不等式的基本性质知识点

不等式的基本性质知识点

不等式的基本性质知识点

1．不等式的定义：;0, 0, ;0。

① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。

如证明3为单增函数，

设x1, x2;(;), x12，

f(x1)(x2)1323=(x12)(x121x222)=(x12)[(x1+)2

22]

再由(x1+)222;0, x12;0,可得f(x1)(x2), 4; f(x)为单增。

2．不等式的性质：

① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有：

(1) (对称性)

(2) , (传递性)

(3) ()

(4) ;0时，

;0时，。

运算性质有：

(1) , 。

(2) ;0, ;0。

(3) ;0(, ;1)。

(4) ;0;(, ;1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。

② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：

(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。