多变量描述统计分析
交叉表分析法
一、交叉表分析法的概念
交叉表(交叉列联表) 分析法是一种以表格的形式同时描述两个或多个变量的联合分布及其结果的统计分析方法，此表格反映了这些只有有限分类或取值的离散变量的联合分布。当交叉表只涉及两个定类变量时，交叉表又叫做相依表。
交叉列联表分析易于理解，便于解释，操作简单却可以解释比较复杂的现象，因而在市场调查中应用非常广泛。
频数分布一次描述一个变量，交叉表可同时描述两个或更多变量。交叉表法的起点是单变量数据，然后依研究目的将这些数据分成两个或多个细目。
下面是一个描述交叉表法应用的例子。
某保险公司对影响保户开车事故率的因素进行调研，并对各种因素进行了交叉表分析。
表1 驾驶员的事故率
然后，在性别基础上分解这个信息，判断是否在男女驾车者之间有差别。这样就出现了二维交叉表2。
表2 男女驾驶员的事故率
高。但人们会提出这样的疑问而否定上述判断的正确性，即男士的事故多，是因为他们驾驶的路程较长。这样就引出第三个因素"驾驶距离"，于是出现了三维交叉表3。
表3 不同驾驶距离下的事故率
有证明男士和女士哪个驾驶得更好或更谨慎，仅证明了驾车事故率只与驾驶距离成正比，而与驾驶者的性别无关。
二、两变量交叉列联表分析
例如，研究城镇居民在某地的居住时间与其对当地百货商场的熟悉程度之间
的关系，对“居住时间”和“熟悉程度”这两个变量进行交叉列联分析。如表4所示。
间低于30年的居民比居住时间在30年以上的居民似乎更熟悉百货商场。进一步计算出百分比，则可以看得更直观一些。见表5。
表5 居住时间与对百货商场的熟悉程度的交叉列联分析（%）
行百分比与列百分比的选择取决于哪个变量是因变量哪个变量是自变量。一般的规则是，在自变量的方向上，对因变量计算百分比。
以表5为例，居住时间为自变量，对商场的熟悉程度为因变量，因而可以对各居住时间分别计算熟悉程度的百分比。由表5可见，53.6%的居住时间低于13年的人和60.9%的居住时间在13年~30年的人都熟悉该商店，而只有32.9%的居住时间在30年以上的人熟悉该商店。看来，同样住在该地区的人，居住时间越长，对购物环境反而更不熟悉。这个结论是有一定道理的，在一个地方居住很长时间的人一般相对来说更没有动力去熟悉该商场。
如果我们在因变量的方向上对自变量计算百分比(如表6所示)，则显然没意义。
表6暗示，对当地商场不熟悉会影响居民在该地的居住时间，这显然是不合理的。但是，居住时间与对百货商场的熟悉程度之间的联系可能受第三变量的影响，例如年龄。居住时间越长的人可能年龄越大。尽管分析结果表明年龄在此不是影响因素，但由此可见需要检查第三因素的影响。
三、三变量的交叉列联表分析
引入第三变量后再进行交叉列联分析，则可能出现以下四种结果：
(1)剔除外部环境的影响，使原先两变量间的关系更单纯。例如，在表7中，仅分析婚姻状况和衣服支出水平这两个变量时，从数字上看未婚者在衣服支出方面比已婚者更高一些。但引入变量性别以后，发现对于男性来说，已婚者与未婚者在衣服支出方面没有显著差异，但对于女性未婚者与已婚者，在衣服支出方面的差异则很明显。见表8。
表7 婚姻状况对衣服支出水平的交叉列联分析(%)
(2)否定原先两变量间的关系。例如，根据表9可见，仅对受教育水平和私家车
的拥有情况进行交叉列联分析，发现文化程度越高的人拥有私家车的比例越高。但引入收
人变量后发现收入才是影响拥有私家车的真正原因，对于低收入者，不论文化程度高低在
购买私家车方面没有差异。见表10。
表9 受教育水平对私家车拥有状况的交叉列联分析(%)
(3)尽管原先观察两变量间没有关系，第三变量的引入可能揭示了它们之间的一些联系。由表11可见，仅对年龄和出国旅行的欲望进行交叉列联分析，发现两者之间没有关系。但引入性别变量后，发现对于男性，年龄越大，出国旅游的欲望越强；而对于女性正好相反，年龄越小，出国欲望越强。见表12。
(4)没有影响。以表13为例，引入收入变量后，家庭规模与是否经常吃快餐之间仍旧没有关系。见表14。
表13 家庭规模对是否经常吃快餐的交叉列联分析 (%)
四、交叉表分析法的优缺点
交叉表被广泛用于商业市场调研，因为它有如下优点:
●交叉表的分析结果很容易直观地被理解;
●明了的解释加强了调研结果与经理行为的联系;
●一系列交叉表比多变量分析更有助于理解复杂的问题;
●交叉表可减弱空格问题，这在多元离散变量分析中更突出;
●交叉表将复杂的数据简单化。
交叉表有两点局限。其一，如果需要考虑多个变量，样本容量就应相当大;其二，很难确保对所有的相关变量进行了分析，如果变量选择不适当，就会得出错误的结论。即使变量选择的正确，研究者也许会因使用不当而无法找到真正的关系。
能否制作一个好的交叉表，取决于研究者选择关键变量以及根据这些变量组成交叉表的能力。另外，用于交叉表分析的变量的类型和数量随研究的目的、性质而变化。
在描述性调研中，研究者有较大的自主权来选择这些变量。
在探索性研究中，研究者凭主观意识选择所有的用于交叉表的变量。
交叉表分析只能用于有数据基础的变量分析，它描述的是变量间的关系，但不一定是因果关系。
肥东锦弘中学高中部公开课教案设计 2. 2 .1 综合法与分析法 授课时间：2013.4.16下午第一节 地点：高二（15）班 授课人：赵尚平 一．教材分析 《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子． 二．教学目标 1．知识与技能目标 (1)了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法． (2)了解综合法和分析法的思维过程和特点． 2．过程与方法目标 (1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力． (2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力． 3．情感、态度及价值观 通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生 活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力． 三．教学重难点 重点：综合法和分析法的思维过程及特点． 难点：综合法和分析法的应用． 四．教具准备：多媒体. 五．教法与学法：师生合作探究 六．教学过程: （一）创设情境 引入新课 证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识． （二） 新 课 讲 授 合情推理分为归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法——直接证明与间接证明. 思考:已知a ,b >0,求证2222 ()()4a b c b c a abc +++≥ 设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义. 证明:因为222,0b c bc a +≥>, 所以22()2a b c abc +≥, 因为222,0c a ac b +≥>, 所以22()2b c a abc +≥. 因此, 2222()()4a b c b c a abc +++≥.
第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一） 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点． 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程． 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法． 教学过程： 一、准备： 1． 已知“若12a a +∈R ， ，且121a a +=，则12 11 4a a +≥”，试请此结论推广猜想． （答案：若12n a a a +∈R ， ，，，且121n a a a +++=，则 212 111 n n a a a +++ ≥） 2．已知a b c +∈R ， ，，1a b c ++=，求证：1 119a b c ++≥． 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 二、讲授新课： 1． 教学例题： ①出示例1：已知a b c ，，是不全相等的正数，求证： 222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>． 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点 ② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立． 框图表示： 要点：顺推证法；由因导果． ③ 练习：已知a b c ，，是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>． ④ 例题讲解： P37例1：△ABC 在平面α外，AB ∩α=P ，BC ∩α=Q ，AC ∩α=R ，求证：PQR 三点共线.
第三章红外吸收光谱分析 3.1概述 3.1.1红外吸收光谱的基本原理 红外吸收光谱法又称为分子振动转动光谱，属于分子光谱的范畴，是有机物结构分析的重要方法之一。当一定频率的红外光照射分子时，若分子中某个基团的振动频率和红外辐射的频率一致，两者产生共振，光的能量通过分子偶极矩的变化传递给分子，该基团就吸收了这个频率的红外光，产生振动能级跃迁；如果红外辐射的频率和分子中各基团的振动能级不一致，该频率的红外光将不被吸收。如果用频率连续变化的红外光照射某试样，分子将吸收某些频率的辐射，引起对应区域辐射强度的减弱，用仪器以吸收曲线的形式记录下来，就得到该试样的红外吸收光谱，稀溶液谱带的吸光度遵守Lambert-Beer定律。 图3-1为正辛烷的红外吸收光谱。红外谱图中的纵坐标为吸收强度，通常用透过率或吸光度表示，横坐标以波数或波长表示，两者互为倒数。图中的各个吸收谱带表示相应基团的振动频率。各种化合物分子结构不同，分子中各个基团的振动频率不同。其红外吸收光谱也不同，利用这一特性，可进行有机化合物的结构分析、定性鉴定和定量分析。 图3-1 正辛烷的红外光谱图 几乎所有的有机和无机化合物在红外光谱区均有吸收。除光学异构体，某些高分子量的高聚物以及一些同系物外，结构不同的两个化合物，它们的红外光谱一定不会相同。吸收谱带出现的频率位置是由分子振动能级决定，可以用经典力学(牛顿力学)的简正振动理论来说明。吸收谱带的强度则主要取决于振动过程中偶极矩的变化和能级跃迁的概率。也就是说，红外光谱中，吸收谱带的位置、形状和强度反映了分子结构的特点，而吸收谱带的吸收强度和分子组成或官能团的含量有关。
《综合法和分析法（1）》导学案 编写人：马培文 审核人：杜运铎 编写时间：2016-02-24 【学习目标】 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。 【重点难点】 1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。 3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。 【学法指导】 ① 课前阅读课文（预习教材P 85～P 89，找出疑惑之处）② 思考导学案中的探究 问题，并提出你的观点。 【知识链接】 复习1 两类基本的证明方法: 和 。 复习2 直接证明的两中方法: 和 。 知识点一 综合法的应用 问题 已知,0a b >, 求证 2222()()4a b c b c a abc +++≥。 新知 一般地,利用 ,经过一系列的推理论 证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法。 反思 框图表示 要点 顺推证法；由因导果。 【典型例题】 例1 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥ 变式 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证 111(1)(1)(1)8a b c ---≥。
小结 用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应 用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明。 例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等 差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形。 变式 设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=?==D 是AC 的中点. 求证 PD 垂直于ABC ?所在的平面。 小结 解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或 把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明 确表示出来。 【基础达标】 A1. 求证 对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=。 B2. ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +=， 求证 60A B += . （提示：算tan()A B +）。
如何分析一张已经拿到手的xx谱图呢？ 你可以按如下步骤来： （1）首先依据谱图推出化合物碳架类型： 根据分子式计算不饱和度，公式： 不饱和度＝F+1+(T-O)/2其中： F： 化合价为4价的原子个数（主要是C原子）， T： 化合价为3价的原子个数（主要是N原子）， O： 化合价为1价的原子个数（主要是H原子）， 例如： 比如苯： C6H6，不饱和度＝6+1+（0-6）/2＝4，3个双键加一个环，正好为4个不饱和度； （2）分析3300~2800cm^-1区域C-H伸缩振动吸收；以3000 cm^-1为界: 高于3000cm^-1为不饱和碳C-H伸缩振动吸收，有可能为烯,炔,芳香化合物,而低于3000cm^-1一般为饱和C-H伸缩振动吸收； （3）若在稍高于3000cm^-1有吸收,则应在2250~1450cm^-1频区，分析不饱和碳碳键的伸缩振动吸收特征峰，其中： 炔2200~2100 cm^-1 烯1680~1640 cm^-1
芳环1600,1580,1500,1450 cm^-1 若已确定为烯或芳香化合物，则应进一步解析指纹区，即1000~650cm^-1的频区,以确定取代基个数和位置（顺反，邻、间、对）； （4）碳骨架类型确定后,再依据其他官能团,如C=O, O-H, C-N 等特征吸收来判定化合物的官能团； （5）解析时应注意把描述各官能团的相关峰联系起来，以准确判定官能团的存在,如2820，2720和1750~1700cm^-1的三个峰，说明醛基的存在。 至此，分析基本搞定，剩下的就是背一些常见常用的健值了！ ……………………………………………………………………………………………………… 1.烷烃： C-H伸缩振动（3000-2850cm^-1） C-H弯曲振动（1465-1340cm^-1） 一般饱和烃C-H伸缩均在3000cm^-1以下，接近3000cm^-1的频率吸收。 2.烯烃： 烯烃C-H伸缩（3100~3010cm^-1） C=C伸缩(1675~1640 cm^-1) 烯烃C-H面外弯曲振动（1000~675cm^1）。 3.炔烃： 伸缩振动（2250~2100cm^-1） 炔烃C-H伸缩振动（3300cm^-1附近）。 4.芳烃：3100~3000cm^-1芳环上C-H伸缩振动 1600~1450cm^-1 C=C骨架振动
综合法和分析法（1） 【学习目标】 1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 【重点难点】 重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 【知识链接】 〔预习教材P45~ P47，找出疑惑之处〕 复习1：两类基本的证明方法: 和. 复习2：直接证明的两中方法: 和. 【学习过程】 ※学习探究 探究任务一：综合法的应用 问题：,0 a b>, 求证:2222 ()()4 +++≥. a b c b c a abc 新知：一般地,利用 ,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法. 反思： 框图表示：要点：顺推证法；由因导果. ※典型例题 例1,, ∈，1 a b c R+ a b c ++=，求证：1119 ++≥ a b c 变式：,, a b c R+ ∈，1 ++=，求证： a b c
小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明. 例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、 B 、 C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形. 变式：设在四面体P ABC -中, 90,,ABC PA PB PC ∠=?==D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ?所在的平面. 小结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来. ※ 动手试试 练1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-= 练2. ,A B 为锐角， 且 tan tan tan A B A B +， 求证：60A B +=o . 〔提示：算tan()A B +〕 【学习反思】 ※ 学习小结 综合法是从的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ???，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. ※ 知识拓展 综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题,综合法是一种由因索果的证明方法. 【基础达标】 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为〔 〕. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测〔时量：5分钟 总分值：10分〕计分： 1. 22,,"1""1"x y R xy x y ∈≤+≤则是的〔 〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
红外光谱分析法试题 一、简答题 1.产生红外吸收的条件是什么?是否所有的分子振动都会产生红外吸收光谱?为什么? 2．以亚甲基为例说明分子的基本振动模式. 3.何谓基团频率?它有什么重要用途? 4．红外光谱定性分析的基本依据是什么？简要叙述红外定性分析的过程． 5．影响基团频率的因素有哪些? 6．何谓指纹区？它有什么特点和用途？ 二、选择题 1.在红外光谱分析中，用 KBr制作为试样池，这是因为 ( ) A KBr晶体在 4000～ 400cm -1 范围内不会散射红外光 B KBr在 4000～ 400 cm -1 范围内有良好的红外光吸收特性 C KBr在 4000～ 400 cm -1 范围内无红外光吸收 D 在 4000～ 400 cm -1 范围内，KBr 对红外无反射 2.一种能作为色散型红外光谱仪色散元件的材料为 ( ) A 玻璃 B 石英 C 卤化物晶体 D 有机玻璃 3.并不是所有的分子振动形式其相应的红外谱带都能被观察到，这是因为 ( ) A 分子既有振动运动，又有转动运动，太复杂 B 分子中有些振动能量是简并的 C 因为分子中有 C、H、O以外的原子存在 D 分子某些振动能量相互抵消了 4.下列四种化合物中，羰基化合物频率出现最低者为 ( ) A I B II C III D IV 5.在下列不同溶剂中，测定羧酸的红外光谱时，C＝O伸缩振动频率出现最高者为 ( ) A 气体 B 正构烷烃 C 乙醚 D 乙醇 6.水分子有几个红外谱带，波数最高的谱带对应于何种振动? ( )
A 2个，不对称伸缩 B 4个，弯曲 C 3个，不对称伸缩 D 2个，对称伸缩 7.苯分子的振动自由度为( ) A 18 B 12 C 30 D 31 8.在以下三种分子式中C＝C双键的红外吸收哪一种最强? (1) CH3－CH = CH2(2) CH3－CH = CH－CH3（顺式）(3) CH3－CH = CH－CH3（反式）( ) A（1）最强 B (2)最强 C (3)最强 D 强度相同 9.在含羰基的分子中，增加羰基的极性会使分子中该键的红外吸收带( ) A 向高波数方向移动 B 向低波数方向移动 C 不移动 D 稍有振动 10.以下四种气体不吸收红外光的是( ) A H2O B CO 2 C HCl D N2 11.某化合物的相对分子质量Mr=72,红外光谱指出,该化合物含羰基,则该化合物可能的分子式为( ) A C4H8O B C3H4O 2 C C3H6NO D (1) 或(2) 12.红外吸收光谱的产生是由于( ) A 分子外层电子、振动、转动能级的跃迁 B 原子外层电子、振动、转动能级的跃迁 C 分子振动-转动能级的跃迁 D 分子外层电子的能级跃迁 13. Cl2分子在红外光谱图上基频吸收峰的数目为( ) A 0 B 1 C 2 D 3 14.红外光谱法试样可以是( ) A 水溶液 B 含游离水 C 含结晶水 D 不含水 15.能与气相色谱仪联用的红外光谱仪为( ) A 色散型红外分光光度计 B 双光束红外分光光度计 C 傅里叶变换红外分光光度计 D 快扫描红外分光光度计 16.试比较同一周期内下列情况的伸缩振动(不考虑费米共振与生成氢键)产生的红外吸收峰,频率最小的是( ) A C-H B N-H C O-H D F-H 17.已知下列单键伸缩振动中C-C C-N C-O键力常数k/(N?cm-1) 4.5 5.8 5.0吸收峰波长λ/μm 6 6.46 6.85问C-C, C-N, C-O键振动能级之差⊿E顺序为( ) A C-C > C-N > C-O B C-N > C-O > C-C C C-C > C-O > C-N D C-O > C-N > C-C 18.一个含氧化合物的红外光谱图在3600～3200cm -1有吸收峰,下列化合物最可能的是( )
综合法与分析法 学习目标： 1． 理解综合法和分析法的概念及区别 2． 熟练的运用综合法分析法证题 学习重难点: 综合法和分析法的概念及区别 自主学习： 一：知识回顾 1． 合情推理：前提为真，结论可能为真的推理。它包括归纳推理与类比推理。 2． 演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为真的推理叫演绎推理 二：课题探究 1. 直接证明: 从命题的条件或结论出发,根据已知的定义,公理,定理直接推证结论的真实性. 2. 综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所 求证的命题.综合法是一种由因所果的证明方法. 3. 分析法: 一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使 结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析 法．分析法是一种执果索因的证明方法. 4.综合法的证明步骤用符号表示: 0P (已知) 1n P P ???L (结论) 5.分析法的证明“若A 成立,则B 成立”的思路与步骤; 要正(或为了证明)B 成立, 只需证明1A 成立(1A 是B 成立的充分条件). 要证1A 成立, 只需证明2A 成立(2A 是1A 成立的充分条件). … , 要证k A 成立, 只需证明A 成立(A 是k A 成立的充分条件).. Q A 成立, ∴B 成立. 三: 例题解析 例1: 已知a>0,b>0,求证a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc 证明: 因为b 2+c 2 ≥2bc,a>0 所以a(b 2+c 2)≥2abc. 又因为c 2+b 2 ≥2bc,b>0 所以b(c 2+a 2)≥ 2abc.因此a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc. 例2: 已知:a,b,c 三数成等比数列,且x,y 分别为a,b 和b,c 的等差中项.
综合法与分析法 教学目的： 1掌握综合法、分析法证明不等式； 2熟练掌握已学的重要不等式； 3增强学生的逻辑推理能力教学重点：综合法、分析法 教学难点：不等式性质的综合运用 一、复习引入： 1．重要不等式： 如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 3公式的等价变形：ab ≤222b a +，ab ≤（2 b a +） 4． b a a b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； 5．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 二、讲解新课： （一）1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ????? 3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 （二）1分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法 2．用分析法证明不等式的逻辑关系是：12n B B B B A ??? ??
3．分析法的思维特点是：执果索因 4．分析法的书写格式： 要证明命题B 为真， 只需要证明命题1B 为真，从而有…… 这只需要证明命题2B 为真，从而又有…… …… 这只需要证明命题A 为真 而已知A 为真，故命题B 例1：已知a b ,是正数，且a b ≠，求证：a b a b ab 3322+>+ 转化尝试，就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止. 其逻辑关系是：12n B B B B A ??? ?? 证明：∵0,0,a b a b >>≠且 ∴要证3322a b a b ab +>+,只要证22()()()a b a ab b ab a b +-+>+, 只要证22a ab b ab -+>,只要证2220a ab b -+>. ∵0a b -≠,∴2()0a b ->即2220a ab b -+>得证. 注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通 联想尝试，就是由已知的不等式及题设条件出发产生联想,大胆尝试,巧用已知不等式及不等式性质做适当变形，推导出要求证明的不等式.其逻辑关系是：12n A B B B B ????? 法二：证明：∵0,0,a b a b >>≠且 ∴3222a ab a b +>,3222b ba ab +>, ∴32322222a ab b ba a b ab +++>+,∴3322a b a b ab +>+ 法三 aab b a a ≥++3 3 33
红外光谱峰值分析的方 法 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-
傅里叶红外光谱分析 第一节?一般原理 电子能级跃迁所产生的吸收光谱，主要在近紫外区和可见区，称为可见-紫外光谱；键振动能级跃迁所产生的吸收光谱，主要在中红外区，称为红外光谱；自旋的原子核在外加磁场中可吸收无线电波而引起能级的跃迁，所产生的吸收光谱称为核磁共振谱。 第二节紫外光谱 一、紫外光谱的基本原理 用波长范围200 nm～800 nm的光照射含有共轭体系的的不饱和化合物的稀溶液时，部分波长的光被吸收，被吸收光的波长和强度取决于不饱和化合物的结构。以波长l为横座标，吸收度A为纵座标作图，得紫外光谱，或称电子光谱。 是化合物紫外光谱的特征常数。 紫外光谱中化合物的最大吸收波长λ max 可见－紫外光谱适用于分析分子中具有π键不饱和结构的化合物。 二、紫外光谱在有机结构分析中的应用 随着共轭体系的延长，紫外吸收向长波方向移动，且强度增大(π→π*)，因此可判断分子中共轭的程度。 利用紫外光谱可以测定化合物的纯度或含量。 第三节红外光谱 一、红外光谱的基本原理 用不断改变波长的红外光照射样品，当某一波长的频率刚好与分子中某一化学键的振动频率相同时，分子就会吸收红外光，产生吸收峰。用波长（λ）或波长的倒数—波数（cm-1）为横坐标，百分透光率（T％）或吸收度（A）为纵坐标
做图，得到红外吸收光谱图（IR）。分子振动所需能量对应波数范围在400 cm-1～4000 cm-1。 二、红外吸收峰的位置和强度 分子中的一个化学键可有几种不同的振动形式，而产生不同的红外吸收峰，键的振动分为两大类。 伸缩振动，用n表示，原子间沿键轴方向伸长或缩短。 弯曲振动用δ表示，形成化学键的两个原子之一与键轴垂直方向作上下或左右弯曲。 组成化学键的原子的质量越小，键能越高，键长越短，振动所需能量越大，吸收峰所在的波数就越高。 红外光谱的吸收峰分为两大区域： 4000 cm－1～1330 cm－1区域：特征谱带区，是红外光谱分析的主要依据。 1330 cm-1～650 cm-1区域：指纹区。每一化合物在指纹区都有它自己的特征光谱，对分子结构的鉴定能提供重要信息。 红外吸收峰的强弱用下列符号表示：v （很强）；s（强）；m（中强）；w s （很弱）；b（宽峰）。 （弱）；v w 凡能使键增强的因素，引起峰位向高波数方向移动，反之，则向低波数方向移动。 三、各类化合物的红外光谱举例 （一）烃类化合物 注：烷烃，即饱和烃，是只有碳碳和碳氢键的链烃。烷烃的为CnH2n+2。
红外光谱分析 红外光谱与分子的结构密切相关，是研究表征分子结构的一种有效手段，与其它方法相比较，红外光谱由于对样品没有任何限制，它是公认的一种重要分析工具。在分子构型和构象研究、化学化工、物理、能源、材料、天文、气象、遥感、环境、地质、生物、医学、药物、农业、食品、法庭鉴定和工业过程控制等多方面的分析测定中都有十分广泛的应用。 红外光谱可以研究分子的结构和化学键，如力常数的测定和分子对称性等，利用红外光谱方法可测定分子的键长和键角，并由此推测分子的立体构型。根据所得的力常数可推知化学键的强弱，由简正频率计算热力学函数等。分子中的某些基团或化学键在不同化合物中所对应的谱带波数基本上是固定的或只在小波段范围内变化，因此许多有机官能团例如甲基、亚甲基、羰基，氰基，羟基，胺基等等在红外光谱中都有特征吸收，通过红外光谱测定，人们就可以判定未知样品中存在哪些有机官能团，这为最终确定未知物的化学结构奠定了基础。 由于分子内和分子间相互作用，有机官能团的特征频率会由于官能团所处的化学环境不同而发生微细变化，这为研究表征分子内、分子间相互作用创造了条件。 分子在低波数区的许多简正振动往往涉及分子中全部原子，不同的分子的振动方式彼此不同，这使得红外光谱具有像指纹一样高度的特征性，称为指纹区。利用这一特点，人们采集了成千上万种已知化合物的红外光谱，并把它们存入计算机中，编成红外光谱标准谱图库，人们只需把测得未知物的红外光谱与标准库中的光谱进行比对，就可以迅速判定未知化合物的成份。 下面将对红外光谱分析的基本原理做一个简单的介绍。 红外吸收光谱是物质的分子吸收了红外辐射后，引起分子的振动-转动能级的跃迁而形成的光谱，因为出现在红外区，所以称之为红外光谱。利用红外光谱进行定性定量分析的方法称之为红外吸收光谱法。 红外辐射是在 1800年由英国的威廉.赫谢(Willian Hersher) 尔发现的。一直到了1903年，才有人研究了纯物质的红外吸收光谱。二次世界大战期间，由于对合成橡胶的迫切需求，红外光谱才引起了化学家的重视和研究，并因此而迅速发展。随着计算机的发展，以及红外光谱仪与其它大型仪器的联用，使得红外光谱在结构分析、化学反应机理研究以及生产实践中发挥着极其重要的作用，是“四大波谱”中应用最多、理论最为成熟的一种方法。 红外光谱法的特点： 1?气态、液态和固态样品均可进行红外光谱测定；
应用题分析法和综合法【用综合法和分析法解小 学数学应用题】 浅谈运用“综合法和分析法”解小学数学应用题 综合法和分析法为分析数量关系的基本方法。综合法和分析法思路是人们长期在解决实际问题的过程中逐步形成的，善于运用这两 种方法对分析问题非常有益,分析法与综合法是思维方向相反的两种 思考方法.在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题 出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件．即推理方 向是：结论→已知．综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐 步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知→结 论．分析法的特点是：从问题入手，寻找解决问题的条件就是把研 究的对象分解成它的各个组成部分，然后分别研究每一个组成部分，从而获得对研究对象的本质认识的思维方法，从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分 条件．综合法的特点是：把认识对象的各个部分联系起来加以研究，从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上 是要寻找已知的必要条件． 两种方法各其优缺点：分析法是执果索因，利于思考，方向明确，思路自然，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易 达到所要证明的结论．也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达． 例1：某农场有两个果园共30亩，第一个果园收苹果3500箱， 第二个果园收苹果2800箱，每箱苹果重100千克。平均每亩收苹果 多少千克？ 用“分析法”分析：要求每亩产量，必须知道总产量和总亩数(30亩)；要求出总产量，必须知道每箱的重量（100千克）和总箱数；要求总箱数，必须知道第一个果园收的箱数（3500箱）和第二 个果园收的箱数（2800箱），这些都是已知条件。
引言 近红外是指波长在780nm～2526nm范围内的光线，是人们认识最早的非可见光区域。习惯上又将近红外光划分为近红外短波（780nm～1100nm）和长波（1100 nm～2526 nm）两个区域.近红外光谱（Near Infrared Reflectance Spectroscopy，简称NIRS）分析技术是一项新的无损检测技术，能够高效、快速、准确地对固体、液体、粉末状等有机物样品的物理、力学和化学性质等进行无损检测。它综合运用了现代计算机技术、光谱分析技术、数理统计以及化学计量学等多个学科的最新研究果，并使之融为一体，以其独有的特点在很多领域如农业、石油、食品、生物化工、制药及临床医学等得到了广泛应用，在产品质量分析、在线检测、工艺控制等方面也获得了较大成功。近红外光谱分析技术的数据处理主要涉及两个方面的内容：一是光谱预处理方法的研究，目的是针对特定的样品体系，通过对光谱的适当处理，减弱和消除各种非目标因素对光谱的影响，净化谱图信息，为校正模型的建立和未知样品组成或性质的预测奠定基础；二是近红外光谱定性和定量方法的研究，目的在于建立稳定、可靠的定性或定量分析模型，并最终确定未知样品和对其定量。 1工作原理 近红外光谱区主要为含氢基团X-H（X=O,N,S,单健C,双健C,三健C等）的倍频和合频吸收区，物质的近红外光谱是其各基团振动的倍频和合频的综合吸收表现，包含了大多数类型有机化合物的组成和分子结构的信息。因为不同的有机物含有不同的基团，而不同的基团在不同化学环境中对近红外光的吸收波长不同，因此近红外光谱可以作为获取信息的一种有效载体。近红外光谱分析技术是利用被测物质在其近红外光谱区内的光学特性快速估测一项或多项化学成分含量。被测样品的光谱特征是多种组分的反射光谱的综合表现，各组分含量的测定基于各组分最佳波长的选择，按照式(1)回归方程自动测定结果：组分含量＝C0＋C1(Dp)1＋C2(Dp)2＋…＋Ck(Dp)k(1)式中：C0～k为多元线性回归系数；(Dp)1～k为各组分最佳波长的反射光密度值（D＝－lgp，p为反射比）。该方程准确的反映了定标范围内一系列样品的测定结果，与实验室常规测定法之间的标准偏差SE为：SE＝[Σ(y－x)2/(n－1)]1/2(2)式中：x表示实验室常规法测定值，y表示近红外光 谱法测值，n为样品数。 2光谱数据的预处理 仪器采集的原始光谱中除包含与样品组成有关的信息外，同时也包含来自各方面因素所产生的噪音信号。这些噪音信号会对谱图信息产生干扰，有些情况下还非常严重，从而影响校正模型的建立和对未知样品组成或性质的预测。因此，光谱数据预处理主要解决光谱噪音的滤除、数据的筛选、光谱范围的优化及消除其他因素对数据信息的影响，为下步校正模型的建立和未知样品的准确预测打下基础。常用的数据预处理方法有光谱数据的平滑、基线校正、求导、归一化处理等。 2.1数据平滑处理 信号平滑是消除噪声最常用的一种方法，其基本假设是光谱含有的噪声为零均随机白噪声，若多次测量取平均值可降低噪声提高信噪比。平滑处理常用方法有邻近点比较法、移动平均法、指数平均法等。 2.1.1邻近点比较法 对于许多干扰性的脉冲信号，将每一个数据点和它旁边邻近的数据点的值
分析成本极低。由于在整个测量过程中无需任何化学试剂，仪器定标完成后测量是一近红外光谱分析方法的优点为： （1）扫描速度极快 Fourier变换仪器是在整扫描时间内同时测定所有频率的信息，一般只要1s左右即可。因此，它可用于测定不稳定物质的红外光谱。而色散型红外光谱仪，在任何一瞬间只能观测一个很窄的频率范围，一次完整扫描通常需要8、15、30s等。 （2）具有很高的分辨率 通常Fourier变换红外光谱仪分辨率达0.1～0.005 cm-1，而一般棱镜型的仪器分辨率在1000cm-1处有3 cm-1 ，光栅型红外光谱仪分辨率也只有0.2cm-1 。 （3）灵敏度高 因Fourier变换红外光谱仪不用狭缝和单色器，反射镜面又大，故能量损失小，到达检测器的能量大，可检测10-1g数量级的样品 优点 1 应用范围广。红外光谱分析能测得所有有机化合物，而且还可以用于研究某些无机物。因此在定性、定量及结构分析方面都有广泛的应用。 2 特征性强。每个官能团都有几种振动形式，产生的红外光谱比较复杂，特征性强。除了及个别情况外，有机化合物都有其独特的红外光谱，因此红外光谱具有极好的鉴别意义。 3 提供的信息多。红外光谱能提供较多的结构信息，如化合物含有的官能团、化合物的类别、化合物的立体结构、取代基的位置及数目等。 4 不受样品物态的限制。红外光谱分析可以测定气体、液体及固体，不受样品物态的限制，扩大了分析范围。 5 不破坏样品。红外光谱分析时样品不被破坏。 6分析速度快。近红外光谱分析仪一旦经过定标后在不到一分钟的时间内即可完成待测样品多个组分的同步测量，如果采用二极管列阵型或声光调制型分析仪则在几秒钟的时间内给出测量结果，完全可以实现过程在线定量分析。 近红外光谱分析模型 7对样品无化学污染。待测样品视颗粒度的不同可能需要简单的物理制备过程（如磨碎、混合、干燥等），无需任何化学干预即可完成测量过程，被称为是一种绿色的分析技术。 8仪器操作和维护简单，对操作员的素质水平要求较低。通过软件设计可以实现极为简单的操作要求，在整个测量过程中引入的人为误差较小。 9 测量精度高。尽管该技术与传统理化分析方法相比精度略逊一筹，但是给出的测量精度足够满足生产过程中质量监控的实际要求，故而非常实用。 10项非常简单工作，所以几乎没有任何损耗。 缺点 1 不适合分析含水样品，因为水中的羟基峰对测定有干扰； 2 定量分析时误差大，灵敏度低，故很少用于定量分析； 3 在图谱解析方面主要靠经验。
分析法与综合法 一、分析法与综合法的定义 1、定义 所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法． 分析法的思维全貌可概括为下面形式： “结论需知1需知2…已知”． 所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法． 综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式： “已知可知1可知2…结论”． 二 、例题赏析 例1、已知：a b ∈R ，，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+． 证明一：（分析法）要证3322 a b a b ab +>+， 即证2 2 ()()()a b a ab b ab a b +-+>+， 因为0a b +>， 故只需证22 a a b b ab -+>， 即证22 20a ab b -+>， 即证2 ()0a b ->， 因为a b ≠， 所以2()0a b ->成立， 所以3 3 2 2 a b a b ab +>+成立． 证明二：（综合法）由a b ≠，知2 ()0a b ->，即2220a ab b -+>，则22 a a b b ab -+>． 又0a b +>，则2 2 ()()()a b a ab b ab a b +-+>+，即3322 a b a b ab +>+． 实际证题过程中，分析法与综合法往往是结合起来运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是比较少的．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，综合法居主导地位，而分析法伴随着它． 特别是，对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探
傅里叶红外光谱分析 第一节一般原理 电子能级跃迁所产生的吸收光谱，主要在近紫外区和可见区，称为可见-紫外光谱；键振动能级跃迁所产生的吸收光谱，主要在中红外区，称为红外光谱；自旋的原子核在外加磁场中可吸收无线电波而引起能级的跃迁，所产生的吸收光谱称为核磁共振谱。 第二节紫外光谱 一、紫外光谱的基本原理 用波长围200 nm～800 nm的光照射含有共轭体系的的不饱和化合物的稀溶液时，部分波长的光被吸收，被吸收光的波长和强度取决于不饱和化合物的结构。以波长l为横座标，吸收度A为纵座标作图，得紫外光谱，或称电子光谱。 是化合物紫外光谱的特征常数。 紫外光谱中化合物的最大吸收波长λ max 可见－紫外光谱适用于分析分子中具有π键不饱和结构的化合物。 二、紫外光谱在有机结构分析中的应用 随着共轭体系的延长，紫外吸收向长波方向移动，且强度增大(π→π*)，因此可判断分子中共轭的程度。 利用紫外光谱可以测定化合物的纯度或含量。 第三节红外光谱 一、红外光谱的基本原理 用不断改变波长的红外光照射样品，当某一波长的频率刚好与分子中某一化学键的振动频率相同时，分子就会吸收红外光，产生吸收峰。用波长（λ）或波长的倒数—波数（cm-1）为横坐标，百分透光率（T％）或吸收度（A）为纵坐标做图，得到红外吸收光谱图（IR）。分子振动所需能量对应波数围在400 cm-1～4000 cm-1。
二、红外吸收峰的位置和强度 分子中的一个化学键可有几种不同的振动形式，而产生不同的红外吸收峰，键的振动分为两大类。 伸缩振动，用n表示，原子间沿键轴方向伸长或缩短。 弯曲振动用δ表示，形成化学键的两个原子之一与键轴垂直方向作上下或左右弯曲。 组成化学键的原子的质量越小，键能越高，键长越短，振动所需能量越大，吸收峰所在的波数就越高。 红外光谱的吸收峰分为两大区域： 4000 cm－1～1330 cm－1区域：特征谱带区，是红外光谱分析的主要依据。 1330 cm-1～650 cm-1区域：指纹区。每一化合物在指纹区都有它自己的特征光谱，对分子结构的鉴定能提供重要信息。 （很强）；s（强）；m（中强）；w（弱）；红外吸收峰的强弱用下列符号表示：v s v （很弱）；b（宽峰）。 w 凡能使键增强的因素，引起峰位向高波数方向移动，反之，则向低波数方向移动。 三、各类化合物的红外光谱举例 （一）烃类化合物 注：烷烃，即饱和烃，是只有碳碳单键和碳氢键的链烃。烷烃的通式为CnH2n+2。 烯烃是指含有C=C键（碳-碳双键）（烯键）的碳氢化合物，单链烯烃分子通式为CnH2n 炔烃，为分子中含有碳碳三键的碳氢化合物的总称，其官能团为碳-碳三键（C≡C），分子通式为CnH2n-2
[学业水平训练] 1．分析法是从要证的结论出发，逐步寻求结论成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．等价条件 解析：选A.由分析法的要求知，应逐步寻求结论成立的充分条件． 2．若a ，b ，c 是不全相等的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ca .证明过程如下： ∵a ，b ，c ∈R ， ∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2aC ． 又a ，b ，c 不全相等， ∴以上三式至少有一个“＝”不成立． ∴将以上三式相加，得2(a 2＋b 2＋c 2)＞2(ab ＋bc ＋ac )． ∴a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋aC ．此证法是( ) A ．分析法 B ．综合法 C ．分析法与综合法并用 D ．反证法 答案：B 3．对于不重合的直线m ，l 和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( ) A ．m ⊥l ，m ∥α，l ∥β B ．m ⊥l ，α∩β＝m ，l ?α C ．m ∥l ，m ⊥α，l ⊥β D ．m ∥l ，l ⊥β，m ?α 解析：选D ．A ：与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B ：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；C ：这两个平面有可能平行或重合；D ：是成立的，故选D ． 4．使a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0成立的充要条件是( ) A ．|a |≥1且|b |≥1 B ．|a |≥1且|b |≤1 C ．(|a |－1)(|b |－1)≥0 D ．(|a |－1)(|b |－1)≤0 解析：选C ．a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0?a 2(1－b 2)＋(b 2－1)≤0?(b 2－1)(1－a 2)≤0?(a 2－1)(b 2 －1)≥0?(|a |－1)·(|b |－1)≥0. 5．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( ) A ．成等比数列而非等差数列 B ．成等差数列而非等比数列 C ．既成等差数列又成等比数列 D ．既非等差数列又非等比数列 解析：选B.由已知条件， 可得????? a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ② y 2＝bc . ③ 由②③得??? a ＝x 2b ，c ＝y 2b . 代入①，得x 2b ＋y 2b ＝2b ， 即x 2＋y 2＝2b 2. 故x 2，b 2，y 2成等差数列． 6．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋
§2.2.1 综合法和分析法教学设计 广州市荔湾区汾水中学-杨晖 一、教学目标： （一）知识与技能： 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 （二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力； （三）情感、态度与价值观： 通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点： 了解分析法和综合法的思考过程、特点 三、教学难点： 分析法和综合法的思考过程、特点 四、教学过程: （一）导入新课： 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。 （二）推进新课： 1. 综合法 在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如： 已知a,b>0,求证2222 ()()4a b c b c a abc +++≥ 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教 师最后归结证明方法。 学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法 设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义 证明:因为222,0b c bc a +≥>，
所以22 ()2a b c abc +≥。 因为222,0c a ac b +≥>， 所以22()2b c a abc +≥。 因此 2222()()4a b c b c a abc +++≥。 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。 用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论，则综合法可表示为： ()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ?→?→?→→? 综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。 ,,c 3a b b c a c a b a b c a b c +-+-+-++>例1.已知是不全相等的正数 求证： (综合法) ∵a ，b ，c R + ∈， ∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与b c 均为正实数且不能同时相等， 由重要不等式得：b a ＋a b >=2，c a ＋a c >=2，c b ＋b c >=2， 三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c >6， ∴(b a ＋c a －1)＋(c b ＋a b －1)＋(a c ＋b c －1)>3， 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3. 注：证明过程中我们要善于观察变形，合理利用已知条件、定理、公式，把文字语言转化为符号语言，由因导果！ 2. 分析法 证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q 成立的充分条件P 1，为了证明P 1成立，再去寻求P 1成立的充分条件P 2，为了证明P 2