第2课时线段的长短比较
要点感知 1 比较两条线段的长短，我们可用刻度尺分别测量出_____来比较大小，或把其中的一条线段移到________作比较.
预习练习1-1 若线段AB=3 cm，CD=2 cm，则下列判断正确的是( )
A.AB=CD
B.AB＞CD
C.AB＜CD
D.不能判断
要点感知2 两点之间的所有连线中，线段最短.简单说成：___________.连接两点的线段的_____，叫做这两点间的距离.
预习练习2-1 如图，已知从A地到B地共有五条路，小红应选择第______条路最近，用数学知识解释是因为____________.
要点感知3 仅用_____和_____作图的方法叫尺规作图.
预习练习3-1 如图，已知线段a，借助圆规和直尺作一条线段使它等于3a.
要点感知 4 线段上一点将线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的_____.类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.
预习练习4-1 已知点C是线段AB的中点，AB=4，则BC=_____.
知识点1 线段的长短比较
1.七年级一班的同学想举行一次拔河比赛，他们想从两条大绳中挑出一条最长的绳子，请你为他们选择一种合适的方法( )
A.把两条大绳的一端对齐，然后同一方向上拉直两条大绳，另一端在外面的即为长绳
B.把两条绳子接在一起
C.把两条绳子重合，观察另一端情况
D.没有办法挑选
2.如图所示，已知线段AD＞BC，则线段AC与BD的关系是( )
A.AC＞BD
B.AC=BD
C.AC＜BD
D.不能确定
知识点2 线段基本事实及两点间的距离
3.把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是( )
A.两点之间，射线最短
B.两点确定一条直线
C.两点之间，线段最短
D.两点之间，直线最短
4.若点B在线段AC上，AB=10，BC=5，则A，C两点的距离是( )
A.5
B.15
C.5或15
D.不能确定
知识点3 尺规作图
5.已知线段a，b，c，借助圆规和直尺作线段AD，使AD=a+b-c.
知识点4 线段中点及等分
6.下列式子中，不能说明线段AB上的点C是线段AB的中点的是( )
A.AC+CB=AB
B.AC=CB
C.AB=2AC
D.CB=12AB
7.(2012·葫芦岛)如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若AB＝8 cm，BC＝2 cm，则MC的长是( )
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.6 cm
8.如图，AB=2，AC=5，延长BC到D，使BD=3BC，求AD的长.
9.两点间的距离是指( )
A.连接两点的线段
B.连接两点的线段的长度
C.连接两点的直线的长度
D.连接两点的直线
10.如图，小华的家在A处，书店在B处，星期日小明到书店去买书，他想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线( )
A.A→C→D→B
B.A→C→F→B
C.A→C→E→F→B
D.A→C→M→B
11.已知点A，B，C都是直线l上的点，且AB=5 cm，BC=3 cm，那么线段AC的长度是( )
A.8 cm
B.2 cm
C.8 cm或2 cm
D.4 cm
12.如图，点M，N把线段AB三等分，点C为NB的中点，且CM=6 cm，则AB=_____cm.
13.如图，平面上有A、B、C、D4个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画出确定蓄水池P的位置，使它与4个村庄的距离之和最小.
14.如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺画线段，使它等于2a+b-c.
15.已知点O为线段AB的中点，点C为OA的中点，并且AB=40 cm，求AC的长.
16.如图，C为线段AB上一点，D是线段AC的中点，E为线段CB的中点.
(1)如果AC=6 cm，BC=4 cm，试求DE的长；
(2)如果AB=a，试探求DE的长度；
(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC-BC=b cm，D、E分别为AC、BC的中点，你能猜想DE的长度吗？直接写出你的结论，不需要说明理由.
挑战自我
17.线段AB上有两点P、Q，点P将AB分成两部分，AP∶PB＝2∶3；点Q将AB也分成两部分，AQ∶QB＝4∶1；且PQ＝3 cm.求AP，QB的长.
参考答案
课前预习
要点感知1 线段的长度另一条线段上
预习练习1-1 B
要点感知2 两点之间线段最短长度
预习练习2-1 ③两点之间线段最短
要点感知3 圆规没有刻度的直尺
预习练习3-1 图略，作法略.
要点感知4中点
预习练习4-1 2
当堂训练
1.A
2.A
3.C
4.B
5.(1)作射线AE.
(2)在射线AE上顺次截取AB＝a，BC＝b.
(3)在线段AC上截取CD＝c.
则线段AD即为所求作的线段.
6.A
7.B
8.因为AB=2，AC=5，所以BC=AC-AB=3.因为BD=3BC=9，所以CD=6.所以AD=AB+BC+CD=11.
课后作业
9.B 10.B 11.C 12.12
13.连接AC、BD的交点即为P点的位置，图略.
14.(1)作射线AF.
(3)在线段AD 上截取DE ＝c.
则线段AE 即为所求作的线段.
15.因为点O 为线段AB 的中点，AB=40 cm ，
所以OA=2
1AB=20 cm. 因为点C 为OA 的中点， 所以AC=
21OA=10 cm. 16.(1)CD=21AC=3 cm ，CE=2
1BC=2 cm ，所以DE=CD+CE=5 cm. (2)因为CD=21AC ，CE=21BC ，所以DE=CD+CE=21AC+21BC=21(AC+BC)=21AB=2
1a. (3)DE=2
1b. 17.画出图形
设AP ＝2x cm ，PB ＝3x cm ，则AB ＝5x cm.
因为AQ ∶QB ＝4∶1，
所以AQ ＝4x cm ，QB ＝x cm.
所以PQ ＝PB-QB ＝2x cm.
因为PQ ＝3 cm ，
所以2x ＝3.
所以x ＝1.5.
所以AP ＝3 cm ，QB ＝1.5 cm.
C C B B 4.2 比较线段的长短(A 卷) (教材针对性训练题 60分 25分钟) 一、填空题:(每小题5分,共25分) 1.线段AB 和CD 相等,记作__________,线段EF 小于GH,记作________. 2.如图,直线上四点A 、B 、C 、D,看图填空: ①AC=______+BC;②CD=AD-_______;③AC+BD-BC=_______. 3.已知线段AB=5cm,在线段AB 上截取BC=2cm,则AC=________. 4.连结两点的____________________________________________,叫做两点的距离. 5.如图,AB+BC_______AC(填“>”“=”“<”),理由是_____________________________. 二、选择题:(每小题5分,共15分) 6.下列说法正确的是( ) A.到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点; B.线段的中点到线段两个端点的距离相等; C.线段的中点可以有两个; D.线段的中点有若干个. 7.如果点C 在线段AB 上,则下列各式中:AC=12 AB,AC=CB,AB=2AC,AC+CB=AB,能说明C 是线段AB 中点的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图,AB=CD,则AC 与BD 的大小关系是( ) A.AC>BD B.AC 第二课时 一、教学目标 1、理解两点间距离的感念和线段中点的感念及表示方法 2、学会线段中点的简单应用 3、借助具体情境，了解“两点间线段最短”这一性质，并学会简单应用 4、培养学生交流合作的意识，进一步提高观察、分析和抽象的能力 二、教学重点 线段中点的感念及表示方法 三、教学难点 线段中点的应用 四、学用具：投影片、刻度尺 五、学过程： （一）习回顾：线段长短比较的两种方法 （二）感念分析 1、线段性质和两点间距离 “想一想” 出示课本图片，从上面的两个事例中，你能发现有什么共同之处？ （可让学生稍作讨论后回答） 学生：选择直路，路程较短 让学生在黑板上画出图7-18（见课本），从A到B的几种路线，并用红色粉笔标出最短的路线 教师：你是怎样比较出最短的路线的？ 学生：利用观察、测量 根据学生的画图，师生共同总结出线段的性质： “两点之间的所有连线中，线段最短” 两点之间的距离：两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离。要强调两点之间的线段的长度叫两点间的距离，而不是两点间的线段，线段是图形，线段的长度是数值。 教师：“两点间线段最短”的性质在实际生活中应用较广，你能否举一些例子？ 学生：从A到B架电线，总是尽可能沿着线段AB架设等。 2、线段的中点 请按下面的步骤操作：（学生做） ①在一张透明纸上画一条线段AB ②对折这张纸，使线段AB的两个端点重合 ③把纸展开铺平，标明折痕点C 如图1： A C 教师：线段AC和线段BC相等吗？你可以用是么方法去说明？ 学生1：相等。用刻度尺测出它们的长度，再比较 学生2：相等。用圆规测量比较 教师：象图1这样，点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫做线段AB的中点。用几何语言表示： AC=BC=1/2AB （或AB=2AC=2BC） 教师：刚才用折纸的方法找出AB的中点C，你还能通过什么方法得到中点C呢？ 初一线段的长短比较与计算 1、如图：C ，B 在线段AD 上，且AB=CD ，则AC 与BD 大小关系是（ ） A 、AC>BD B 、AC=BD C 、AC 4.2 比较线段的长短 教学目标 1、借助具体情境了解“两点之间所有连线中，线段最短”的性质。 2、能借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短。 3、能用圆规作一条线段等于已知线段。 教学思考 创设现实情境，鼓励学生独立思考、独立操作，然后通过合作、交流去探索问题，解决问题。 解决问题 立足具体情境，尽可能从学生感兴趣的话题出发，去发展有条理的思考，并能用语言表达自己的发现成果。 情感态度与价值观 调动学生的主观能动性，积极参与数学活动，促使学生在学习中培养良好的情感态度、主动参与、合作的意识，进一步提高观察、分析和抽象的能力。 教学重点：了解线段性质及线段比较方法，两点之间的距离的概念和线段中点的概念。 教学难点：比较线段长短的方法，线段中点的表示方法及应用。 教学过程 创设情境，引入新课 想一想 如上图，从A地到B地有四条道路，哪条路最近？ 1、线段的性质： 两点之间的所有连线中，线段最短。 也可简述为：“两点之间，线段最短”这就是线段的基本性质 2、两点之间的距离： 两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 探究新知，学习新课 在没有接触如何比较之前大家来看这个问题 试一试 怎样用圆规作一条线段等于已知线段（师生互动作图） 第一步：先用直尺画一条射线AB 第二步：用圆规量出已知线段的长度（记作a ） 第三步：在射线AB 上以A 为圆心，截取AC=a 所以，线段AC 就是所求的线段 议一议 怎样比较两条线段AB 与CD 的长短？ 方法1：用刻度尺量出线段AB 与线段CD 的长度，然后进行比较。 方法2：把这两条线段都放在同一条直线上进行比较，即： 画一条直线L ，在L 上先作出线段AB ，再作出线段CD ，并且使点C 与点重合，点D 与点B 位于点A 的同侧。 （1）如果点D 与点B 重合，则线段AB 与线段CD 相等，记作：AB=CD （2）如果点D 在线段AB 内部，则线段AB 大于线段CD ，记作AB ＞CD （3）如果点D 在线段AB 外部，则线段AB 小于线段CD ，可记作AB ＜CD 1、度量比较法 2、叠合比较法：从形的角度来比较，比较线段的长短的方法步骤：两条线段的一个端点重合，另一个端点落在此端点的同一侧，看另一端点的位置。 线段中点的定义 A M B 点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM ，则点M 即为线段AB 的中点。你能尝试给出线段中点的定义吗？ 把一条线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点。 点M 就是线段AB 的中点。可记作AB BM AM 2 1= = 定义具有判定和性质的双重属性，即： 4.1比较线段的长短 第一课时 一、教学目标 1．使学生在理解线段概念的基础上，了解线段的长度可以用正数来表示， 因而线段可以度量、比较大小以及进行一些运算．使学生对几何图形与数之 间的联系有一定的认识，从而初步了解数形结合的思想． 2．掌握比较线段长短的两种方法 3．会用直尺和圆规画一条线段等于已知线段 4．理解线段和、差的概念及画法 5．进一步培养学生的动手能力、观察能力。 二、教学重点 线段长短的两种比较方法 三、教学难点 对线段与数之间的认识，掌握线段比较的正确方法 四、教具准备 四支筷子（三红一绿，长短不一）、圆规、直尺 五、教学过程 （一）创设情境 教师：老师手中有两只筷子（一红一绿）如何比较它们的长短？ 学生：先移动一根筷子，与另一根筷子一头对齐，两根棒靠紧，观察另一头的位置，多出的较长。 教师：比较长短的关键是什么？ 学生：必有一头对齐 教师：除此之外，还有其他的方法吗？ 学生：可以用刻度尺分别测出两根筷子的长度，然后比较两个数值 教师：我们可以用类似于比筷子的两种方法来比较两条线段的长短 （二）新课教学 让学生在本子上画出AB、CD两条线段。（长短不一） 1．“议一议”怎样比较两条线段的长短？ 先让学生用自己的语言描述比较的过程，然后教师边演示边用规范的几何语言 描述 叠合法：把线段AB、CD放在同一直线上比较，步骤有三： ①将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合 ②将线段AB沿着线段CD的方向落下 ③若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可记做：AB=CD （几何语言） 若端点B落在D内，则得到线段AB小于线段CD，可记做：AB＜CD 若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD，可记做：AB＞CD 如图1 C D （注：讲此方法时，教师应采用圆规截取线段比较形象，还需向学生讲明从“形” 角度去比较线段的长短） 第四章几何图形初步 4.2 直线、射线、线段 第2课时线段长短的比较与运算 学习目标：1．会画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的大小．2．通过实例体会两点之间线段最短的性质，并能初步应用． 3．了解两点间的距离、线段的中点以及线段的三等分点的意义．学习重点：线段比较大小以及线段的性质． 学习难点：线段的中点、三等分点及其应用． 使用要求：1．阅读课本P129－P132； 2．尝试完成教材P131的练习题； 3．限时20分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）； 4．课前在小组内交流展示． 一、自主学习： 1．画直线AB、画射线CD、画线段EF． 2．任意画线段a． 你能不能再画一条线段AB正好等于你先前所画的线段a． 你是怎样画的？你想到了几种方法？ 二、合作探究： 1．如何比较两位同学的身高？ ①如果已知身高，我们如何比较？ ②如果不知身高，我们又如何比较？ 2．如何比较两根木条的长短？ 3．如何比较两条线段的大小？ ①任意画两条线段AB, CD．我们如何比较AB、CD的大小？动手试试． ②任意两条线段比较大小，其结果有几种可能性？ 【老师提示】比较线段的常用方法有两种：①度量法②圆规截取法4．试试身手：P131练习第1题． 【老师提示】先估计大小关系看看我们的观察能力，再动手检验． 5．①线段的中点：如图点M是线段AB上一点，并且AM＝BM 我们称点M是线段AB的中点． ②怎样找出一条线段AB的中点M？ ③线段的三等分点、线段的四等分点．（观察P131图4.2－12） 6．（1）P131思考． （2）有些人要过马路到对面，为什么不愿走人行横道呢？ （3）从A 地架设输电线路到B地，怎样架设可以使输电线路最短？7．（1）线段的性质： （2）两点间的距离： 8．画线段的和与差： a 如图，已知两条线段a、b（a＞b） 第2课时线段的性质 能力提升 1.如图所示,要在直线PQ上找一点C,使PC=3CQ,则点C应在() A.P,Q之间 B.点P的左边 C.点Q的右边 D.P,Q之间或在点Q的右边 2.如果线段AB=5 cm,BC=3 cm,那么A,C两点间的距离是() A.8 cm B.2 cm C.4 cm D.不能确定 3.C为线段AB的一个三等分点,D为线段AB的中点,若AB的长为6.6 cm,则CD的长为() A.0.8 cm B.1.1 cm C.3.3 cm D.4.4 cm 4.如图所示,C是线段AB的中点,D是CB上一点,下列说法中错误的是() A.CD=AC-BD B.CD=BC C.CD=AB-BD D.CD=AD-BC 5.下面给出的4条线段中,最长的是() A.d B.c C.b D.a 6.已知A,B是数轴上的两点,点A表示的数是-1,且线段AB的长度为6,则点B表示的数 是. 7.已知线段AB=7 cm,在线段AB所在的直线上画线段BC=1 cm,则线段AC=. 8. 如图所示,设A,B,C,D为4个居民小区,现要在四边形ABCD内建一个购物中心,试问把购物中心建在何处,才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小?请说明理由. 9. 如图所示,点C是线段AB上一点,点M是线段AC的中点,点N是线段BC的中点. (1)如果AB=20 cm,AM=6 cm,求NC的长; (2)如果MN=6 cm,求AB的长. 10.在桌面上放了一个正方体的盒子,如图所示,一只蚂蚁在顶点A处,它要爬到顶点B处找食物,你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗?要是食物在顶点C处呢? ★11.已知线段AB=12 cm,直线AB上有一点C,且BC=6 cm,M是线段AC的中点,求线段AM 的长. 4.2-2线段的长短比较 第二课时 教学目标： 1、使学生在理解线段概念的基础上，了解线段的长度可以用正数来表示，因而线段可以度量、比较大小以及进行一些运算．使学生对几何图形与数之间的联系有一定的认识，从而初步了解数形结合的思想．（A、B、C） 2、掌握比较线段长短的两种方法；（A、B、C） 3、会用直尺和圆规画一条线段等于已知线段；（A、B、C） 4、理解线段和、差的概念及线段中点的概念；（A、B、） 5、进一步培养学生的动手能力、观察能力和与人合作的能力。（A、B、） 教学重点：线段大小的比较方法，尺规作图作一条线段等于已知线段是重点。 教学难点：线段中点的表示方法及运用是难点。 课型：新授课 教学方法：讲练结合法 教具准备：多媒体、圆规、直尺 教学过程： 一、课前5分钟 二、创设情境（播放课间操出操图片） 教师：课间操出操，班主任老师和体育老师对我们提出的要求可以用哪三个字来概括？学生:（快、静、齐） 教师：请简单说明我们该如何做到这三个字？ 学生：（2--3名学生阐述） 教师：具体说一说怎样才能做到“齐”？ 学生：（首先按身高的大小排队，其次把队伍横竖对齐） 教师：要想按身高排队，就需要比较身高，那么如何比较两个人的身高呢？ 学生：各抒己见，找3--5名学生回答。 教师：比较长短的关键是什么？ 学生：必有一头对齐 教师：除此之外，还有其他的方法吗？ 学生：可以用刻度尺分别测出两个同学的身高，然后比较两个身高的数值 教师：同样，我们可以用类似于比身高的两种方法来比较两条线段的长短。 三、新课教学 1．合作探究：“议一议”怎样准确的比较出两条线段的长短？（小组讨论出结果） 先让学生用自己的语言描述比较的过程，然后教师边演示边用规范的几何语言描述 度量法：用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度，再将长度进行比较。 总结；用度量法比较线段大小，其实就是比较两个数的大小。（从“数”的角度去比较线段的长短）-----数形结合思想的渗透 叠合法：把线段AB、CD放在同一直线上比较，步骤有三： ①将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合 ②将线段AB沿着线段CD的方向落下 ③若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可记做：AB=CD（几何语言）若端点B落在D内，则得到线段AB小于线段CD，可记做：AB＜CD 若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD，可记做：AB＞CD 如图1 线段和角精选练习题 一．选择题（共22小题） 1．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（） A．圆柱B．圆锥C．圆台D．四棱柱 2．如图，线段AD上有两点B、C，则图中共有线段（） A．三条B．四条C．五条D．六条 3．下列语句：①不带“﹣”号的数都是正数；②如果a是正数，那么﹣a一定是负数；③射线AB和射线BA是同一条射线；④直线MN和直线NM是同一条直线，其中说法正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，某同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩 下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是 （） A．两点之间，直线最短B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短D．经过一点有无数条直线 5．若数轴上点A、B分别表示数2、﹣2，则A、B两点之间的距离可表示为（） A．2+（﹣2）B．2﹣（﹣2）C．（﹣2）+2 D．（﹣2）﹣2 6．如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CB=CD，AB=10.5cm，那么BC的长为（） A．A2.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 7．已知线段AB=8cm，在直线AB上画BC，使BC=2cm，则线段AC的长度是（） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．4cm或16cm 8．如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，使得AB=5cm，BC=3cm，如果O是线段AC的中点，那 么线段OB长为（） A．1cm B．1.5cm C．2cm D．4cm 9．已知点A、B、P在一条直线上，则下列等式中，能判断点P是线段AB的中点的个数有（）①AP=BP；②BP=AB；③AB=2AP；④AP+PB=AB． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB=300米，BC=600米．为了方便职工上下班， 比较线段的长短 各位领导，老师们，大家好！ 今天我说课的内容是《比较线段的长短》，这一课将从三个方面说起。首先是教材，其次是教法与学法，最后是重要的教学过程。 首先我来说教材，教材我们分了两个环。第一环节是教材分析与教学目标。《比较线段的长短》选自北师大版七年级数学上册第四单元《平面图形及其位置关系》。 教材分析 《比较线段的长短》是既线段，射线，直线的概念之后的一个内容，是义务教育阶段数学课程标准中平面图形及其位子关系的一个重要组成部分."比较线段的长短"这节课的教学内容丰富灵活，符合七年级学生年龄特点和已有生活经验。生活中有许多美丽的图案都是由简单的线段组成的，本节课正是让学生经历简单的线段长短比较，了解线段的位置关系的过程。 教学目标是教学活动的起点和归宿，对教学起向导性作用。为此，我根据课程标准和教材的特点，结合学生的认知规律和实际情况确定知识，能力，情感三方面目标，具体如下: 知识目标 通过实例探索观察与动手操作，了解简单的线段长短比较的基本过程，使学生对几何图形与数之间的联系有一定的认识，从而初步了解数形结合的思想。 能力目标 能够用两种方法比较线段的长短 情感目标 通过合作探究，培养学上的合作精神，取长补短，即动手操作的能力。 学情分析 第二环节是学情分析，以及教学重点难点。 在小学中，教材为学生提供了大量生的有趣的现实情境，通过观察，测量，画图，模型操作，图案设计等活动使学生在活动中自觉体会线段长短的概念及相互比较的方法。同时在活动中也培养了学生良好的情感态度，顺利实现了由小学到初中的学习过度，以积极的态度投入初中数学的学习，具备了一定的主动参与合作意识和初步的观察分析抽象概括的能力。在对线段的长短有了一定的了解之后，对线段的比较也由了自己的方法，初步地实现了由感性认识到理性认识的过度。在这一基础之上使学生进一步对线段的和差进行探究，理解线段的中点及等分点的特性，从而将图形与数量关系结合在一起。 根据学情，我制定本节课的教学重难点。 教学重点 线段长短的两种比较方法 线段中点的概念及线段的基本性质 教学难点 1.掌握线段比较的正确方法 2.线段中点的应用 以上是我对本节课教材的一个分析，接下来我将要说的是教法与学法。在教法中，我主要采取引导学生探索发现和动手操作这两种方法。而在学法中，我采用引导学生自主探索，合作交流和动手实践这三种主要学习方法，关注学生学习的过程以及在教学活动中表现出来的情感与态度。 教学过程 最后我来谈谈这堂课的教学过程，教学程序及设想。 1 第2课时线段垂直平分线的性质 1．理解线段的垂直平分线的概念； 2．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；(重点) 3．能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算．(难点) 一、情境导入 1．我们学过轴对称图形，这类图形因为具有轴对称的特征而显得匀称美丽．那么什么样的图形是轴对称图形？ 2．我们学过的图形中，有哪些图形是轴对称图形？线段是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 二、合作探究 探究点一：线段垂直平分线的性质 【类型一】利用线段垂直平分线的性质进行证明 如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.试说明：∠B＝∠CAF. 解析：由EF垂直平分AD，则可得AF＝DF，进而再转化为角之间的关系，通过角之间的关系转化，最终得出结论． 解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，∴∠ADF ＝∠DAF.∵∠ADF＋∠ADB＝180°，∠BAD＋∠B＋∠ADB＝180°，∴∠ADF＝∠B＋∠BAD.又∵∠DAF＝∠CAF＋∠CAD，∠BAD＝∠CAD，∴∠B＝∠CAF. 方法总结：解题时，往往利用线段垂直平分线的性质得出线段相等，进而得出角相等，这体现了数学的转化思想． 【类型二】利用线段垂直平分线的性质进行判断 如图，已知AB是CD的垂直平分线，下列结论：①CO＝DO；②AO＝BO； ③AB⊥CD；④CD⊥AB.正确的有() A．1个B．2个C．3个D．4个 解析：因为AB是CD的垂直平分线，所以AB垂直于CD，且把CD分成相等的两部分．所以①CO＝DO，③AB⊥CD，④CD⊥AB都正确，只有②AO＝BO错误．故选C. 方法总结：AB是CD的垂直平分线，它包含两个方面的含义：一是AB与CD垂直，二 4.2线段的长短比较 线(2课时)教案 4.1比较线段的长短 第一课时 一、教学目标 1．使学生在理解线段概念的基础上，了解线段的长度可以用正数来表示， 因而线段可以度量、比较大小以及进行一些运算．使学生对几何图形与数 之间的联系有一定的认识，从而初步了解数形结合的思想． 2．掌握比较线段长短的两种方法 3．会用直尺和圆规画一条线段等于已知线段 4．理解线段和、差的概念及画法 5．进一步培养学生的动手能力、观察能力。 二、教学重点 线段长短的两种比较方法 三、教学难点 对线段与数之间的认识，掌握线段比较的正确方法 四、教具准备 四支筷子（三红一绿，长短不一）、圆规、直尺 五、教学过程 （一）创设情境 教师：老师手中有两只筷子（一红一绿）如何比较它们的长短？ 学生：先移动一根筷子，与另一根筷子一头对齐，两根棒靠紧，观察另一头的位置，多出的较长。 教师：比较长短的关键是什么？ 学生：必有一头对齐 教师：除此之外，还有其他的方法吗？ 学生：可以用刻度尺分别测出两根筷子的长度，然后比较两个数值 教师：我们可以用类似于比筷子的两种方法来比较两条线段的长短 （二）新课教学 让学生在本子上画出AB、CD两条线段。（长短不一） 1．“议一议”怎样比较两条线段的长短？ 先让学生用自己的语言描述比较的过程，然后教师边演示边用规范的几何语言 描述 叠合法：把线段AB、CD放在同一直线上比较，步骤有三： ①将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合 ②将线段AB沿着线段CD的方向落下 ③若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可记做：AB=CD （几何语言） 若端点B落在D内，则得到线段AB小于线段CD，可记做：AB＜CD 若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD，可记做：AB＞CD 如图1 C D B （注：讲此方法时，教师应采用圆规截取线段比较形象，还需向学生讲明从“形”角度去比较线段的长短） 度量法：用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度，再将长度进行比较。 总结；用度量法比较线段大小，其实就是比较两个数的大小。（从“数”的角度 去比较线段的长短） 2．“做一做”P141随堂练习第1题 初中数学冀教版七年级上册第二章2.4线段的和与差练习 题 一、选择题 1.有下列生活，生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设． 其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有() A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 2.如图，点C是线段AB上的点，点M、N分别是AC、 BC的中点，若AC=6cm，MN=5cm，则线段MB的长度是() A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 10cm 3.如图，已知线段AB=6cm，在线段AB的延长线上有一点C，且BC=4cm，若点 M为AB中点，那么MC的长度为() A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 无法确定 4.某公共汽车运营线路AD段上有A，B，C，D四个汽 车站，如图所示，现在要在AD段上修建一个加油站M(加油站不在汽车站内)，为了使加油站选址合理，要求A，B，C，D四个车站到加油站M的路程总和最小，则加油站M应建在() A. A，B之间 B. B，C之间 C. C，D之间 D. A，D之间任意位置 5.如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=8cm，BC=6cm，若M、N分别 为AB、BC的中点，那么M、N两点之间的距离为() A. 7cm B. 1cm C. 7cm或1cm D. 无法确定 6.如图，已知线段AB=12cm，M是AB中点，点N在AB上，NB=2cm，那么线段 MN的长为() A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 7.如图，线段AB=BC=CD=DE=1cm，图中所有线段的长度之和为() A. 25cm B. 20cm C. 15cm D. 10cm 8.下列两个生产生活中的现象：①植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一 行树所在的直线；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有() A. 只有① B. 只有② C. ①② D. 无 9.如图，M是线段AB的中点，NB为MB的四分之一，MN=a，则AB表示为() A. 8 3a B. 4 3 a C. 2a D. 1.5a 10.下列说法①过两点有且只有一条直线；②两点之间线段最短；③到线段两个端点 距离相等的点叫线段的中点；④线段的中点到线段的两个端点的距离相等，其中正确的有__个。() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 11.已知线段AB=6cm，点C在直线AB上，且CA=4cm，O是AB的中点，则线段 OC的长度是______cm． 12.在数轴上，与表示5的点距离为4的点所表示的数是． 13.A.B两地之间弯曲的公路改直，能够缩短路程，其根据的道理是______． 14.已知点A、B、C在一条直线上，AB=5cm，BC=3cm，则AC的长为______． 15.线段AB=16cm，C为AB延长线上一点，M为AC的中点，N为BC的中点，则 MN=______． 三、计算题 16.如图，有两棵树，一棵树高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵 树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行多少米 7．3.1 线段的长短比较 课内练习 A 组 1．下列图形能比较大小的是（ ） （A ）直线与线段 （B ）直线与射线； （C ）两条线段 （D ）射线与线段 2．如图，AB=CD ，则AC 与BD 的大小关系是（ ） （A ）AC>BD （B ）AC=BD （C ）AC （1）画线段MN ，使MN=AB+AC ； （2）画线段PQ ，使PQ=DB+DC ； （3）比较线段MN ，PQ ，BC 的大小，用“>”把它们连结起来． 课外练习 A 组 1．如图，点C ，D ，E 是线段AB 上的三个点，下面关于线段CE 的表示： ①CE=CD+DE; ②CE=BC-EB; ③CE=CD+BD-AC; ④CE=AE+BC-AB. 其中正确的是________（填序号）． 2．P 是线段AB 的延长线上一点，且满足AP 与BP 4cm ，则AB=_________． 3．已知A ，B 是数轴上两点，AB=2，点B 表示 -1，那么点A 表示________ ． 4．如图，从A 地去B 地，哪一条路比较近？ 5．如图，如何比较两个三角形的周长？请你设计出一种方法，写出比较结果． B 组 6．如图，10条20 厘米长的线条首尾黏合成一个纸圈，?黏合部分的长度为1．5，则纸圈的周长是（ ） （A ）200厘米 （B ）198.5厘米 （C ）186.5厘米 （D ）185厘米 7．A 市辖区内的B 、C 、D 、E 四县市正被日益严重的水污染所困扰，居民的饮用水长期达不到较高的标准．为了人民的身体健康，该市与四个县市的领导、 《比较线段的长短》教学设计 教材分析 在学习了《线段、射线、直线》了解了线段的形象、描述性定义和表示方法，这一节将进一步研究线段的重要的基本性质和比较方法。从学生的生活经验出发，抽象提炼线段的基本性质，线段的大小比较方法、和、差作图等。 教学目标 【知识与能力目标】 助于具体情景中了解“两点之间线段最短”的性质；能借助于尺、规等工具比较两条线段的大小；能用圆规作一条线段等于已知线段。 【过程与方法目标】 通过思考想象、合作交流、动手操作等数学探究过程，了解线段大小比较的方法策略，学习开始使用几何工具操作方法，发展几何图形意识和探究意识。 【情感态度价值观目标】 在解决问题的过程中体验动手操作、合作交流、探究解决的学习过程，激发学生解决问题的积极性和主动性。 教学重难点 【教学重点】 能借助直尺，圆规等工具比较两条线段的长短。 【教学难点】 尺规作图。 课前准备 1、多媒体课件； 2、学生完成相应预习内容。 教学过程 一、引入 1复习：.线段、射线、直线的定义及特征；线段、射线、直线中____可以度量长度，所以只有____才可以比较长短。 2.问题一：A处有一只蚂蚁，想取位于C处的食物。你估计蚂蚁会走怎样的路线？ 问题二：从教室A地到图书馆B，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢? 结论：两点之间的所有连线中，线段最短.简述为：两点之间线段最短。顺利的引出定义：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 设计意图：利用生活中可以感知的的情境，极大激发学习兴趣，使学生感受生活中所蕴含的数学道理。 二、探索 1. 怎样比较两棵树的高矮？怎样比较两根铅笔的长短？怎样比较窗框相邻两边的长？ 教师 第2课时线段的长短比较 ra ?MHa 要点感知1比较两条线段的长短，我们可用刻度尺分别测量出 ____ _______ 作比较. 1-1 若线段AB=3 cm , CD=2 cm,则下列判断正确的是 （） B.AB >CD C.AB< CD D.不能判断 2两点之间的所有连线中， 线段最短.简单说成： ______________ .连接两点的线段的 预习练习 A.AB=CD 要点感知 距离. 预习练习 2-1如图，已知从 A 地到B 地共有五条路，小红应选择第 预习练习 3-1 要点感知 等分点等. 预习练习4-1 来比较大小，或把其中的一条线段移到 ，叫做这两点间的 .条路最近，用数学知识解释是因为 和 ____ 作图的方法叫尺规作图. 如图，已知线段a ,借助圆规和直尺作一条线段使它等于 3a. 线段上一点将线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的 ?类似地，还有线段的三等分点、四 已知点C 是线段AB 的中点，AB=4,则BC= 知识点1线段的长短比较 1. 七年级一班的同学想举行一次拔河比赛，他们想从两条大绳中挑出一条最长的绳子，请你为他们选择一种合适 的 方法（） A. 把两条大绳的一端对齐，然后同一方向上拉直两条大绳，另一端在外面的即为长绳 B. 把两条绳子接在一起 C. 把两条绳子重合，观察另一端情况 D. 没有办法挑选 2. 如图所示，已知线段 AD > BC,则线段AC 与BD 的关系是（） A.AC > BD B.AC=BD C.AC< BD 知识点2线段基本事实及两点间的距离 3. 把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是 A.两点之间，射线最短 C.两点之间，线段最短 4. 若点B 在线段 AC 上, AB=10, A.5 知识点3 5. 已知线段 D.不能确定 （） B. 两点确定一条直线 D.两点之间，直线最短 BC=5,则A , C 两点的距离是（） C. 5或15 D.不能确定 B.15 尺规作图 a , b , c ,借助圆规和直尺作线段 AD ,使AD=a+b-c. a 线段长度的计算 1.线段AD=6cm ，线段AC=BD=4cm ，E 、F 分别是线段AB 、CD 中点，求EF 。 2. 已知线段AB ＝12cm ，直线AB 上有一点C ，且BC ＝6cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长． 3. 在直线l 上取 A ，B 两点，使AB=10厘米，再在l 上取一点C ，使AC=2厘米，M ，N 分别是AB ，AC 中点．求MN 的长度。 4.如图，已知线段AB 和CD 的公共部分BD=31AB=4 1CD,线段AB 、CD 的中点E 、F 之间距离是10cm ，求AB ，CD 的长 5、如图，点C 在线段AB 上，AC = 8厘米，CB = 6厘米，点 M 、N 分别是AC 、BC 的中点。 A B C M N （1）求线段MN 的长； （2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC + CB = a 厘米，其它 条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由。 （3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC BC = b 厘米，M 、 N 分别为AC 、BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出 图形，写出你的结论，并说明理由。 6、如图，已知C 点为线段AB 的中点，D 点为BC 的中点，AB ＝10cm ，求AD 的长度。 7、如图ＡＤ＝12 ＢＤ，Ｅ是ＢＣ的中点，ＢＥ＝２ｃｍ ＡＣ＝１０ｃｍ，求线段ＤＥ的长． 8、已知： B 、C 是线段AD 上两点，且AB ：BC ：CD ＝2：4：3， M 是AD 的中点，CD ＝6㎝，求线段MC 的长。 图9 A D C B E 《比较线段的长短》典型例题 例1 体育课上我们是怎样测定推铅球的成绩的？为什么？ 例2 如图，点A、B、E、C、D在同一直线上，且AC＝B D，点E是BC的中点，那么点E是AD的中点吗？为什么？ 例3 如图，已知线段AB＝80cm，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB ＝14cm，求PA的长. 例4如图，比较下面三角形，三个边的长短，并用“＞”把三个边连起来． 参考答案 例1 解：把皮尺的起点放在投掷区的圆心A 处，然后拉紧皮尺到铅球落地点B ，读出量数，以A 、B 两点的距离与投掷区圆的半径的差来判断成绩. 这是根据线段公理；在所有连结两点的线中，线段是惟一的，而且是最短的，所以两点的距离可以作为统一的度量标准. 说明：两点的距离是数学中的一个重要概念，它是连结两点的线段的长度而不是线段这个图形，线段公理与直线公理一样，是几何学用来作为其出发点的一个基本规定，他是用来推理证实其他图形性质的基础. 例2 分析：根据中点的定义，要说明E 是AD 的中点，只要说明AE ＝ED 即可. 解：点E 是AD 的中点. ∵A 、B 、E 、C 、D 在同一直线上，AC ＝BD （已知）， ∴AC －BC ＝BD －BC （等式性质）， 即AB ＝CD （线段和、差意义）. 又∵点E 是BC 的中点（已知）， ∴BE ＝CE （线段中点的定义）. ∵CE CD BE AB +=+（等式性质） 即ED AE =（线段和、差意义）， ∴点E 是AD 的中点（线段中点的定义）. 例3 分析：从图形可以看出，线段AP 等于线段AM 与MP 的和，也等于线段AB 与PB 的差，所以，欲求线段PA 的长，只要能求出线段AM 与MP 或者求出线段PB 即可. 解：∵ N 是PB 的中点，NB=14， ∴.281422=?==NB PB 又∵,PB AB AP -= 80=AB ， ∴522880=-=AP （cm ） 说明：（l ）在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要步步有根据. （2）要培养一题多解的思维能力，注意选择比较简捷的解题方法. 例4 分析 一种方法是用刻度尺直接度量三角形三条边，就可以比较出三条边的长短；另一种方法是把三条边的一个端点放于射线的端点上，然后在这条射线上做出这三条线段就 线段的大小比较 【学习目标】 情感、态度与价值观：通过交流合作，体验在解决数学问题的过程中与他人合的重要性 过程与方法：利用丰富的活动情境，让学生体验线段的比较方法，并能初步应用知识与技能： 1、使学生掌握比较线段大小的方法——度量法和叠合法； 2、能学生充分理解两条线段大小比较所隐含的意义，能从“量”与“形”上进行转化； 3、线段中点的性质及其简单运算。 【学习重点】线段大小比较的方法 【学习难点】如何引导学生从“数量”的角度，引入到从“形”的角度来分析两条线段的大小比较。 2、什么叫两点间的距离？ 二、接受新知。 1、问题思考： （1）、你们平时是如何比较两个同学的身高的？你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？讨论后派一位代表上来说说你们的想法。（2）、任意的画出两条线段，你又该如何比较这两条线段的长度大小呢？你能想到什么方法？ 2、知识形成： 从上面的引例，我们很容易知道，比较两条线段的长短有两种方法： 第一种方法是：度量法 比较线段的大小，也可以先分别度量出每条线段的长度，然后按长度的大小，比较出线段的大小，线段的大小关系和它们长度的大小关系是一致的． 第二种方法是：叠合法 (1)将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合． (2)线段AB沿着线段CD的方向落下 (3)若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可以记AB=CD．若端点B落在D上，则得到线段AB小于线段CD，可以记作AB＜CD．若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD，可以记作AB＞CD． 3、知识拓展： 在动手做的过程中，要求学生把其中一条线段对折，从而在其内部得到一折痕，从学生的测量中可以知道，这个折痕刚好把这条线段分成长度相等的两部分。（1）定义概括： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 应用：如图，点Ｃ是线段ＡＢ的中点，则有： _________________________ ________________________ _A B C 例1、如图，AD＝AB－_________ ＝AC+_______ 。 例2、如图，下列说法不能判断点C是线段的中点的是（） A、AC＝CB B、AB＝2AC C、AC＋CB＝AB D、CB＝AB 例3、AB=6cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，那么AD 有多长呢？ 分析：根据线段的和、差及中点的定义 七年级数学线段有关的计算题 学习要求： 1、会利用线段的中点，线段的和差倍分来求线段的长度 【基础例题】 知识点：中点定义： 例1．由O 是线段AB 的中点，你能得出哪些关系式？ ∵O 是线段AB 中点（已知） ∴AO= ，或AO=2 1 ，或AB= 2 例2：（1）已知：O 是线段AB 中点，AB=10cm ，求OA 的长度。 （2）已知：O 是线段AB 中点，OA=5cm ，则OB= ，AB= 。 例3：线段AB=8cm,C 是AB 的中点,D 是BC 的中点,求AD 的长度。 例4．已知线段AB=10，C 是线段AB 上的任意一点，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，求线段MN 的长。 例5．已知C 为线段AB 的中点，AB=10，D 是AB 上一点，若CD=2，求线段BD 的长。 反馈练习 1. 已知：O是线段AB中点，OA=3cm，则OB= ，AB= 。 2. 已知：O是线段AB中点，AB=7cm，则OA= 。 3．如图，若CB=4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，AC= 。 4.长为 22 cm 的线段AB 上有一点C，求AC、BC 的中点间的距离。 【拔高例题】 [例1] 填空 如图，把线段AB延长到点C，使BC=2AB，再延长BA到点D，使AD=3AB，则 ①DC=_____AB=_____BC ②DB=_____CD=_____BC [例2] 填空 如图，点M为线段AC的中点，点N为线段BC的中点 ①若AC=2cm，BC=3cm，则MN=_____cm ②若AB=6cm，则MN=_____cm ③若AM=1cm，BC=3cm，则AB=_____cm ④若AB=5cm，MC=1cm，则NB=_____cm M N C A B [例3] 根据下列语句画图并计算 （1）作线段AB，在线段AB的延长线上取点C，使BC=2AB，M是线段BC的中点，若AB=30cm，求线段BM的长 （2）作线段AB，在线段AB的延长线上取点C，使BC=2AB，M是线段AC的中点，若AB=30cm，求线段BM的长 [例4] 如图，已知AB= 40，点C是线段AB的中点，点D为线段CB上的一点，点E为线段DB的中点，初一数学教案 线段的和差
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