高中数学高考总复习命题量词逻辑连接词习题及详解
一、选择题
1．(2010·广东惠州一中)如果命题“綈(p ∨q )”是真命题，则正确的是( ) A ．p 、q 均为真命题
B ．p 、q 中至少有一个为真命题
C ．p 、q 均为假命题
D ．p 、q 中至多有一个为真命题 [答案] C
[解析] ∵命题“綈(p ∨q )”为真命题， ∴命题“p ∨q ”为假命题， ∴命题p 和命题q 都为假命题．
2．(2010·胶州三中)命题：“若x 2<1，则－1 D ．若x ≥1，或x ≤－1，则x 2≥1 [答案] D 3．(文)(2010·延边州质检)下列说法错误．． 的是( ) A ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题； B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”； C ．若命题p ：?x ∈R ，x 2－x ＋1<0，则綈p ：?x ∈R ，x 2－x ＋1≥0； D ．“sin θ＝1 2”是“θ＝30°”的充分不必要条件． [答案] D [解析] ∵“綈p ”为真，∴p 为假，又“p 或q ”为真，∴q 为真，故A 正确；B 、C 显然正确；∵θ＝30°时，sin θ＝12，但sin θ＝12时，θ不一定为30°，故“sin θ＝1 2”是“θ＝30°” 的必要不充分条件． (理)(2010·广东高考调研)下列有关选项正确的是( ) A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题 B ．“x ＝5”是“x 2－4x －5＝0”的充分不必要条件 C ．命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否定为：“若x ≥－1，则x 2－3x ＋2≤0” D ．已知命题p ：?x ∈R ，使得x 2＋x －1<0，则綈p ：?x ∈R ，使得x 2＋x －1≥0 [答案] B [解析] 由复合命题真值表知：若p ∨q 为真命题，则p 、q 至少有一个为真命题，有可能一真一假，∴选项A 错误；由x ＝5可以得到x 2－4x －5＝0，但由x 2－4x －5＝0不一定能得到x ＝5，∴选项B 成立；选项C 错在把命题的否定写成了否命题；选项D 错在没有搞清楚存在性命题的否定是全称命题． 4．(文)(2010·福建南平一中)已知命题p ：?x ∈R ，x >sin x ，则( ) A ．綈p ：?x ∈R ，x [解析] 对全称命题的否定既要否定量词又要否定结论，故选C. (理)(2010·北京市延庆县模考)下列命题中的真命题是( ) A ．?x ∈R 使得sin x ＋cos x ＝1.5 B ．?x ∈(0，π)，sin x >cos x C ．?x ∈R 使得x 2＋x ＝－1 D ．?x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1 [答案] D [解析] ∵对?x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2sin ????x ＋π4≤2<1.5，∴A 错；又当x ＝π 6时，sin x ＝12，cos x ＝3 2，∴B 错；∵方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，∴方程x 2＋x ＝－1无实数根，故C 错；令f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )>f (0)＝0，故对?x ∈(0，＋∞)都有e x >x ＋1. 5．(文)(2010·山东枣庄模考)设集合A ＝{x |－2－a A ．02 B ．0 C ．1 D ．1≤a ≤2 [答案] C [解析] ∵1∈A ，∴－2－a <11， ∵2∈A ，∴－2－a <22， ∵p ∨q 为真，p ∧q 为假， ∴p 与q 一真一假，故1 (理)(2010·济南一中)已知命题p ：?x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：?x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥2 B ．m ≤－2 C ．m ≤－2或m ≥2 D ．－2≤m ≤2 [答案] A [解析] 若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题，即綈p ：?x ∈R ，mx 2＋1>0，与綈q ：?x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0均为真命题，根据綈p ：?x ∈R ，mx 2＋1>0为真命题可得m ≥0，根据綈q ：?x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0为真命题可得Δ＝m 2－4≥0，解得m ≥2或m ≤－2.综上，m ≥2. 6．(2010·天津文)下列命题中，真命题是( ) A ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数 B ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数 C ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数 D ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数 [分析] 由函数f (x )是奇(或偶)函数时，m 的取值情况作出判断． [答案] A [解析] 当m ＝0时，f (x )＝x 2显然为偶函数，故选A. 7．(2010·北京延庆县模考)下列命题中的假命题是( ) A ．?x >0且x ≠1，都有x ＋1x >2 B ．?a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1,0) C ．?m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数 D ．?φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 [答案] D [解析] ∵x ＋1 x ≥2等号在x ＝1时成立，∴A 真；将x ＝1，y ＝0代入直线方程ax ＋y ＝a 中成立，∴B 真；令m －1＝1得m ＝2，此时f (x )＝x －1 是幂函数，故C 真；当φ＝π 2 时， f (x )＝sin ? ???2x ＋π 2＝cos2x 为偶函数，故D 假． 8．(09·海南、宁夏)有四个关于三角函数的命题： p 1：?x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12 p 2：?x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y p 3：?x ∈[0，π]， 1－cos2x 2 ＝sin x p 4：sin x ＝cos y ?x ＋y ＝π 2 其中假命题的是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 2，p 4 C ．p 1，p 3 D ．p 3，p 4 [答案] A [解析] ?x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故p 1为假命题． ∵?x ∈[0，π]，sin x ≥0， ∴ 1－cos2x 2 ＝|sin x |＝sin x ，∴p 3真，故选A. 9．已知命题p ：|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，命题q ：y ＝(2a －1)x 为减函数，若“p ∧q ”为真命题，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 3 B ．0 2 C.12 3 D.1 2 [解析] 因为|x －1|＋|x ＋1|≥2，由|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立知：3a ≤2，即a ≤23. 由y ＝(2a －1)x 为减函数得：0<2a －1<1即1 2 q 均为真命题，所以取交集得12 3 .因此选C. 10．(2010·浙江杭州质检)下列命题中正确的是( ) A ．设f (x )＝sin ????2x ＋π3，则?x ∈????－π3，π 6，必有f (x ) 2 cos x 0>1 C ．设f (x )＝cos ????x ＋π3，则函数y ＝f ????x ＋π 6是奇函数 D ．设f (x )＝2sin2x ，则f ????x ＋π3＝2sin ????2x ＋π 3 [答案] C [解析] ∵f (x )＝sin ????2x ＋π3在????－π3，π12上单调递增，在????π12，π6上单调递减，∴A 错；12sin x 0＋ 3 2 cos x 0＝sin ????x 0＋π3≤1，故B 不正确；y ＝f ????x ＋π6＝cos ????x ＋π2＝－sin x ，为奇函数， 故C 正确；f ????x ＋π3＝2sin ????2????x ＋π3＝2sin ? ???2x ＋2π 3，故D 不正确． 二、填空题 11．已知下列四个命题： ①a 是正数；②b 是负数；③a ＋b 是负数； ④ab 是非正数．选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题____________________________________． [答案] 若a 是正数且a ＋b 是负数，则一定有b 是负数 [解析] 逆否命题为真命题，即该命题为真，a 是正数且a ＋b 是负数，则一定有b 是负数． 12．给出以下四个关于圆锥曲线的命题， ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|P A →|－|PB → |＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP →＝12(OA →＋OB → )，则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 2 35＋y 2＝1有相同的焦点． 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)． [答案] ③④ [解析] ①表示双曲线的一支；②动点P 的轨迹为圆；③两根x 1＝2，x 2＝1 2正确；④25＋9 ＝35－1正确． 13．(2010·南昌市模拟)给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件；④设a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的必要不充分条件； 其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)． [答案] ①④ [解析] 令b n ＝a n a n ＋1，则若{b n }是等比数列，则b n ＋1b n ＝a n ＋2a n 为常数，因此，当{a n }为等 比数列时，{b n }为等比数列，但{b n }为等比数列时，{a n }未必为等比数列，如数列{a n }：1,2,3,6,9,18，…，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3a n ，满足{a n a n ＋1}是等比数列，但{a n }不是等比数列，∴①真；a ＝2时，f (x )＝|x －2|在[2，＋∞)上单调增，但f (x )＝|x －a |在[2，＋∞)上单调增时，a ≤2，故②错；由(m ＋3)m －6m ＝0得，m ＝0或m ＝3，故m ＝3是两直线垂直的 充分不必要条件，∴③错；由1sin A ＝3 sin B 知，sin B ＝3sin A ，∵b >a ，∴B >A ，故B ＝60°时， A ＝30°，但A ＝30°时， B 可以为120°，∴④正确． 14．(2010·马鞍山市质检)给出下列四个结论： ①命题“?x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“?x ∈R ，x 2－x ≤0” ②“若am 2 ③已知直线l 1：ax ＋2y －1＝0，l 2：x ＋by ＋2＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b ＝－2； ④对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时，f ′(x )>g ′(x )． 其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号)． [答案] ①④ [解析] ①显然正确．②中命题“若am 2 b ＝－ 2不等价，∵当a ＝b ＝0时，a b ＝－2不成立，故③错；④由条件知，f (x )为奇函数，在x >0 时单调增，故x <0时单调增，从而x <0时，f ′(x )>0；g (x )为偶函数，x >0时单调增，从而x <0时单调减，∴x <0时，g ′(x )<0， ∴x <0时，f ′(x )>g ′(x )，故④正确． 三、解答题 15．(2010·河南调研)已知函数f (x )＝2sin x ＋π 3＋sin x cos x －3sin 2x ，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)若存在x 0∈????0，5π 12，使不等式f (x 0) 3＋sin x cos x －3sin 2x ＝2sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ????2x ＋π3. ∴函数f (x )的最小正周期T ＝ 2π 2 ＝π. (2)当x ∈????0，5π12时，2x ＋π3∈????π3，7π6. ∴当2x ＋π3＝7π6，即x ＝5π 12时，f (x )取最小值－1. 故使题设成立的充要条件是m >－1， 即m 的取值范围是(－1，＋∞)． 16．(2010·聊城市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点． (1)求证：“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题； (2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解析] (1)设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2＝2x 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时，直线l 与抛物线相交于点A (3，6)、B (3，－6)． ∴OA →·OB →＝3. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，其中k ≠0. 由????? y 2＝2x y ＝k (x －3) 得，ky 2－2y －6k ＝0，则y 1y 2＝－6. 又∵x 1＝12y 12，x 2＝1 2y 22， ∴OA →·OB → ＝x 1x 2＋y 1y 2＝14 (y 1y 2)2＋y 1y 2＝3. 综上所述，命题“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB → ＝3”是真命题． (2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2＝2x 于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝3，那么直线过点T (3,0)． 该命题是假命题． 例如：取抛物线上的点A (2,2)，B ????12，1，此时OA →·OB → ＝3，直线AB 的方程为y ＝23(x ＋1)，而T (3,0)不在直线AB 上． 17．(文)已知命题p ：在x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立；命题q ：函数f (x )＝log 1 3(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p ∨q ”是真命题，求实数a 的取值范围． [解析] ∵x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立 ∴a >2－x 2x ＝2x －x 在x ∈[1,2]上恒成立 令g (x )＝2 x －x ，则g (x )在[1,2]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝1， ∴a >1.即若命题p 真，则a >1. 又∵函数f (x )＝log 1 3 (x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数， ∴u (x )＝x 2－2ax ＋3a 是[1，＋∞)上的增函数，且u (x )＝x 2－2ax ＋3a >0在[1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1，u (1)>0，∴－1－1. (理)(2010·河北正定中学模拟)已知动圆C 过点A (－2，0)，且与圆M ：(x －2)2＋y 2＝64相内切． (1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程； (2)设直线l ：y ＝kx ＋m (其中k ，m ∈Z )与(1)中所求轨迹交于不同两点B ，D ，与双曲线 x 24－y 212 ＝1交于不同两点E ，F ，问是否存在直线l ，使得向量DF →＋BE → ＝0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． [解析] (1)圆M ：(x －2)2＋y 2＝64的圆心M 的坐标为(2,0)，半径R ＝8. ∵|AM |＝4 设动圆C 的半径为r ，圆心为C (x ，y )，依题意得r ＝|CA |，且|CM |＝R －r ， 即|CM |＋|CA |＝8>|AM |. ∴圆心C 的轨迹是中心在原点，以A 、M 两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，则a ＝4，c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝12. ∴所求动圆的圆心C 的轨迹方程为x 216＋y 2 12 ＝1. (2)由???? ? y ＝kx ＋m x 216＋y 212＝1，消去y 化简整理得：(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－48＝0， 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2 Δ1＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－48)>0① 由???? ? y ＝kx ＋m x 24－y 212＝1消去y 化简整理得：(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0. 设E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2km 3－k 2， Δ2＝(－2km )2＋4(3－k 2)(m 2＋12)>0② ∵DF →＝(x 4－x 2，y 4－y 2)、BE → ＝(x 3－x 1，y 3－y 1)， 且DF →＋BE → ＝0， ∴(x 4－x 2)＋(x 3－x 1)＝0， 即x 1＋x 2＝x 3＋x 4，∴－8km 3＋4k 2＝2km 3－k 2， ∴km ＝0或－ 43＋4k 2＝1 3－k 2 . 解得k ＝0或m ＝0. 当k ＝0时，由①、②得－23 ∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1.∴满足条件的直线共有9条．
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