1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：
①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：FK p =
③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：2
p OF OK ==
。 ⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：
，，px y px y 2222-==。，py x py x 2222-==
4抛物线px y 22
=的图像和性质：
①焦点坐标是：??
?
??02，p ，
②准线方程是：2
p x -
=。 ③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22
=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02
p PF x =+
， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222
p p
PQ x x x x p =+
++=++ ⑤抛物线px y 22
=上的动点可设为P ),2(2
y p
y 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2
=其中
5一般情况归纳：
方程 图象 焦点 准线 定义特征
y 2=kx
k>0时开口向右
(k/4,0) x= ─k/4
到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离
k<0时开口向左 x 2=ky
k>0时开口向上
(0,k/4) y= ─k/4
到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离
k<0时开口向下
抛物线的定义：
例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程．
C N
M 1
Q
M 2
K F
P
o
M 1
Q
M 2
K
F P
o
y
x
分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义．
答案：y 2
=－16x
例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2
=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长．
分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和．
解：如图8－3－1，y 2
=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．
由???+==1
42x y x y 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则
()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A
点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y 2
=10x ，求它的焦点坐标和准线方程；
(2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程；
(3) 已知抛物线方程为y =－mx 2
(m >0)求它的焦点坐标和准线方程； (4) 求经过P (－4，－2)点的抛物线的标准方程；
分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P 值(注意p >0)．特别是(3)题，要先化为标准形式：y m x 12-=，则m
p 1
2=．(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解．
答案：(1) ??? ??025
，F ，25-
=x ．(2) x 2=12y (3) ??? ?
?-m F 410，，m y 41=
；(4) y 2=－x 或x 2
=－8y ． 例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
（1）过点（－3，2）；
（2）焦点在直线x －2y －4=0上
分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；从实际分析，一般需确定p 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论
解：（1）设所求的抛物线方程为y 2=－2px 或x 2=2py （p ＞0）， ∵过点（－3，2），
∴4=－2p （－3）或9=2p ·2
∴p =
32或p =4
9 ∴所求的抛物线方程为y 2=－
34x 或x 2=29y ，前者的准线方程是x =31，后者的准线方程是y =－8
9 （2）令x =0得y =－2，令y =0得x =4， ∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）
当焦点为（4，0）时，
2p
=4， ∴p =8，此时抛物线方程y 2=16x ； 焦点为（0，－2）时，
2
p
=2， ∴p =4，此时抛物线方程为x 2=－8y
∴所求的抛物线的方程为y 2=16x 或x 2=－8y ， 对应的准线方程分别是x =－4，y =2 常用结论
① 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的弦AB 长的最小值为2p
② 设A(x 1，y)， 1B(x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px 上的两点， 则AB 过F 的充要条件是y 1y 2＝－p 2
③ 设A ， B 是抛物线y 2＝2px 上的两点，O 为原点， 则OA ⊥OB 的充要条件是直线AB 恒过定点(2p ，0)
例5：过抛物线y 2=2px (p >0)的顶点O 作弦OA ⊥OB ，与抛物线分别交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求证：y 1y 2=－4p 2
．
分析：由OA ⊥OB ，得到OA 、OB 斜率之积等于－1，从而得到x 1、x 2，y 1、y 2之间的关系．又A 、B 是抛物线上的点，故(x 1，y 1)、(x 2，y 2)满足抛物线方程．从这几个关系式可以得到y 1、y 2的值．
证：由OA ⊥OB ，得12211-=?=?x y x y K K OB
OA ，即y 1y 2=－x 1x 2，又p y x 2211=，p y x 2222=，所以：2
2
221214p
y y x x =，即2
2
221214p y y y y -=． 而y 1y 2≠0．所以y 1y 2=－4p 2
． 弦的问题
例1 A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；
(2)直线AB 经过一个定点
(3)作OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程 解：(1)设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), 则y 12=2px 1, y 22=2px 2, ∴y 12y 22=4p 2x 1x 2,
∵OA ⊥OB, ∴x 1x 2+y 1y 2=0,
由此即可解得：x 1x 2=4p 2, y 1y 2=─4p 2 (定值)
(2)直线AB 的斜率k=
1212x x y y --=p
y p y y y 222
12212--=2
12y y p
+, ∴直线AB 的方程为y─y 1=2
12y y p
+(x─p y 221),
即y(y 1+y 2)─y 1y 2=2px, 由(1)可得 y=2
12y y p
+(x─2p),
直线AB 过定点C(2p,0)
(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=
2
12y y p
+(x─2p) (i),
又AB ⊥OM, 故两直线的斜率之积为─1, 即
212y y p +·x
y
= ─1 (ii)
由(i),(ii)得x 2─2px+y 2=0 (x ≠0)
解法2: 由OM ⊥AB 知点M 的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出
例2 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标
解：如图，设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2),M(x,y), 则x=
2
2
1x x +, y=221y y +,
又设点A ，B ，M 在准线l :x=─1/4上的射影分别为A /,B /,M /, MM /与y 轴的交点为N ， 则|AF|=|AA /|=x 1+
41,|BF|=|BB /|=x 2+4
1
,
∴x=
21(x 1+x 2)=21(|AF|+|BF|─21)≥21(|AB|─21)=4
5 等号在直线AB 过焦点时成立，此时直线AB 的方程为y=k(x─
4
1) 由??
???
=-=x y x k y 2)41(得16k 2x 2─8(k 2+2)x+k 2=0 依题意|AB|=2
1k +|x 1─x 2|=2
1k +×2
16k ?=22
1k
k +=3, ∴k 2=1/2, 此时
x=2
1
(x 1+x 2)=22162)2(8k k ?+=45
∴y= ±
22即M(45,22), N(4
5,─22) 例3设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线22
+=x y 相交于B 、C 两点,点B 、C 在x 轴上的射影分别为11,C B , P 是线段BC
上的点,且适合1
1
CC BB PC BP =,求POA ?的重心Q 的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形 解析: 设),(),,(),,(002211y x P y x C y x B ,),(y x Q
λ===∴
2
111
y y CC BB PC BP , 212
12
1221
1021y y y y y y y y y y y +=+
?+
=∴ 由???-=+=)
2(22x k y x y 得06)4(222=+--k y k k y 4
12462220-=-?=∴k k
k k k y ①
又
k x y =-2
00
代入①式得4400+=x y ②
由???
????=+=3320
0y y x x 得???=-=y y x x 32300 代入②式得:04312=--y x
由0>?得624-
641264120+<<-∴y , 3
6
443644+<<-
y 且4≠y
所以Q 点轨迹为一线段(抠去一点): 04312=--y x
(3
6
443644+<<-
y 且4≠y ) 例4 已知抛物线2
2,(0)y px p =>,焦点为F,一直线l 与抛物线交于A 、B 两点,且8=+BF AF ,且AB 的垂直平分线恒过定点S(6, 0)
①求抛物线方程; ②求ABS ?面积的最大值
解: ①设),(),,(2211y x B y x A , AB 中点 ),(00y x M 由8=+BF AF 得2
4,8021p x p x x -
=∴=++ 又?????==2
2
212122px y px y 得k p y x x p y y =∴-=-0212221),(2 所以 ),24(k
p p M - 依题意16
2
4-=?--k p k p
, 4=∴p
抛物线方程为 x y 82
= ②由),2(0y M 及0
4y k l =, )2(4
:00-=-x y y y l AB 令0=y 得2
04
12y x K -
= 又由x y 82
=和)2(4:0
0-=
-x y y y l AB 得: 016222
02=-+-y y y y )162(44)4
14(212120202012--+=-??=
∴?y y y y y KS S ABS 69
64
)364(82)232)(16(2
4132
020=≤
-+=
∴?y y S ABS 例5 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点
M 的坐标
解：如图，设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2),M(x,y), 则x=
2
2
1x x +, y=221y y +,
又设点A ，B ，M 在准线l :x=─1/4上的射影分别为A /,B /,M /, MM /与y 轴的交点为N ， 则|AF|=|AA /|=x 1+
41,|BF|=|BB /|=x 2+4
1
, ∴x=21(x 1+x 2)=21(|AF|+|BF|─21)≥21(|AB|─21)=4
5
等号在直线AB 过焦点时成立，此时直线AB 的方程为y=k(x─
4
1)
由??
???
=-=x y x k y 2)41(得16k 2x 2─8(k 2+2)x+k 2=0 依题意|AB|=2
1k +|x 1─x 2|=2
1k +×216k ?=2
2
1k k +=3,
∴k 2=1/2, 此时x=21
(x 1+x 2)=2
2
162)2(8k k ?+=4
5 ∴y= ±22即M(45,22), N(4
5,─22)
综合类(几何)
例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P 、Q ，通过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M ，如何证明直线MQ 平行于抛物线的对称轴？
解：思路一：求出M 、Q 的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x 轴，为此，将方程)2
(,22p x k y px y -==联立，解出
),)11(,2)11((2222k k p k k p P ++++))11(,2)11((22
22k k p k
k p Q +--+ 直线OP 的方程为,)11()11(22
22x k k k y ++++=
即.)
11(22x k
k y +--=
令2
p
x -=，得M 点纵坐标Q M y k k p y =+-=
)11(2得证． 由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐．
思路二：利用命题“如果过抛物线px y 22
=的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为1y 、2y ，那么2
21p y y -=”来证．
设),(11y x P 、),(22y x Q 、),(33y x M ，并从px y 22
=及)2
(p
x k y -
=中消去x ，得到0222=--kp py ky ，则有结论2
21p y y -=，即1
2
2y p y -=．
又直线OP 的方程为x x y y 11=
， 2
p
x -=，得1132x py y -=．
因为),(11y x P 在抛物线上，所以p
y
x 2
112=．
从而21
2
211113)(2y y p y p py x py y =-=?-==．
这一证法运算较小．
思路三：直线MQ 的方程为o y y =的充要条件是),2(),,2(02
00y p
y Q y p
M -．
将直线MO 的方程p y y 02-
=和直线QF 的方程)2(22
20p
x p y py y o --=联立，它的解（x ,y ）就是点P 的坐标，消去o y 的充要条件是点P 在抛物线上，得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小．
说明：本题中过抛物线焦点的直线与x 轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立．
例2 已知过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，点R 是含抛物线顶点O 的弧AB 上一点，求△RAB 的最大面积．
分析：求RAB 的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以AB 为三角形的底，只要确定高的最大值即可．
解：设AB 所在的直线方程为2
p x y -
=． 将其代入抛物线方程px y 22=，消去x 得022
2
=--p py y
p y y y y y y AB 44)(222122121=-+?=-=∴
当过R 的直线l 平行于AB 且与抛物线相切时，△RAB 的面积有最大值． 设直线l 方程为b x y +=．代入抛物线方程得0222
=+-pb py y
由,0842
=-=?pb p 得2p b =，这时),2
(p p
R ．它到AB 的距离为p h 22= ∴△RAB 的最大面积为
222
1
p h AB =?． 例3 直线1l 过点)0,1(-M ，与抛物线x y 42=交于1P 、2P 两点，P 是线段1P 2P 的中点，直线2l 过P 和抛物线的焦点F ，设直线1l 的斜率为k ．
（1）将直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数)(k f ； （2）求出)(k f 的定义域及单调区间．
分析：2l 过点P 及F ，利用两点的斜率公式，可将2l 的斜率用k 表示出来，从而写出)(k f ，由函数)(k f 的特点求得其定义域及单调区间．
解：（1）设1l 的方程为：)1(+=x k y ，将它代入方程x y 42
=，得
0)42(2222=+-+k x k x k
设),(),(),(222111y x P y x P y x P 、、，则2
2
22212,24k k x k k x x -=-=+ 将222k k x -=代入)1(+=x k y 得：k
y 2
=，即P 点坐标为)2,2(
22k k k -． 由x y 42=，知焦点)0,1(F ，∴直线2l 的斜率2
2
221122
k
k k k k k -=--= ∴函数2
11
)(k
k f -=
． （2）∵2l 与抛物线有两上交点，∴0≠k 且04)42(4
2
2
>--=?k k 解得01<<-k 或10< ∴函数)(k f =的定义域为{} 1001<<<<-k k k 或 当)0,1(-∈k 时，)(k f 为增函数． 例4 如图所示：直线l 过抛物线px y 22 =的焦点，并且与这抛物线相交于A 、B 两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线． 分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据l 上任一点到C 、D 距离相等来得矛盾结论． 证法一：假设直线l 是抛物线的弦CD 的垂直平方线，因为直线l 与抛物线交于A 、B 两点，所以直线l 的斜率存在，且不为零；直线CD 的斜率存在，且不为0． 设C 、D 的坐标分别为)2,2(121pt pt 与)2,2(22 2pt pt ．则2 11 t t k CD += ∴l 的方程为)2 ()(21p x t t y -?+-= ∵直线l 平分弦CD ∴CD 的中点))(),((212 22 1t t p t t p ++在直线l 上， 即]2)()[()(2 2212121p t t p t t t t p -++-=+，化简得：0)2 1)((222121=+++t t t t p 由0)(21≠+t t p 知02 1 2221=+ +t t 得到矛盾，所以直线l 不可能是抛物线的弦CD 的垂直平分线． 证法二：假设直线l 是弦CD 的垂直平分线 ∵焦点F 在直线l 上，∴DF CF = 由抛物线定义，),(),,(2211y x D y x C 到抛物线的准线2 p x -=的距离相等． ∵2121,y y x x -==， ∴CD 的垂直平分线l ：0=y 与直线l 和抛物线有两上交点矛盾，下略． 例5 设过抛物线)0(22 >=p px y 的顶点O 的两弦OA 、OB 互相垂直，求抛物线顶点O 在AB 上射影N 的轨迹方程． 分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N 看成定点),(00y x ；待求得00y x 、的关系后再用动点坐标)(y x ，来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算． 解法一：设),,(),,(),,(002211y x N y x B y x A 则：222 121 2,2px y px y ==，2 2 2 21214p y y x x ?=∴ OB OA ⊥ ，1-=?∴OB OA k k 即02121=+y y x x 04212 2221=+∴y y p y y 021≠y y ，2214p y y -=∴ ① 把N 点看作定点，则AB 所在的直线方程为：),(00 0x x y x y y -- =-显然00≠x 0 2 00 )(x y x y y x -+-=∴代入,22px y =化简整理得：0)(222 020020=+-+y x p y py y x 00≠∴x ，0 2 02021) (2x y x p y y +-=∴ ② 由①、②得：0 2 0202 )(24x y x p p +-=-，化简得)0(02002 020≠=-+x px y x 用x 、y 分别表示00y x 、得：)0(022 2≠=-+x px y x 解法二：点N 在以OA 、OB 为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设)2,2(2 pt pt A ，则以OA 为直径的圆方程为：)()()(2 4 2 2 2 2t t p pt y pt x +=-+- 022222=--+pty pt y x ① 设)2,2(12 1pt pt B ，OA ⊥OB ，则t t t t 1111-=?-= 在求以OB 为直径的圆方程时以t 1-代1t ，可得 022)(222=+-+pty px y x t ② 由①＋②得：0)2)(1(2 2 2 =-++px y x t )0(0222≠=-+∴x px y x 例6如图所示，直线1l 和2l 相交于点M ，1l ⊥2l ，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若△AMN 为锐角三角形，7=AM ，3=AN ，且6=BN ，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程． 分析：因为曲线段C 上的任一点是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C 所满足的抛物线方程． 解：以1l 为x 轴，MN 的中点为坐标原点O ，建立直角坐 标系． 由题意，曲线段C 是N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为曲线 段的两端点． ∴设曲线段 C 满足的抛物线方程为： ),0,)(0(22>≤≤>=y x x x p px y B A 其中A x 、B x 为A 、B 的横坐标 令,p MN =则)0,2 (),0,2(p N p M - ，3,17==AN AM ∴由两点间的距离公式，得方程组：?????? ? =+-=++92)2 (172)2 (2 2 A A A A px p x px p x 解得?? ?==14A x p 或???==22 A x p ∵△AMN 为锐角三角形，∴ A x p >2 ，则4=p ，1=A x 又B 在曲线段C 上，4262 =-=- =∴p BN x B 则曲线段C 的方程为).0,41(82 >≤≤=y x x y 例7如图所示，设抛物线)10(22<<=p px y 与圆9)5(2 2=+-y x 在x 轴上方的交点为A 、B ，与圆 27)6(22=+-y x 在x 由上方的交点为C 、D ，P 为AB 中点，Q 为CD 的中点．（1）求PQ ．（2）求△ABQ 面积的最大 值． 分析：由于P 、Q 均为弦AB 、CD 的中点，故可用韦达定理表示出P 、Q 两点坐标，由两点距离公式即可求出PQ ． 解：（1）设),(),,(),,(),,(),,(),,(2211y x Q y x P y x D y x C y x B y x A D D C C B B A A 由?????==+-px y y x 29)5(22 2得：016)5(22=+--x p x ， P x x x B A -=+= ∴52 1 2 198 )5(222222)(222p p p p x x x x p x x p y y y B A B A B A B A -=+-=++=+=+= 由?????==+-px y y x 227)6(22 2得09)6(22=+--x p x ， p x x x D C -=+= ∴62 2 )(2 22 2D C D C x x p y y y +=+= 同1y 类似，229p p y -= 则0,12121=-=-y y x x ，1=∴PQ （2）B A B A APQ ABQ x x P y y PQ S S S BPQ -=-?= +=???2 221 )1(82102 2p p p P -=--= 10< p 时，ABQ S ?取最大值2 1． 例8 已知直线l 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，且点)0,1(-A 和点)8,0(B 关于直线l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程． 分析：设出直线l 和抛物线C 的方程，由点A 、B 关于直线l 对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程．或设 α=∠Ox B '，利用对称的几何性质和三角函数知识求解． 解法一：设抛物线C 的方程为px y 22 =)0(>p ，直线l 的方程为kx y =)0(≠k ， 则有点)0,1(-A ，点)8,0(B 关于直线l 的对称点为),(11' y x A 、),(22' y x B ， 则有???????- =?+-?=,11 ,2121111k x y x k y 解得???????+-=+-=; 12,1 121221k k y k k x ???????-=?-?=+,18,2282 222k x y x k y 解得??????? +-=+=.1)1(8,1 1622 222k k y k k x 如图，'A 、'B 在抛物线上 ∴???????+?=+-+-?=+. 1162) 1()1(64,11 2) 1(42222 2222 22k k p k k k k p k k 两式相除，消去p ，整理，得012=--k k ，故2 5 1±= k ， 由0>p ，0>k ，得251+= k ．把251+=k 代入，得5 5 2=p ． ∴直线l 的方程为x y 251+= ，抛物线C 的方程为x y 5 542=． 解法二：设点A 、B 关于l 的对称点为),(11' y x A 、),(22' y x B ， 又设α=∠Ox B '，依题意，有1'==OA OA ，8'==OB OB ． 故αcos 82=x ，αsin 82=y ． 由?=∠90BOA ，知?=∠90''OA B ． ∴ααsin )90cos(1=?-=x ，ααcos )90sin(1-=?-=y ． 又01>x ，02>x ，故α为第一象限的角． ∴)cos ,(sin ' αα-A 、)sin 8,cos 8(' ααB ． 将'A 、' B 的坐标代入抛物线方程，得?????==. cos 16sin 64, sin 2cos 2 2 ααααp p ∴αα33cos sin 8=，即2 1 tan = α从而55sin =α ，552cos =α， ∴552= p ，得抛物线C 的方程为x y 5 542 = ． 又直线l 平分OB B '∠，得l 的倾斜角为?+=-?+ 452 290α αα． ∴2 5 1sin 1cos )90cos(1)90sin()452 tan( += -=?++?+= ?+=ααααα k ． ∴直线l 的方程为x y 2 5 1+= ． 说明： (1)本题属于点关于直线的对称问题．解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果．解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到． (2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握． 例9 如图，正方形ABCD 的边AB 在直线4+=x y l ：上，C 、D 两点在抛物线x y =2 上，求正方形ABCD 的面积． 分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力． 解：∵直线4+=x y AB ：，CD AB //，∴设CD 的方程为b x y +=，且),(11y x C 、),(22y x D ． 由方程组???+==b x y x y 2，消去x ，得02 =+-b y y ，于是 121=+y y ，b y y =21，∴212 1 1y y k CD -+ =(其中1=k ) ∴)41(24)(221221b y y y y CD -=-+?= ． 由已知，ABCD为正方形，AD CD=， ∴CD可视为平行直线AB与CD间的距离，则有 2 4b CD - =，于是得 2 4 ) 4 1(2 b b - = -． 两边平方后，整理得，0 12 8 2= + +b b，∴6- = b或2- = b． 当6 - = b时，正方形ABCD的面积50 ) 24 1(2 2= + = =CD S． 当2 - = b时，正方形ABCD的面积18 )8 1(2 2= + = =CD S． ∴正方形ABCD的面积为18或50． 说明：运用方程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件． 例10设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为4 10 ? d km时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为? 30，求这彗星与地球的最短距离．分析：利用抛物线有关性质求解． 解：如图，设彗星轨道方程为px y2 2=，0 > p，焦点为)0, 2 ( p F， 彗星位于点) , ( y x P处．直线PF的方程为) 2 ( 3 3p x y- =． 解方程组 ? ? ? ? ? - = = ), 2 ( 3 3 , 2 2 p x y px y 得 2 )3 4 7(p x ± =， 故 2 )3 4 7( p x ± =． p p p p x PF)3 2 4( | 2 2 )3 4 7( | 3 3 2 | 2 | 3 3 2 ± = - ± = - =． 故d p= ±)3 2 4(，得d p 2 3 2± =． 由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点．焦点到抛物线顶点的距离为 d p 4322±=，所以彗星与地球的最短距离为410432?+d km 或4104 32?-d km ，（P 点在F 点的左边与右边时，所求距离取不同的值）． 说明： (1)此题结论有两个，不要漏解； (2)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设),(00y x P 为抛物线 px y 22=上一点，焦点为)0,2( p F ，准线方程为2p x -=，依抛物线定义，有2 20p x p PF ≥+=)0(0≥x ，当00=x 时，PF 最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点． 例11 如图，抛物线顶点在原点，圆x y x 42 2 =+的圆心是抛物线的焦点，直线l 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l 交抛物线与圆依次为A 、B 、C 、D 四点，求CD AB +的值． 分析：本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把CD AB +转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题． 解：由圆的方程x y x 42 2 =+，即4)2(2 2 =+-y x 可知，圆心为)0,2(F ，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为)0,2(F ，设抛物线方程为x y 82 =， BC AD CD AB -=+ ∵BC 为已知圆的直径，∴4=BC ，则4-=+AD CD AB ． 设),(11y x A 、),(22y x D ，∵FD AF AD +=，而A 、D 在抛物线上， 由已知可知，直线l 方程为)2(2-=x y ，于是，由方程组 ?? ?-==). 2(2, 82x y y 消去y ，得0462=+-x x ，∴621=+x x ． ∴1046=+=AD ，因此，6410=-=+CD AB ． 说明：本题如果分别求AB 与CD 则很麻烦，因此把CD AB +转化成4-=-AD BC AD 是关键所在，在求 AD 时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避免了一些繁杂的运算． 11.已知抛物线y 2=2px(p>0)，过焦点F 的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A 、B 两点. （1）求证：|AB|= θ 2 sin 2p ; (2)求|AB|的最小值. （1）证明：如右图，焦点F 的坐标为F （ 2 p ,0）. 设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tan θ·（x-2 p ）,与抛物线方程联立，消去y 并整理，得 tan 2θ·x 2-(2p+ptan 2θ)x+4 tan 22θ ?p =0. 此方程的两根应为交点A 、B 的横坐标，根据韦达定理，有x 1+x 2=θ θ 22tan tan 2p p +. 设 A 、 B 到抛物线的准线 x=- 2 p 的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x 1+x 2+p=θ 2sin 2p . （2）解析：因|AB|=θ 2 sin 2p 的定义域是0<θ<π，又sin 2θ≤1， 所以，当θ= 2 π 时，|AB|有最小值2p. 12.已知抛物线y 2=2px(p>0)的一条焦点弦AB 被焦点F 分成m 、n 两部分，求证：n m 1 1+为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论？ 解析：（1）当AB ⊥x 轴时，m=n=p ， ∴ n m 11+=p 2. （2）当AB 不垂直于x 轴时，设AB:y=k(x-2 p ), A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),|AF|=m,|BF|=n, ∴m= 2p +x 1,n=2 p +x 2. 将AB 方程代入抛物线方程，得 k 2x 2-(k 2p+2p)x+4 2 2p k =0, ∴??? ????=?+=+.4,22212221p x x k p p k x x ∴ n m 11+= mn n m + = p p x x p x x p x x 2 4 )(22 212121=+ ++++. 本题若推广到椭圆，则有 n m 11+= ep 2 （e 是椭圆的离心率）；若推广到双曲线，则要求弦AB 与双曲线交于同一支，此时，同样有 n m 11+=ep 2 (e 为双曲线的离心率). 14.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点M （1,-3）、N （5，1），若点C 满足OC =t OM +(1-t)ON (t ∈R ),点 C 的轨迹与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点. （1）求证：OA ⊥OB ; (2)在x 轴上是否存在一点P （m,0），使得过点P 任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由. （1）证明：由OC =t OM +(1-t)ON (t ∈R )知点C 的轨迹是M 、N 两点所在的直线，故点C 的轨迹方程是：y+3= 4 ) 3(1--·(x-1),即y=x-4. 由??? ?=-=, 4,42 x y x y (x-4)2=4x ?x 2-12x+16=0. ∴x 1x 2=16，x 1+x 2=12， ∴y 1y 2=(x 1-4)(x 2-4)=x 1x 2-4(x 1+x 2)+16=-16. ∴x 1x 2+y 1y 2=0.故OA ⊥OB . （2)解析：存在点P （4，0），使得过点P 任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点. 由题意知：弦所在的直线的斜率不为零， 故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y 2=x ，得y 2-4ky-16=0, ∴y 1+y 2=4k,y 1y 2=-16. k OA ·k OB = 1616164 42122 22112211-==?=?y y y y y y x y x y =-1. ∴OA ⊥OB,故以AB 为直径的圆都过原点. 设弦AB 的中点为M(x,y)， 则x= 21(x 1+x 2),y=2 1 (y 1+y 2). x 1+x 2=ky 1+4+ky 2+4=k(y 1+y 2)+8=k ·(4k ）+8=4k 2+8. ∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为：???=+=, 2,422k y k x 消去k ，得y 2=2x-8. 函数图象变换 1、平移变换（左加右减上加下减）： y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h. 2、对称变换： y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x) 轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点 →y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x); 3、翻折变换： （1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方， 去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． 4、伸缩变换： y=f(x)ω?→x y=f(ωx ); y=f(x)ω ?→y y=ωf(x). 经典题型：作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用 例1．函数1 11--=x y 的图象是（ ） 答案B 例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([2 1)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（ ） 答案A 例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象： （1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f 例4已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ） 答案B 例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（ ） 答案A 例6 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )． A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个 解析：画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A 数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）② 函 数 练 习 题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x = 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数 高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 《函 数》复习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111y x x = +-+ -2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数 新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 § 1.2.1 函数的概念 ¤知识要点： 1. 设 A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f (x) ， x A ．其中， x 叫自变量， x 的取值范 围 A 叫作定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域 . 2. 设 a 、b 是两个实数，且 a 高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 函数及其表示 考点一 求定义域的几种情况 ①若ｆ（x)是整式，则函数的定义域是实数集Ｒ； ②若ｆ（x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于０的实数集合； ④若ｆ(ｘ)是对数函数,真数应大于零。 ⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。 ⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑦若f(x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 考点二 映射个数公式 C ａrd(A)=m ，card(B)=ｎ, m,n ∈N * ，则从A 到B 的映射个数为 n m 。简单说成“前指后底”。 方法技巧清单 方法一 函数定义域的求法 2.（2００9江西卷理)函数 2 34 y x x = --+的定义域为? ?? ( ) Ａ．(4,1)-- B ．(4,1)- C.(1,1)- Ｄ.(1,1]- 解析 由2 10 1 1141 340x x x x x x +>>-????-<??.故选C ５.求下列函数的定义域。①y= 22+?-x x .②ｙ＝ () x x x -+12 .③y= x x -+-11 6.已知函数f(x)的定义域为(),51，求函数F （x)=f(3ｘ-1)-ｆ（3ｘ+1)的定义域。 1. 下列各组函数中表示同一函数的是（ )A.y=5 5 x 和 x y 2 = B ．y ＝ｌn e x 和 e x y ln = Ｃ. ()()() ()3131+=-+-= x y x x x y 和 D. x x y y 0 1 = = 和 ２．函数y=f(ｘ)的图像与直线x ＝２的公共点个数为 A. 0个Ｂ． 1个 Ｃ. ０个或1个 D. 不能确定 ３．已知函数y= 22 -x 定义域为{}2,1.0,1-，则其值域为 方法三 分段函数的考察 ⅰ 求分段函数的定义域和值域 ２ｘ+２ x []0,1-∈ 1求函数f(ｘ)= x 2 1- ｘ()2,0∈ 的定义域和值域 3 x [)+∞∈ ,2 高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种 1函数解析式的特殊求法 例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式 例2 若x x x f 21 (+=+）,求f(x) 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 例5 已知f(x)满足x x f x f 3)1()(2=+，求)(x f 2函数值域的特殊求法 例1. 求函数 ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 例2. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域。 例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域 例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。 例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3 )5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(- 例3 已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+- 0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。 （1）求：(2)f 的值； （2）求证：()f x 是R 上的减函数； （3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。 例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }， 2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}， 问是否存在实数,a b ，使得 (1)A B ≠?，(2)(,)a b C ∈同时成立. 证明题 高一数学必修1集合单元综合练习（Ⅰ） 一、填空题(本大题包括14小题；每小题5分，满分70分) 1、U ＝｛1，2，3，4，5｝，若A ∩B ＝｛2｝，(C U A )∩B ＝｛4｝，(C U A )∩(C U B )＝｛1，5｝，则下列结论正确的是 .错误!未指定书签。 ①、3A 且3B ；②、3A 且3B ； ③、3A 且3B ；④、3A 且3B 。 2、设集合M =｛x ｜－1≤x ＜2｝，N =｛x ｜x －k ≤0｝，若M ∩N ≠，则k 的取值范围是 3、已知全集I =｛x ｜x R ｝，集合A =｛x ｜x ≤1或x ≥3｝，集合B=｛x ｜k ＜x ＜k ＋1，k R ｝，且(C I A )∩B ＝，则实数k 的取值范围是 4、已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A C B 为 5、设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a ??+=???? ，，，，，则b a -= 6、设集合M =},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则M N 。(选填 、、、?、＝、 N M ?、N M ?) 7、设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ? ?????∈≥+=R x x x x B ,03, 则A ∩B = 8、已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =?，则实数a 的取值范围是 9、设集合S ={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A 1⊕A =A b ，其中k 为I +j 被4除的余数，I ，j =0，1，2， 3.满足关系式=(x ⊕x )⊕A 2=A 0的x (x ∈S )的个数为 10、定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B * 的所有元素之和为 11、设集合∈<≤=x x x A 且30{N }的真子集．．． 的个数是 二、解答题(本大题包括5小题；满分90分)解答时要有答题过程！ 12、(14分)若集合S ={}23,a ，{}|03,T x x a x Z =<+<∈且S ∩T ={}1，P =S ∪T ，求集合P 的所有子集 13、(16分)已知集合A ={}37x x ≤≤，B ={x |2 . 《函数》复习题 一、求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y x22x15 ⑵y 1(x 1)2 ⑶y 1 (2x1)04x2 x 33 x 1 1 1 x 1 2、设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为_ _ _；函数f( x 2)的定义域为________； 1 f(x1)的定义域为[2，3]，则函数f(2x1)的定义域是；函数f(2)的定义域x 为。 4、知函数f(x)的定义域为[ 1,1]，且函数F(x) f(x m) f(x m)的定义域存在，求实数m的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴yx22x3(xR)⑵yx22x3x[1,2] ⑶y 3x 1 ⑷y 3x 1(x5) x 1 x 1 ⑸y 2x 6 5x2＋9x4 ⑻yx2x x 2 ⑹y 2 ⑺yx3x1 x 1 . ⑼y x24x 5 ⑽y 4 x24x 5 ⑾y x 1 2x 6、已知函数 2x2axb ， 3] ，求a,b的值。f(x) 2 的值域为[1 x 1 三、求函数的解析式 1、已知函数f(x 1) x24x，求函数f(x)，f(2x 1)的解析式。 2、已知f(x)是二次函数，且f(x 1) f(x 1) 2x24x，求f(x)的解析式。 3、已知函 数f(x)满足2f(x)f( x) 3x 4，则f(x)= 。 4、设f(x) 是R上的奇函数，且当x [0, )时，f(x) x(13x)，则当x( ,0)时f(x)=_____ f(x)在R上的解析式为 5、设f(x)与g(x)的定义域是{x|x R,且x 1}，f(x) 是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x) 1 ，x 1 求f(x)与g(x)的解析表达式 必修二 第一章空间几何体 知识点： 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、 球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这 样的多面体叫做棱台。 2、长方体的对角线长2 2 2 2c b a l+ + =；正方体的对角线长a l3 = 3、球的体积公式：3 3 4 R Vπ =，球的表面积公式：2 4 R Sπ = 4、柱体h s V? =，锥体h s V? = 3 1 ，锥体截面积比： 2 2 2 1 2 1 h h S S = 5、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积； l r S? ? =π2 侧面 ⑵圆锥侧面积： l r S? ? =π 侧面 典型例题： ★例1：下列命题正确的是( ) Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形 Ｂ.棱锥的底面一定是三角形 Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 ★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（） A 2 1 倍 B 4 2 倍 C 2倍 D 2倍 ★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（） Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱 Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱 Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱 Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱 ★★例4：一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A ．28cm π B 2 12cm π. C 216cm π． D ．220cm π 二、填空题 ★例1：若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________． ★例2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识点： 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 （简称线线平行，则线面平行）。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线 与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 （简称线面平行，则面面平行）。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简 称面面平行，则线线平行）。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线 和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂 直（简称线线垂直，则线面垂直）。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面 垂直，则面面垂直）。 ⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平(完整版)函数图象变换及经典例题练习
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