1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a 、b 两种情形： a 、 如图甲：一直线与角的一边平行 b 、 如图乙：一直线与角的平分线平行
2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线 a 、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行
b 、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行
3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线
a 、如图甲：与一腰平行
b 、如图乙：与底边平行
角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。这种思维方法称为“知识板块”思维。
角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例：
例1、如图1：已知在△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，过点I 作DE//BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。求证：DE=BD+CE 。 证明：
例2、如图2：已知I 是△ABC 的内心，DI//AB 交BC 于点D ，EI//AC 交BC 于E 。求证：
△DIE 的周长等于BC 。
证明：
31∠=∠??
??∠=∠∠=∠?2123//OA CD
DC DO =?()
DOC 等腰三角形()ODE 等腰三角形??
?
??
∠=∠??
?∠=∠∠=∠?214231//OC DE OE
OD =?∠=∠?43???∠=∠∠=∠?=2131DC CO OA
CD //32?∠=∠????∠+∠=∠∠=∠?=4343AOB OE OD ???
????
∠=∠∠=∠?AOB AOB 21
1213DE
OC //31?∠=∠??
??
∠=∠?=∠=∠?1323//DC CO DC OA 21∠=∠?214231//43∠=∠??
?
??
?
???∠=∠∠=∠?∠=∠?=OC DE OE OD ???
∠=∠∠=∠?1232//BC DE 31∠
=∠????==?EI CE DI BD 同理：CE BD IE DI DE +=+=??
??
∠=∠∠=∠?2131//AB DI BD
DI =?∠=∠?23图甲
1 3 A B
C
D
E
I
图（2） 2 3 2 1
I E
D A B C
4 3 2 O D
E
C
B
A
1
图乙
同理：EI = CE 。
∴△DIE 的周长=DI + IE + ED = BC
例3、如图3：已知在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，DE//BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：EF = BE —CF 。
证明：
同理：CF = FD ∴ EF = ED – FD = BE – CF
例1、 例2、例3都是由角平分线、平行线发现等腰三角形，并且同时出现两个，而这个
发现是突破此类问题难点的关键。
例4、平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，BCD ∠ 的平分线交AD 于点F ，BE 、CF 交于点G ，FG=1。求：A ∠的度数。 解：
??
???∠=∠??
?=∠=∠??1
25
2//BC
AD BC AD ABCD 平行四边形
15∠=∠?
同理可证：DF = CD = AB = 3 ? AF = 1 ∴EF = AD －（AF + DE ）= 4 －2 = 2
∴ ∴ 评注：①此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形，即△ABE 和△DCF 。
②利用平行四边形的对边相等，分别得到AF=DE=1。
?
??∠=∠∠=∠?212//BDE BC DE
BDE ∠=∠?1ED
BE =?1
4433=-=??
?
?
?
?
??=????===????
==?AE AD DE AD BC BC AD AE AB AB AE ?
???
??
?
?
?∠=∠∠=∠=∠+∠??BCD ABC BCD ABC CD AB ABCD 213212180//0
平行四边形?
??
??=∴==∠?=∠?=∠+∠?
EF FG FG EGF BGC 21,190909032000Θ0305=∠?0120=∠A 0301=
∠ 4 3 2 1 F E D M
C B A
③用平行线的同旁内角的平分线互相垂直得到R T △BGC ，RT △BGF 。 ④如果直角边为斜边的一半则直角边所对的角为300。 ⑤用三角形内角和定理得0
120=∠A 。
例5、在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ；DE 平分∠ADC ，交BC 于点E ，∠BDE=150，求∠COE 的度数。 解：
045=∠?CED ∴ CE CD =
等边△OCD
∴
∵0
306090=-=∠OCE ∴00
0752
30180=-=
∠COE 评注：①矩形的对角线相等且相互平分，即矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形。
②有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形。
③等腰三角形的一个底角=
()
顶角-01802
1
。 ④此题关键是
CE OC CE CD OC CD =??
??
==。
⑤此题内含“角平分线遇平行线出现等腰三角形CDE ”。
例6、 在△ABC 中，0
90=∠CAB ，A D ⊥B C 于点D ，点E 在B C 的延长线上，且
B CAE ∠=∠，AD=3，DE=4。求：CD ：CE 的值。
解：
????
?=∠=∠???
?∠=∠?000
90BCD 45EDC ADC DE 90ADC ABCD 平分矩形??
???
?
??
???
=?????
??
?
??===?=+=∠∴=∠OC
OD AC 21OC BD 21OD AC BD ABCD 601545150000矩形ODC BDE Θ????=∠=?0
60
OCD OC
CD CED
COE OC CE ∠=∠==5
434322=+=
??
???==??⊥AE DE AD ADE RT BC AD ??
??
?
?
?
??∠=∠??????∠=∠∠=∠????
??=∠+∠?⊥=∠+∠?=∠???∠=∠∠=∠?2121904190490231//000B B BC AD B BAC F F EA CA DF 的延长线于点，交作 E
O D A B C
评注：①关键由2,1∠=∠∠=∠B B 发现AC 平分DAE ∠。
②作角平分线的平行线构造出等腰△ADF 。
③由勾股定理求出AE=5，从而求出CD ：CE 的值。
例7、 如图：,1,900
===∠AC AB BAC BD 是角平分线DE//BC ，交AB 于点E 。求
DE 之长。
解：AD AE AC AB AC AD AB AE BC DE =???
???
==?//。
。 设AE=AD=x ；则DE=2x
?
??
∠=∠∠=∠?1232//BC DE DE BE =?∠=∠?31
∴x BE 2= ∴12=+=x x AB
∴
(
)
121
21112-=+=
?=+x x
∴22-=DE
评注：
① 发现△AED 仍为等腰直角三角形。 ② 由角平分线、平行线发现等腰△BED 。 ③ 设未知数，列方程求出DE 之长。（方程思想） 例8、 如图：已知R t △ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交斜边
BC 于点D ，OE//BC 交AC 于点E 。 求证：DE 是⊙O 的切线。
3
33=??
??
==?∠=∠?AF AD AD AF F 5
3
//=
=?CE CD AE AF AC DF 3
C
B
A E
D
1 2
角平分线和平行线构成等腰三角形的探究 -----李春蕊北京市育英学校 一、教材分析：《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛。这一单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，尤其是等腰三角形的性质和判定，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据. 学情分析：本节课在学生已经学习了轴对称、等腰三角形性质及判定基础上，进一步探究角平分线和平行线形成等腰三角形的问题。学生具有一定说理能力，整体几何感观比较清晰，在探究活动中，能够根据老师的问题进行有切入的思考。 二、教学目标： （1）掌握角平分线和平行线形成等腰三角形的基本规律； （2）体会研究问题中用到的分类思想，经历由特征图形问题的解决，发展对问题的进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系可得出一定数量关系，特殊的数量关系也能推出一定位置关系. （3）通过交流和研讨，使学生在探索的同时获得解决问题的一种方法，提高学生学习数学的兴趣和信心. 教学重点：掌握角平分线+平行线能形成等腰三角形这个基本规律，利用这个规律解决等腰三角形方面的有关问题. 教学难点：灵活运用角平分线和平行线形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题. 突出重点方法:观察，思考，证明. 突出难点方法:自主探究 教学方法：启发与探究相结合 教学准备：PPT，课本，作图工具 三、教学设计： （一）复习等腰三角形相关知识 1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾： （由学生先进行回顾，教师补充） （二）探究过程 问题1：已知∠ABC，BD平分∠ABC，ED//BC.思考：△EBD是等腰三角形吗？ 解：是；EB=ED
角平分线与等腰三角形 江苏 刘顿 角平分线与等腰三角形有着密不可分联系．在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形．为了能说明这个问题，下面归类说明． 一、角平分线+平行线→等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD 平分∠BAC ，AD ∥EC ，则△ACE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，则△ADE 是等腰三角形；如图1③中，AD 平分∠BAC ，CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分∠BAC ，EF ∥AD ，则△AGE 是等腰三角形． 例1 如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F ．求证：AE ＝AP ． 简析 要证AE ＝AP ，可寻找一条角平分线与EF 平行，于是想到AB ＝AC ，则可以作AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，而EF ⊥BC ，所以AD ∥EF ，所以可得到△AEP 是等腰三角 形，故AE ＝AP ． 例2 如图 3，在△ABC 中，∠BAC ，∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥ AC ，分别交AB ，BC 于点D ，E ．试猜想线段AD ，CE ，DE 的数量关系，并说明你的猜想理由． 简析 猜想： AD +CE ＝DE ．理由如下：由于OA ，OC 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，DE ∥AC ，所以△ADO 和△CEO 均是等腰三角形，则DO ＝DA ，EC ＝EO ，故AD +CE ＝DE ． 例3 如图4，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E ，F 分别在BD ，AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ．求证：EF ∥AB ． 简析 由于这里要证明的是EF ∥AB ，而AD 平分∠BAC ，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是DE ＝CD 的提示下，相当于倍长中线，即延长AD 至M ，使DM ＝AD ，连结EM ，则可证得△MDE ≌△ADC ，所以ME ＝AC ，又EF ＝AC ，∠M ＝∠CAD ，所以∠M ＝∠EFM ，即∠CAD ＝∠EFM ，又因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠EFD ＝∠CAD ，所以EF ∥AB ． 二、角平分线+垂线→等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图5中，若C A B E D O 图3 图4 F C D E B A M 图2 F B A C D P E 图1 ① D ② C D C ④ F C D
14，6复习课1：2008-4-30 一、巩固运用---熟识基本图形“角平分线--平行线--等腰三角形” 1、根据以下各图及已知条件，分别指出图形中的等腰三角形，并说明理由 . （l）如图7，OC平分∠A OB，C D∥OB. （2）如图8，OC平分∠AOB，OC∥BD. （3）如图9，AD平分∠BAC，C E∥AD. （4）如图10，AD平分∠BAC，G E∥AD. [说明]要求不但巩固“等角对等边”，而且从中归纳出一个“基本图形”：角平分线加平行线、出现等腰三角形.（戏称此图为“抱孩子图形”）.这个多题归一的题组练习以“抱孩子图形”为载体，有益于探究意识的增强. 2、根据教学实际情况，可酌情进一步训练（选用） （l）如图11，已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF∥BC 说明EF=BE+CF； （2）如图12，已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE∥AB ，DF∥AC 说明△DEF的周长为BC； （3）如图13，已知BD平分∠ABC，CD平分△ABC的一个外角，DE∥BC ，说明EF=BE–CF；（4）如图14，已知AB平分∠DAE，AC平分∠DAF，BC∥EF 说明AD= 2 1 BC.
[说明]在学习几何说理表达规范的同时，初步感知从复杂图形中区分出基本图形的分解与组合思想；另外，由第4小题引导学生得出直角三角形的一个性质定理，以此鼓励学生在实践应用中逐步积累有关发现、叙述、总结数学规律的经验. 14．6复习课2：2008-4-30 二、拓展运用---质疑等腰三角形三线合一的逆命题的正确性 由等腰三角形的性质“等边对等角”与判定“等角对等边”的关系，自然会联想另一性质“等腰三角形的三线合一”的逆命题及其正确与否. 习题1：如图15，根据以下条件，能否判断△ABC是等腰三角形？并说明理由. （l）已知∠BAD=∠DAC，AD⊥BC， （2）已知BD=DC，AD⊥BC， （3）已知∠BAD=∠DAC ，BD=DC，
平行线及角平分线类相似 中考要求 重难点 1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化 课前预习 上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？ 不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以2，正是赤道的时分度；搭高乘以10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3．1415926……；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材內部尺寸，正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数——345 ∶∶． 数学的趣味是无法言语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘．
例题精讲 模块一 平行线类相似问题 平行线类相似的基本模型有 ?模型一、二类综合题 【例1】 如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且1 4 AE AB = ，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =____ ___． M E C B A 【难度】3星 【解析】先介绍常规的解法： B C F E D M A B C F E D M A 如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB = ∴2BF EF = ∵//CF DE ∴ 2BC BF CD EF == 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出．
图1（1） B 图1（2）B 图1（3）B 图3 角分线、平行线与等腰三角形 （认识基本图形） 请你完成以下2个问题，通过完成1和2你有什么发现？ 1.如图1，以下三个语句，把其中两个作为已知条件，另一个作为结论，请你说明你的结论是否成立，并总结出你发现的规律. ①BD 平分∠AOC ； ②ED ∥BC ； ③BE=ED 已知: 已知 已知: 求证: 求证: 求证: 证明： 证明： 证明： 结论： 2.如图2, ∠EAC 为△ABC 的外角，以下三个语句： ① AD 平分∠EAC ； ②AD ∥BC ； ③AB=AC ，是否也可以有1中的结论呢? 图2（1） C B 图2（2） C B 图2（3） C B 结论： （图形的识别） 已知：如图3,在△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，过点O DE//BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E . （1）求证：DE=BD+CE （2）AB=7，AC=5，△ADE 的周长= . （1）证明：
图4 B 图5 B M 图7 B 图 6 B 已知：如图4,∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O , DO//AB 交BC 于点D ，EO//AC 交BC 于E,BC=8. 则： △DOE 的周长= 已知：如图5,在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线 交于点D ，DE//BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F. 求证：BE= EF+ CF 证明： （图形的构造） 例2 已知：如图6,在△ABC 中，AB=AC,E 为CA 延长线上一点，F 为AB 上点， EF ⊥BC 于点H ． 求证：AF=AE （至少用2种方法证明） ： 谈谈本节课你的收获与感悟 . 1. 把专题整理在笔记本上. 2. 已知：如图7，∠1=∠2，CD=DF ，EF//AB. 求证：EF=AC
角与角平分线 典题探究 例1 把15°30′化成度的形式，则15°30′＝____度． 例2 命题“相等的角是对顶角”是______命题.（填“真”或“假”） 例3 已知∠A =67°，则∠A 的余角等于 度. 例4 如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 是BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE =4㎝，则点P 到边 BC 的距离为 ㎝. E P D C B A 课后练习 A 组 1．如图，表示下列各角： （1） （2） （3） 2．下列各图中有多少个小于180度的角？并把它们表示出来。 （1） （2） 3.下列四个图中，能用∠1、∠AOB 、∠O 三种方法表示同一个的是（ ） 4. 计算：① 57.3°=______°=______′； ②18°15′= ° ；
③ 33°52′+21°54′=__________； ④28°23′×2 － 6°2′= __________； ⑤ 90°—43°18′= __ ； ⑥360°÷7≈ ___ （精确到分） 5.按图填空： 6.下列四个图形中2∠大于1∠的是（ ） 7.如图，OC 平分∠AOB ，如果∠COB=42°,那么∠AOB=_________° B 组 8.尺规作图：求作一个角，使它等于已知角∠AOB ，不写作法，保留作图痕迹。 结论： 9.尺规作图：已知∠AOB ，求作∠AOB 的角平分线。不写作法，保留作图痕迹。 结论： 10. Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝， 则点D 到AB 的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
第一部分：知识点回顾 角平分线的性质及判定： 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。 4.注意在证明中用到这两个定理，如何把文字叙述转化成数学符号： 例：如图 角的平分线的性质定理的几何语言： ∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E， ∴PD=PE 角的平分线的判定定理的几何语言： ∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上 等腰三角形的性质及判定： 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 2.等腰三角形的性质和判定 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”） 判定 (1)有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形 (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”） 3.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 4.等边三角形的性质 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴. （3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 5.等边三角形有关判定 (1 )三条边都相等的三角形是等边三角形 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 6.由对等边三角形推出的一个关于直角三角形的一个性质 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的直角边等于斜边的一半. 第二部分：典型例题
1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a 、b 两种情形： a 、 如图甲：一直线与角的一边平行 b 、 如图乙：一直线与角的平分线平行 2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线 a 、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行 b 、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行 3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线 a 、如图甲：与一腰平行 b 、如图乙：与底边平行 角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。这种思维方法称为“知识板块”思维。 角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例： 例1、如图1：已知在△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，过点I 作DE//BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。求证：DE=BD+CE 。 证明： 例2、如图2：已知I 是△ABC 的内心，DI//AB 交BC 于点D ，EI//AC 交BC 于E 。求证： △DIE 的周长等于BC 。 证明： 31∠=∠?? ??∠=∠∠=∠?2123//OA CD DC DO =?() DOC 等腰三角形()ODE 等腰三角形?? ? ?? ∠=∠?? ?∠=∠∠=∠?214231//OC DE OE OD =?∠=∠?43???∠=∠∠=∠?=2131DC CO OA CD //32?∠=∠????∠+∠=∠∠=∠?=4343AOB OE OD ??? ???? ∠=∠∠=∠?AOB AOB 21 1213DE OC //31?∠=∠?? ?? ∠=∠?=∠=∠?1323//DC CO DC OA 21∠=∠?214231//43∠=∠?? ? ?? ? ???∠=∠∠=∠?∠=∠?=OC DE OE OD ??? ∠=∠∠=∠?1232//BC DE 31∠ =∠????==?EI CE DI BD 同理：CE BD IE DI DE +=+=?? ?? ∠=∠∠=∠?2131//AB DI BD DI =?∠=∠?23图甲 1 3 A B C D E I 图（2） 2 3 2 1 I E D A B C 4 3 2 O D E C B A 1 图乙
等腰三角形和角平分线 1、如图，若AB=AC ，BG ＝BH ，AK=KG ，则∠BAC 的度数为（ ) A ．30° D ．32° C 36° D ．40° 第1题 第3题 第4题 第5题 2、等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ． 120°或150° D ．30°或120°或150 3、如图，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E 、F ，连结EF 与AD 相交于G ，则∠AED 与∠AGF 的关系为( ) A ．∠AED>∠AGF B ．∠AED ＝∠AGF C ．∠AED<∠AGF D ．不能确定 4、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则 ∠CBE 等于（ ） A 、80° B 、70° C 、60° D 、50° 5、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ） A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定 6、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为． 7、如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，则∠ABC 的大小是． 第7题 第8题 8、如图AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管根． 9、如图，已知AE=BE,D 为AB 的中点，，，则 10、如图所示，在△ABC 中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC 折叠， 使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为_________. 11、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,∠B=15°,DE 是AB 的中垂线，垂足为 D ，交BC 于 E ，BE=5，则AE=_______，∠AEC=________，AC=______. 12、如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ， 求证：AF ＝EF ． 12BF =3CF =AC =
角平分线与等腰三角形 1．（2011?牡丹江）在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD． （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的 角平分线时，线段AB、AC、CD又有 怎样的数量关系？不需要证明，请直接 写出你的猜想： （2）如图③，当AD为△ABC的外角平 分线时，线段AB、AC、CD又有怎样 的数量关系？请写出你的猜想，并对你 的猜想给予证明． 2．（2010?西宁）（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线． （Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P 介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN， 过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线． （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由； （2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方 案是否可行？请说明理由．
3．（2007?福州）如图，直线AC∥BD， 连接AB，直线AC、BD及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规 定：线上各点不属于任何部分．当动 点P落在某个部分时，连接PA，PB， 构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提 示：有公共端点的两条重合的射线所 组成的角是0°角） （1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD； （2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立） （3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明． 4．（2013?房山区一模）（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边 三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P， 求证：BE=AD． （2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和 BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE 和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论 中正确的是_________（只填序号即可） ①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°； （3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE．
一、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线→等腰三角形 如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥O B，交OA于点E，则EO=EP. AAA EPCEC DFEP OBBCOFB 图1图2图3 例1 如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形 如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作 EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF， PE=PF. 例2 如图4，BD是∠ABC的平分线， AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C. 模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于
在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题. D A E AP / BC DB /BC 图5图6 例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点. 求证：PB+PC>AB+AC. 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1()2 BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ ECD ． 二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段 1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 2 1F E D C B A N P E D C B A A B D C E F 图
课题：等腰三角形复习 ----角平分线和平行线构成等腰三角形的探索 一、复习目标： 1、知识与技能： （1）理解等腰三角形的有关概念。 （2）掌握等腰三角形的性质和判定。 （3）探索角平分线和平行线构成等腰三角形。 2、能力目标：通过复习进一步培养考虑问题、解决问题的思维能力，发展推 理能力及添加辅助线的思想，培养学生探索问题及总结知识点的能力。 3、情感目标：敢于面对学习生活中的困难，在独立思考的基础上，积极参与 讨论，大胆发表自己的观点，尊重和理解他人，从交流中获益。 二、重点：探索一条角平分线和一条平行线构成等腰三角形。 难点：具体情景中知识的应用及数学思想的渗透。 三、板书设计： 四、教学过程： （一）、导入： 1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾： （由学生先进行回顾，教师补充） 问：等腰三角形的性质有哪些？ (1)：等腰三角形的两个底角相等。 (2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2、问：等腰三角形判定方法呢？ (1)定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 (2)判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 （二）、例题讲解： 例：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB。过D作EF∥BC 问：(1) 图中有几个等腰三角形？ (2) 线段EF与线段BE，CF有何数量关系？
解：（1）∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，EF ∥BC ∴∠EBD=∠DBC ，∠EDB=∠DBC ，∠FCD=∠BCD ，∠FDC=∠BCD ∴∠EBD=∠EDB ，∠FCD=∠FDC ∴△DEB ，△DFC 是等腰三角形（有两个角相等的三角形是等腰三角形） （2）∵△DEB ，△DFC 是等腰三角形 ∴BE=DE ，FC=FD 又∵EF=DE+DF ∴EF=BE+FC 变式练习1 如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 外角。过D 作EF ∥BC ，问：(1)△BEF 与△CFD 的等腰三角形吗？(2)线段EF 、BE 、CF 有何数量关系？ 变式练习2（教学要求：要求学生自己分析、思考，并写下完整的解题过程） 如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 于D ，DE ∥AC 交AB 于E 点，说明AE=BE 。 A C D F B E B 教师分析：要找等腰三角形，看有没有两个角相等或是两条边相等。这道题只是告知了角平分线和平 行线，不存在线段的数量关系，所以我们来找角的关系。若有两个角相等，则可根据等腰三角形的性质或 是判定方法，可得到这个三角形是等腰三角形。 要找线段EF 与线段BE ，CF 的数量关系，我们不能直接得到他们有和数量关系，但是由第一题得到△BED 和△CFD 是等腰三角形，则可得到DE=BE ，DF=CF ，易得DE+DF=EF 。 A E F D C
中垂线、角平分线、等腰三角形性质综合应用 一、知识点回顾 1、 线段垂直平分线性质定理及其逆定理： 定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上. 2、 角平分线的性质定理及其逆定理： 定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等. 逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 1、 等腰三角形的性质 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合 证明以下推论： 等腰三角形的两底角的平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高相等。 等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 4、 等腰三角形的判定： 等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 D 2 1P C A B E O
二、典型例题讲解 1、已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上. 2、如图，已知：CD 、CE 分别是AB 边上的高和中线，且ACE ECD DCB ∠=∠=∠。求证： 90o ACB ∠= 3、如图，已知：在,90,30o o ABC C A ?∠=∠=中，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD 。求证：AF=FG=BG 。 4、 如图，已知：在△ABC ，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，EF ⊥AB 于F ，且CE=EF 。 求证：FG//AC A F E A M E F B A C D F B A
平行线与三角形 1、 如图，直线l 分别与直线a 、b 相交，已知∠1=1100，∠2=700， 说明a ∥b 的理由. 2、如图，已知 ∠A=∠C ，AB ∥CD,请说明∠E=∠F 的理由. 3、 如图：已知 AB ∥CD,∠EAB+∠FDC=180°, 求证：AE ∥DF. 4、 如图：已知 ∠A=64 ，∠C=28°，∠AEC=36 , 求证： AB ∥CD. 5、如图；已知 BD 平分∠ABC,AB=AD, 求证：AD ∥BC. 6、如图，已知AD ∥BC,∠ADE=∠CBF,那么DE ∥BF,为什么？ A C F B E D D B F G A E C A B D C 1 l b a 2 F D C E B A C B
H G 2 1 E D C B A P Q M N 2 1F E D C B A 7、如图，已知AF ∥DE ，BE ∥FC ，求证：∠E=∠F 8、如图，已知∠DAC=∠B+∠C ，AE 平分∠DAC ， 求证：AE ∥BC. 9、如图：已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，如果∠BMN ＝∠DNF ，∠1＝∠2， 求证：MQ ∥NP. 10、如图：已知AC 、BC 分别平分∠DAB 、∠ABE ，且∠1与∠2互余， 求证：GD ∥HE. 11、如图：AF BD CE B AC E DF ,,,,,是直线在直线上在直线上∠1＝∠2， ∠C ＝∠D ．求证：∠A ＝∠F ． 12、如图：已知在△ABC 中，AD ⊥BC,EF ⊥BC,∠ADH=∠FEC, 求证：∠BHD=∠BAC. E A B D C H F D E
角平分线模型 模型 4 角平分线+平行线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。 结论：△POQ 是等腰三角形。 模型证明 ∵PQ∥ON ∴∠PON=∠OPQ 又∵OP 是∠MON 的平分线 ∴∠POQ=∠PON ∴∠POQ=∠OPQ ∴△POQ是等腰三角形 模型分析 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
模型实例 解答下列问题： （1）如图①所示，在△ABC 中，EF∥BC，点 D 在 EF 上，BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系； （2）如图②所示，BD 平分∠ABC、CD 平分∠ACG，DE∥BC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？并说明理由。 （3）如图③所示，BD、CD 分别为外角∠CBM、∠BCN 的平分线，，DE∥BC 交 AB 延长线于点 E，交 AC 延长线于点 F，直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什 么数量关系？ 解析：（1）由模型可知，ED=BE,DF=CF ∴EF=ED+DF=BE+CF （2）∵DE∥BC ∴∠EDB=∠DBC 又BD 平分∠ABC ∴∠DBE=∠DBC ∴∠EDB=∠DBE ∴△EBD为等腰三角形 ∴BE=ED 同理可证：FD=CF ∴EF=ED-FD=BE-CF ∴EF=BE-CF （3）EF=BE+CF（由模型可轻松证明）
模型练习 1．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，交 AB 于点 M，交 AC 于点 N。若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为。 解析：由模型可得，ME=BM,EN=CN ∴MN=ME+EN=BM+CN=9 2．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 E、F 分别在 BD、AD 上，且 DE=CD，EF=AC 求证：EF∥AB。
角平分线与平行线构造等腰三角形问题 基本图形1 已知：AB∥CD, （1）CE平分∠ACD交AB于E.问⊿ACE是什么特殊三角形 （2）反过来，若AC＝AE,问CE是∠ACD的平分线吗 基本图形2 已知：△ABC,AB＝AC,（1）AE是外角∠BAD的平分线.问AE与BC平行吗 （2）若AE∥BC，问∠DAE＝∠BAE吗（3）若AE是外角∠BAD的平分线，且AE∥BC， AB＝AC吗 问题举例 1.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF 是菱形。 2．（2016?泰安）如图，在□ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F ，则AE+AF的值等于（） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC，AB＝8，AC＝6 。则△AEF的周长是______ 4.（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4 D．8 5.（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ= 3 CE时，EP+BP= ． 6.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边C D上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 7.已知：□ABCD,BE平分∠ABC, CF平分∠BCD,BE、CF分别交AD于E、F，BE与CF交于点G． (1)求证：BE⊥CF． (2)若AB=5，BC=8，求EF的长． 8.（2013?张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.求证：OE=OF； 9.（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2=AB?AD； （2）求证：CE∥AD； 10.已知：△ABC，AB＝AC，AE是外角∠BAD的平分线，点D为BC的 中点，DE∥AC交AE于E,连接BE.求证：四边形AEBD是矩形.
龙文教育 个性化辅导教案讲义任教科目： 授课题目： 年级： 任课教师： 授课对象： 武汉龙文个性化教育 常青二校区 教研组组长签字： 教学主任签名： 日期：
武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象 授课教师 授课时间 授课题目 课 型 使用教具 教学目标 教学重点和难点 参考教材 教学流程及授课详案 一 由课本例题引入 1 近几年中考题往往由平行线，角平分线来推证同一三角形两个角相等， 从而推证两边相等。或者由其中两个条件推证另一个条件 例 (1)AD 是 ABC 的外角平分线，（2）AD // BC （3） 求证： ABC 是等腰三角形 分析讨论 想一想 能不能由（1）（3）证明（2） 或者（2）（3）证明（1）？ 变式（2012京门） 已知：如图7－9，在ΔABC 中，CE 是角平分线，EG ∥BC ，交AC 边于F ，交∠ACB 的外角 （∠ACD ）的平分线于G ，探究线段EF 与FG 的数量关系并证明你的结论． 时间分配及备注
E F C B A D 2试一试 1、 （2011）如图,AC 和BD 相交于O ，且AB ∥DC ，OA=OB, 求证：OC=OD. 2．（2012）如图，△ABC 中，AM ，CM 分别是角平分线，过M 作DE ∥AC 求证：AD+CE=DE 3．（2012）如图，∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ，CD ⊥OA 于D ，CE ∥AO 交OB 于E CE=20cm ，求CD 的长。 4．（2012）如图，△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，则图中等腰三角形的个数（ ） （A ）1个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 5（2012北京）、如右图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF 等于（ ） Ａ．5 Ｂ．4 C ． 3 D ．2 O D C B A A E B C D 第16题
精品文档 精品文档角平分线与平行线构造等腰三角形问题 基本图形1 已知： AB∥CD, （1）CE平分∠ACD交AB于E.问⊿ACE是什么特殊三角形？ （2）反过来，若AC＝AE,问CE是∠ACD的平分线吗? 基本图形2 已知：△ABC,AB＝AC,（1）AE是外角∠BAD的平分线.问AE与BC平行吗？ （2）若AE∥BC，问∠DAE＝∠BAE吗？（3）若AE是外角∠BAD的平分线，且AE∥BC，AB＝AC吗？ 问题举例 1.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形。 2．（2016?泰安）如图，在□ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC，AB＝8，AC＝6 。则△AEF 的周长是______ 4.（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC 交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（） A．2B．4C．4 D．8 5.（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上， BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ= 3 CE时，EP+BP= ． 6.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边C D上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 7.已知：□ABCD,BE平分∠ABC, CF平分∠BCD,BE、CF分别交AD于E、F，BE与CF交于点G． (1)求证：BE⊥CF． (2)若AB=5，BC=8，求EF的长． 8.（2013?张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.求证：OE=OF；
直线与三角形 一、相关知识点复习： （一）平行线 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.判定： （1）同位角相等，两直线平行。 （2）内错角相等，两直线平行。 （3）同旁内角相等，两直线平行。 （4）垂直于同一直线的两直线平行。 3.性质： (1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 (2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。 (3)两直线平行，同位角相等。 (4)两直线平行，内错角相等。 (5)两直线平行，同旁内角互补。 （二）三角形 4.一般三角形的性质 (1)角与角的关系： 三个内角的和等于180°； 一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。 (2)边与边的关系： 三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3)边与角的大小对应关系： 在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。 (4) 5. (1)等腰三角形的特殊性质： ①等腰三角形的两个底角相等； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三 角形的对称轴。 (2)等边三角形的特殊性质： ①等边三角形每个内角都等于60°； ②等边三角形外心、内心合一。 (3)直角三角形的特殊性质： ①直角三角形的两个锐角互为余角； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和 （其逆命题也成立）； ④直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半； ⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 6.三角形的面积 (1)一般三角形：S△ = 2 1 a h（h是a边上的高） (2)直角三角形：S△ = 2 1 a b = 2 1 c h（a、b是直角边，c是斜边，h是斜边上的高） (3)等边三角形： S△ = 4 3 a2（a是边长） (4)等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比。 7.相似三角形 (1)相似三角形的判别方法： ①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； ②如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。 (2)相似三角形的性质： ①相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； ②相似三角形的周长比等于相似比； ③相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8.全等三角形 两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对应线段也相等。 判定两个三角形全等的公理或定理： ①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS； ②直角三角形还有HL 二、巩固练习： 一、选择题： 1．如图，若AB∥CD，∠C= 60o，则∠A＋∠E＝（） A．20o B．30o C．40o D．60o 2．如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（） A．AB∥CD B．AD∥BC C．∠B=∠D D．∠3=∠4 3．如图，AD⊥BC，DE∥AB，则∠B和∠1的关系是（） A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 不能确定
第7章《平面图形认识》（平行线与角平分线）能力提优 平行线与角平分线:在角的顶点作平行线，用未知数表示角度，进行转换. 1.已知，如图，AB ∥CD ，点P ，P 1，P 2分别在两条平行线之间，∠P ＝45°，∠P2＝135°，若∠PAP 1＝ 13∠PAP 2，∠PCP 1＝1 3 ∠PCP 2，则∠P 1的度数为 . 2.如图，AB ∥CD ，∠ABK 的角平分线BE 的反向延长线和∠DCK 的角平分线CF 的反向延 长线交于点H ，且∠K －∠H ＝33°，则∠K ＝ . 3.如图，AB ⊥BC ，点P 为∠ABC 内一点，点D 为BC 上一点，连接PA ，PD ，且QA ，QD 分别平分∠PAB ，∠PDC ，则∠P ，∠Q 的数量关系是 . 4.如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABF ，DE 平分∠CDF ，则∠E 与∠F 之间满足的数量关系是 . 5.如图，已知AB ∥CD ，点E 在AB 上，DF 平分∠CDC ，∠BEG 的角平分线反向延长过点F ，则∠F 与∠G 的数量关系是 . 6.如图，已知AB ∥CD ，BE 和DF 分别平分∠ABF 和∠CDE ，2∠E －∠F ＝48°，则∠CDE ＝ . 7.如图，AB ∥CD ，∠DCE 的平分线CG 的反向延长线和∠ABE 的角平分线交于点F ，且∠F+48°＝∠E ，则∠F ＝ . 8.如图，AC ⊥BD 于C ，E 是AB 上一点，CE ⊥CF ，DF ∥AB ，EH 平分∠BEC ，DH 平分∠BDC ，则∠H 与∠ACF 之间的数量关系为 . 9.如图，AB ∥CD ，∠ABM ＝ 1n ∠MBE ，∠CDN ＝1 n ∠NDE ，直线MB ，ND 交于点F ，则F E ∠=∠ .