专题一：集合
一、集合的基本概念及表示方法
1、集合的概念
一般的，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合，简称集.通常用大写英文字母A、B、C、····表示。集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母a、b、c、····表示.
2、集合中元素的三个特征
（1）确定性
设A使一个给定的集合，a是某一具体的对象，则a是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
（2）互异性
集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.即集合中的元素不重复，两个或两个以上的相同的元素都认为是一个元素，在用列举法表示时也只能写一个.例如方程x2+2x+1=0的解组成的集合A，必须写成A={-1}.
（3）、无序性
集合中的元素不考虑顺序，对于元素相同而排列顺序不同的集合认为是相同的集合.例如集合{1，2，3，4}与集合{4，3，2，1}是相同的集合.
3、集合的分类
集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集.
4、集合的表示方法
（1）列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法.
使用列举法时应注意一下几点：
①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④对于含较多元素的集合如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后才能用省略号.如：由方程x2-1=0的所有解组成的集合可以表示为{-1，1}.
（2）描述法
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在花括号内表示集合的方法，即{x∈A│p(x)}.
对于描述法，不能只把注意力放在竖号“│”右边“p”适合的条件，还要对竖号“│”左边的形式引起足够的重视.
如：所有的直角三角形的集合可以表示为{x│x是直角三角形}.
（3）图示法
为了形象的表示集合，我们常常画一条封闭的曲线，
用它的内部来表示一个集合.
如图所示，表示集合{1，3，5，8}.
5、空集
不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.
注意：（1）空集中没有任何元素，要区分φ和{0}，集合{0}中有1个元素0，而φ中没有任何元素，两者有着本质的不同.
（2）空集在实际问题中是实实在在存在的，如在实数范围内方程x2+1=0的解集和不等式x2+1<0的解集都是空集.
6、常用数集的符号
为了书写方便对于常用数集用特定的字母表示：
（1）全体非负整数组成的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N；
（2）非负整数集内排除0的集合，称为正整数集，表示成N*（或N+）；
（3）全体整数组成的集合通常简称为整数集，记作Z；
（4）全体有理数组成的集合通常简称为有理数集，记作Q；
（5）全体实数组成的集合通常简称为实数集，记作R；
二、集合间的关系
1、包含关系
如果任意x∈A，=＞x∈B,则集合A是集合B的子集，记作A ?B 或B?A.显然，任何集合是他自身的子集，即A ?A，空集是任何集合的子集，即φ?A.
2、相等关系
对于两个集合A、B，如果A ?B同时B ?A，那么成集合A和集合B相等，记作A=B.显然，两个相等的集合的元素完全相同.
3、真包含关系
对于两个集合A和B，如果A ?B，并且A≠b,称集合A是集合B的真子集，记作A B,显然，空集是任何非空集合的真子集，若A B，则B中至少存在一个元素不属于A.
三、集合与集合间的运算
1、交集
一般的对于两个给定的集合A、B，由属于集合A且属于集合B的所有元素构成的集合，叫做A和B的交集，记作A∩B.
2、并集
一般的对于两个给定的集合A、B，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B.
3、全集与补集
含有所要研究的各集合的全部元素的集合称为全集，一般可记作U，全集是相对的.若A是全集U的子集，则由全集中不属于A的元素组成的集合称为A的补集，记作C U A.