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第1章复变函数习题-答案~习题详解

第一章习题详解

1．求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1)

231

+ 解：

()()()13

2349232323231231i

i i i i i -=+-=-+-=+

实部：13

231=

???

??+i Re 虚部：132231-=??

??+i Im

共轭复数：1323231i

i +=

??+ 模：131

1323231

22=+=

辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213

3132

2231231+?

?? ??-=+-=+??? ??+=??? ??+arg 2) i

i i --

131 解：

()()()2

532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=--

实部：2

3131=???

??--i i i Re 虚部：25131-=??

??--i i i Im

共轭复数：253131

i i i i +=??

??-- 模：2

4342531312

22=

=+=

--i

i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+??? ??-=+????

? ??-=+??? ??--=??? ??--arg

()()i

i i 25243-+

解：

()()()2

26722672

72625243i

i i

i i --=

-+=

--=

-+ 实部：()()2725243-=??

??-+i i i Re

虚部：()()1322625243-=-

=??

??-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i

i i i +-=

??-+ 模：

()()

292522627252432

=??

? ??-+??? ??-=-+i

i i

辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+??? ??=+????? ?

?--=??? ??-+ 4) i i

i +-21

解：i i i i i

i 3141421

8-=+-=+-

实部：(

)1421

8=+-i i i Re 虚部：(

)3421

8-=+-i i

i Im

共轭复数：()

i i i i 314218+=+- 模：103142221

=+=+-i i

辐角：(

)()πππk arctg k arctg k i i i i i

i Arg 2321324421821

+-=+??

??-=++-=+-arg

2．当x 、y 等于什么实数时，等式

()i i

y i x +=+-++13531成立？

解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有：

()()()i i i y i x 8235131+=++=-++

?=-=+8321y x ?

??==?111

y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。

3．证明虚数单位i 有这样的性质：i i i ==--1

证明：i i i i i

-===

-2

1 i i i i -=-=+=00 i i i ==-∴-1

4．证明 1) z z z

证明：设iy x z +=，则iy x z -=

()(

)22

y x

x iy x z +=+=

+=∴

()()22y x iy x iy x z z +=-+=

z z z =∴2

2) 2121z z z z ±=±

证明：设111iy x z +=，222iy x z +=，则有：

()()()()()()21212121221121y y i x x y y i x x iy x iy x z z ±-±=±+±=+±+=± ()()()()()()21212211221121y y i x x iy x iy x iy x iy x z z ±-±=-±-=+±+=± 2121z z z z ±=±∴

3) 2121z z z z = 证明：设1

11θi e

r z =，2

22θi e

r z =，则有：

()()21212121212121θθθθθθ+-+===i i i i e r r e r r e r e r z z ()21212121212121θθθθθθ+---==?=i i i i i e r r e r e r e r e r z z 2121z z z z =∴ 4) 022

121

≠=????

??z z z z z , 证明：设1

11θi e r z =，2

22θi e

r z =，则有：

()()21212

121212121θθθθθθ---===???

? ??i i i i e r r e r r e r e r z z

()

21212

1212121θθθθθθ----===i i i i i e r r e r e r e r e r z z 2121z z z z =∴ 5) z z =

证明：设iy x z +=，则有

z iy x iy x iy x z =+=-=+=

6) ()()()()

z z i

z z z z -=+=

21Im ,Re 证明：设iy x z +=，则iy x z -=

()

()()z x iy x iy x z z Re ==++-=+21

21 ()

()()[]()()z y y i i

iy x iy x i z z i Im ===--+=-221

2121 5．对任何2

2,z z z =是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对哪些z 值才成立？解：设iy x z +=，则有：

()2

22y xyi x iy x z -+=+= ()()222

y x iy x iy x z

+=+=+=

z z =Θ ???=-=+∴0

222xy y x y x ? 0=y

故当0=y ，即iy x z +=是实数时，2

2z z =成立。

6．当1≤z 时，求a z n +的最大值，其中n 为正整数，a 为复数。解：a z a z

a z n

+=+≤+

1≤z Θ 1≤∴n

z ? a a z n

+≤+1 即a a z n +≤+1

a z n

+的最大值是a +1

7．判定下列命题的真假： 1) 若c 为实常数，则c c =；

解：真命题。因为实数的共轭复数就是它本身。 2) 若z 为纯虚数，则z z ≠；

解：真命题。设()0≠=y iy z ，则iy z -=，显然z z ≠。

3) i i 2<；

解：假命题。两个不全为实数的复数不能比较大小。 4) 零的幅角是零

解：假命题。复数0的幅角是任意的，也是无意义的。 5) 仅存在一个数z ，使得

z z

-=1

；解：假命题。有两个数i z i z -==,，使

z z

-=1

成立。 6) 2121z z z z +=+；

解：假命题。设有两个数i z i z -==21,，使2121z z z z +=+不成立。 7)

iz z i

解：真命题。iz z i z i

=-=1

8．将下列复数化为三角表示式和指数表示式： 1) i

解：1==i r ，()2

i arg

e i i =+=∴sin

cos

2) 1-

解：11=-=r ，()π=-1arg π

ππi e i =+=-∴sin cos 1 3) 31i +

解：231=+=i r ，()

1331π==+arctg

i arg 33

31π

e i i =+=+∴sin

cos

4) ()π???≤≤+-01sin cos i 解：()????

???22222111sin cos cos sin cos sin cos +-+=+-=

+-=i r

()????????? ?

?--=???

?????? ??+-=-=-=22122212122222??????sin cos cos cos cos

22242212222????sin sin sin cos ==?????

+-=

()22211?

π?π?????-=

??? ?

?-=??? ??=-=+-tg arctg arcctg arctg arctg

i cos sin sin cos arg ??

?-=??

???

??? ??-+??? ??-=+-∴22222221?π??π?π???i e i i sin sin cos sin sin cos

另：222222222112?????????cos sin sin sin cos sin cos i i i +=??

??++???

??+-=+-

222

222222?

π?

?π?

π????-=??

??-+-=??? ??

+=i

i i sin sin

cos

sin cos sin sin

另：()()??????sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos ++-=+-+=+-00001i i i i

222222*********?

π????????-=??? ??+-=-++-+-=i

i i sin cos sin sin cos sin sin sin

+-12

解：

()i i

i i i i -=-=--=+-12

2221212

21=-=i r ，()()4

111π

=-=-=-arg arg arg i

424421π

ππi e i i -=???

?????? ??-+??

? ??-=-∴sin cos

()()3

23sin 3cos 5sin 5cos ????i i -+

解：()()

??102

55i i e e i ==+sin cos

()()()[]()i i e e i i ??????933333333--==-+-=-sin cos sin cos ()()()()?????????

19193355199103

sin cos sin cos sin cos i e e

e i i i i i +===-+∴

- 9．将下列坐标公式写成复数的形式：

1) 平移公式：?

??+=+=111

1b y y a x x

解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：

()()1111ib a iy x iy x +++=+

即：A z z +=1 2) 旋转公式：??

?+=-=α

αα

αcos sin sin cos 1111y x y y x x

解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：

()()11111111ix y iy x iy y ix x iy x --+=+-+=+ααααααsin cos cos sin sin cos ()()()()()11111111iy x i iy x ix y i i iy x +++=---+=ααααsin cos sin cos ()()()αααi e iy x i iy x 1111+=++=sin cos ()αααi e z i z z 11=+=∴sin cos

10．一个复数乘以i -，它的模与辐角有何改变？解：设θ

i re z = 2

πi

i -=-

?? ?

--==-∴22

πθπθ

i i

i re

e re iz

即：一个复数乘以i -，它的模不变，辐角减小

。 11．证明：(

212

212z z z z z z +=-++，并说明其几何意义。

证明：()()()(

)

212121212

1z z z z z z z z z z ++=++=+

22212111z z z z z z z z +++=

()()()()

212121212

1z z z z z z z z z z --=--=-

22212111z z z z z z z z +--= (

2122112

1222z z z z z z z z z z +=+=-++∴

几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于它的相邻两边平方和的2倍。 12．证明下列各题： 1) 任何有理分式函数()()()

z Q z P z R =

可以化为iY X +的形式，其中X 与Y 为具有实系数的x 与y 的有理

分式函数；

证明：设()y x z iy x z ,=+=，则：

()()()y x iv y x u z P ,,11+=， ()()()y x iv y x u z Q ,,22+=

其中，()y x u ,1，()y x u ,2，()y x v ,1，()y x v ,2皆为关于y x ,的实系数多项式。

()()()()()()()()()()iY X v u v u v u i v v u u v u iv u iv u y x iv y x u y x iv y x u z Q z P +=+-++=+-+=++=22

2221122121222222112211,,,, 其中：22222121v u v v u u X ++=

，2

2222112v u v u v u Y +-= ? ()()()

iY X z Q z P z R +== Y X ,为具有实系数的关于y x ,的有理分式函数。

2) 如果()z R 为1)中的有理分式函数，但具有实系数，那么()

iY X z R -=；证明：因为()z R 为具有实系数的有理分式函数，所以 ()

()()()()()()()()()

()()2

22222112211v u iv u iv u y x iv y x u y x iv y x u z Q z P z Q z P z R z R -+-=--==????

??==,,,, ()()

iY X v

u v u v u i v v u u -=---+=

21122121

其中：22222121v u v v u u X ++=

，2

222

112v u v u v u Y +-= 3) 如果复数ib a +是实系数方程011

10=++++--n n n n a z a z a z a Λ的根，那么ib a -也是它的根。证明：令()n n n n a z a z

a z a z f ++++=--11

10Λ 因为ib a +是方程()0=z f 的根，()0=+∴ib a f ? ()0=+ib a f 又因为的系数为实数， ()()

()ib a f ib a f ib a f -=+=+∴

因此()0=-ib a f 。即ib a -也是方程()0=z f 的根。即实系数多项式的复根必共轭成对出现。 13．如果it

e z =，证明： 1) nt z z n

cos 21

证明：it

e z =Θ ()()

()()nt nt i nt nt i nt e e e e z z n it n it n n cos sin cos sin cos int

int 211=-++=+=+=+

∴- 2) nt i z z n

sin 21

证明：it

e z =Θ

()()

()()nt i nt i nt nt i nt e e e e z z n it n it n n sin sin cos sin cos int

int 211=--+=-=-=-

∴- 14．求下列各式的值： 1)

(

)

3i -

解：6

23πi

i -=-Θ

(

)

i i e e i

i i 16316656532223655

--=??? ??-==???? ?

?=-∴

--πππ

πsin cos 2)

()61i +

解：421π

e i =

+Θ

()

()i i e

e i i

i 82323882212

-=??

? ??

+===???

? ?

?=+∴πππππsin cos

解：π

i e

=-1Θ

()

ππn i e

261

1+=-∴ ()543210,,,,,=n

即：i w 21230+=，i w =1，i w 21232+-=，i w 21233--=，i w -=4，i w 2

235-= 4)

()311i -

解：4

21πi

i -=

-Θ

()

??+-=-∴ππn i e

i 243163

21 ()210,,=n

即：??? ??-==

-1212226

0πππ

sin cos i e

w i

，??? ??+==12712722612761πππ

sin cos i e w i ，

? ??

+==45452264

562πππ

sin cos i e

w i

15．若()()n

i i -=+11,试求n 的值。解：()()n

i i -=+11Θ

()

()??

??+=

???

?????? ?

?+=+4

424421ππππn i n i i n

sin cos sin cos

()()??

??-=

????????? ?

?-=-4

424421ππππn i n i i n

sin cos sin cos

44ππn n sin sin

-=∴ ? 04

=πn sin ? ππ

k n =4 ? k n 4=()Λ,,,210±±=k

16．

1) 求方程083

=+z 的所有根；解：083

=+z Θ 3388πi e z =-=Θ

22ππn i

z +=Θ()210,,=n

即：3123

0i e

z i

+==π

，221-==π

i e

z ，3123

52i e

z i

-==π

2) 求微分方程08'

''=+y y 的一般解。

解：微分方程08'''=+y y 的特征方程为：083

=+r 。由前题得：310i r +=，21-=r ，312i r -= 微分方程08'''=+y y 有三个线性无关的特解：()x i e y 310+=，x e y 21-=，()x i e y 312-=

微分方程08'''=+y y 有三个线性实数特解：x e x 3cos ，x e x

3sin ，x

e 2-

一般解为：()

x c x c e e c y x x 333221sin cos ++=-()R c c c ∈321,,

17．在平面上任意选一点z ，然后在复平面上画出下列各点的位置：z

z z z z 1,1

,1,,,---

解：

18．已知两点1z 与2z （或已知三点321,,z z z ），问下列各点z 位于何处？ 1) ()212

z z z +=

；解：z 位于1z 与2z 连线的中点。

2) ()211z z z λλ++=，其中λ为实数；解：z 位于1z 与2z 连线上，其中2

12z z z z --=

λ。

3) ()3213

z z z z ++=

。解：z 位于以1z ,2z ,3z 为顶点的三角形的重心上。

19．设321,,z z z 三点适合条件0321=++z z z ，1321===z z z 。证明：321,,z z z 是内接于单位圆

1=z 的一个正三角形的顶点。

证明：（方法一）

1321===z z z Θ ? 1z ,2z ,3z 位于以原点为圆心的单位圆上。令111??sin cos i z +=，222??sin cos i z +=，333??sin cos i z +=

其中π???π≤≤≤<-321。? π??2012<-≤，π??2023<-≤，π??2013<-≤ 0321=++z z z Θ ? 321z z z -=+∴ ??

?-=+-=+3

21321??????sin sin sin cos cos cos ()()??

?→?+2

221 ()2112-=-??cos ()3212π??=

-∴或()3

412π

??=- 同理可得：()3223π??=-∴或()3423π

??=-

分析：如果()3412π??=-，()3223π??=-，则()π??213=-；如果()3

412π

??=-，

()3423π??=-，则()3813π??=-与π??2012≤-≤矛盾。()3

212π??=-∴。

同理()3

223π

??=-。

?321,,z z z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

（方法二）

1321===z z z Θ ? 1z ,2z ,3z 位于以原点为圆心的单位圆上。

()()()()

211221122

212122

122z z z z z z z z z z z z z z z z +-=+-+=--=-

0321=++z z z Θ ? 12

1=-=+z z z

()()()()

12211221122

212122

12=++=+++=++=+z z z z z z z z z z z z z z z z

12112-=+∴z z z z ? ()

()312221122

2=--=+-=-z z z z z z

同理：32

3=-z z ，32

13=-z z 。于是32

12=-=-=-z z z z z z

?321,,z z z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

（方法三）

1321===z z z Θ ? 1z ,2z ,3z 位于以原点为圆心的单位圆上。

0321=++z z z Θ ? 321z z z -=+

()2

122122z z z z z z +=-++Θ

(

)(

)()311122223

222

12=-+=--+=+-+=-∴z

z z z z

?321,,z z z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

（方法四）

1321===z z z Θ ? 1z ,2z ,3z 位于以原点为圆心的单位圆上。

设k k k iy x z += ()321,,=k

0321=++z z z Θ ? ???=++=++00321321y y y x x x ? ???--=--=321

21y y y x x x

1321===z z z Θ ? 12

3232222

2121=+=+=+y x y x y x 而()()()()12

322

121=+++=--+--=+y y x x y y x x y x

()()()()()12323223232

222

322

32=+++++=+++∴y y x x y x y x y y x x ()123232-=+∴y y x x 同理?()121121-=+y y x x ，()123131-=+y y x x

()()()()()32212122222

212

21=+-+++=-+-∴y y x x y x y x y y x x 即321=-z z 同理? 332=-z z ，313=-z z

?321,,z z z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

（方法五）

设()()()0321=---z z z z z z ，则321,,z z z 是该方程的三个根。

而()()()()()3211332212

3213321z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z -+++++-=---

0321=++z z z Θ，1321===z z z

()()()()

123321122332113321133221z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++=++=++ ()0321321133221=++=++∴z z z z z z z z z z z z

()()()03213321=-=---∴z z z z z z z z z z

所以321z z z ，，是的三个根，即321z z z ，，分别是复数321z z z 的三次方根。又因为1321===z z z ，所以321z z z ，，均匀地分布在单位圆1=z 上，即321,,z z z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

（方法六）

如右图所示：0321=++z z z Θ?321z z z -=+

()121321===-=--∴z z z z z

所以()21z O z -?为等边三角形。同理可知()23z O z -?为等边三角形，于是有：

13ππ

∠Oz z 同理 3221π=

∠Oz z ，3

232π=∠Oz z 1321===z z z Θ，所以321z z z ，，均匀地分布在单位圆1=z 上。命题得证。

20．如果复数321,,z z z 满足等式

11312z z z z z z z z --=--，证明321312z z z z z z -=-=-，并说明这些等

式的几何意义。证明：3

2311312z z z z z z z z --=--Θ

3231212

32221z z z z z z z z z ++=++∴ 且321z z z ≠≠

321z z z ?是等边三角形的充分必要条件是

()()[]()[]{}???

??±-+--=-=-?

????

±-23212323233232123i z z i z z z z e

z z z z z z i arg sin arg cos arg π ()????

??±-=-∴23212321i

z z z z ()()[]()[]{}???

??-+--=-=-?

????

-23212323233233123i z z i z z z z e

z z z z z z i μμarg sin arg cos arg π ()????

??-=-∴23212331i

z z z z μ ()()

()()()2

232

22322232

312

2123212321z z i z z i z z z z z z --=???

? ??-+???? ??±-=-+-∴μ 3231212

32221z z z z z z z z z ++=++∴

因此，满足3

11312z z z z z z z z --=--Θ

的点1z ，2z ，3z 为顶点的三角形是等边三角形，必有

321312z z z z z z -=-=-

21．指出下列各题中点z 的轨迹或所在范围，并作图：

1) 65=-z ；

解：设iy x z +=，则65=-z Θ ? ()3652

=+-y x

即65=-z 是以5=z 为圆心，半径为6的圆周。 2) 12≥+i z ；

解：设iy x z +=，则12≥+i z Θ ? ()122

≥++y x

即12≥+i z 是以i z 2-=为圆心，半径为1的圆周及其外部。 3) ()12Re -=+z ；

解：设iy x z +=，则()12-=+z Re Θ ? 12-=+x 即()12Re -=+z 是平行于y 轴的通过3-=z 的直线。 4) ()

3Re =z i ；

解：设iy x z +=，则()

3=z i Re Θ ? 3=y 即()

3Re =z i 是平行于x 轴的通过i z 3=的直线。 5) i z i z -=+；

解：设iy x z +=，则i z i z -=+Θ ? ()()2

211-+=++y x y x ? 0=y

即i z i z -=+是平行于x 轴。 6) 413=+++z z ；

解：设iy x z +=，则413=+++z z Θ ?

()13

222

=++y x 即413=+++z z 是以3-=z ，1-=z 为焦点，长的半轴为2，短半轴为3的椭圆。 7) ()2Im ≤z ；

解：设iy x z +=，则()2≤z Im Θ ? 2≤y

即()2Im ≤z 是过i z 2=的平行于x 轴的直线及其下半平面。

≥--z z ；

解：设iy x z +=，则

123≥--z z ? ()()22

2223y x y x +-≥+- ? 2

5≤x ()2≠z 即

123≥--z z 是去掉过2=z 的半平面2

≤x 。 9) π<

解：满足π<

-i z arg 。

解：设iy x z +=，则()4

=-i z arg Θ ? ()[]4

1π

-+y i x arg

即()4

-i z arg 是以i z =为端点的射线1+=x y ，0>x 。

22．描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的： 1) ()0Im >z ；

解：设iy x z +=，则()0Im >z ?0>y ，表示不包含实轴的上半平面，是无界的单连通域。 2) 41>-z ；

解：设iy x z +=，由41>-z 得()1612

>+-y x ，表示以1=z 为圆心半径为4的圆（不含圆周）

的外部，是无界的多单连通域。 3) ()1Re 0<

解：设iy x z +=，则()1Re 0<

解：32≤≤z 表示介于圆2=z 与3=z 之间的圆环域（含两圆周），是有界的多连通域。 5) 31+<-z z ；

解：设iy x z +=，由31+<-z z ?1->x ，表示直线1-=x 右边的半平面区域（不含直线），是无界的单连通域。

6) π+-<<-1arg 1z ；

解：π+-<<-1arg 1z 表示由射线1-=?与π?+-=1所围成的角形区域（不含两射线），是无界的单连通域。

7) 141+<-z z ；

解：设iy x z +=，由141+<-z z ?2

21581517?

? ??>+??? ??+y x ，表示以1517-=z 为圆心半径为158的圆的外部（不含圆周），是无界的多连通域。 8) 622≤++-z z ；

解：622≤++-z z 表示以2=z 与2-=z 为焦点长半轴3=a 短半轴5=b 的椭圆及其内部，是有

界的单连通闭域。 9) 122>+--z z ；

解：122>+--z z 表示以2=z 与2-=z 为焦点实半轴2

=a 虚半轴215=b 的双曲线左边一支的

左侧，是无界的单连通域。 10) ()()422≤--+-z i z i z z 。

解：设iy x z +=，由()()422≤--+-z i z i z z ?()()2

312≤++-y x ，表示以点i z -=2为圆

心半径为3的圆及其内部，是有界的单连通闭域。

23．证明复平面上的直线方程可写成：c z a z a =+，（0≠a 为复常数，c 为实常数）。证明：设点iy x z +=在直线上，则直线方程可写成：c By Ax =+ ()R c B A ∈,,

又()

x z z =+21Θ

，()

y z z i =-21

()()

c z z B i

z z A =-++∴21

21 整理得：()()c z iB A z iB A =++-21

令()iB A a +=21，则()iB A a -=2

。因为B A ,不全为零，所以0≠a 。

? c z a z a =+ 是复平面上的直线方程（0≠a 为复常数，c 为实常数）。

24．证明复平面上的圆周方程可写成：0=+++c z a z a z z （其中a 为复常数，c 为实常数）。证明：设点iy x z +=在圆上任意一点，点000iy x z +=为圆心，半径为a ，则圆的方程为：

()()22020a y y x x =-+-

()x z z =+21Θ，()

y z z i =-21。代入上式，得：()

()

02121a y z z i x z z =??

????--+??????-+。整理得：()()022*******=-+++---a y x z iy x z iy x z z 令c a y x =-+2

2020，()00iy x +-=α，()00iy x --=α

? 0=+++c z z z z αα 是复平面上的圆的方程（α为复常数，c 为实常数）。

25．将下列方程（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出： 1) ()i t z +=1；

解：设iy x z +=，则()i t iy x z +=+=1 ? ???==t

y t

x ? x y =

2) t ib t a z sin cos +=，（b a ,为实常数）；

解：设iy x z +=，则t ib t a iy x z sin cos +=+= ? ???==t

b y t a x sin cos ? 122

22=+b y a x

3) t

t z +

=；解：设iy x z +=，则t i t iy x z +=+= ? ??

??==t y t

x 1 ? x y 1=

4) 22

t z +

=；解：设iy x z +=，则22

t i t iy x z +=+= ? ??

???==2

t y t x ? ()001≥≥=y x x y , 5) ibsht acht z +=，（b a ,为实常数）；

解：设iy x z +=，则ibsht acht iy x z +=+= ? ???==bsht

y acht x ? 12222=-b y a x 12

2=-t sh t ch Θ

6) it

ae z -+=；

解：设iy x z +=，则it

ae iy x z -+=+=?()()?

??-=+=t b a y t b a x sin cos ? ()()12

22=-++b a y b a x 7) t

e z α=，（bi a +=α为复数）。

解：设iy x z +=，则()t

bi a t

e e

iy x z +==+=α??????==bt e y bt e x at

sin cos ? ?????==+bt

y e y x at

tan 222 ? ??

???==+x y b t e y x at arctan

1222 ? x

b a e

y x arctan 222=+

26．函数z

w 1

把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎样的曲线？ 1) 42

=+y x ；

解：设iy x z +=，iv u w +=，则z w 1=Θ ? ???

???

+-=

+=2222y x y v y x x u

422=+y x Θ ? 4

+v u 是w 平面上的圆。 2) x y =；

解：设iy x z +=，iv u w +=，则z w 1=Θ ? ???

???

+-=

+=2222y x y v y x x u

y x =Θ ? v u -=且0≠z 是w 平面上的直线。 3) 1=x ；

解：设iy x z +=，iv u w +=，则z w 1=Θ ? ???

???+-=

+=2222y x y v y x x u

1=x Θ ? 2

v u u += ? 412122

=+??? ?

-v u 是w 平面上的圆。

()112

2=+-y x 。

解：设iy x z +=，iv u w +=，则z w 1=Θ ? ???

???

+-=

+=2222y x y v y x x u

()1122

=+-y x Θ ? x y x 22

2=+ ? 2

u 是w 平面上的直线。 27．已知映射3

z w =，求： 1) 点i z =1，i z +=12，i z +=

33在w 平面上的象；

解：i i z w -===3

311 ()i i z w 2213

322+-=+==

(

)

i i i

z w 82233

33=+-=+=

2) 区域3

0π

解：3

0π

0?<

<∴π

w arg ? π<<∴w arg 0

28．证明§6定理二与定理三。

定理二如果()A z f z z =→lim 0

，()B z g z z =→lim 0

，那么

1) ()()[]B A z g z f z z ±=±→lim 0

；

()()[]AB z g z f z z =?→lim 0

；

3) ()()()00

≠=→B B

z g z f z z lim

证明：

1) ()A z f z z =→lim 0

，()B z g z z =→lim 0

，则0>?ε

01>?δ，使100δ<-

<-A z f 02>?δ，使200δ<-

-B z g

取()21δδδ,m in =，则当δ<-<00z z 时，必有

()()[]()()()εε

<-+-≤±-±2

B z g A z f B A z g z f 成立。

故()()[]B A z g z f z z ±=±→lim 0

。

2) ()B z g z z =→lim 0

，则01

>?δ

及0>M ，使100δ<-

0>?ε，()A z f z z =→lim 0

，02>?∴δ，使200δ<-

M A z f +<

-ε

；

又()B z g z z =→lim 0

，故存在03>δ，使300δ<-

M B z g +<

-ε

取()321δδδδ,,m in =，则当δ<-<00z z 时，必有

()()()()()()εε

=+++≤

-+-=-A

M A

M AB z Ag z Ag z g z f AB z g z f

故

()()[]AB z g z f z z =?→lim 0

。

3) ()()00

≠=→B B z g z z lim Θ，则01>?δ及0>M ，使100δ<-

B z g <

0>?ε，()A z f z z =→lim 0

，()B z g z z =→lim 0

>?∴δ

，使200δ<-

()()

B A B A z f +<

-22ε

03>?δ，使300δ<-

B A B B z g +<-22ε

取()321δδδδ,,m in =，则当δ<-<00z z 时，必有

()()()()()()()()()[]()[]()B

z g B z g A A z f B B z g AB z Ag AB z Bf B z g z Ag z Bf B A

z g z f ?---=?+--=?-=- ()()()()()

εε

ε=+++=

?-+-≤

222

22B B A B A B A B B B

z g B

z g A A z f B

故

()()()00

≠=→B B

z g z f z z lim

。定理三函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在000iy x z +=处连续的充要条件是：

()y x u ,和()y x v ,在点()00y x ,处连续。

证明：()()()y x iv y x u z f ,,+=在000iy x z +=处连续，()()0

z f z f z z =∴→lim ，即

()()[]()()0

y x iv y x u y x iv y x u z z ,,,,lim +=+→ ?

()()0

0y x u y x u y y x x ,,lim ,=→→，()()0

0y x v y x v y y x x ,,lim ,=→→

即()y x u ,和()y x v ,在点()00y x ,处连续。

29．设函数()z f 在0z 连续且()00≠z f ，那么可找到0z 的小邻域，在这邻域内()0≠z f 。证明：()00≠z f Θ ()00>∴z f 函数()z f 在0z 连续，即()()0

z f z f z z =→lim

可取()02

z f ε，存在()0>εδ，使得当()εδ<-0z z 时，有 ()()()002

z f z f z f =<-ε 又()()()()00z f z f z f z f -<- ? ()()()002

z f z f z f <- ()()()()02

21000>=->∴z f z f z f z f

复变函数试题与答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

复变函数经典例题

第一章例题例1.1试问函数二-把」平面上的下列曲线分别变成 ].；平面上的何种曲线? (1) 以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； (2) 倾角二的直线； (3) 双曲线''■='。解设Z = x + =r(cosfi + ι SiIl θ)7 = y + jv = Λ(cos

0 特别，取 - ，则由上面的不等式得 ∣∕(z)∣>l∕(z o )∣-^ = M>0 因此， f ② 在匚邻域内就恒不为0。例1.3 设 /⑵ 4C ri ) (3≠o) 试证一在原点无极限，从而在原点不连续。

证令变点匚—…:弓仁门 1 F ,则而沿第一象限的平分角线故「匚在原点无确定的极限，从而在原点不连续。第二章例题例2.1 北）= 匚在二平面上处处不可微证易知该函数在二平面上处处连续。但 Δ/ _ z+?z -z _ ?z ?z ?z ?z 零时，其极限为一1。故匚处处不可微。证因UaJ ）二倆，呛J ） = C I 。故但 /(?) - /(0) _ λj?j ?z ? + i?y 从而（沿正实轴。一 H ）当I: 「时，极限不存在。因二取实数趋于O 时，起极限为1 ,二取纯虚数而趋于例2.2 在了 — 1满足定理 2.1的条件，但在_ I.不可微。 M (ΔJ 7O)-?(O,O) = 0 = v∕0,0) (O f O) = Ii(Q i Ly)-Ii(Ofi) Ay

复变函数经典习题及答案

练习题一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ），主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（绝对收敛）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点；二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13

复变函数习题及解答

第一章复变函数习题及解答写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-；（2） ππ2(cos isin )33-；（3）1cos isin αα-+；（4）1i e +；（5）i sin R e θ ；（6）i + 答案（1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3；原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ．（2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-；答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=；计算下列复数（1 （2 答案（1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x

【解】令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以即实部为 ,x ± 虚部为说明已考虑根式函数是两个值，即为±值．如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根．证因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =，故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根．注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点．证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义．若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式（1） cos5θ；（2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：

复变函数论第三版课后习题答案解析

1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内接于单位圆 z 1 的一个正三角形的顶点。证由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。因为所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ，所以 z 1 z 2

复变函数论第四版答案钟玉泉

复变函数论第四版答案钟玉泉（1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与 xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。（2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。（3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这个是复分析的第一个重要定理。（4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和

零点极点的性质。与之类似的幅角定理也展示了类似的关系。（6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。（7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。（8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的微分方程，以及该函数的性质。以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。

复变函数课后习题答案全

习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ，因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ，因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ，因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+=

（2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3．求下列各式的值：（1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- =

复变函数习题答案第4章习题详解

第四章习题详解 1．下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1) mi ni a n -+= 11； 2) n n i a -?? ? ? ?+=21； 3) ()11++ -=n i a n n ； 4) 2i n n e a π-=； 5) 21i n n e n a π-= 。 2．证明：??? ????≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在， 3．判别下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1) ∑∞ =1n n n i ； 2) ∑∞ =2n n n i ln ； 3) ()∑∞=+0856n n n i ； 4) ∑∞=0 2n n in cos 。 4．下列说法是否正确？为什么？ 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；

2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。 5．幂级数()∑∞ =-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？ 6．求下列幂级数的收敛半径： 1) ∑∞ =1n p n n z （p 为正整数）； 2) ()∑∞=12n n n z n n !； 3) ()∑∞=+01n n n z i ； 4) ∑∞=1n n n i z e π； 5) ()∑∞=-??? ??1 1n n z n i ch ； 6) ∑∞=??? ? ?1n n in z ln 。 7．如果 ∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示：()n n n n z c z c

复变函数练习题及答案

复变函数卷答案与评分标准一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：（1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微，（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分）定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：（1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续，（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分）定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。（3分）定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分）二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分）解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分）（2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。

复变函数论第四版第四五章练习

复变函数第四、五章练习一、掌握复级数收敛，绝对收敛的判别 1. 判断下列级数是否收敛，是否绝对收敛。（1）2ln n n i n ∞ =∑ （2）01cos 2n n in ∞=∑ （3）0(1)2n n n n i ∞=+∑ 2.如果级数1n n c ∞=∑收敛，且存在0,,..,|arg |,2n s t c πααα><≤证明级数1n n c ∞ =∑绝对收敛. 二、充分掌握幂级数，及解析函数的泰勒展开式 3. 证明级数11n n n z z ∞ =-∑在||1z ≥上发散；在||1z <内绝对收敛且内闭一致收敛 4. 试证：黎曼函数 11(),(ln 0)z n z n n ζ∞ ==>∑，在点2z =的邻域内可展开为泰勒级数，并求收敛半径。 5.求下列幂级数的收敛半径：（1）0()n n n n a z ∞=+∑ （2）0[3(1)](1)n n n n z ∞=+--∑ （3）(1)0()(1)n n n n i z n ∞ +=-∑ 6.设0n n n a z ∞ =∑的收敛半径为R , 证明：0[Re()]n n n a z ∞=∑的收敛半径大于等于R 。 7．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，试回答该级数在2=z 处的敛散性。 8.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，求幂级数∑∞=0 n n n z c 的收敛半径。 9. 将函数31()z f z z -= 在点1z =-展成泰勒级数。 10.证明：若1||,2z ≤则2|ln(1)|||z z z +-≤. （这里ln(1)z +取主值支）三、充分掌握解析函数零点阶数的求法、具有零点的解析函数的表达式、零点的孤立性、惟一性定理、最大模原理

复变函数习题集(1-4)

第一章复数与复变函数一、选择题： 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 32 1+ - （D ）i 2 12 3+ - 3．复数z -3(cos -isin )5 5 π π =的三角表示式为（） A ．44-3(cos isin )5 5 ππ＋ B ． 443(cos isin )55ππ－ C ． 443(cos isin )5 5 ππ＋ D ．44-3(cos isin )5 5 ππ－ 4．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续二、填空题 1．设) 2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线. 5．=+++→)21(lim 4 2 1z z i z 三.求方程z 3+8=0的所有复根. 第二章解析函数一、选择题：

复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数.

复变函数经典例题

第一章例题例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？（1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧；（2）倾角的直线；（3）双曲线。解设，则因此（1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。（2）在平面上对应的图形为：射线。（3）因，故，在平面上对应的图形为：直线。例1.2设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续，则，只要，就有特别，取，则由上面的不等式得因此，在邻域内就恒不为0。例1.3设试证在原点无极限，从而在原点不连续。

证令变点，则从而（沿正实轴）而沿第一象限的平分角线，时，。故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。第二章例题例2.1在平面上处处不可微证易知该函数在平面上处处连续。但当时，极限不存在。因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。故处处不可微。例 2.2函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。证因。故但

在时无极限，这是因让沿射线随而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。例2.3讨论的解析性解因, 故要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性解因, 故要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。例2.5讨论的可微性和解析性，并求。解因, 而在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且。例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求之值。解设，则

由代入得解得：，从而。例2.7设则且的主值为。例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即从而故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1 也是其支点。任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简

复变函数试题与答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π =+z arc ，6 5)2(π=-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 3．复数)2( tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）

（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ）22 1=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）

复变函数积分(练习题)

基本要求 1．正确理解复变函数积分的概念；01()lim ()n k k C k f z dz f z λζ→==?∑? 2．掌握复变函数积分的一般计算法；()()()(())()C C f z dz u iv dx idy f z t z t dt βα '=++=??? 3．掌握并能运用柯西—古萨基本定理和牛顿—莱布尼茨公式来计算积分； ()0C f z d z =? ，10 10()()()z z f z dz G z G z =-? 4．掌握闭路变形定理、复合闭路定理，并能运用其计算积分； 1()()C C f z dz f z dz =?? ，1()()k n C C k f z dz f z dz ==∑?? 5．掌握并能熟练运用柯西积分公式；00 ()2()C f z dz if z z z π=-? 6．掌握解析函数的高阶导数公式，理解解析函数的导数仍是解析函数，会用高阶导数公式计算积分。 0102()()()! n C if z f z dz z z n π+=-? 一、填空题 1．2||122z dz z z ==++? （）； 2．22|1|111z z dz z -=+=-? （）； 3．2||1cos ()z z dz z π==-? （）； 4．设()f z 在单连通域D 内解析且不为零，C 为D 内任一条简单闭曲线，则()2()1() C f z f z dz f z '''++=? （）； 5．解析函数()f z 的导函数仍为（），且()()n f z =（）。二、计算下列各题 1．计算积分2(2)C iz dz +?，C 是由(1,0)A 到(0,1)B 的直线段； 111.33 i -+ 2．计算积分22z C e dz z z +? ，:||2C z =； 22(1).i e π--

复变函数D卷答案

湖南科技学院二○○ 年学期期末考试专业年级试题考试类型：闭卷试卷类型：D 卷考试时量： 120 分钟一（共7分，每小题1分) 1．nLnz Lnz n =（n 为正整数）（） 2．),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x u 是),(y x v 的共轭调函数。（） 3．函数在可去奇点处的留数为0。（） 4．0是2sin )(z z z f = 的一阶极点。 ( ) 5．复数0的辐角主值为0。（） 6．在复变函数中，0cos ,0sin ,1|cos |,1|sin |2 2 ≥≥≤≤z z z z 同样成立。（） 7．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的实部),(y x u 和虚部),(y x v 都是其解析区域内的调和函数。（）二、填空题（共28分，每小题4分) 1． i i -1=_________. 2．? =-2 |1|2 z z dz = 。 3． dz z c ?=__________。（其中c 是从1到的直线段） 4．幂级数n n n z n ∑ +∞ =1 的收敛半径R =

5．0为 )1()(2-=z e z z f 的阶零点。 6．2 ||2(1)(3)z dz z z =--?=____________ 7． )1(Re z z s z +∞== 。 8.1z =+arg z =_______________。三、计算题（共39分) 1. 已知),(),()(y x iv y x u z f +=在z 平面上是解析函数，且2 33),(xy x y x u -=，求解)(z f ，使得i f 2)0(=。（12分） 2. 求 ) 1(1 -z z 在10<z 内的展开式。（15分） 3. 利用留数求定积分20 1 .51sin 82 I d π θθ=-? （12分）四、证明题（共12分）若函数)(),(z f z f 在区域D 内都解析，证明在D 内)(z f 为常数。

复变函数论第三版课后习题答案

第一章习题解答（一） 1 ．设z ，求z 及Arcz 。解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 41212222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程44 0,(0)z a a +=>。解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 22 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3 是接于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。证由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ，又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z

第1章复变函数习题-答案~习题详解

第一章习题详解 1．求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1) i 231 + 解： ()()()13 2349232323231231i i i i i i -=+-=-+-=+ 实部：13 3 231= ??? ??+i Re 虚部：132231-=?? ? ??+i Im 共轭复数：1323231i i += ?? ? ??+ 模：131 1323231 2 22=+= +i 辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213 3132 2231231+? ?? ??-=+-=+??? ??+=??? ??+arg 2) i i i -- 131 解： ()()()2 532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=-- 实部：2 3131=??? ??--i i i Re 虚部：25131-=?? ? ??--i i i Im 共轭复数：253131 i i i i +=?? ? ??-- 模：2 34 4342531312 22= =+= --i i i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+??? ??-=+???? ? ??-=+??? ??--=??? ??--arg

3) ()()i i i 25243-+ 解： ()()()2 26722672 72625243i i i i i i i --= -+= --= -+ 实部：()()2725243-=?? ? ??-+i i i Re 虚部：()()1322625243-=- =?? ? ??-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i i i i +-= ?? ? ??-+ 模： ()() 292522627252432 2 =?? ? ??-+??? ??-=-+i i i 辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+??? ??=+????? ? ?--=??? ??-+ 4) i i i +-21 8 4 解：i i i i i i 3141421 8-=+-=+- 实部：( )1421 8=+-i i i Re 虚部：( )3421 8-=+-i i i Im 共轭复数：() i i i i 314218+=+- 模：103142221 8 =+=+-i i i 辐角：( )()πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 2321324421821 8 +-=+?? ? ??-=++-=+-arg 2．当x 、y 等于什么实数时，等式 ()i i y i x +=+-++13531成立？解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有： ()()()i i i y i x 8235131+=++=-++ ?? ?=-=+8321y x ? ??==?111 y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。

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