5.6.3 二次型最优控制问题
现在我们来研究最优控制问题。已知系统方程为
Bu Ax x
+= (5.20) 确定最优控制向量
)()(t Kx t u -=
(5.21) 的矩阵K ，使得性能指标
(5.22)
达到极小。式中Q 是正定（或正半定）Hermite 或实对称矩阵，R 是正定Hermite 或实或实对称矩阵。注意，式(5.22）右边的第二项是考虑到控制信号的能量损耗而引进的。矩阵Q 和R 确定了误差和能量损耗的相对重要性。在此，假设控制向量)(t u 是不受约束的。
正如下面讲到的，由式(5.21）给出的线性控制律是最优控制律。所以，若能确定矩阵K 中的未知元素，使得性能指标达极小，则)()(t Kx t u -=对任意初始状态x (0)而言均是最优的。图5.6所示为该最优控制系统的结构方块图。
图5.6 最优控制系统
现求解最优控制问题。将式(5.21）代入式(5.20），可得
()x
Ax BKx A BK x =-=- 在以下推导过程中，假设BK A -是稳定矩阵，BK A -的所有特征值均具有负实部。
将式(5.21）代入（5.22），可得
??∞
∞
+=+=0
)()(xdt
RK K Q x dt
RKx K x Qx x J H H H H H
依照解参数最优化问题时的讨论，取
?∞
+=0
)(dt
Ru u Qx x J
H H
)()(Px x dt
d x RK K Q x H
H H -
=+ 式中的P 是正定的Hermite 或实对称矩阵。于是
])()[()(x BK A P P BK A x x P x Px x
x RK K Q x H H H H H H -+--=--=+ 比较上式两端，并注意到方程对任意x 均应成立，这就要求
)()()(RK K Q BK A P P BK A H H +-=-+-
(5.23)
根据Lyapunov 第二法可知，如果BK A -是稳定矩阵，则必存在一个满足式(5.23）的正定矩阵P 。
因此，该方法由式(5.23）确定P 的各元素，并检验其是否为正定的（注意，这里可能不止一个矩阵P 满足该方程。如果系统是稳定的，则总存在一个正定的矩阵P 满足该方程。这就意味着，如果我们解此方程并能找到一个正定矩阵P ，该系统就是稳定的。满足该方程的其他矩阵P 不是正定的，必须丢弃）。 性能指标可计算为
)0()0()()()(0
0Px x Px x Px
x xdt RK K Q x J H H H
H
H
+∞∞-=-=+=∞∞
?
由于假设A-BK 的所有特征值均具有负实部，所以0)(→∞x 。因此
)0()0(Px x J H =
(5.24)
于是，性能指标J 可根据初始条件x (0)和P 求得。
为求二次型最优控制问题的解，可按下列步骤操作：由于所设的A 是正定Hermite 或实对称矩阵，可将其写为
T T R H =
式中T 是非奇异矩阵。于是，式(5.23）可写为
0)()(=++-+-TK T K Q BK A P P B K A H H H H H
上式也可写为
0])([])([111=+---++---Q P B PBR P B T TK P B T TK PA P A H H H H H H H 求J 对K 的极小值，即求下式对K 的极小值
x P B T TK P B T TK x H H H H H H ])([])([11----
(见例5.21)。由于上面的表达式不为负值，所以只有当其为零，即当
P B T TK H H 1)(-=
时，才存在极小值。因此
P B R P B T T K H H H 111)(---==
(5.25)
式(5.25）给出了最优矩阵K 。所以，当二次型最优控制问题的性能指标由式(5.22）
定义时，其最优控制律是线性的，并由
)()()(1t Px B R t Kx t u H --=-=
给出。式(5.25）中的矩阵P 必须满足式(5.23），即满足下列退化方程
01=+-+-Q P B PBR PA P A H H
(5.26)
式(5.26）称为退化矩阵黎卡提方程，其设计步骤如下：
1、求解退化矩阵黎卡提式(5.26），以求出矩阵P 。如果存在正定矩阵P （某些系统可能没有正定矩阵P ），那么系统是稳定的，即矩阵BK A -是稳定矩阵。
2、将矩阵P 代入式(5.25），求得的矩阵K 就是最优矩阵。
例5.9 是建立在这种方法基础上的设计例子。注意。如果矩阵BK A -是稳定的，则此方法总能给出正确的结果。
确定最优反馈增益矩阵K 还有另一种方法，其设计步骤如下： 1、由作为K 的函数的式(5.23）中确定矩阵P 。
2、将矩阵P 代入式(5.24）,于是性能指标成为K 的一个函数。
3、确定K 的各元素，使得性能指标为极小。这可通过令ij k J ??/等于零，并解出ij k 的最优值来实现J 对K 各元素ij k 为极小。
这种设计方法的详细说明见例5.11和5.12。当元素ij k 的数目较多时，该方法很不便。
如果性能指标由输出向量的形式给出，而不是由状态向量的形式给出，即
?∞
+=0
)(dt Ru u y Q y J H H
则可用输出方程
Cx y =
来修正性能指标，使得J 为
(5.29)
且仍可用本节介绍的设计步骤来求最优矩阵K 。
------------------------------------------------------------------ [例5.9] 研究如图5.7所示的系统。假设控制信号为
)()(t Kx t u -=
试确定最优反馈增益矩阵K ，使得下列性能指标达到极小
dt u Qx x J T ?∞
+=0
2)(
式中
0,001≥?
?
?
???=μμQ
由图5.7可看出，被控对象的状态方程为
x
Ax Bu =+ ?∞
+=0
)(dt
Ru u QCx C x J H H H
式中
??
????=?
?????=10,0010B A
图5.7 控制系统
以下说明退化矩阵黎卡提代数方程如何应用于最优控制系统的设计。求解(5.26），将其重写为
01=+-+-Q P B PBR PA P A H H
注意到A 为实矩阵，Q 为实对称矩阵，P 为实对称矩阵。因此，上式可写为 [][]???
???=??????+??????????????????-??
?
?????????+????????????0000001101100010010022121211221212112212121122121211μp p p p p p p p p p p p p p p p
该方程可简化为
??
?
???=??????+??????-?????
?+??????000000100002
2222
1222122
12
12111211μp p p p p p p p p p 由上式可得到下面3个方程
012
12=-p
0221211=-p p p
022
2212=-+p p μ
将这3个方程联立，解出11p 、12p 、22p ，且要求P 为正定的，可得 ????
????++=??????=211222121211μμp p p p P 参照式(5.25）,最优反馈增益矩阵K 为
P B P K H 1-=
[][]]
21
[][10122122212
1211
+==??
??
??=μp p p p p p
因此，最优控制信号为
212x x Kx u +--=-=μ
(5.28)
注意，由式(5.28）给出的控制律对任意初始状态在给定的性能指标下都能
得出最优结果。图5.8是该系统的方块图。
图5.8 图5.7所示对象的最优控制
------------------------------------------------------------------
5.7 二次型最优控制问题的MATLAB 解法
在MATLAB 中，命令
),,,(R Q B A lqr
可解连续时间的线性二次型调节器问题，并可解与其有关的黎卡提方程。该命令可计算最优反馈增益矩阵K ，并且产生使性能指标。
?∞
'+'=0
)(dt Ru u Qx x J
在约束方程
Bu Ax x
+= 条件下达到极小的反馈控制律
Kx u -=
另一个命令
[]),,,(,,R Q B A lqr E P K =
也可计算相关的矩阵黎卡提方程
Q P PBRB P A PA H H +-+=0
的唯一正定解P 。如果BK A -为稳定矩阵，则总存在这样的正定矩阵。利用这个命令能求闭环极点或BK A -的特征值。
对于某些系统，无论选择什么样的K ，都不能使BK A -为稳定矩阵。在此情况下。这个矩阵黎卡提方程不存在正定矩阵。对此情况，命令
),,,(R Q B A lqr K =
[]),,,(,,R Q B A lqr E P K =
不能求解，详见MATLAB Prgram 5.1。
MATLAB Program 5.1
%——Design of quadratic optimal regulator system ——
%*****Determination of feedback gain matrix K for quadratic %optimal control*****
%*****Enter state matrix A and control matrix B*****
A=[-1 1;0 2] B=[1;0];
%*****Enter matrices Q and R of the quadratic performance %index*****
Q=[1 0;0 1]; R=[1];
%*****To obtain optimal feedback gain matrix,K,enter the %following command*****
K=lqr(A,B,Q,R)
Warning:Matrix is singular to working precision. K=
NaN NaN
%***** lf we enter the command [K,P,E]=lqr(A,B,Q,R).then*****
[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)
Warning;Matrix is singular to working precision. K=
NaN NaN P=
-lnf -lnf -lnf -lnf E=
-2.0000 -1.4142
------------------------------------------------------------------ [例5.10] 考虑由下式确定的系统
u x x x x
??
?
???+????????????-=?
?????0120
112121 证明：无论选择什么样矩阵K ，该系统都不可能通过状态反馈控制
Kx u -=
来稳定（注意，该系统是状态不可控的）。
定义
[]21
k k K =
则
[]210120
11
k k BK A ??????-??????-=- ??
?
???---=210121k k 因此特征方程为
)2)(1(2
11121
=-++=-+-++=
+-s k s s k k s BK A sI
闭环极点为
2,11=--=s k s
由于极点2=s 在s 的右半平面，所以无论选择什么样的矩阵K ，该系统都是不稳定的。因此，二次型最优控制方法不能用于该系统。 假设在二次型性能指标中的Q 和R 为
]1[,1001=??????=R Q 并且写出MATLAB Progam 5.1。所得的MATLAB 解为
[]NaN NaN K =
其中NaN 表示“不是一个数”。每当二次型最优控制问题问题的解不存在时，MATLAB 将显示矩阵K 由NaN 组成。
------------------------------------------------------------------ [例5.11] 考虑下式定义的系统
Bu Ax x
+= 式中
性能指标J 为 这里
假设采用下列控制u
Kx u -=
确定最优反馈增益矩阵K 。
最优反馈增益矩阵K 可通过求解下列关于正定矩阵P 的黎卡提方程得到
0'' 1=+-+-Q P B PBR PA P A
其结果为
将该矩阵P 代人下列方程，即可求得最可求得最优矩阵K 为
??????=??????-=10,1010B A ?+∞
=kt
Ru u Qx x J )'' (0
]1[,1001=?
?????=R Q ??
????=1112P
P B R K '1-=
因此，最优控制信号为
u Kx x x =-=--12
利用MATLAB Program 5.2也能求解该问题。
MATLAB Program 5.2
%——Design of quadratic optimal regulator system
%*****Determination of feedback gain matrix K for quadratic %optimal control*****
%*****Enter state matrix A and control matrix B*****
A=[0 1;0 -1]; B=[0;1];
%*****Enter matrices Q and R of the quadratic performance %index*****
Q=[1 0;0 1]; R=[1];
%The optimnal feedbck gain matrix K (if such matrix K
% exists)can be obtained by entering the following command *****
K=lqr(A,B,Q,R) K=
1.0000 1.0000
------------------------------------------------------------------ [例5.12] 考虑下列系统
Bu Ax x
+= 式中
?
???0010
]11[1112]10][1[=??
?
???=
性能指标J 为 式中
求黎卡提方程的正定矩阵R 、最优反馈增益矩阵K 和矩阵A -BK 的特征值。 利用MATLAB Program 5.3，可求解该问题。
MATLAB Program5.3
%--------Design of quadratic optimal regulatorsystem------- %*****Determination of feedback gain matrix K for quadratic *****Enter state matrix A and control matrix B***** A=[0 0;0 0 1;-35 -27 -9]; B-[0;0;1]
%******Enter matrices Q and R of the quadratic performance %index *****
Q=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]; R=[1];
%******The optimal feedback gain matrix K, solution P of Riccati %equation,and closed-loop poles(that is,the eigenvalues %of A-BK)can be obtained by entering the following %command*****
[K,P,E]=[qr(A,B,Q,R)] K=
0.0143 0.1107 0.0676 P=
4.2625 2.4957 0.0143 2.4957 2.8150 0.1107 0.0143 0.1107 0.0676 E=
-5.0958
-0.9859+1.7110I -1.9859-1.7110i
------------------------------------------------------------------ [例5.13] 考虑与例12.7中讨论的相同的系统。该系统的状态空间表达式为
Bu Ax x
+= Du Cx y +=
式中
[]]0[,001,100,320100010==??
??
??????=??????????--=D C B A dt
Ru u Qx x J ）（'+'∞
=?0
[]1,100010001=??
??
?
?????=R Q
假设控制信号u 为
)()()(3322111332211x k x k x k r k x k x k x r k u ++-=+--=
如图3.9所示。在确定最优控制律时，假设输入为零，即r =0。 确定状态反馈增益矩阵K （[]321k k k K =），使得性能指标
达到极小。这里
为了得到快速响应，11q 与22q 、33q 和R 相比必须充分大。在该例中，选取
01.0,1,100332211====R q q q
为了利用MATLAB 求解，可使用命令
),,,(R Q B A lqr K =
由MATLAB Program 5.14，可得到该例题的解。
MATLAB Program 5.4
%--------Design of quadratic optimal control system ——
%*****We shall determine the optimal feedback gain matrix K that % minimizes the performance index J***** A=[0 1 0;0 0 1;0 -2 -3]; B=[0;0;1]
%*****Enter matrices Qand Rof the quadratic performance %index J*****
Q=[100 0 0;0 1 0;0 0 1]; R=[0,01];
%*****To obtain the optimal state feedback gain matrix K, %enter the following command*****
K=lqr(A,B,Q,R) k=
????
?
?????=??????????==??????????=y y y x x x x R q q q Q 321332211
,1,0
00
00dt Ru u Qx x J )(0
'+'∞
=?
100.0000 53.1200 11.6711
k1=K(1),k2=K(2),k3=k(3) k1= 100.0000 k2=
53.1200 k3= 11.6711
采用确定的矩阵K 来研究所设计的系统对阶跃输入的响应特性。所设计的系统的状态方程为
r
Bk x BK A r k Kx B Ax Bu Ax x
11)()(+-=+-+=+= 输出方程为
????
??????==321]001[x x x Cx y 为求对单位阶跃输入的响应，使用下列命令
),,,(],,[DD CC BB AA step t x y =
式中
D DD C CC Bk BB BK A AA ===-=,,,1
MATLAB Program 5.5可求出该系统对单位阶跃的响应。图5.10画出了输出
y 对时间t 的响应曲线，图5.11在同一张图上画出了1x ,2x 和3x 对t 的响应曲线。
MATLAB Program 5.5
%--------Unit-step response of designed system ——
%*****Using the optimalfeedback gain matrix k determined in %MATLAB Program 5.4,we shall obtain the unit-step response % of the designed system *****
%*****Note that matrices A,B,and K are given as tollows*****
A=[0 1 0;0 0 1;0 -2 -3];
B=[0;0;1]
K=[100.0000 53.1200 11.6711];
K1=K(1);k2=K(2);k3=K(3);
%*****The state equation for the designed system is
%xdot=(A-BK)x+Bk1r and the output equation is
%y=Cx+Du,where matrices C and D are given by******
C=[1 0 0];
D=[0];
%*****Define the state matrix,control matrix, output matrix,
%and direct transmission matrix of the designed systems as AA, %BB,CC,and DD *****
AA=A-B*K;
BB=B*k1;
CC=C;
DD=D;
%*****To obtain the unit-step response curves for the first eight %seconds,enter the following command*****
t=0:0.01:8;
[y,x,t]=step[AA,BB,CC,DD,l,t);
%*****Toplot the unit-step response curve y(=xl)versus t,
%enter the following command*****
plot(t,y)
grid
title(‘Unit-Step Response of Quadratic Optimal Control System’) ylabel(‘Output y=xl’)
%*****To plot curves x1,x2,x3 versus t on one diagram, enter %the following command***** plot(t,x) grid
title(‘Response Curvesx1,x2,x3,versus t’) xlabel(‘t Sec’) ylabel(‘x1,x2,x3’) text(2.6,1.35,’x1’) text(1.2,1.5,’x2’) text(0.6,3.5,’x3’)
图5.10 二次型最优控制系统的单位阶跃响应曲线
图5.11 1x ,2x 和3x 对t 的响应曲线
------------------------------------------------------------------
下面总结线性二次型最优控制问题的MATLAB 解法。
(1) 给定任意初始条件x (t 0)，最优控制问题就是找到一个容许的控制向量
u (t )，使状态转移到所期望的状态空间区域上，使性能指标达到极小。为了使最优控制向量u (t )存在，系统必须是状态完全可控的。
(2) 根据定义，使所选的性能指标达到极小（或者根据情况达到极大）的系统是最优的。在多数实际应用中，虽然地于控制器在“最优性”方面不会再提出任何要求，但是在涉及定性方面，还应特别指出，这就是基于二次型性能指标的设计，应能构成稳定的控制系统。
(3) 基于二次型性能指标的最优控制规律。具有如下特性，即它是状态变量的线性函数。这意味着，必须反馈所有的状态变量。这要求所有状态变量都能用于反馈。如果不是反有状态变量都能用于反馈，则需要使用状态观测器来估计不可测量的状态变量，并利用这些估值产生最优控制信号。
(4) 当按照时域法设计最优控制系统时，还需研究频率响应特性，以补偿噪
声的影响。系统的频率响应特性必须具备这种特性，即在预料元件会产生噪声和谐振的频率范围区，系统应有较大的衰效应（为了补偿噪声的影响，在某些情况下，必须修改最优方案而接受次最优性能或修改性能指标）。
(5) 如果在式(5.22）给定的性能指标J中，积分上限是有限值，则可证明最优控制向量仍是状态变量的线性函数，只是系数随时间变化（因此，最优控制向量的确定包含最优时变矩阵的确定）。
现代控制理论试题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
现代控制理论试题 一、名词解释（15分） 1、能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系 统的那些性质 2、如何判断线性定常系统的能控性如何判断线性定常系统的能观性 3、传递函数矩阵的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么 三、计算题（70分） 1、RC 无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，为系统的输入，选两端的电压为状态变量,两端的电压为状态变量,电压为为系统的输出y。 2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s) 图1：RC无源网络 3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解和 5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐 近稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为,和。 现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。
《最优控制理论》 课程总结 姓名：肖凯文 班级：自动化1002班 学号：0909100902 任课老师：彭辉
摘要：最优控制理论是现代控制理论的核心，控制理论的发展来源于控制对象的要求。尽50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象，如宇宙飞船、导弹、卫星、和现代工业设备的生产过程等的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度去进行研究分析和设计。最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使某一性能指标达到最优值[1]。 关键字：最优控制理论，现代控制理论，时域数学模型，频域数学模型，控制率Abstract： The Optimal Control Theory is the core of the Modern Control Theory，the development of control theory comes from the requires of the controlled objects.During the 50 years， the rapid development of the scientific technology puts more stricter requires forward to mang controlled objects，such as the spacecraft，the guide missile，the satellite，the productive process of modern industrial facilities，and so on，and requests some performance indexes that will be best in mang cases.To the control problem，it requests people to research ,analyse，and devise from the point of view of the Optimal Control Theory. There are mang major problems of the Optimal Control Theory studying,such as the building the time domain’s model or the frenquency domain’s model according to the controlled objects,controlling a control law with admitting, making the controlled objects to work according to the scheduled requires, and making the performance index to reseach to a best optimal value. Keywords: The Optimal Control Theroy， The Modern Control Theroy， The Time Domaint’s Model， The Frequency domain’s Model，The Control Law
现代控制理论基础考试题 西北工业大学考试题（A卷） （考试时间120分钟） 学院：专业：姓名：学号： 一．填空题（共27分，每空1.5分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T 为周期进行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为 __________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义 能量， V(x, t)称为___________。 8.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函
数的所有极点具有______。 9. 控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的_________、_________和较强的_________。 10. 所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的 系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 11. 实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r 维控 制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 12. _________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的 重要方法。 二． 判断题（共20分，每空2分） 1. 一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。 （×） 2. 传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。 （√） 3. 状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。 （×） 4. 对于任意的初始状态)(0t x 和输入向量)(t u ，系统状态方程的解存在并且 惟 一 。 （√） 5. 传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。 （×）
13/2012 59 现代控制理论概述及实际应用意义 王 凡 王思文 郑卫刚 武汉理工大学能源与动力工程学院 【摘 要】控制理论作为一门科学技术，已经广泛地运用于我们社会生活的方方面面。本文介绍了现代控制理论的产生、发展、内容、研究 方法和应用以及经典控制理论与现代控制理论的差异，并介绍现代控制理论的应用。提出了学习现代控制理论的重要意义。【关键词】现代控制理论；差异；应用；意义 1.引言 控制理论作为一门科学技术，已经广泛地运用于我们社会生活的方方面面。例如，我们的教学也使用了控制理论的方法。老师在课堂上讲课，大家在课堂上听，本身可看作一个开环函数；而同学们课下做作业，再通过老师的批改，进而改进和提高老师的授课内容和方法，这就形成了一个闭环控制。像这样的例子很多，都是控制理论在生活中的应用。现代控制理论如此广泛，因此学好现代控制理论至关重要。 2.现代控制理论的产生与发展现代控制理论的产生和发展经过了很长的时期。从现代控制理论的发展历程可以看出，它的发展过程反映了人类由机械化时代进入电气化时代，并走向自动化、信息化、智能化时代。其产生和发展要分为以下几个阶段的发展。 2.1 现代控制理论的产生在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞速发展，推动了核能技术、空间技术的发展，从而对出现的多输入多输出系统、非线性系统和时变系统的分析与设计问题的解决。 科学技术的发展不仅需要迅速 地发展控制理论，而且也给现代控制理论的发展准备了两个重要的条件—现代数学和数字计算机。现代数学，例如泛函分析、现代代数等，为现代控制理论提供了多种多样的分析工具；而数字计算机为现代控制理论发展提供了应用的平台。 2.2 现代控制理论的发展五十年代后期，贝尔曼（Bellman）等人提出了状态分析法；在1957年提出了动态规则；1959年卡尔曼（Kalman）和布西创建了卡尔曼滤波理论；1960年在控制系统的研究中成功地应用了状态空间法，并提出了可控性和可观测性的新概念；1961年庞特里亚金（俄国人）提出了极小（大）值原理；罗森布洛克（H.H.Rosenbrock）、麦克法轮（G.J.MacFarlane）和欧文斯（D.H.Owens）研究了使用于计算机辅助控制系统设计的现代频域法理论，将经典控制理论传递函数的概念推广到多变量系统，并探讨了传递函数矩阵与状态方程之间的等价转换关系，为进一步建立统一的线性系统理论奠定了基础。 20世纪70年代奥斯特隆姆（瑞典）和朗道（法国，https://www.doczj.com/doc/4213956121.html,ndau）在自适应控制理论和应用方面作出了贡献。 与此同时，关于系统辨识、最优控制、离散时间系统和自适应控制的发展大大丰富了现代控制理论的内容。 3.现代控制理论的内容及研究方法 现代控制理论的内容主要有为系统辨识；最优控制问题；自适应控制问题；线性系统基本理论；最佳滤波或称最佳估计。 （1）系统辨识 系统辨识是建立系统动态模型的方法。根据系统的输入输出的试验数据，从一类给定的模型中确定一个被研究系统本质特征等价的模型，并确定其模型的结构和参数。 （2）最优控制问题 在给定约束条件和性能指标下，寻找使系统性能指标最佳的控制规律。主要方法有变分法、极大值原理、动态规划等极大值原理。现代控制理论的核心即：使系统的性能指标达到最优（最小或最大）某一性能指标最优：如时间最短或燃料消耗最小等。 （3）自适应控制问题 在控制系统中，控制器能自动适应内外部参数、外部环境变化，自动调整控制作用，使系统达到一定意义下的最优。模型参考自适应控制
6-1 对线性系统 A B C D =+?? =+? x x u y x u 作状态反馈v x u +-=K ,试推导出闭环系统的状态空间模型和传递函数。 解 将反馈律代入状态空间模型，则有 ()()()()A B K A BK B C D K C DK D =+-+=-+=+-+=-+x x x v x v y x x v x v 因此，闭环系统的状态空间模型和传递函数分别为 1()()()()()K A BK B C DK D G s C DK sI A BK B D -=-+?? =-+?=--++x x v y x v 6-2 对线性系统 A B C D =+?? =+? x x u y x u 作输出反馈u =-H y +v ,试推导出闭环系统的状态空间模型和传递函数。 解 将反馈律代入状态空间模型的输出方程，则有 () C D H C DH D =+-+=-+y x y v x y v 即 ()I DH C D +=+y x v 因此，当()I DH +可逆时，闭环系统输出方程为 11()()I DH C I DH D --=+++y x v 将反馈律和上述输出方程代入状态方程，则有 11() [()][()]A B A B H A BH I DH C BH I DH D B --=+=+-+=-++++x x u x y v x v 当闭环系统的状态空间模型和传递函数分别为 1111 11111[()][()]()()()()[()][()]()H A BH I DH C BH I DH D B I DH C I DH D G s I DH C sI A BH I DH C BH I DH D B I DH D ---------?=-++++?=+++?=+-++++++x x v y x v
西北工业大学考试试题（卷）2008 －2009 学年第2 学期
2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+- +-+- ++-+=??????-+++=-??? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 21221112112 213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ 第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果） （1） 系统动态方程（3分） []x y u x x 0010 1003201 00010=???? ??????+??????????--=&
哈工大2010年春季学期 现代控制理论基础 试题A 答案 一．（本题满分10分） 如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。 【解】 （1）对左边的质量块，有 ()2111211cos sin sin cos sin 222 L L L ML f k MgL θθθθθθ=?-?-?- 对右边的质量块，有 ()221222sin sin cos sin 22 L L ML k MgL θθθθθ=?-?- 在位移足够小的条件下，近似写成： ()112124f kL ML Mg θθθθ=--- ()21224kL ML Mg θθθθ=--
即 112442k g k f M L M ML θθθ??=-+++ ??? 21244k k g M M L θθθ??=-+ ??? （2）定义状态变量 11x θ=，21x θ=，32x θ=，42x θ= 则 12 2133441344244x x k g k f x x x M L M ML x x k k g x x x M M L =?? ???=-+++ ???? ? =????=-+? ????? 或写成 11 22334401 000014420001000044x x k g k x x M L M f ML x x x x k k g M M L ? ? ?? ?????????? ??-+???? ? ??????????=+??? ? ????? ?????????????????? ?????-+?? ? ? ?????? ? 二．（本题满分10分） 设一个线性定常系统的状态方程为= x Ax ，其中22R ?∈A 。 若1(0)1?? =??-??x 时，状态响应为22()t t e t e --??=??-?? x ；2(0)1??=??-??x 时，状态响应为 2()t t e t e --?? =??-?? x 。试求当1(0)3??=????x 时的状态响应()t x 。 【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有 221()1t t t e t e e --????==????--???? A x 22()1t t t e t e e --????==????--???? A x 合并得
现代控制理论试题 一、名词解释（15分） 1、能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性 质？ 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 3、传递函数矩阵错误！未找到引用源。的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？ 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？ 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？ 三、计算题（70分） 1、RC无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，错误！未找到引用源。为系统的输入，选错误！未找到引用源。两端的电压为状态变量错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。两端的电压为状态变量错误！未找到引用源。,电压错误！未找到引用源。为为系统的输出y。 图1：RC无源网络 2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s) 3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解错误！未找到引用源。和错误！ 未找到引用源。
5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即错误！未找到引用源。是 否为大范围渐近稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。。
现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性？ 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。 2、何为系统的最小实现？ 答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。 3、何为系统的渐近稳定性？ 答：若错误！未找到引用源。在时刻错误！未找到引用源。为李雅普若夫意义下的稳定，且存在不依赖于错误！未找到引用源。的实数错误！未找到引用源。和任意给定的初始状态错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。时，有错误！未找到引用源。，则称错误！未找到引用源。为李雅普若夫意义下的渐近稳定 二、简答题 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性 质？ 答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、能观性，系统特征值不变、传递函数不变 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 答：方法1：对n维线性定常连续系统，则系统的状态完全能控性的充分必要条件为：错误！未找到引用源。。 方法2：如果线性定常系统的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后A阵变换成对角标准形，且错误！未找到引用源。不包含元素全为0的行 线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵错误！未找到引用源。满秩。即：错误！未找到引用源。 3、传递函数矩阵错误！未找到引用源。的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？
第六次课小结 一、 Lyapunov 意义下的稳定性问题基本概念 平衡状态的概念 Lyapunov 意义下的稳定性定义（稳定，一致稳定，渐进稳定，一致渐进稳定，大范围渐进稳定等） 纯量函数的正定性，负定性，正半定性，负半定性，不定性 二次型，复二次型（Hermite 型） 二、 Lyapunov 稳定性理论 第一方法 第二方法 三、 线性定常系统的Lyapunov 稳定性分析 应用Lyapunov 方程 Q PA P A H -=+ 来进行判别稳定性 四、 线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计 衰减系数，一旦定出min η，则可定出)(x V 随时间t 衰减上界。 计算min η的关系式 五、 离散时间系统的状态运动稳定性及其判据 离散系统的大范围淅近稳定判据，Lyapunov 稳定判据在离散系统中的应用
六、线性多变量系统的综合与设计的基本问题 问题的提法 性能指标的类型 研究的主要内容 七、极点配置问题 问题的提出 可配置条件 极点配置算法
爱克曼公式(Ackermann’s Formula) 考虑由式（）给出的系统，重写为 Bu Ax x +=& 假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭环极点为n s s s μμμ===,,,21Λ。 利用线性状态反馈控制律 Kx u -= 将系统状态方程改写为 x BK A x )(-=& 定义 BK A A -=~ 则所期望的特征方程为 ) ())((~ 11121=++++=---=-=+-* *--*n n n n n a s a s a s s s s A sI BK A sI ΛΛμμμ 由于凯莱-哈密尔顿定理指出A ~ 应满足其自身的特征 方程，所以
一．（本题满分10分） 请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。 【解答】根据基尔霍夫定律得： 1113222332 1L x Rx x u L x Rx x Cx x x ++=?? +=??+=? 改写为1 13111 22 322 312 11111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ? =--+?? ?=-+???=-?? ，输出方程为2y x = 写成矩阵形式为
[]11 111222 2 331231011000110010R L L x x L R x x u L L x x C C x y x x ??? --???????????????? ???????=-+???? ??????? ??????????????? ? ???-?????? ? ? ??? ?? ?=??? ?????? 二．（本题满分10分） 单输入单输出离散时间系统的差分方程为 (2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++ 回答下列问题： （1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性； （3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。 【解答】 （1）在零初始条件下进行z 变换有： ()()253()2()z z Y z z R z ++=+ 系统的脉冲传递函数： 2()2 ()53 Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为 2()530D z z z =++= 特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。 （3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到 21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得 (2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+- []212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有： 212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为 12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为
西北工业大学考试试题（卷） 2008 －2009 学年第2 学期 ? 2? 设系统的传递函数为
[y b =21x x kx =-- · @
} 2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+-+-+- ++-+=??????-+++=-? ?? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 2 1221112112213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ *
现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ? ??? =+=????-???? 能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++= 求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y = ，3x y = ，可得 …..….…….（1分） 12233131 835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。 （3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ?? ??==?? ??-?? ，判定该系统是否完 全能观？(5分)
解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++- ，时系统从第 k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于 0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=?? ?? ? ?????-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=?? ?? ? ?????--=CA ……..……….（1分） ???? ? ?????-=??????????=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….……. （2分） 三、已知系统1、2的传递函数分别为 2122211 (),()3232 s s g s g s s s s s -+==++-+ 求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ?=++--- …..….……. （5分） 最小实现为
现代控制理论的应用----王力2011117322 现代控制理论的应用 2011117322 王力物联网工程现代控制理论：狭义的是指60年代发展起来的采用状态空间方法研究实现最优控制目标的控制系统综合设计理论；广义的
是指60年代以来发展起来的所有新的控制理论与方法。 采用状态观测器对系统状态进行估计（或称重构）实际反馈控制主要优点是理论体系严谨完整；可获得理想的最优控制性能，设计过程较少依赖经验试凑；主要缺点是要求系统模型准确，否则实际控制性能并非最优，即控制系统鲁棒差；理论较抽象，缺乏直观性，不易理解，需要较多数学知识；性能指标函数中的加权Q和R选取无定量准则可循，也需凭经验选取，故设计结果也与设计人员有关。 自动控制系统是指为实现自动控制目标由自动化仪表与被控对象所联接成闭环系统。其组成结构是由被控对象、测量代表、控制器或调节器和执行器构成反馈闭环结构，其形式有单回路形式和串级双回路形式；性能指标：定性的有稳（定性）、准（确性）、快（速性）；控制律（或控制策略、控制算法）：控制系统中控制器或调节器所采用的控制策略，即用系统偏差量如何确定控制量的数学表示式。 现代控制理论主要应用于航空类飞行器控制现代控制理论是基 于时域的系统分析方法，目前基本都是高端如火箭发射，导弹制导之类的复杂系统基于动态矩阵的预测控制等。比如在汽车中运用的自适应控制，汽车制动防抱死系统的控制，自适应估计等定速巡航系统的初衷是让车辆运行在最佳的发动机转速—油耗平衡点，汽车发动机的转速跟扭矩、油耗是有一定比例关系的，单位距离油耗最省的发动机转速所对应的速度就是巡航速度，这个定速巡航巡航系统就是个典型的现代控制系统，车辆快了，它帮你松油门，车辆慢了，它帮你踩。现代控制理论的应用于实际存在的很大的问题是系统模型是否准确
现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流 11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ????????????=+????????-????+++???????? 和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考 方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 从上述两式可解出1x ?，2x ? ，即可得到状态空间表达式如下： ??????21y y =????????++-211212110R R R R R R R ??????21x x +u R R R ????????+2120 二、考虑下列系统： （a ）给出这个系统状态变量的实现； （b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。 解：（a ）模拟结构图如下： 则可得系统的状态空间表达式： （b ） 因为 3023A -??=??? 0013 k k a -??-??-? 110b ????=?????? 所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。 又因为：[2C = 1 ]0 所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。 综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。 三、已知系统. Ax x =?的状态转移矩阵为： （1）试确定矩阵A ，并验证At e 确为上式。
第七章现场控制盘 在海上平台，一个大的处理系统，经常包含有多个子系统，如注水系统、分子筛干燥再 生系统、热油炉供热系统、丙烷制冷系统、三甘醇脱水及再生系统等。这些子系统规模较小，控制简单且相对独立，这些子系统的控制因此也常常采用现场控制PLC来实现子系统的控制，子控制系统PLC经过通讯方式与主控制系统相连，把它的数据信息传递给主控制系统，主控制系统又可将ESD信号通过硬线送到就地控制盘，实施对就地盘的关断，从而实现整个控制系统的集中管理与监视。也实现了平台控制系统的控制分散和危险分散的概念。 一、现场控制盘所用的控制系统 许多子系统都采用了性能好、可靠性高的A-B公司P LC的S LC500系列控制器，下面主要 介绍由SLC500系列控制器组成的现场控制系统。 1. 结构 SLC500系列控制器是为小规模应用而设计的可编程控制器，该系列有两种硬件结构：一种是用于固定式控制器，电源、CPU,I/O卡等都连为一体，不能随意配置；另一种用于模块式控制器，由于该系列可提供各种各样I/O模块，可以随意地、很经济地配置其控制系统。 一个SLC500系列的现场控制系统包括S LC硬件、显示终端、寻址、软件等。模块式现场 控制系统的结构如图4－1所示。 图7－1 模块式现场控制系统结构图 2. 硬件 SLC硬件包括安装框架、处理器模块、I／O模块、电源块等。 SLC安装框架均需要电源向处理器CPU及每个I／O槽供电。 处理器模块是现场控制系统的核心部分，它负责整个控制系统的数据处理、通讯、工作方式等。在处理器模块上有一个钥匙开关，使用钥匙开关可以改变处理器的操作方式。在处理器上有三种操作模式：运行（RUN）、编程（PROG）、远程（REM）。如表7-1 162
现代控制理论 1、经典-现代控制区别: 经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接与输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具、可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程、2、实现-描述 由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题、实现就是非唯一的、 3、对偶原理 系统=∑1(A1,B1,C1)与=∑2(A2,B2,C2)就是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性、或者说,若∑1就是状态完全能控的(完全能观的),则∑2就是状态完全能观的(完全能控的)、对偶系统的传递函数矩阵互为转置 4、对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件就是的不能观子系统为渐近稳定 第一章控制系统的状态空间表达式 1、状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组 2、输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式 3、状态空间表达式:状态方程与输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述 4、友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为0 5、非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du、T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一 6、同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量 第二章控制系统状态空间表达式的解 1、状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t) 2、线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ 第三章线性控制系统的能控能观性 1、能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态就是能控的、若系统的所有状态都就是能控的,称系统就是状态完全能控 2、系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A与控制矩阵b 3、一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0、(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的 4、在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件就是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为0 5、约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型 6、最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式就是最常用的、 第五章线性定常系统综合 1、状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入、K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵 2、输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵 3、从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC 4、线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都就是常矩阵 动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能 5、(1)状态反馈不改变受控系统的能控性 (2)输出反馈不改变受控系统的能控性与能观性 6、极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件就是∑0完全能控
现代控制理论复习提纲 第一章: 绪论 （1）现代控制理论的基本内容 包括:系统辨识、线性系统理论、最优控制、自适应控制、最优滤波 （2）现代控制理论与经典控制理论的区别 第二章：控制系统的状态空间描述 1.状态空间的基本概念； 系统、系统变量的组成、外部描述和内部描述、状态变量、状态向量、状态空间、状态方程、状态空间表达式、输出方程 2.状态变量图 概念、绘制步骤; 3.由系统微分方程建立状态空间表达式的建立； 1.２.1 第三章:线性控制系统的动态分析 1.状态转移矩阵的性质及其计算方法 （1)状态转移矩阵的基本定义; （２)几个特殊的矩阵指数； （3）状态转移矩阵的基本性质(以课本上的5个为主); （4)状态转移矩阵的计算方法 掌握: 2．2.２ 方法一：定义法 方法二：拉普拉斯变换法例题2－2 第四章：线性系统的能控性和能观测性 （1）状态能控性的概念 状态能控、系统能控、系统不完全能控、状态能达 （2）线性定常连续系统的状态能控性判别 包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据 掌握秩判据、ＰＢH判据的计算
（3）状态能观测性的概念 状态能观测、系统能观测、系统不能观测 （4）线性定常连续系统的状态能观测性判别 包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、ＰBH判据 掌握秩判据、PBＨ判据的计算 （5）能控标准型和能观测标准型 只有状态完全能控的系统才能变换成能控标准型,掌握能控标准Ｉ型和II型的只有状态完全能观测的系统才能变换成能控标准型,掌握能观测标准I型和II型的计算方法 第五章:控制系统的稳定性分析 （1）平衡状态 （2)李雅普诺夫稳定性定义: 李雅普诺夫意义下的稳定概念、渐进稳定概念、大范围稳定概念、不稳定性概念（3）线性定常连续系统的稳定性分析 例4-６ 第六章线性系统的综合 （1）状态反馈与输出反馈 （2）反馈控制对能控性与观测性的影响
2012年现代控制理论考试试卷 一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的， （ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 （ √ ）2. 若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。 （ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。 （ √ ）4. 对线性定常系统x Ax =&，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性 和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。 （ √ ）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。 （ × ）6. 对一个系统，只能选取一组状态变量； （ √ ）7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关； （ × ）8. 若传递函数1()()G s C sI A B -=-存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的； （ × ）9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的； （ × ）10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性。
二、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。（10分） 解：（1）由电路原理得： 112 212 1111 222 11 111L L c L L c c L L di R i u u dt L L L di R i u dt L L du i i dt c c =- -+=-+=- 222R L u R i = 112211112221011000110L L L L c c R i i L L L R i i u L L u u c c ?? -- ?????????????????? ??????=-+??????????????????????????-??????????? ??? g g g