第6章非高斯有色噪声中的谐波恢复问题（Ⅰ）
本章研究具有非对称分布的非高斯ARMA有色噪声中的谐波恢复问题。通过分析谐波信号和非高斯有色噪的三阶累积量特性，提出了基于二阶、三阶累积量的混合SVD-TLS方法(Second-and Third-order Cumulant-based Hybrid SVD-TLS，我们称作STCH-SVD-TIS)以及混合ESPRIT方法(STCH-ESPRIT)。即先由有噪观测过程的三阶累积量估计噪声模型AR部分参数，然后由AR多项式对有噪观测值进行预滤波，最后利用滤波输出过程的自相关函数并结合高分辨率谱估计方法(如SVD-TLS，ESPRIT)来估计谐波参数。本章还通过标准的仿真实验验证了这两种方法的有效性和高分辨率。
6.1 概述
我们知道，在现有的有色噪声中的谐波恢复方法中，主要有系统辨识方法（包括最大似然(ML)法、广义最小二乘(GLS)法和迭代逆滤波(ITIF)法、噪声模型假设(如MA噪声模型假设法和AR噪声模型假设法)以及四阶累积量法。综合考查上述各类方法，系统辨识方法和噪声模型假设法必须预知噪声的模型结构，然而至今不存在着任何可用于建立噪声模型的有效方法；同时，背景噪声必须为高斯噪声(MA噪声模型假设法和AR噪声模型假设法除外），因为只有在高斯假设下，上述方法的估计结果才能得到最小二乘估计。四阶累积量方法尽管不需要假定噪声模型，但它仅适用于高斯背景噪声情形，当然这也是该类方法的最大优点。由此可以得出这样一个结论：现有的有色噪声中的谐波恢复方法绝大多数都是在噪声的高斯假设下进行研究的。尽管MA噪声模型假设法也可用于非高斯噪声情形，但由于MA模型用于具有尖锐谱峰的噪声模型描述时，往往需要很高的阶次，况且模型的阶次无法确定。因此有必要研究一般非高斯ARMA有色噪声中的谐波恢复方法。
在实际应用中，有色的非高斯噪声环境在声纳系统和信号检测中常常遇到，而具有非对称分布的非高斯噪声是一种很常见的情形，如指数分布、威布尔分布等，因此，研究具有非对称分布的非高斯噪声中的谐波恢复方法具有广泛的应用前景。
本章首先分析了谐波信号和非高斯有色噪声的三阶累积量特性，由于谐波信号的三阶累积量恒等于零，而具有非对称分布的非高斯ARMA有色噪声的三阶累积量不等于零。因此，利用有噪观测值的三阶累积量可以建立非高斯ARMA噪声的模型参数。由于有噪观测值经噪声模型的AR多项式滤波后得到的滤波输出过程的自相关函数和谐波信号预测模型的AR参数正好满足一组特殊的修正Yule-Walker(MYW)方程，因此，基于自相关的高分辨率方法都可以用来确定模型的参数。基于这一点，本章提出了STCH-SVD-TLS方法和STCH-ESPRIT方法，前者通过求解线性方程组的解来实现，后者通过求解矩阵对的广义特征值来实现。
6.2 模型假设
设零均值有噪观测值为
x
n
n
y+
=
w
(n
(
)
(
)
)
(6.1)
其中，)(n x 可以是复数谐波信号
)](ex p[)(1k k p
k k n j n x ?ωα+=∑=
(6.2)
也可以是实数谐波信号
)cos()(1k k p
k k n n x ?ωα+=∑=
(6.3)
这里，p 为谐波数目，k k k ?ωα和,分别为第k 个谐波分量的幅度、归一化频率和随机初始相位，k ?为独立地服从同一分布的随机变量，且k ?在),[ππ-上服从均匀分布。
设附加噪声)(n w 为非高斯),(d b n n ARMA 过程，即
∑∑==-=-+b
d
n i n j j n e j d i n w i b n w 1
)()()()()(
(6.4) 或
)
()()()(11n e q D n w q B --=
(6.5)
其中，∑∑=--=--==d
b
n j j n j j
q j d q D q j b q B 0
1
1
,)()(,)()(q 为后移因子，)()(j n w n w q j -=-。
对于噪声模型，假设
(AS1) 噪声模型的传递函数)(/)()(z B z D z H w =（单位冲激响应为)(n h w ）是指数稳定的，且不存在着零、极点相消；
(AS2))(n e 为零均值、平稳的独立同分布非高斯白噪声，
[],0)(33≠≡n e E e γ[]∞<)(6n e E ，且)(n e 的方差2e σ和e 3γ均未知；
(AS3) )(n x 与)(n w 相互独立。
条件(AS2)意味着)(n w 为零均值且具有非对称分布的非高斯过程。由于谐波信号
)(n x 为零均值，因此，有噪观测过程)(n y 也为零均值。
本章的目的就是由有噪观测值),,2,1(),(N n n y =估计谐波信号参数。
6.3 噪声模型的建立
6.3.1有噪观测过程的三阶累积量
定理 6.1 在假设（AS1）~（AS3）下，式(6.1)中有噪观测过程)(n y 的三阶累积量恒等于噪声过程)(n w 的三阶累积量，即
)
,(),(21,321,3m m c m m c w y ≡
(6.6)
实际上，由于)(n x 与)(n w 相互独立，并考虑到)(n x 与)(n w 均为零均值，于是
)
,(),(),(21,321,321,3m m c m m c m m c w x y +≡
(6.7)
而由定理5.1可知，谐波信号)(n x 的三阶累积量恒等于零，即0),(21,3≡m m c x ，于是式(6.6)成立。 6.3.2 噪声模型的建立
由条件(AS2)可知03≠e γ，于是由式(1.38)得到
0)()(),(201321,3≠++≡∑∞
=m n h m n h m m c n w w e w γ，即0),(21,3≠m m c y 。这样利用4.6节
基于三阶累积量的SVD-TLS 方法可以估计非高斯噪声模型式(6.4)的阶次和参数，考虑到本章方法仅利用噪声模型的AR 部分参数，因此只须确定AR 阶次b n 及参数),,2,1(),(b n i i b =即可。有关算的具体步骤参见4.6节，这里不加详述。
6.4 STCH-SVD-TLS 方法
6.4.1 预滤波处理
式(6.1)两边同乘以)(1-q B 并利用式(6.5)，有
())
()()()()()()()()(11111n e q D n x q B n w q B n x q B n y q B -----+=+=
(6.8) 记
∑=--==b
n i i n y i b n y q B n y 0
1)()()()()(~
(6.9)
∑=--==b
n i i n x i b n x q B n x 01)
()()()()(~
(6.10)
∑=--==d
n i i n e i d n e q D n v 01
)
()()()()(
(6.11)
)
()(~)(~n v n x n y +=
(6.12)
称)(~n y 为滤波输出过程，)(~n x 为滤波谐波信号。注意到)(n v 为一个非高斯
)(d n MA 噪声过程，其自相关函数为
∑=+=d
n k e
v l k d k d l r 0
2
)()()(σ
?????≤+>=∑=d
n k d
e d n l l k d k d n l 0
2),()(0σ
(6.13)
上式中利用了)(k d 仅在],0[d n 内取值这一特性，因此当延时大于阶次d n 时)(n v 的自相关函数全为零。
考虑到)(n x 与)(n w 相互独立，因而)(n x 与)(n e 、)(n v 均相互独立，由式(6.12)得到：
)()()(~~l r l r l r v x y +=
?????>≤+=d
x d v x n l l r n l l r l r ),(),()(~
~
(6.14)
6.4.2 特殊的修正Yule-Walker(MYW)方程
我们知道，复数谐波信号)(n x 满足具有零输入的特殊)(p AR 模型
∑==-p
i i n x i a 0
)()(
(6.15)
其中1)0(=a ，且多项式
∑=-=p
i i
z i a z A 0)()(
(6.16)
的根为),2,1(,p i e z i jw i ==。模型AR 参数满足Yule-Walker(YW)方程
∑==-p
i x
i l r i a 0
)()(，对任意l
(6.17)
现在讨论滤波输出过程)(~n y 的自相关函数)(~l r y 与谐波信号预测模型AR 参数),2,1(),(p i i a =之间的关系
由式(6.14)得
∑∑∑===---=-p
i v
p i p i y
x
i l r i a i l r i a i l r i a 0
~~)
()()()()()(
(6.18)
对于滤波谐波信号，由式(6.10)得到
[]
??
????-+?-=+∑∑==***b b
n j n k k l n x k b j n x j b E l n x n x E 00)()()()()(~)(~
[]
)()()()(00
k l n x j n x E k b j b b b
n j n k -+-=*==*∑∑
(6.19)
即
)
()()()(00~k j l r k b j b l r x n j n k x b
b
-+=∑∑==*
(6.20)
于是