第五章
二次曲线的射影理论
本章首先给出射影平面上二次曲线的射影定义，然后在此基础上讨论二次曲线的射影性质及其分类。
§1 二次曲线的射影定义
1.1 二次曲线的射影定义
定义1.1 在射影平面上，若齐次坐标（x 1，x 2，x 3）满足下列三元二次齐次方程
)(03
1
,ji ij j i j i ij
a a x x a
==∑=
其中a ij （i ，j=1，2，3）为实数，并且至少有一个不是零，则这些点的集合称为二阶曲线。
二阶曲线的方程可以写成矩阵形式：
()032133323123222113121132
1
=????
? ??????? ??x x x a a a a a a a a a x x x 其中（a ij ）用A 表示叫系数矩阵，用| A |或| a ij |表示系数行列式。
定理1.1 两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。
证明
在射影平面上建立射影坐标系后，设两个线束的方程为
α+λβ=0， α′+λ′β′=0，
由于它们是射影对应，所以λ，λ′满足：
a λλ′+
b λ+
c λ′+d=0 (a
d －bc≠0).
由以上三个式子消去λ，λ′得
,0)()()(
)(=+'
'
--''d c b a βαβαβαβα 即
0='-'-'+'βαβαββααc b d a .
因为α，β，α′，β′都是 x 1，x 2，x 3的一次齐次式，所以上式是关于x 1，
x 2，x 3的二次齐次方程，它表示一条二阶曲线。而且α=0与β=0的交点和
α′=0与β′=0的交点的坐标都满足这个方程，因此形成此二阶曲线的两个线束中心也在这条二阶曲线上。
定理1.1的逆定理也成立，
定理 1.1 中形成二阶曲线的两个射影对应线束的中心并不具有特殊性，可以证明，二阶曲线上任意两点都可以看作生成这条二阶曲线的射影对应线束的中心。
定理1.2 设有一条二阶曲线，它是由两个成射影对应的线束对应直线的交点构成的，那么以这条二阶曲线上任意两点为中心向曲线上的点投射直线，则可以得到两个成射影对应的两个线束。
证明设二阶曲线是由以O，O′为中心的两射影线束O（P）和O′（P）所生成。在此二阶曲线上任意取定两点A和B，设M为曲线上动点，
我们只须证明出A（M）∧B（M）即可。
如图所示，设AM 与OP，OB交于K，B′，BM与O′P ，O′A 交于点=K′，A′，于是
O（A，B，P，M）∧O′（A，B，P，M）
所以
O（A，B，P，M）∧（A，B′，K，M）
（A′，B，K′，M）∧O′（A，B，P，M）
所以
（A，B′，K，M）∧（A′，B，K′，M）
由于两底的交点M是自对应点，因此
（A，B′，K，M）∧（A′，B，K′，M）
所以两点列对应点连线交于一点，也即AA′，BB′，KK′共点于点S。
S 为一定点，这说明当M 点变动时，OP 上点列（K ）与O ′P 上点列（K ′）成透视对应，对应点连线KK ′通过一个定点S ，所以有
A （M ）∧OP （K ）∧O ′P （K ′）∧
B （M ）
即 A （M ）∧B （M ）
推论1 平面内五个点，若其中任意三个都不共线，则这五个点可确定唯一一条二阶曲线。
推论2 若二阶曲线上任一点向此曲线上四定点连四条直线，则此四直线的的交比是常数。
例1 求两个成射影对应的线束：
x 1+λx 3=0与x 2－μx 3=0（λ+μ=1）
所构成的二阶曲线的方程。
解
因为λ+μ=1，所以μ=1－λ，于是两线束可以写成：
???=--=-0
)1(0
3231x x x x λλ
即
??
?=+-=-0
33231x x x x x λλ 消去λ得
03
3
231=--x x x x x
整理得二阶曲线的方程为
02
33231=-+x x x x x
定义1.2 在射影平面上，成射影对应的线束的对应直线的交点的集合称为二阶曲线。
注意 上述定义包含了退化的情况：如果两个成射影对应的线束是透视的，此时二阶曲线退化成两条直线，一条是透视轴，另一条是两线束中心的连线。
定义1.3 在射影平面上，若齐次线坐标[u 1，u 2，u 3]满足下列三元二次
)(03
1
,'
='='
∑=ji ij j i j i ij a a u u a
的直线的集合叫做二级曲线。
其中a ij′（i，j=1，2，3）为实数且不全为零。
二阶曲线与二级曲线统称为二次曲线。
定理1.1′两个不同底的成射影对应的点列，它们对应点的连线的集合是一条包含两个底在内的二级曲线。
定理1.2 ′设一条二级曲线是由两个不同底的成射影对应（非透视对应）的点列的对应点连线构成的。则二级曲线上任意两条定直线与二级曲线上的直线相交，便可得到以这两个定直线为底的成射影对应的两个点列。
推论1′平面上无三线共点的任意五条直线唯一确定一条二级曲线。
推论2′二级曲线上任意一条直线与曲线上四条定直线相交所得的四个交点的交比值是常数。
例2如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则她们也同时外切于一条二次曲线。
证明三点形ABC和三点形A′B′C′，内接于二次曲线（C），设
AB∩B′C′=D，
AB∩A′C′=E，
AB∩B′C′=D′，
A′B′∩AC=E′，
则
C′（A，B′，A′，B）∧C（A，B′，A′，C）
所以
（A，D，E，B）∧C′（A，B′，A′，B）
∧C（A，B′，A′，C）
∧（E′，A′，B′，D′）
即
（A ，D ，E ，B ）∧（E ′，A ′，B ′，D ′）
由定义可知，这两个点列对应点连线AC ，BC ，C ′A ′，B ′C ′连同两个点列的底AB ，A ′B ′属于同一条二级曲线（C ′），亦即三点形ABC 和三点形A ′B ′C ′的边外切一条二次曲线。
1 .
2 二阶曲线与二级曲线的关系
我们先来讨论二阶曲线与直线的相关位置 设两个点P ，Q 坐标分别为P （p 1，p 2，p 3），Q （q 1，q 2，q 3），则直线PQ 上任意点的坐标（x 1,x 2,x 3）可以写成
x i = p i + λq i (i=1，2，3)
直线PQ 与二阶曲线
)(03
1
,ji ij j i j i ij
a a x x a
==∑=
的交点坐标满足 0
))((3
1
,=++∑=j i j j i i ij
q p p p a
λλ
即
0)(3
1
,31
,3
1
,3
1
,2
=+++∑∑∑∑====j i j i ij j i i j ij j i j i ij j i j
i
ij
p p a q p a q p a q
q a λλ
若点Q 不在二阶曲线上，则上式是关于λ的二次方程，为了书写简便，我们引进下列记号：
???
?
? ??=≡∑=3213213
1
,),,(x x x A x x x x x a S j i j i ij
,,
),,(31
,321321∑=????
?
??=≠j i j i ij pp p p p A p p p p p a S
∑=????
?
??=≡31
,321321),,(j i j i ij qq q q q A q q q q q a S
,
),,(3213213
1
,???
?
? ??=≡∑=q q q A p p p q p a S j i j i ij pq
?????
??=≡∑=32132131
,),,(p p p A q q q p q a S j i j i ij qp
∑=???
?
? ??=≡3
1
,321321,
),,(j i j i ij p x x x A p p p x p a S
???
?
? ??=≡∑=3213213
1
,),,(x x x A q q q x q a S j i j i ij q
由于a ij =a ji ，从而S pq =S qp 。若（p 1，p 2，p 3），(q 1，q 2，q 3)为常数，(x 1，x 2，x 3)是变数，则S 为二次式，S P 与S q 为一次式，S pp ，S qq 与S pq 为常数。
采用以上记号后，关于λ的二次方程可以写成
S qq λ2+2S pq λ+S pp = 0 （*）
当S pq 2－S qq S pp >0时，直线与二阶曲线相交于两个实点，称为二阶曲线的割线；
当S pq 2－S qq S pp <0时，直线与二阶曲线相离；
当S pq 2－S qq S pp =0时，直线PQ 与二阶曲线的两个交点重合，称为二阶曲线的切线。
以下求非退化二阶曲线上一点的切线方程。
（1）设点P （p 1,p 2,p 3）在二阶曲线上S=0上，则S PP =0，从而方程（*）有一个根为0。因为过点P 的切线与二阶曲线有两个重合交点，所以另一个根也必为0，若将Q 的坐标改写为（x 1，x 2，x 3），由（*）式可得P 点处切线方程为：S p =0，即以P （p 1,p 2,p 3）为切点的切线方程为
????
? ??=32132
1
)(x x x A p p p S p
即：
0332211=???? ????+????
????+???? ????x x S x x S x x S P
P P
（2）若点P 不在二阶曲线上，设点Q 为过P 的切线上任意点，则PQ 交二阶曲线于重合点，因此（*）式有两个相等的实根，所以 S pq 2=S qq ·S pp ，若将Q 的坐标改写为（x 1，x 2，x 3），那么以Q 为动点的轨迹的通过P 的切线方程为：
S pp ·S = S p 2
这个方程表示两条切线。当P 点在二阶曲线上时，二者重合为一条直线： S p =0。
例3 求二阶曲线011246322
32
22
1=+--x x x x x 的经过点P （2，0，1）切线方程。
解 将点P 的坐标代入二阶曲线方程，得
S pp =0
所以P 点在二阶曲线上，切线方程为
S p =0
即 024211021110006)102(321=?
???
?
???????????
??--x x x
也即
0481124321=-+x x x
为所求切线方程。
例4 求通过二直线l[1，3，1]和m[1，5，－1]交点且属于二级曲线4u 12+u 22－2u 32=0的直线.
解
通过二直线l[1，3，1]和m[1，5，－1]交点的直线的线坐标为
[1，3，1]+λ[1，5，－1]=[1+λ，3+5λ，1－λ]
若此直线属于二级曲线4u 12+u 22－2u 32=0，则有
4（1+λ）2+（3+5λ）2－2（1－λ）2=0
即
27λ2+42λ+11=0
解得
λ=－1/3，λ=－11/9 所求直线的坐标为
[1，2，2]和[－1，－14，10]
下面讨论二阶曲线和二级曲线的关系。
定理1.3 一条非退化的二阶曲线的切线的集合是一条非退化的二级曲线；反之，一条非退化的二级曲线的切点的集合是一条二阶曲线。
证明 （1）已知非退化二阶曲线：
,3
1
,∑=≡
j i j i ij
x x a
S (a ij = a ji ) | a ij |≠0.
若P （p 1，p 2，p 3）是它的一条切线[u 1，u 2，u 3]的切点，则切线方程为S p =0，于是有
2
3
232221211313212111u p a p a p a u p a p a p a ++=
++ k u p a p a p a =++=
3
3
33232131
其中k 为非零常数，所以有
)1(0
0033332321
3123232221211313212111???
??=-++=-++=-++ku p a p a p a ku p a p a p a ku p a p a p a
又因为P 点在切线[u 1，u 2，u 3]上，所以有
)2(0
332211=++p u p u p u
从（1），（2）消去p 1，p 2，p 3，得
003
2
1
333323122322211131211=u u u u a a a u a a a u a a a
将这个行列式展开得
03
1
,=∑=j i j
i
ij
u
u A
其中A ij 为a ij 在A 中的代数余子式，而且A ij =A ji ,| A ij |=|a ij |2≠0。
当切线[u 1，u 2，u 3]变动时，上式是含有流动坐标u 1，u 2，u 3的方程，它表示一条非退化的二级曲线。我们称它为二阶曲线所对应的二级曲线。
（2）对偶地，非退化二级曲线：)(03
1
,'
='='∑=ji ij j i j i ij a a u u a
所对应的切点方程为
00
3
2
1
333
32312232221
113
12
11
=''''
'
''''x x x x a x a a x a a a x a a a
展开后得
03
1
,='∑=j i j i ij x x A
其中A ij ′为a ij ′在| a ij ′|中的代数余子式，而且A ij ′=A ji ′,| A ij ′|=|a ij ′|2
≠0，这是二级曲线任意一条直线上切点所满足的方程，表示一条非退化的二阶曲线。我们称为二级曲线所对应的二阶曲线。
§2 Pascal 和Brianchon 定理
帕斯卡（Pascal ）定理（1640） 对于任意一个内接于非退化二阶曲线的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上。这条直线称为帕斯卡线。
布利安桑定理（
Brianchon ）（1806） 对于任意一个外切与非退化的二级曲线的简单六线形，它的三对对顶点连线共点。这个点称为布利安桑点。
定义2.1 如果一个n点形（简单或完全的）n个顶点都在一条非退化的二阶曲线上，则叫做二阶曲线的内接n点形（简单或完全的）。
对偶地可以定义二级曲线的外切n点形（简单或完全的）。
帕斯卡定理的证明
证明设简单六点形123456，其三对对边的交点分别为L，M，N，其中L=12 45，M=23 56，N=34 61，设16 45=P，56 34=Q。
以1，3为中心，分别连接其它四点，则有
1（2，4，5，6）∧3（2，4，5，6）
另外还有，1（2，4，5，6）∧（L，4，5，P）
3（2，4，5，6）∧（M，Q，5，6）
所以（L，4，5，P）∧（M，Q，5，6）
由于两射影点列有自对应点5，因此
（L，4，5，P）∧（M，Q，5，6）
所以LM，4Q，P6三线共点，但是4Q，P6交于点N，于是L，M，N三点共线。
帕斯卡定理的逆定理
定理2.1 若简单六点形的三对对边的交点在一条直线上，则此六点形必内接于一条二阶曲线。
证明将帕斯卡定理的证明逆推即可。
布利安桑定理是帕斯卡定理的对偶命题，由以上两个定理的证明可知
布利安桑定理及其逆定理的都成立。
下面我们来考虑帕斯卡定理的特殊情况：
（1）五点形情况：此时将五点形看成是六点形中有一对相邻顶点重合的情形，二相邻顶点的连线变成重合点的切线。此时，帕斯卡定理仍然成立。
定理2.2 内接于一条非退化的二阶曲线的简单五点形，一边与其所对顶点的切线的交点，以及其余两不相邻的边的交点，三点共线。
（2）四点形情况：此时将四点形看成六点形中有两对相邻顶点重合的情形，则有
定理2.3 内接于一条非退化的二阶曲线的简单四点形，两对对边的交点及其对顶点的切线的交点，四点共线。
定理2.4 内接于一条非退化的二阶曲线的简单四点形，一对对边的交点与另一对对边中每一条与其对顶点的切线的交点，三点共线。
（3）三点形情况：此时将三点形看成六点形中有三对相邻顶点重合的情况，则有
定理2.5 内接于一条非退化的二阶曲线的三点形，其每个顶点处的切线与对边的交点，三点共线。
特殊情况
例1 设共面的两个三点形ABC与A′B′C′是透视的，求证六条直线AB′，AC′，BC′，BA′，CA′，CB′属于同一条二级曲线。
证明考虑六线形AB′CA′BC′，其对顶点连线AA′，BB′，CC′三线共点O，根据布利安桑定理的逆定理，此六线形外切于一条二级曲线，亦即直线AB′，B′C，CA′，A′B，BC′，C′A属于同一条二级曲线。
例2 已知二阶曲线上无三点共线的五个点，求作该二阶曲线上的其它点。
解设已知五点为：1，2，3，4，5，设边12与45交于L，过L任作一条直线a，23交a于点M，34交a于N，连接5M与1N交于点6，由定理2.1，知点6在12345所在的二阶曲线上的点，当直线a变动时，就得到这条二阶曲线上的其它点。
§3 极点与极线，配极原则
3.1 极点与极线
定义3.1 给定二阶曲线(c)，如果P ，Q （P 不在（ c ）上）的连线与二阶曲线（c ）交于两点M 1，M 2，且（M 1M 2，PQ ）=－1，则称P ，Q 关于二阶曲线（c ）调和共轭，或称点Q 与P 关于二阶曲线（c ）互为共轭点。
定理3.1 不在二阶曲线上的两个点P （p 1，p 2，p 3），Q （q 1，q 2，q 3）关于二阶曲线,03
1
,=≡
∑=j i j i ij
x x a
S 成共轭点的充要条件是
S pq ≡,03
1,∑==j i j i ij q p a
证明 设直线PQ 与二阶曲线,03
1
,=≡
∑=j i j i ij
x x a
S 的交点为M 1，M 2，
于是M 1，M 2的坐标可以写成：
M 1 ( p i + λ1 q i ) ，M 2 (p i + λ2 q i )，i=1，2，3
因为
（PQ ，M 1M 2）=
2
1
λλ 所以P ，Q 成调和共轭，即
2
1
λλ=－1 也即
021=+λλ
于是在二次方程S qq λ2+2S pq λ+S pp = 0 中由根与系数的关系，得021=+λλ的充要条件为
∑==≡
3
1
,0j i j i ij
pq q p a
S
定理3.2 不在二阶曲线上的一个定点关于一条二阶曲线的调和共轭点的轨迹是一条直线。
证明 设二阶曲线的方程为：,03
1
,=≡
∑=j i j i ij
x x a
S 设定点P （p 1，p 2，p 3）
关于S=0的调和共轭点为Q （x 1，x 2，x 3）,
根据定理3.1，P ，Q 互为调和共轭点的充要条件为：∑==≡
3
1
,0j i j i ij
pq q p a
S
因为Q （x 1，x 2，x 3）为动点，所以有
S p =0，
这是关于x 1，x 2，x 3的一次齐次方程，它表示一条直线。
定义3.2 定点P 关于二阶曲线的共轭点的轨迹是一条直线，这条直线叫做点P 关于此二阶曲线的极线，P 点叫这直线关于此二阶曲线的极点。
规定：若P 为二阶曲线上点，我们约定：点P 的极线为二阶曲线在P 点处的切线。
由以上讨论可知，平面上任意一点P 关于二阶曲线03
1
,=≡∑=j i j i
ij x x a
S 的
极线方程都为：S p =0。
定理3.3 每条直线对于二阶曲线总有确定的极点。 证明 设直线的方程为
l ：0332211=++x u x u x u
若点P （p 1，p 2，p 3）是直线l 关于二阶曲线
)0||,(,03
1
,≠==≡
∑=ij ji ij j i j i ij
a a a x x a
S
的极点，由极线公式有
2
3
232221211313212111u p a p a p a u p a p a p a ++=
++
k u p a p a p a =++=
3
3
33232131
即
???
??=-++=-++=-++0
0033332321
3123232221211313212111ku p a p a p a ku p a p a p a ku p a p a p a 因为|A|≠0，所以方程组有唯一解，即极点P 唯一确定。
例1 求点（1，－1，0）关于二阶曲线
054753323121232
22
1=+++++x x x x x x x x x 的极线。
解
S P = 012/522/552/722/73)011(321=???
?
? ??????? ??-x x x
即 03321=++x x x
例2 设直线l: 063321=+-x x x 关于
06223231212
22
1=-+-+x x x x x x x x 的极点。
解 设P （p 1，p 2，p 3）为所求，则
????
? ??-=????? ??????? ??----613031*********p p p 解得 1,1,3321-=-==p p p ，即P )1,1,3(--。
3.2 配极原则
定理3.4（配极原则） 如果P 点的极线通过Q 点，则Q 点的极线通
过P 点。
证明 设二阶曲线的方程为03
1
,=≡
∑=j i j i
ij x x a
S ， P （p 1，p 2，p 3）
，Q
（q1，q2，q3），于是P点关于0
S的极线
=
S的极线为S p=0，Q点关于0
=
为S q=0,因为P点的极线经过点Q，所以有
S pq=0,
由于S pq=S qp，所以
S qp=0
这表示Q点的极线通过点P。
推论1两点连线的极点是此二点极线的交点；两直线交点的极线是两直线极点的连线。
推论2共线点的极线必共点；共点线的极点必共线。
推论3 设P为二阶曲线外一点，PA，PB为曲线的切线，A，B为切点，则AB为点P的极线。
例3 一个完全四点形的四个顶点若在一条二阶曲线上，则这个完全四点形的对边三点形的顶点是其对边的极点。
证明设XYZ是完全四点形ABCD的对边三点形，于是
（BC，XE）=－1
（AD，XF）=－1
所以，E，F都为X关于二阶曲线的共轭点，从而直线EF即直线YZ 是X的极线。
同理，XY是Z的极线，由配极原则可知，XZ是Y的极线。
定义3.3 如果一个三点形的三个顶点恰好是对边的极点，则此三点形称为自极三点形。
例4已知点P不在二阶曲线（c）上，求作P点关于（c）的极线。
解过P点任作（c）两条割线，与（c）分别交于A，B与C，D，设AC与BD交于点Q，AD与BC交于点R，则直线QR就是P点的极线。
3．3 配极变换
互相配极的图形 自配极图形
定义3.4 射影平面内一点与其关于一条非退化的二阶曲线的极线的一一对应称为配极变换。配极变换是一种异素的对应。
配极变换的表达式为：
0||,,0,3332321313
32322212123132121111≠=≠???
??++=++=++=ij ji ij a a a k p
a p a p a ku p a p a p a ku p a p a p a ku 其中（p 1，p 2，p 3）与[u 1，u 2，u 3]是极点与对应直线的坐标，由于|a ij |≠0，
所以这是非奇线性对应，共线四点的交比等于它们对应四条极线（共点的四直线）的交比。
配极变换是一般的点线变换的特殊情况，一般的点线变换形如：
0||)3,2,1(3
1
≠==∑=ij j
j ij i a i x a u ρ
的变换，它与配极变换的差别在于不要求a ij =a ji .
§4 二阶曲线的射影分类
4.1 二阶曲线的奇异点
定义4.1 设二阶曲线Γ的方程为：
ji ij j i j i ij
a a x x a
S ==≡
∑=,03
1
,，
则满足方程组
???
??=++=++=++0
003332321
31323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的点P （x 1，x 2，x 3）称为S=0的奇异点。
根据奇异点的定义，我们不难得出如下结论：
（1） 非退化的二阶曲线，其系数行列式0||≠ij a ，因此上述方程组无非
零解，所以，二阶曲线是非退化的充要条件是它上面没有奇异点。
（2） 一个点是奇异点的充要条件是它没有对应的极线。 （3） 退化的二阶曲线可能有唯一的奇异点，也可能有无穷多奇异点，
它们在一条直线上。
当系数阵A 的秩为2时，方程组有无穷多组解（成比例），此时有唯一奇异点。
当系数阵A 的秩为1时，方程组有无穷多组解，这些解满足一个一次方程，这些奇异点都在一条直线上。 （4） 凡奇异点一定在退化的二阶曲线上。 4.2 二阶曲线的射影分类
设在射影坐标系{A 1，A 2，A 3；E}下二阶曲线的方程为
ji ij j i j i ij
a a x x a
S ==≡
∑=,03
1
,
以下分三种情况讨论：
（1） | a ij |≠0，即系数阵的秩为3，此时二阶曲线是非退化的，曲线上没有奇异点。
选取自极三点形A 1′A 2′A 3′作为坐标三点形，另外选取不在坐标三点形三边上的任一点E ′为单位点，建立新的坐标系。
作一个射影坐标变换，将原来坐标三点形A 1，A 2，A 3和单位点E 变为三点形A 1′A 2′A 3′和单位点E ′，因为坐标变换是非奇的线性变换，
所以二阶曲线的方程可以化为：
'='='''∑=ji ij j i j i ij a a x x a ,03
1
,
因为两点P （p i ），Q(q i )关于二阶曲线共轭的条件是
03
1
,='∑=j
i
j i ij
q
p a
由于三点形A 1′A 2′A 3′是自极三点形，所以三个顶点两两互为共
轭点，于是有
因为A 1′（1，0，0），A 2′（0，1，0）为共轭点，则
有02112='='a a ，同理可以得到,
0,032231331='='='='a a a a 在新的坐标系下，方程变为
02
33322222111=''+''+''x a x a x a
另作变换
)3,2,1(,||='
'="i x a x i ii
i ρ 此变换只改变单位点的位置，不改变坐标三点形，通过这个变换方程化为
02
3
2
2
2
1
="±"±"±x x x
由于"
""321,,x x x 的地位相同，所以方程只有下列两种情况：
02
3
2
2
2
1
="+"+"x x x （1）
或
02
3
2
2
2
1="-"+"x x x （2）
方程（1）表示虚长圆曲线，（2）表示实长圆曲线。
（2）| a ij |=0，且系数阵的秩为2，此时二阶曲线是退化的，而且只有一个奇异点。
取奇异点作为新坐标三点形的顶点A 3′（0，0，1），取不在曲线上的任意点作为新坐标三点形的第二个顶点A 2′（0，1，0），则A 2′的极线必通过A 3′，另在A 2′的极线上任取不在曲线上的一点作为三点形的第三个顶点A 1′（1，0，0），
以A 1′A 2′A 3′为新的坐标三点形，取定单位点E ′，于是，在新坐标系下二阶曲线的方程化成：
'='='''∑=ji ij j i j i ij a a x x a ,03
1
,
且（a ij ′）的秩为2。
因为A 3′（0，0，1）是奇异点，所以它的坐标满足方程
???
??=++=++=++0
003332321
31323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 故有
0332313='
='='a a a
又由于A 1′（1，0，0）与A 2′（0，1，0）是共轭点，所以
,
02112='='a a
于是曲线方程化为
02
2222111=''+''x a x a
因为系数阵的秩为2，所以02211≠'
?'a a
另作坐标变换
)2,1(,||='
="i x a x i ii i ρ
则曲线方程变换成
02
2
2
1
="±"±x x
上述方程包含两种情况：
02221="+"x x （3） 和 02
2
2
1
="-"x x （4）
它们分别表示两条虚直线和两条实直线。
（3）| a ij | = 0，且（a ij ）的秩为1，此时二阶曲线是退化的，而且奇异点的集合是一条直线。
取这条直线作为新坐标三点形的一边x 1′=0，并在其上选取两点为A 2′（0，1，0）和A 3′（0，0，1），另在直线外任取一点为A 1′（1，0，0），取定单位点E ′（1，1，1），建立新坐标系，于是曲线方程化为：
'='='''∑=ji ij j i j i ij a a x x a ,03
1
,
且（a ij ′）的秩为1。
因为直线x 1′=0上的点都是奇异点，所以
03323221312='='='='='a a a a a
于是曲线方程化成
南京师范大学 毕业设计（论文） （2009 届） 题目：漫谈射影几何的几种子几何及其关系 学院：数学科学学院 专业：数学与应用数学 姓名：刘峰 学号：0 6 0 5 0 2 1 0 指导教师：杨明升 南京师范大学教务处制
漫谈射影几何的几种子几何及其关系 刘峰 数学与应用数学（师范）06050210 一．摘要 射影几何学是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质. 射影几何集中表现了投影和截影的思想,论述了同一射影下，一个物体的不同截景所形成的几何图形的共同性质，以及同一物体在不同射影下的几何图形的共同性质，一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊地位，通过它可以把其他一些几何联系起来. 概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学. 这门”诞生于艺术的科学”,今天成了最美的数学分支之一. 二．关键词 射影几何，摄影仿射几何，摄影欧氏几何，仿射几何，欧氏几何，射影变换，仿射变换，正交变换，射影变换群，仿射变换群，正交变换群，克莱因变换群. 三．射影几何（projective geometry）的发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前. 这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件. 这门几何学就是射影几何学. 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影. 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形. 那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来. 在这个过程中，被描绘下来
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常数，且此常数 一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段F F ，当常数小 于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数，且此常数 一定要小于|F F |，定义中的“绝对值”与 ＜|F F |不可忽视。若 ＝|F F |， 则轨迹是以F ，F 为端点的两条射线，若﹥|F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对 值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如： ①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ． B ． C ． D ． （答：C ）； ②方程 表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点及抛物线上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 一、求焦点弦长 例1 过抛物线x 4y 2=的焦点F 作直线交抛物线于A （11y x ，）、B （22y x ，），若6x x 21=+，求|AB|的长。 解：设AB 的中点为E ，点A 、E 、B 在抛物线准线l ：1x -=上的射影分别为G 、H 、M 。由第二定义知： 8)1(2 x x 2 |EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |2 1=--+==+=+=。
二、求离心率 例2 设椭圆22 22b y a x +=1（a>b>0）的右焦点为1F ，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的 长度等于F 1到准线l 1的距离，求椭圆的离心率。 三、求点的坐标 例3 双曲线13 y x 2 2 =-的右支上一点P ，到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2：1，求点P 的坐标。 解：设点P （00y x ，）（0x 0>），双曲线的左准线为l 1：21x -=，右准线为l 2：2 1 x =，则点P 到l 1、l 2的距离分别为2 1x d 21 x d 0201- =+=，。 所以，122 1x 21 x d d PF PF 002121=- + ==，解得23x 0 =。 将其代入原方程，得215y 0±=。因此，点P 的坐标为??? ? ??±21523，。 四、求焦半径 （圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 ，其中 表示P 到与F 所对应的准线的距离。比如：
射影几何的诞生与发展 一从透视学到射影几何 1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题： （1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？ （2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？ 2．由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。 3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。 4．对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。 5．数学家帕斯卡（1623-1662）16岁就开始研究投射与取景法，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，1779年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线 6．画家拉伊尔（1640-1718）在《圆锥曲线》（1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。 7．德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点： 1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状 2）变换与变换不变性 3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量 二射影几何的繁荣 1．在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到
圆锥曲线中的定点定值问题的四种经典模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：2 2 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2 :()7 l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节） 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆迁移训练 练习1：过抛物线M:px y 22 =上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线） 练习2：过抛物线M:x y 42=的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。（经典例题，多种解法）
第五章 二次曲线的一般理论 主要问题：（1）几何性质 （2）化简 （3）分类 5.1 二次曲线与直线的相关位置（x y y x y xy x 240256102222==+--+-与） 一、预备知识 1、在平面上由)1(0222),(33231322212211=+++++=a y a x a y a xy a x a y x F 所表示的曲线，叫做二次曲线（系数都为常数） 2、关于虚点???+==b kx y y x F 0),( ??? ????+-=+-+=+)222,222(2)222,222(12 2i i y x i i y x 平面上建立笛卡尔坐标系后，一对有序常数),(y x 表示平面上一个点，如果y x ,中至少有一个是虚数，我们仍认为),(y x 表示平面上一个点。 （一对共轭虚点的中点是实点） 3、记号 33231322212211222),(a y a x a y a xy a x a y x F +++++= '131211121),(x F a y a x a y x F =++= '232212221 ),(y F a y a x a y x F =++= 3323133),(a y a x a y x F ++= 222122112),(y a xy a x a y x ++=φ 容易验证：),(),(),(),(321y x F y x yF y x xF y x F ++= ??? ? ? ??=3323 13 232212 131211a a a a a a a a a A 二次曲线)(I 的矩阵 ??? ? ??=*22121211 a a a a A ),(y x φ的矩阵 A I a a a a I a a I == +=322 12 1211222111,, 33 2323 22 33131311 1a a a a a a a a k +=
圆锥曲线的第三定义及运用 一、 椭圆和双曲线的第三定义 1. 椭圆 在椭圆()22 22C 10x y a b a b +=f f ：中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A 、B 的一点， 若PA PB k k 、存在，则有：2 2 2=1=PA PB b k k e a ?-- 证明：构造△PAB 的PA 边所对的中位线MO ，PA MO k k =，由点差法结论：2 2 2 =1=MO PB b k k e a ?--知此结论成立。 2. 双曲线 在双曲线22 22C 1x y a b -=：中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A 、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：2 2 2 =1=PA PB b k k e a ?- 证明：只需将椭圆中的2b 全部换成2 b -就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。
二、 与角度有关的问题 例题一：已知椭圆()2222C 10x y a b a b +=f f ：的离心率2e =，A 、B 是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲 线 22178 x y -=的一个交点，令PAB=APB=αβ∠∠，，则()cos =cos 2β αβ+. 解答： 令=PBx γ∠，由椭圆第三定义可知：21 tan tan =1=4 e αγ?-- ()()()cos cos cos cos sin sin 1tan tan 3=== cos 2cos cos cos sin sin 1tan tan 5 γαβ γαγααγαβγαγαγααγ-++?=+++-? 点评： 其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。
圆锥曲线与射影几何 射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理与结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。 例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线12 2=-y x 的左支上，A D ≠,直线 CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直 线2 1= x 上。 如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。 我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。我们先不考虑题目中的数据与特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成： 有一点 A 在一条双曲线内部，过A 引两条直线与双曲线分别交于 B , C , D , E 。连 BD ，CE 交于点P ，且P 点在四边形BCDE 外部。 又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。如图1 连 BE ，CD 交于点Q ，连PQ ，先证明：直线PQ 是A 点的极线。 D
证明： 对 C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得： DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于'DB 的交点P 三点共线, 同理P ，Q ，N 三点共线 所以 P ，Q ，M ，N 四点共线。 又因为 BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN 是BC 与DE 的交点A 的极线，即 PQ 是A 的极线。 回到原图，由极线的定义与性质得 PQ OA ，且FAGH 为调与点列。
回顾复习五：圆锥曲线及其几何性质 ☆考点梳理 1．圆锥曲线的轨迹定义与统一定义． 2．圆锥曲线的标准方程及其推导． 3．圆锥曲线的几何性质：范围、对称性、焦点、离心率、准线、渐近线．☆基础演练 1．如图，椭圆中心为O，A、B为左右顶点，F为左焦点， 左准线l交x轴于C，点P、Q在椭圆上，PD⊥l于D， QF⊥OA于F．给出下列比值： 其中为离心率的有_________________． 2．若 12 ,F F为椭圆 22 1 25 x y m +=的焦点，且 12 8 F F=，则m的 值为． 3．过抛物线的焦点F作直线交其于A、B两点，A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、 B1，则 11 A FB ∠=____________． 4．经过两点() 143 ,, ?? - ? ? ?? 的圆锥曲线的标准方程是________________． 5．过双曲线 22 22 1 x y a b -=的右焦点F作一条渐近线的垂线分别交于A、B两点，O为坐标 原点，若OA、AB、OB成等差数列，且BF,FA u u u r u u u r 同向，则离心率e=_________． 6．椭圆 22 1 2516 x y +=的两个焦点为F1、F2，弦AB过F1，若 2 ABF ?的内切圆周长为π， ()() 1122 A x,y, B x,y，则 12 y y -=____________． ☆典型例题 1．椭圆的定义 例1．如图，已知E,F为平面上的两个定点，G为动点， 610 EF,FG, ==点P为线段EG的中垂线与GF的交点． ⑴建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程； ⑵若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB 的中垂线与EF（或EF的延长线）相交于一点C，线段EF 的中点为O，证明： 9 5 OC<． 2．中点弦问题 例3．直线l交椭圆 22 1 2016 x y +=于M,N两点，点() 04 B,，若⊿BMN的重心恰为椭圆 右焦点，则直线l的方程是_________________． 3．椭圆的几何性质 例2．已知 1 F、 2 F分别是椭圆() 22 22 10 x y a b a b +=>>的左右焦点，右准线l，离心率e． ⑴若P为椭圆上的一点，且 12 F PF ∠=θ，则 12 PF F S ? =_____________． ⑵若椭圆上存在一点P，使得 12 PF PF ⊥，则e的范围是_____________． ⑶若椭圆上存在一点P，使得 12 PF ePF =，则e的范围是_____________． ⑷若在l上存在一点P，使得线段 1 PF的中垂线经过 2 F，则e的范围是___________． ⑸若P为椭圆上的一点，线段 2 PF与圆222 x y b +=相切于中点Q，则e=________． ⑹过F且斜率为k的直线交椭圆于A、B两点，且3 AF FB = u u u r u u u r ,若 2 e=，则k=___． 4．最值问题 例4．已知动点P在椭圆 22 1 1612 x y +=上，(,(2,0) A B． ⑴若2 PA PB +取最小值，则点P的坐标为____________； ⑵若动点M满足||1 BM= u u u u r ，且0 PM BM= u u u u r u u u u r g，则| |的最小值是； ⑶PA PB +的取值范围是________________________． 例5．椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 3 两条准线间的距离为6．椭 圆W的左焦点为F，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W 交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C． ⑴求椭圆W的方程；⑵求证：CF FB λ = u u u r u u u r ；⑶求MBC ?面积S的最大值． ☆方法提炼 1．椭圆的标准方程有两种形式，有时需要就焦点位置进行讨论． 2．椭圆有两种定义方式，解题时要学会“回到定义去”． 3．椭圆有两个焦点、两条准线，解题时建议联系起来考虑． 4．解解析几何问题，“画个图”是个好建议；中点弦问题利用“点差法”可简化运算． 5．在处理直线与椭圆相结合的问题时，要学会利用韦达定理整体处理． P H E F G 第 1 页
圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用 北京一零一中学数学组 何效员 圆锥曲线的第二定义：平面上到定点与到定直线的距离的比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，是圆锥曲线在极坐标系下 具有统一形式的基本保证。利用圆锥曲线的第二定义，在某些情形下，可以更方便的求解一些题目。 但当我们利用第二定义时，有时候会忽略一个条件，即平面上的这个定点不能在定直线上，否则得到的曲线不是圆锥曲线。如：考虑坐标平面上，到定点(1,1)与到定直线1x =的距离之比为常数e 的点的轨迹讨论如下： ① 当1e =时，点的轨迹方程为1,(1)y x =≠， 直线去掉一点； ② 当1e >时，点的轨迹方程为211(1),y e x -=±-- (1)x ≠，两条直线去掉一点； ③ 当1e <时，点的轨迹不存在。 下面我们就一些具体的题目来体会第二定义的妙用。 例1 已知椭圆22 143 x y +=内一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上有一点M 使 ||2||MP MF +的值最小，求点M 的坐标。 分析：若按常规思路，设点(,)M x y ，右焦点(1,0)F ， 则2222 ||2||(1)(1)2(1)MP MF x y x y +=-+++-+， 求其最小值无疑是困难，观察2||MF ，设M 点到右准线的距离d ， ||1 2 MF c e d a ===，2||MF d ∴=，这样 ||2||MP MF +就转化为在椭圆上寻找一点到(1,1)P -的距离与到直线2 4a x c == M P F M x = 4 O y x
的距离和最小，当且仅当MP ⊥直线4x =时，点M 在点P 和直线4x =之间时取得，此时M 的坐标为26 ( ,1)3 -. 例2 已知椭圆方程为22 221(0)y x a b a b +=>>，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得 它们的交点为顶点的四边形的面积最大，并求出相应的四边形的顶点坐标。 分析：本体若通过椭圆与双曲线方程联立求解交点坐标， 继而讨论四边形面积的表达式，求出使面积最大时 的双曲线方程，计算会十分麻烦，考虑到椭圆和双 曲线有共同的焦点，不妨利用第二定义求解。 设所求双曲线方程为 22 2 21(,0)y x m n m n -=>，其中 22222c a b m n =-=+，设两曲线在第一象限内的交点111(,)P x y ，12,l l 分别为椭圆，双曲线的上准线，过1P 作11PQ l ⊥于Q ，1 2PR l ⊥于R ， 22 1211111||||||||||c a c m PF e PQ e PR y y a c m c === -=-， 2211()()a m m y a y c c ∴-=-，解得 1am y c =，代入椭圆方程22221y x a b +=，得 1bn x c = ，利用双曲线与椭圆的对称性知 22 1122 4422abmn m n S x y ab ab c c +==≤?=，等号当且仅当22m n c ==时取得，故所求双曲线方程为22 2 2 2 a b y x --=，相应的四个顶点坐标为22(,)b a ±±. 例3 已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c ，过点
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。 德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计 划书》中提出用变换群对几何学进行分类 在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。 由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。 射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。 在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
第五章二次曲线的一般理论 § 5.1 二次曲线与直线的相关位置 1. 求直线x-y-1=0与二次曲线2x2 xy y2 x 2y 1 0的交点. 解：将y=x-1代入曲线方程,得 2 2 2x x x 1 x 1 x 2 x 1 1 0, 即0 0 故直线在二次曲线上? 2. 试决定k的值,使得 (1) 直线x y 5 0与二次曲线x23x y k 0交于两不同实点； ⑵直线x 1 kt 与二次曲线x23y24xy y 0交于一点； y k t ⑶直线x ky 1 0与二次曲线y22xy (k 1)y 1 0交于两个相互重合的实点 x 1 t ⑷已知直线与二次曲线2x2 4xy ky2 x 2y 0有两个共轭虚点，求k y 1 t 的值 解：(1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得 2 x 2x k 5 0 2 Q 2 4 k 5 0 4k 16 0 k 4时，直线与二次曲线有两个不同的实交点? 1 2 0 (2).二次曲线的矩阵为 2 3 1/2 0 1/2 0 且v X，丫k,1 ?, X o, y o 1,k
k 1,3时,原直线与二次曲线交于一个实点 k 49 时，直线与二次曲线有两个共轭虚交点。 24 § 5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向，并指出曲线是属于何种类型的. 1 x 2 2xy y 2 3x y 0; 2 2 2 3x 4xy 2y 6x 2y 5 0; 3 2xy 4x 2y 3 0. 1 1 解:(1) Q X,Y X 2 2XY Y 2 0时，X : Y 1:1，同时 I ? 0, 1 1 曲线有一个实渐进方向，是抛物型的 k,1 k 2 4k 3 0,则 k 1 1,k 2 3, 1)当 k . 1 时,F , X o y o X F 2 X o ，y o Y 0, 2).当 k 2 3 时 ，F 1 X 0 , y 0 X F 2 X 0 , y 0 Y 15 13 0, 2 (3). 二次曲线的矩阵为 (1 1 1 (1 k)/2 0 k)/2 1 解之, v X,Y k,1 , X o ,y o 1 0,即― 4 k 1 1,k 2 5, 2k 0,即 k 2 6k 5 0, 1)当 1时, X,Y k,1 2k 0, 2)当 5时, 1,5 时, X,Y 直线与二次曲线有二重合实交点. k,1 2k 0, (4).二次曲线的系数矩阵为 2 2 1/2 1/ 2 1 0 1:( 1) 取(X 0,y 0)(“)，令V 0,即[ 2 (1 k)( 1)]2 (k 2)(3 k) 0 解得k 24，且此时(1 , 1) 2 4( 1) k
浅析射影几何及其应用 湖北省黄冈中学 一、概述 射影几何是欧几里得几何学的一个重要分支，研究的是在射影变换中图形所具有的性质。在高等数学中，射影几何的定义是根据克莱因的变换群理论与奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（1970-1868）的齐次坐标理论，这一部分已经涉及了群论和解析几何，但是这两位数学家对于射影几何的发展作出的巨大贡献是令人钦佩的。在本次综合性学习中小组成员对于射影几何的纯几何内容进行了探究，对以下专题进行了研究： 1、射影几何的基本概念及交比不变性 2、笛沙格定理（早期射影几何中最重要的定理之一） 3、对偶原理 4、二次曲线在射影几何上的应用 5、布列安桑定理和帕斯卡定理 6、二次曲线蝴蝶定理
二、研究过程 1、射影几何的基本概念及交比不变性 射影几何虽然不属于高考内容，射影几何与较为容易的中学几何具有更加抽象、难以理解的特点，但是射影几何所研究的图形的性质是极具有吸引力的，可以说是中学几何的一个延伸。 射影几何所研究的对象是图形的位置关系，和在射影变换下图形的性质。射影，顾名思义，就是在光源（可以是平行光源或者是点光源），图形保持的性质。在生活中，路灯下人的影子会被拉长，矩形和圆在光源照射下会出现平行四边形和椭圆的影子，图形的形状和大小发生了变化。然而，在这种变换中图形之间的有些位置关系没有变，比如，相切的椭圆和直线在变换之后仍相切。此外，射影几何最重要的概念之一——交比也不会发生改变。 在中学的几何中，我们认为两条平行的直线是不相交的。但是在射影几何中，我们可以规定一簇平行直线相交于平面上一个无穷远点，而通过这个点的所有直线是一簇有确定方向的平行直线。一条直线有且只有一个无穷远点，平面上方向不同的直线经过不同的无穷远点。所有这样的无穷远点构成了一条无穷远直线，同样在三维空间中可类似地定义出无穷远平面，这样就扩充了两个公理： 1、过两点有且只有一条直线 2、两条直线有且只有一个交点 这两条公理对普通点（即非无穷远点）和无穷远点均成立。这两条公
第八章 二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题. §8.1 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 0ax bxy cy dx ey f +++++= (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy 项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去 xy 项,通常的坐标变换公式为: cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=-??''=+? (1.2) 从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到. 为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1 设f 是数域P 上的n 元二次齐次多项式: 212111121211222223232222 1,111,1(,, ,)22222n n n n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x -----=++ ++++++ +++ (1.3) 称为数域P 上的n 元二次型,简称二次型. 如果数域P 为实数域R ,则称f 为实二次型; 如果数域P 为复数域C ,则称f 为复二次型; 如果二次型中只含有平方项,即 222121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 称为标准形式的二次型,简称为标准形. 说明: 在这个定义中,非平方项系数用2ij a 主要是为了以后矩阵表示的方便. 例8.1.2 下列多项式都是二次型: 22 2 2 2 (,)33(,,)22343f x y x xy y f x y z x xy xz y yz z =++=+-++- 下列多项式都不是二次型:
圆锥曲线第三定义 令狐采学 在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 中，A ，B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则 2 2 a b k k PB PA -=?。（反之亦成立） 在双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 中，A ，B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则 22 a b k k PB PA =?。（反之亦成立） ★焦点在Y 轴上时，椭圆满足2 2 b a k k PB PA -=?，双曲线满足 22b a k k PB PA =? 例、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的长轴长为 4，若点P 是椭圆上 任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交与M 、N 两点，记直线PM 、PN 的斜率分别为k1、k2。若k1?k2=4 1 -，则椭圆的方程为。 变式：
1、设点 A ， B 的坐标为（-2，0），（2，0），点P 是曲线 C 上任 意一点，且直线PA 与PB 的斜率之积为4 1 -，则曲线C 的方程为。 2、设点 P 是曲线C 上任意一点，坐标原点是O ，曲线C 与X 轴 相交于两点M （-2，0）， N （2，0），直线PM ，PN 的斜率之积为4 3 -，则OP 的最小值是。 3、已知ABC ?的两个顶点坐标分别是（-8，0），（8，0），且AC ，BC 所在直线斜率之积为m （0≠m ），求顶点C 的轨迹。 4、P 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点，M ，N 分别是双曲线的 左右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为5 1 ，则双曲线离心率为。 5、已知椭圆12 322=+y x 的左右顶点分别是A 、B ，M 是椭圆上异于 A 、 B 的动点，求证：MB MA k k ?为定值。 6、平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线．求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系； 第三定义的应用 例、椭圆14 22 =+y x 的左右顶点分别是 A ， B ，点S 是椭圆上位于 X 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线3 10 := x l 分别交于点M 、N ，
二次曲线的理论及其应用开题报告 开题报告 二次曲线的理论及其应用 一、选题的背景、意义 解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求.文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展,思想普遍活跃的时代.机械的广泛使用,促使人们对机械性能进行研究,这需要运动学知识和相应的数学理论;建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题,这些问题的合理解决需要正确的数学计算;航海事业的发展向天文学,实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法,望远镜与显微镜的发明,提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题.在数学上就需要研究求曲线的切线问题.所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决,于是,人们就试图创设变量数学.作为代数与几何相结合的产物――解析几何,也就在这种背景下问世了。 1637年,法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》,这本书的后面有三篇附录,一篇叫《折光学》,一篇叫《流星学》,一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学,就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。笛卡尔的《几何学》共分三卷,第一卷讨论尺规作图;第二卷是曲线的性质;第三卷是立体和“超立体”的作图,但他实际是代数问题,探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的
起点。从笛卡尔的《几何学》中可以看出,笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学,把算术、代数、几何统一起来。他设想,把任何数学问题化为一个代数问题,在把任何代数问题归结到去解一个方程式。为了实现上述的设想,笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发,指出平面上的点和实数对的对应关系。的不同数值可以确定平面上许多不同的点,这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。 解析几何的核心思想是通过坐标把几何问题表示成代数形式,然后通过代数方程来表示和研究曲线.要做到这一点,得有数学自身的条件:一是几何学已出现解决问题的乏力状态;二是代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度。 解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前,就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系;也有人在研究天文、地理的时候,提出了一点位置可由两个“坐标”(经度和纬度)来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。在数学史上,一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一,应该分享这门学科创建的荣誉。费尔马是一个业余从事数学研究的学者,对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和,好静成癖,对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道,他早在笛卡尔发表《几何学》以前,就已写了关于解析几何的小文,就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年,费尔马死后,他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。笛卡尔的《几何学》,作为一本解析几何的书来看,是不完整的,但重要的是引入了新的思想,为开辟数学新园地做出了贡献。恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了
221340;x kt x y xy y y k t =+?+--=? =+?与二次曲线交于一点{}{}()() 00,,1,,1,v X Y k x y k ===第五章 二次曲线的一般理论 §5.1 二次曲线与直线的相关位置 1.求直线x-y-1=0与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解: 将y=x-1代入曲线方程,得 ()()()2 22112110,00 x x x x x x --------==即 故直线在二次曲线上. 2.试决定k 的值,使得 (1) 直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -++=交于两不同实点; (2) 直线 (3) 直线10x ky --=与二次曲线22(1)10y xy k y ----=交于两个相互重合的实点; (4) 已知直线11x t y t =+??=-? 与二次曲线222420x xy ky x y ++--=有两个共轭虚点，求k 的值 解: (1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得 () ()22 250 2450 4160 4,x x k k k k -++>--+>-->∴<-时直线与二次曲线有两个不同的实交点. (2). 二次曲线的矩阵为1 2 231/201/20 ---- 且 .
()()1,,1120,k X Y k k φφ===-≠时，()()5,,,1120, k X Y k k φφ===-≠时1,5k ∴=当()()()2 210,11210,650,4 k k k k ?=+---=-+=即 即{}{}()()00,,1,,1,0, v X Y k x y ==121,5, k k ==()2 2 21 1 ,2011 01 1 X Y X XY Y X Y I φ=++==-==时，：：，同时， ()()()()()21211002002100200430,1,3, 11).1,,10,213 2).3,,,150, 2 1,3,k k k k k F x y X F x y Y k F x y X F x y Y k φ=-+====+=-+ ≠=+=-+≠∴=k,1则当时当时时原直线与二次曲线交于一个实点. (3). 二次曲线的矩阵为1 1 1 1(1)/20(1)/21 k k ----- 且 令 解之，得 1） 当 2） 当 时，直线与二次曲线有二重合实交点. (4). 二次曲线的系数矩阵为 2 21/2 211/21 k ----且:1:(1)X Y =- 取00(,)(1,1),0,x y =<令即27 [(1)(1)](2)(3)02 k k k ++---+< 解得 49 24 k > ，且此时1(1,1)24(1)2024k k Φ-=+-+=->≠， 49 24 k ∴> 时, 直线与二次曲线有两个共轭虚交点。 §5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向,并指出曲线是属于何种类型的. ()()()22221230; 23426250;324230.x xy y x y x xy y x y xy x y ++++=++--+=--+= 解:(1) ∴曲线有一个实渐进方向，是抛物型的.
跃龙教育 个性化辅导教案讲义任教科目：数学 授课题目：上学期总复习 年级：高二 任课教师：时侠圣 授课对象：武文娟 合肥跃龙个性化教育 香樟雅苑校区 教学主任签名： 日期： 2015-01-23
跃龙教育个性化辅导授课案 教师:时侠圣学生:武文娟日期: 2015-01-23星期: 周五时段:07:00-09:00
4．两个平面平行的性质有五条： （1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：. // , //β α β αa a? ? （2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：. // , , //b a b a? = ? = ?γ β γ α β α （3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：. , //β α β α⊥ ? ⊥a a （4）夹在两个平行平面间的平行线段相等. （5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行. （Ⅲ）、线线平行、线面平行、面面平行间的相互转换 例1：已知正四棱锥ABCD P-的底面边长及侧棱长均为13，N M,分别是BD PA,上的点，且 8 5 : :： = =ND BN MA PM. (1)证：直线MN∥平面PBC；（2）求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值。 例2：如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E在棱PC上．问 点E在何处时，// PA EBD 平面，并加以证明. P N M E D C B A E P D C B A