上海市2008年—2015年中考数学压轴题图文解析目录
例1 2015年上海市中考第24题/ 2
例2 2015年上海市中考第25题/ 4
例3 2014年上海市中考第24题/ 6
例4 2014年上海市中考第25题/ 8
例5 2013年上海市中考第24题/ 10
例6 2013年上海市中考第25题/ 12
例7 2012年上海市中考第24题/ 14
例8 2012年上海市中考第25题/ 16
例9 2011年上海市中考第24题/ 18
例10 2011年上海市中考第25题/ 20
例11 2010年上海市中考第24题/ 22
例12 2010年上海市中考第25题/ 23
例13 2009年上海市中考第24题/ 25
例14 2009年上海市中考第25题/ 27
例15 2008年上海市中考第25题/ 29
例 2015年上海市中考第24题
如图1，已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－4与x轴的负半轴交于点A，与y
轴交于点B，AB
＝P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与
x轴交于点D．设点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）用含m的代数式表示线段CO的长；
（3）当tan∠ODC＝3
2
时，求∠P AD的正弦值．
图1
满分解答
（1）由y＝ax2－4，得B(0,－4)，OB＝4．
在Rt△AOB中，AB
＝OA＝2．所以A(－2, 0)．
将A(－2, 0)代入y＝ax2－4，得a＝1．所以抛物线的表达式为y＝x2－4．
（2）如图1，作PH⊥x轴于H，由P(m, m2－4)，得PH＝m2－4，AH＝m＋2．
由CO//PH，得CO AO
PH AH
=，即
2
2
42
CO
m m
=
-+
．解得CO＝2m－4．
（3）如图1，由BO//PH，得BO OD
PH HD
=．所以
2
4
4
OD
m m OD
=
--
．解得
4
OD
m
=．
当tan∠ODC＝3
2
＝
3
2
时，
OC
OD
＝
3
2
．所以
243
42
m
m
-
=．
解得m＝3，或m＝－1（点C在y轴负半轴，舍去）．所以P(3, 5)．在Rt△P AH中，AH＝PH＝5，所以∠P AD＝45°．所以sin∠P AD
第5题图1
例 2015年上海市中考第25题
如图1，AB 是半圆O 的直径，弦CD //AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上且DQ ＝OP ，AP 的延长线于射线OQ 相交于点E ，与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），AB ＝20，cos ∠AOC ＝45
．设OP ＝x ，△CPF 的面积为y ． （1）求证：AP ＝OQ ；
（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△OPE 是直角三角形时，求线段OP 的长．
图1 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“15上海25”，拖动点P 在OC 上运动，可以体验到，直角三角形POE 只存在一种情况，即∠OPE ＝90°．
思路点拨
1．△AOP 与△ODQ 保持全等，△AOP 与△FCP 保持相似．
2．与∠AOC 相等的角除了∠DOB 、∠OCD 和∠ODC 外，还隐含了∠AEO ．
3．讨论直角三角形POE ，放眼外部或全貌解另外的直角三角形．
满分解答
（1）如图2，联结OD ，那么AO ＝OD ．
由CD //AB ，得∠C ＝∠AOC ．由OC ＝OD ，得∠C ＝∠D ．
所以∠AOC ＝∠D ．
又因为OP ＝DQ ，所以△AOP ≌△ODQ ．所以AP ＝OQ ．
图2 图3
（2）如图3，作PH ⊥AO 于H ．
在Rt △POH 中，已知cos ∠AOC ＝
45，那么sin ∠HOP ＝35，所以PH ＝35OP ＝35
x ． 所以S △OP A ＝12AO PH ?＝131025x ??＝3x ．
由CD//AB，得
2
CPF
OPA
S OP
S CP
??
= ?
??
△
△
．所以
2
10
3
y x
x x
-
??
= ?
??
．
整理，得
2
3(10)x
y
x
-
=．定义域是
50
13
＜x＜10．
（3）直角三角形OPE存在两种可能：
①如图4，当∠OPE＝90°时，那么△OP A是直角三角形．
由cos∠AOC＝OP
OA
＝
4
5
，得OP＝
4
5
OA＝8．
②如图5，如果∠POE＝90°，那么△COQ是直角三角形．
由cos∠OCQ＝CO
CQ
＝
4
5
，得CQ＝
5
4
CO＝
25
2
．
所以DQ＝CD－CQ＝
257
16
22
-=．而
7
2
不在定义域
50
13
＜x＜10之内，舍去．
图4 图5
考点伸展
第（3）题在讨论直角三角形POE时，其实∠PEO是大小确定的锐角．
如图6，联结OD．由（1）的结论△AOP≌△ODQ，得∠A＝∠QOD．
又因为∠EOB＝∠A＋∠AEO，∠EOB＝∠QOD＋∠DOB，所以∠AEO＝∠DOB．
第（2）题的定义域中，50
13
的几何意义如图7所示．
当点F与点D重合时，由CF CP
OA OP
=，得
810
5
x
x
-
=．解得
50
13
x=．
图6 图7