而其分布律。
（4）泊松分布
设分布律为的随机变量。
概率模型：作为二项分布的近似。
如果内，某事件的发生次数。那么下面的假设是合理的：
（1）在时间内，发生一次事件的概率为；发生两次或两次以上事件的概率为；
（2）不同区间内事件发生的次数具有独立性和平稳性。
下面证明：。
把等份，，。
则有下面事件的互不相容分解：，
其中，其中表示事件“每个区间至多只发生一次事件”，而表示事件“至少有一个区间事件发生两次或两次以上”。那么，由假设，
，。
所以，
。
如果记，，则，即二项分布可用Poisson分布近似计算。
注如果讨论在一般时间区间内的Poisson分布，只要把参数变为即可。
2. 连续型随机变量
如果随机的分布函数是一个连续函数，且存在非负函数，使
，
就称是一个连续型随机变量，而称为该随机变量分布的（概率）密度函数。
注连续随机变量（分布函数连续）不一定是连续型随机变量，可以找到这样的例子：连续单调增加，但不存在密度函数。这是一种奇异的情况，这里不加讨论。
密度函数有如下性质：
（1），
（2）；
（3）如过在连续，那么。
注密度函数的概率意义：表示随机变量在处取值的可能性，但不是概率，连续型随机变量在任意一个确定点取值的概率，这是区别概率为零与不可能事件不同的一个例子。
常见连续型随机变量
（1）均匀分布
如果，且，；，。
概率模型：在区间内没一点取值的可能性相同的随机变量。
（2）指数分布
概率模型：具有无记忆性的寿命分布。
例指数分布具有无记忆的特性：
。
即。
反之，具有无记忆性的分布一定是指数分布：满足方程的连续函数一定具有形式：。
指数分布与Poisson分布有密切联系。记为时间内事件发生的次数。
考虑事件首次发生需等候的时间的分布。显然，
。
因此，，即。
（3）正态分布
密度函数为的连续随机变量。
思考题证明这确实是一个密度函数（积分为1）。
概率模型：恒星在空间的分布，近似视为分布在平面上，以平均位置作为原点，建立坐标系。
如果用直角坐标系考虑：恒星与平均位置的偏差可用两个随机变量表示。假设这两个坐标之间是没有联系的，即由它们刻划的随机事件是独立的，且具有相同的概率密度函数。那么在处发现一颗恒星的可能性。如果用极坐标表示：，，那么假设概率密度函数关于是等可能的，即关于服从均匀分布的，或表示为处发现一颗恒星的概率密度函数为。
对同一点，直角坐标与极坐标表示同一事件，因此其可能性是相同的：
，
其中，，，且，。
由微分变量变换结果得，
，
即
。
特别，时，。所以
。
令，则得到函数方程：。
特别，时，。这样的函数显然是偶函数，所以，只要考虑。
满足该方程的解：，（注意幂必须是负的，以保证函数的可积性）。所以，无妨设，利用，所以，
。
正态分布满足的性质：
（1）对称性：关于对称；
（2）在达到最大值；
（3）基本图形。
标准正态分布，分布函数记为。
有。
§3 随机变量的数字特征：数学期望
对随机变量，取不同值的可能性是不同的。那么计算其平均值就具有很大意义。
例掷一粒骰子的平均点数。定义随机变量，则
从概率空间出发来计算：；
从分布来计算：。
表达的直观意义是一样的。
如果定义随机变量如下：，，那么平均值是多少？
从概率空间出发来计算：
；
从分布（律）出发来计算：
。
一般定义
定义（数学期望）设是概率空间上定义的一个随机变量，分布函数为，如果，或，则称
为数学期望。
如果是离散型随机变量，则；
如果是连续型随机变量，则。
注定义中的绝对可积条件是必须的。例如，以离散随机变量为例
，
则，但该和取决于分布律中随机变量取值的排列顺序。因此，这里计算的平均值没有意义。
容易计算常见离散和连续型随机变量的均值。
例如：
，则。
，则。
，则。
，则。
，则。
，则。
§4 随机变量函数的分布和数学期望，随机变量的各阶矩
如果随机变量表示某种商品的价格的变化律，那么，可以把价格视为。问题：若，则的分布是什么？
，所以，
。
一般问题，如果是随机变量，是实可测函数，且定义域包含了随机变量的值域。那么自然能定义随机变量，如何计算其分布函数。
思考方法与前面的例子完全类似：
。
在特殊情况下，可以得到一些更具体的结果。
如果是严格单调增加或下降的函数，且具有密度函数，则
，或
，
而密度函数。
但上面函数单调性要求很高，不一定能满足，所以掌握其思考方法更重要。
以例子来说明如何用该思考方法解决具体问题。
例，，计算和。
，
所以
。
称分布。
离散时，易计算。这里不赘述了。
如何计算随机变量函数的数学期望？
从概率空间出发理解就很容易：，因为概率空间并没有变化。
如果把两种定义方式理解为由概率空间上的测度在随机变量变换下变换为分布所诱导的测度，那么就有下面的结论。
从分布函数出发：，不需要再回到的分布函数来计算。
对离散型随机变量，
；
对连续型随机变量，。
现在可以定义各阶中心矩和原点矩了，此时，假设所有的积分都有意义，如果有积分不存在，就称相应的矩不存在。
定义阶原点矩：；
阶中心矩：。
这里，。
特别，时，称为方差，并记为或。
对前面常见的一些分布，其中的一些参数都可以由数字特征描述。例，则，。
§5 二维随机变量
二维随机变量与高维随机变量在处理方法上类似，这里考虑二维随机变
量为主。设是概率空间上的二维随机变量，联合分布函数为。对二元可测实函数可定义随机变量。
问题：如何计算的分布函数？
与一维随机变量的思考方法类似：
。
以具体的实例来说明具体的计算过程。
例独立随机变量和的分布问题。如果随机变量与独立，定义，则，这里用了独立条件。
因此，。
称其为分布函数的卷积。
计算一些具体的分布。
离散型：，，且独立。
则
即。
连续型：，，且独立。
则。
密度函数：。
如果，则取极限：，此分布称为Erlang分布。
那么
。
对连续型的随机变量：；
对离散型的随机变量：，这里，是其联合分布律。
思考题上面的计算回到边际分布的结果和一维的情形是一致的。
当然也可以考虑一般的随机变量函数的数学期望
§4 随机变量的函数的分布
有时需要考虑随机变量的函数的分布。例1是上的均匀分布，问的分布是什么？解，因此，如果，则；
若，；若，。
相应的密度函数。
例2 ，则。P65
例3 ，则。P64
现实生活中的大数定理及中心值定理的应用 电子工程学院
目录 摘要........................................... 错误！未定义书签。第一章引言...................................... 错误！未定义书签。第二章大数定律 (2) 2.1大数定律的发展历史 (2) 2.2大数定律的定义 (3) 2.3几个常用的大数定律 (3) 第三章大数定律的一些应用 (6) 3.1大数定律在数学分析中的一些应用 (6) 3.2大数定律在保险业的应用 (6) 3.3大数定律在银行经营管理中的应用 9结论 (11) 参考文献 (12)
对于随机现象而言,其统计规律性只有在基本相同的条件下进行大量的重复试验才能显现出来.本文主要是通过大数定律来讨论随机现象最根本的性质——平均结果稳定性的相关内容.大数定律,描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律,是随机现象统计规律性的具体表现. 本文首先介绍了大数定律涉及的一些基础知识,以便于对文中相关知识的理解.通过比较,就不同条件下存在的大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律和强大数定律,总结了大数定律的应用,主要有大数定律在数学分析中的应用,大数定律在生产生活中的应用,大数定律在经济如：保险、银行经营管理中的应用等等,将理论具体化,将可行的结论用于具体的数学模型中,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识.
概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.大数定律是概率论中一个非常重要的课题,而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带.大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值. 在现实生活中,经常可以见到这一类型的数学模型,比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一,偶然中包含着必然.又如：在分析天平上称重量为a 的物品,若以12,,x x 3,...,n x x 表示n 次重复称量的结果,经验告诉我们,当n 充分大时,它们的算术平均值1 1n i i X n =∑与a 的偏差就越小.这种思想,不仅在整个概率论中起着重要00作用,而且在其他数学领域里面也占据着相当重要的地位. 大数定律的发展与研究也经历了很长一段时间,伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.现在,大数定律的相关模型已经被国内外广大学者所研究,特别是应用在实际生活中,如保险业得以存在并不断发展壮大的两大基石的一个就是大数定律.许多学者也已经在此领域中研究出了许多有价值的成果,讨论了在统计,信息论,分析、数论等方面的应用.在许多数学领域中,广大学者对某些具有特定类型的数学模型,都能利用大数定律的思考方式总结其代表性的性质及结论,使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程,方便了研究.大数定律作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对大数定律的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对大数定律的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中.下面文中就通过对大数定律的讨论,给出了各大数定律之间的关系,归结出一般性结论.最后列举了一些能用大数定律来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明大数定律在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对大数定律的理解.
第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的
第一章 概率论的基本概念 一、填空题 1．;)3(;)2(;)1(C B A C B A C B A C B A C AB )()4(C B C A B A C B A C B A C B A C B A 或; 2． 2 1 81，； 3．6.0； 4． 733.0，； 5． 8.0,7.0； 6． 87； 7． 85； 8. 996.01211010 12或A -； 9． 2778.0185 6 446==A ；10. p -1. 二、选择题 D ；C ；B ；A ；D ； C ；D ；C ；D ；B . 三、解答题 1.解：).()()()(),((AB P B P AB P A P A B P B A P -=-∴=） 相互独立， 又）B A B A P B P A P ,,9 1 )(),((==∴ .3 2 )(,91)](1[)()()()(22=∴=-===∴A P A P A P B P A P B A P 2.解： 设事件A 表示“取得的三个数字排成一个三位偶数”，事件B 表示“此三位偶数的末 尾为0”，事件B 表示“此三位偶数的末尾不为0”，则: =)(A P )()(B P B P += .125 3 4 1 2123423=+A A A A A 3.解：设A i =“飞机被i 人击中”，i =1,2,3 , B =“飞机被击落”, 则由全概率公式： )()()()((321321B A P B A P B A P B A B A B A P B P ++== ） )()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P ++= (1) 设1H =“飞机被甲击中”，2H =“飞机被乙击中”，3H =“飞机被丙击中”, 则: =)(1A P 321(H H H P 321(H H H P 321(H H H P ) =+)(321H H H P +)(321H H H P )(321H H H P ) 由于甲、乙、丙的射击是相互独立的，
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=??
分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ）， 称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()(Y （n 可 以取∞） 2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( Y （n 可以取∞）
《概率论与数理统计》论文题目：正态分布及其应用 学院：航天学院 专业：空间科学与技术 姓名：黄海京 学号：1131850108
正态分布及其应用 摘要：正态分布（normal distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态分布，以及确定医学参考值范围，药品规格，用量等。可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量。 关键词：正态分布， 一、正态分布的由来 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution）。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年受次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ= 1的正态分布。 二、正态分布的特性 1. 正太分布的曲线特征 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。 （1）集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 （2）对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 （3）均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
习题答案 第1章 三、解答题 1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的 (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确. 2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = ，P (B ) = ，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少 (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少 解：因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤， 又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以 (1) 当)()(B A P B P = 时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P ==. (2) 1)(=B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=+=. 3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，记P (A ) = p ，试求P (B )． 解：因为)()(B A P AB P =， 即)()()(1)(1)() (AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ， 所以 .1)(1)(p A P B P -=-= 4．已知P (A ) = ，P (A – B ) = ，试求)(AB P ． 解：因为P (A – B ) = ，所以P (A )– P(AB ) = , P(AB ) = P (A )– , 又因为P (A ) = ，所以P(AB ) =– =，6.0)(1)(=-=AB P AB P . 5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少 解：显然总取法有410C n =种，以下求至少有两只配成一双的取法k ： 法一：分两种情况考虑：1 5 C k =24C 212)(C +25C
学习中心/函授站_ 姓 名 学 号 西安电子科技大学网络与继续教育学院 2018学年上学期 《概率论与数理统计》期末考试试题 （综合大作业） 考试说明： 1、大作业于2018年4月19日下发，2018年5月5日交回，此页须在答卷中保留； 2、考试必须独立完成，如发现抄袭、雷同均按零分计； 3、答案须手写完成，要求字迹工整、卷面干净。 一、选择题（每题3分，共30分） 1．设A 、B 、C 是随机事件，且AB C ?，则（ ）。 A ．C A B ? B ．A C ?且B C ? C ．C AB ? D ．A C ?或B C ? 2．设一盒子中有5件产品，其中3件正品，2件次品。从盒子中任取2件，则取出的2件产品中至少有1件次品的概率为（ ）。 A ． 310 B ．510 C ．710 D ．1 5 3．设()F x 是随机变量X 的分布函数，则（ ）。 A ．()F x 一定连续 B ．()F x 一定右连续 C ．()F x 是单调不增的 D ．()F x 一定左连续 4．设连续型随机变量X 的概率密度为()x ?，且()()x x ??-=，()F x 是X 的分布函数，则对任何的实数a ，有（ ）。
A ．0()1()a F a x dx ?-=-? B ．0 1 ()()2a F a x dx ?-=-? C ．()()F a F a -= D ．()2()1F a F a -=- 5．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 22 6 (,), , x y f x y Ae x y +- =-∞<<+∞-∞<<+∞ 则常数A =（ ）。 A ． 12π B ．112π C ．124π D ．16π 6．设随机变量X 、Y 相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则 ()P X Y <=（ ） 。 A. 15 B.13 C.25 D.4 5 7．有10张奖券，其中8张2元，2张5元，今某人从中随机地抽取3张，则此人得奖 金额的数学期望为（ ）。 A ．6 B ．12 C ．7.8 D ．9 8. 设连续型随机变量X 的概率密度为 , 01 ()0, a bx x f x +<
第一章随机事件与概率 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}； A={（正，反），（正，正）}； B={（正，正），（反，反）}； C={（正，反），（正，正），（反，正）}。 2.设31)(=A P ，2 1)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）AB =?，（2）B A ?，（3）81)(=AB P 解: （1）5.0)()()()()(==-=-=B P AB P B P AB B P A B P （2）6/13/15.0)()()()()()(=-=-=-=-=A P B P AB P B P AB B P A B P （3）375 .0125.05.0)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他 拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少 解: 记H 表拨号不超过三次而能接通。 Ai 表第i 次拨号能接通。 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 10 3819810991109101) |()|()()|()()()(2131211211321211=??+?+= ++=∴ ++=A A A P A A P A P A A P A P A P H P A A A A A A H 三种情况互斥 Θ 如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B ）问题变为在B 已发生的条件下，求H 再发生的概率。
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 % 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 > 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P
最大似然估计学习总结(概率论大作业)
最大似然估计学习总结 航天学院探测制导与控制技术杨若眉1110420123 摘要：最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。 关键词：最大似然估计；离散；连续；概率密度最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。 “似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。
最大似然法是要解决这样一个问题：给定一组数据和一个参数待定的模型，如何确定模型的参数，使得这个确定参数后的模型在所有模型中产生已知数据的概率最大。通俗一点讲，就是在什么情况下最有可能发生已知的事件。举个例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？ 我想很多人立马有答案：70%。这个答案是正确的。可是为什么呢？（常识嘛！这还要问？！）其实，在很多常识的背后，都有相应的理论支持。在上面的问题中，就有最大似然法的支持例如，转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中，如果发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由认为，C和T所
习题 1.1 1、（1）选中乘客是不超过30岁的乘车旅游的男性 （2）选中的乘客是不超过30岁的女性或以旅游为乘车目的 （3）选中乘客是不超过30岁的女性或乘车旅游的女性 （4）选中乘客是30岁以上以旅游为目的男性 2、（1）2010A B U （2）1053 1 1 1 i j k i j k A B C ===U U U U U （3） 2017 i i C =U （4）10 10 21 21 1 1 i j i j A C D --==U U U U 3、（1）1 n i i G =I （2） 1 n i i G =U （3）12123121n n n n G G G G G G G G G G G -L U L UL U L && 习题 1.2 1、（该题题目有误，请将()1/4P A =改作()1/3P A =） （1）1()()()()30P AB P A P B P A B =+-= U （2）3()()()()10 P AB P A B P A P AB =-=-= （3）7()1()10 P AUB P AB =-= （4）7()()()()()()15 P AB AB P AB P AB P AB P B P AB =+=+-=U 2、811 877 ?=? 3、（1）仅考虑末位：12110 15C C =（2）末位1和9的数的平方末位是1，故概率为：121101 5 C C = 4、至少两名女生的概率：541 22228 5 30 10.4046C C C C +- ≈ 5人全为女生的概率：58530 0.0004C C ≈ 5、一等奖：8 613316 1 5.643010C C -≈?二等奖：61761561 33168.464510C C C C -≈? 三等奖：511 6 6271613316 9.141710C C C C C -≈?四等奖： 511421 627156271 61 3316 0.0004C C C C C C C C +≈
吉林大学网络教育 大作业 1.仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率. (1)解：设A 表示事件“仪器发生故障”，i=1,2,3 P(A)= )/()(3 1 B B i i i A P P ∑=, P(B1)=3*0.2*0.80.2=0.384,P(B2)=3*0.22*0.8=0.096,P(B3)=0.23=0.008 所以P(A)=0.384*0.25+0.096*0.6+0.008*0.95+0.1612 (2) P(B 2/A)= ) ()(2A P A p B =0.96*0.6/0.1612=0.3573 2．设连续型随机变量X 的分布函数为 0, ,()arcsin ,,(0)1, ,x a x F x A B a x a a a x a ≤-??? =+-<<>?? ≥?? 求：（1）常数A 、B ．（2）随机变量X 落在,22a a ?? - ??? 内的概率．（3）X 的概率密度函数． 解：（1）F （a+0）=A-2πB=0，F （a-0） =A+2πB=1 所以A=0.5 B=π 1 (2)P{-2a 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1 )S (=P 概率论与数理统计作业 第一章随机事件与概率 1?将一枚均匀的硬币抛两次，事件代B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。 解：舄」正正、正反、反正、反反］ A=.正正、正反/, B =「正正1, C =:正正、正反、反正 / 2.设P(A)二3，P(B)二2，试就以下三种情况分别求P(BA): 3 2 (1)AB=必，(2)A B，( 3)P(AB)=1 8 解： (1)P(BA) =P(B — AB) =P(B) — P(AB) =P(B) =0.5 (2)P(BA)二P(B —AB)二P(B) —P(AB)二P(B) 一P(A) = 0.5 -1/3 = 1/6 (3)P(BA)二P(B — AB)二P(B) —P(AB) =0.5 —0.125 =0.375 3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：记H表拨号不超过三次而能接通。 Ai表第i次拨号能接通。 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 寫H = A +瓦人 2 +瓦入2民三种情况互斥 二P(H) =P(A)+P(AjP(A2 |瓦)+ 卩(瓦)卩(入2丨A I)P(A3 1A1A2) 19 19 8 13 =—+—X —+ —X —X —=— 10 10 9 10 9 8 10 如果已知最后一个数字是奇数(记为事件B)问题变为在B已发生的条件下，求H再发 生的概率。 P(H |B) =PA |B A A2 |B A1A2A3| B) = P(A!|B) P(A1| B)P(A2|BA1) P(A1| B)P(A2| BA!)P(A3 |B^A2) 14 14 3 13 = ---- i ----- 4 --- I ------ A. ---- A. --- = ------ 5 5 4 5 4 3 5 4?进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率： (1)直到第r次才成功; (2)在n次中取得r(「乞r乞n)次成功； 解：(1) P=(1—p)rJL p (2) P =C：p r(1 一p)^ 5.设事件A, B的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种：(a)必然对，(b) 必然错，(c)可能对也可能错，并说明理由。 (1)若A，B互不相容，则它们相互独立。 (2)若A与B相互独立，则它们互不相容。 (3)P(A)二P(B) =0.6，则 A与 B互不相容。 (4)P(A)二P(B) =0.6，则 A与 B相互独立。 解:(1)b, 互斥事件，一定不是独立事件 (2)c, 独立事件不一定是互斥事件， (3)b, P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)若 A与 B互不相容，则P(AB) = 0 而P(A B) =P(A) P(B) - P(AB) =1.2 1 ⑷a, 若A与B相互独立,则P(AB) = P(A)P(B) J 这时P(A B)二P(A) P(B) -P(AB) =1.2 -0.36 =0.84 6.有甲、乙两个盒子，甲盒中放有 3个白球，2个红球；乙盒中放有4个白球，4个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求： (1)从乙盒中取出的球是白球的概率； ⑵若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。 解:(1)记A, A分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 《概率论与数理统计》复习参考资料 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率 古典概型公式：P （A ）= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？ Ω所含样本点数：n n n n n =???... Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =??-?-? n n n A P ! )(=∴ 补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？ 解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(A i )=？ Ω所含样本点数：6444443 ==?? A 1所含样本点数：24234=?? 8 3 6424)(1==∴A P A 2所含样本点数： 36342 3=??C 16 96436)(2== ∴A P A 3所含样本点数：443 3=?C 16 1 644)(3==∴A P 注：由概率定义得出的几个性质： 1、0 学习概率论的体会 在刚刚开始学习概率论的时候，了解了一些有关概率论起源和发展的历史。概率论起源于16世纪的赌博，促使概率论产生的强大动力来自社会实践.首先是保险事业,保险的对象都是偶然性事件．为了保证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保险，就需要根据对大量偶然现象规律性的分析，去创立保险的一般理论．于是，一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了． 而18世纪是概率论的正式形成和发展时期,在名著《推想的艺术》中，贝努利明确指出了概率论最重要的定律之一――“大数定律”，并且给出了证明，这使以往建立在经验之上的频率稳定性推测理论化了，从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括．这就使得概率论从研究特殊现象转变到能够研究一般问题的一个数学分支，概率论也就得到了广泛的应用。 但这似乎对于我们的生活没有什么关系，看看，我们又有那些需要用到概率论的。玩游戏，不需要，知道输赢就行；购物，更不需要，明白多少钱就行。如此一来，概率论似乎学与不学对于我们的生活没有多大的影响。但概率论的历史彰示着：概率论的发展离不开生活，而它的发展也必将服务与生活，它影响到生活的每一点一滴。 太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100％,或者说是，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨，买东西买到次品，同班同学生日相同概率，碰运气能否通过计算机等级考试VISUAL BASIC的笔试，彩票等等，这类事件的概率就介于O和100％之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。 现在就用生活中的一个具体的例子来说明。其中就要涉及到概率统计中随机变量分布的应用。以计算机等级考试VASUAL BA—SIC笔试为例，因为到时候我们要考计算机二级证。计算机等级考试VASUAL BA—SIC笔试试卷100分制，一共50题，其中35道单选题，15道填空题，每题两分。60分以上为通过。填空题是无法猜测的，就排除在外，也就是说我们只能在选择题上用猜测的方法。在35道选择题中，每题答对的概率为P=0．25，若要答对6O 分以上必须在35题中选对30题以上。这就看作是一个35重的伯努利试验设随机变量x为答对的题数，则x～ b(k；35，0．25)，其分布为：P(X：k)=C35(取k)O．25k ×0．75(35－k)，k=1，2，. .35若要通过则k≥30，其概率为P(X＝k≥30)=Σc35(取k)O．25k X0．75(35－k)，k ＝30，31，. .35 ≈3．23 × 10－1 5=0．0000O00000000O3 由此可见这个概率是非常之小的，相当于在1000亿个碰运气的考生中只有0．00000323个人才能过，而地球上只有60亿人。因此不要存在侥幸心里通过碰运气考过，这是基本上没有可能的。其实，概率学与运气之间的关系，实质上是科学与运气的关系。可以这么说，概率学对碰运气是有帮助的，而关键在于如何应用和理解。概率是以科学为基础的，而运气是在对解释不清的事物所作的一种解释，或者说是概率学的一种随机现象。 人们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。一位哲学家曾经说过：“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。总之，由于随机现象在现实世界中大量存在，概率必将越来越显示出它巨大的威力。是以，我们要善于利用概率的知识去解决生活和工作中的问题，概率论就会对我们的生活产生积极的影响。 但是，概率也仅仅是个数字，它或许会代表着什么，会给我们的行为有些指导作用。面对这它的时候，切莫太过大意，也更莫失去自信。就比如有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，可结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，一来其他的人都失败了，觉得自己很幸运。二来自己中奖的机率高达50％。可结果他同样没中奖。这1％的概率和99％的概率有区别吗？有，概率有大小之分，但那不应该是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数人眼里是绝对不可能的。但在牛人亚里士多德眼里，他觉得成功做这事的概率那是100％——绝对没问题，只要你给他一个支点和足够长的杠杆。在自己没做一件事之前，不要在外界评价的“容易”和“困难”之间对号入座。要对自己有个清楚的认识，不要膨胀了“自信”，更不要埋没了自己的“潜质”。不要被“绝对有希望”所蒙蔽，也不要被“希望渺茫”所打垮。 答案和题目 概率论与数理统计（经管类）综合试题一 （课程代码 4183） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ). A. A B A B +=+ B.()A B B A B +-=- C. (A -B )+B =A D. AB AB = 2.设 ()0,()0 P A P B >>，则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B ) C. P (A +B )=P (A )+P (B ) D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ). A. 1120 B. 160 C. 15 D. 12 5.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ). A.()()()P A B P A P B -=- B. ()()P A B P B += C.(|)()P B A P B = D.()()P AB P A = 6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续 C. ()1f x dx +∞-∞ =? D. ()1f +∞= 7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b P X k k ===，且0b >，则参数b 的 值为 ( D ). 概率论与数理统计知识点汇总(免费超详细版) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P概率论与数理统计知识点总结(完整超详细版)35387
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