《复变函数与积分变换C》课程教学大纲
Complex Function and Integral Transformation C
课程代码： 课程性质：专业基础理论课/必修
适用专业：机自开课学期：4
总学时数：24 总学分数：1.5
编写年月：2007.7 修订年月：2007.7
执笔：卫雪梅
一、课程的性质和目的
《复变函数》是高等院校工科类及应用理科类有关专业的一门基础理论课.本课程旨在使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习相关专业课程、以后实际应用及进一步扩大数学知识面而奠定必要的基础.
二、课程教学内容及学时分配
(1) 课程教学内容
第一章复数与复变函数
1．掌握复数各种表示方法及其运算(扼要讲述)；
2．了解区域的概念；
3．理解复变函数概念；
4．了解复变函数的极限和连续的概念。
第二章解析函数
1．理解复变函数的导数及复变函数解析的概念
2．掌握复变函数解析的充要条件；
3．了解指数函数、三角函数、双曲函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质(包括在单值域中的解析性)。
第三章复变函数的积分
l．了解复变函数积分的定义及性质，会求复变函数的积分；
2．理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式；
3．掌握解析函数的高阶导数公式(证明不作要求),了解解析函数无限次可导的性质：
第四章级数
1．理解复数项级数收敛，发散及绝对收敛等概念；
2．了解幂级数收敛的概念，会求幂级数的收敛半径；了解幂级数在收敛圆内的一些基
本性质。
3．理解泰勒定理(证明不作要求）
4．了解,sin ,cos ,ln(1)z e z z z +，n z )1(+,的麦克劳林展开式，并会利用它们简单的解析函数展开为幂级数。
5．理解罗朗(Laurent)定理(证明不用要求)；
6．会用间接方法将简单的函数在其孤立奇点附近展开为罗朗级数。 (2) 学时分配
三、课程教学的基本要求
由于《复变函数》的基础课地位，及在应用科学中的重要性，要求学生应对本课程有基本的理解与掌握。学生必须熟练掌握 （1）复变解析函数理论
（2）复变函数的积分理论 （3）复变函数的一些罗朗级数理论 （4）复变函数的调和函数理论
四、本课程与其它课程的联系与分工
先修课程：高等数学，线性代数
后续课程：作为基础课，它是许多后续课程，如数学物理方程、电路原理以及其他专业基础课和专业课的基础。
五、建议教材及教学参考书
［1］ 西安交通大学编，《复变函数》，高等教育出版社， 2005年出版 ［2］ 钟玉泉编，《复变函数论》，高等教育出版社，2004年
《复变函数与积分变换》教学大纲 课程名称：复变函数与积分变换 FunctionsofVariables&Transformations 课程性质：专业基础课 学分：3 总学时：48学时，其中，理论学时：48学时，实验(上机)学时：0学时， 适用专业:通信工程、电子信息工程等专业 先修课程：高等数学 一、教学目的与要求： 复变函数与积分变换是工科院校中数学要求较高专业的一门基础理论课程。复变函数以及与它密切相关的积分变换，它的理论和方法不仅在数学的其他的许多分支中，而且在其他自然科学和工程技术如电力工程、自动控制、信号分析和图像处理、材料成型等领域内获得广泛的应用，已成为不可缺少的运算工具。 通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基本理论和基本方法，傅立叶变换和拉普拉斯变换的思想与运算技巧，并在此基础上培养学生应用这些知识解决实际问题的能力，为后继专业课程的学习提供必要的数学工具。
第一章复数与复变函数（8学时） 第一节复数的概念与运算 一、复数的概念、表示法和运算 二、区域 第二节复变函数 一、复变函数的概念 二、复变函数的极限和连续 本章重点：复数的表示法、方根运算公式 本章难点：复变函数的极限与连续性 本章教学要求：掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算；熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式；了解区域的概念；理解复变数学的概念；理解复变函数的极限和连续的概念。 第二章解析函数（5学时） 第一节解析函数的概念 一、复变函数的导数和解析的概念 二、复变函数解析的充要条件 三、解析函数的基本性质 第二节初等函数的解析性 一、指数函数、三角函数、对数函数 本章重点：复变函数解析的充要条件 本章难点：复变函数解析的充要条件 本章教学要求：理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；掌握复变函数解析的C-R条件，并能利用C-R条件判断复变函数的可导性和解析性；掌握解析函数的基本性质；了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。 第三章复变函数的积分（6学时） 第一节复变函数的积分 一、复变函数的积分的定义与性质 第二节柯西定理与柯西公式 一、柯西积分定理、柯西积分公式 二、解析函数的高阶导数公式 本章重点：会求复变函数的积分，理解柯西积分定理 本章难点：掌握柯西积分公式、解析函数的高阶导数公式 本章教学要求：了解复变函数积分的定义及性质，会求复变函数的积分；理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式；掌握解析函数的高阶导数公式；了解解析函数无限次可导的性质；会综合利用各定理计算闭路积分。 第四章级数（5学时） 第一节复级数的基本概念 一、复级数的一般概念
一. 填空（每题3分，共30分） 1． i 3＝ 2． 0z ＝0是函数5 1cos )(z z z f -= 的 （说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 3. i y xy yi x x z f 322333)(--+=,则()f z '＝ 4. =]0,sin 1 [Re z z s 5. 函数sin w z =在4 z π = 处的转动角为 6. 幂级数∑∞ =0 )(cos n n z in 的收敛半径为R =____________ 7. =?dz z z 1 sin 8．设C 为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则=? dz z e C z 2 1 9．函数()1 4 -=z z z f 在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10． =++? = 2 3||22 ) 4)(1(z z z dz 二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z z f =)(在0=z 解析。【 】 2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】 4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞ =0 n n c 收敛，而||0 ∑∞ =n n c 发散，则∑∞ =0 n n n z c 的收敛半径为1。【 】 6． 1 tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<< 《复变函数》教学大纲 说明 1．本大纲适用数学与应用数学本科教学 2．学科性质： 复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。复变函数论主要研究解析函数。解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。保形映照是复变函数几何理论的基本概念。；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。 3．教学目的： 复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。 4．教学基本要求： 通过本课程的学习，要求学生达到： 1．握基本概念和基本理论； 2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数 的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映 照等）； 2．固和加深理解微积分学的有关知识。 5．教学时数分配： 本课程共讲授72学时（包括习题课），学时分配如下表： 教学时数分配表 以上是二年制脱产数学本科的教学时数。函授面授学时不低于脱产的40%，可安排28~30学时。 教学内容 第一章复数与复变函数 复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。 （一）教学内容 《复变函数与积分变换》课程教学大纲 课程名称：复变函数与积分变换代码01121210 课程类型: 公共必修课学分：3 总学时：48 理论学时：48 先修课程：无适用专业:理工科各专业 一、课程性质、目的和任务 复变函数与积分变换是工科相关专业的一门重要基础课程，通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基础理论和方法，重点掌握解析函数、柯西定理与柯西积分公式、留数、共性映射等内容，以及掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的性质与方法，为有关后续课程的学习奠定必要的数学基础。 本课程的理论与方法在自然科学和工程技术中都有广泛的应用，它是研究微分方程、积分方程、数学物理方程等数学分支的必要工具，更是学习工程力学、振动力学、电工学、电磁学、热学、自动控制、电子工程、信息工程与机电工程等专业课程必要的理论基础。要学好本课程必须具备高等数学的基础。 二、教学基本要求 通过本课程的学习，要求考生系统地获得复变函数与积分变换的基本知识，切实掌握复变函数的基本理论和方法，掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的基本概念与方法，并具有比较熟练的运算能力和分析解决实际问题的能力，同时注意培养抽象思维能力与一定的逻辑推理能力，进而为学习后继课程及工程实际应用奠定良好的基础。 本课程分为九章，其中前七章为复变函数的内容，后两章为积分变换的内容。其中第七章解析函数在平面场的应用作为选讲内容。 第一个层面是考试中对各知识点的要求由低到高分为三个认知层次，其中对概念与理论用“理解”、“知道”和“了解”表述，对方法和运用由“熟练掌握”、“掌握”和“会”表述，前者为较高的要求。 第二个层面是考试中对各部分内容的掌握程度按由低到高依次为：“识记”、“领会”、“简单应用”、“综合应用”四个能力层次确定其考核要求，它们之间是递进等级的关系，后者必须建立在前者的基础上。其含义是： 识记——要求考生能够识别和记忆本大纲中规定的有关知识点的主要内容（如定义、定理、公式、法则、重要结论、方法、步骤等），并能根据考核的不同要求，做出正确的表达、选择和判断。 领会——要求考生能够领悟和理解本大纲中规定的有关知识点的内涵与外延，熟悉其内容要点和它们之间的区别与联系，并能根据考核要求，给出正确的解释、说明和论述。 简单应用——要求考生能够运用本大纲中规定的少量知识点，分析和解决一般应用问题，如简单的计算、证明和分析等。 综合应用——要求考生能够运用本大纲中规定的多个知识点经过分析、计算或推导，解决稍复杂的问题. 三、教学内容及要求 第一章复数与复变函数 （一）本章知识点 §1.1 复数 §1.2 复数的三角表示 西安交通大学考试题复变函数 (A 卷) 一、填空题（每题4分，共20分） 1 12i +=______________ 2 |z|=2 1d ()(4) z z i z = +-? 3 幂级数1 n n nz ∞ =∑的收敛半径R=______________ 4 1 R e [,]sin s z z π= ____________________ 5 函数1 z ω=将z 平面上的曲线1x =变为ω平面上的 （,z x iy u iv ω=+=+） 二、单项选择题（每题4分，共20分）. 1 设1 ()sin(1)f z z =-，则0z =是()f z 的 【 】 A ．可去奇点 B ．本性奇点 C ．极点 D ．非孤立奇点. 2 设1n > 为正整数，则 ||2 1d 1 n z z z =-? 为 【 】 A ．0 B ． 2i π C. i π D. 2n i π 3 级数1 n n z n ∞ =∑ 在||1z =上 【 】 A ．收敛 B ．发散 C ．既有收敛点也有发散点 D ．不确定 4 0 cos lim sin x z z z z z →-= - 【 】 A ．3- B. ∞ C. 0 D. 3 5 设13 2 8 ()(1)(1) z f z z z = -+， 则()f z 在复平面上所有有限奇点处的留数之和等 于 【 】 A ． 1- B. 1 C. 10 D. 0 三 (10分) 讨论函数2()f z x iy =-的可微性与解析性。 四 (10分) 设()f z 在||(1)z R R <>内解析，且(0)1f =，(0)2f '=，试计算积分 并由此得出22 cos ()2 i f e d πθ θ θ ? 之值。 五 (10分) 已知调和函数22(,)u x y x y xy =-+。求共轭调和函数(,)v x y 及解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+。 2 2 ||1 ()(1) d z f z z z z =+? 《复变函数与积分变换》教学大纲 英文课程名称：Functions of Complex Variable and Integral Transformation 课程代码： 课程类别：专业基础课 学时：51 学分：3 开设学期：4 适应专业：自动化、电科、电类本科专业 考核方式：考试 先修课程：高等数学 开课单位：数学科学学院 一、课程简介 复变函数是研究复变数之间的相互依赖关系的一门数学学科，而积分变换则是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。复变函数、积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。 二、教学基本要求与内容安排 （一）教学目的与要求 通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的性质、方法，为学习后续课程和扩大数学知识面打下必要的数学基础。（二）教学内容安排 （教学要求：A—熟练掌握；B—理解或掌握；C—了解或会） 三、习题课和课堂讨论内容 各章结束根据内容安排1节或2节习题课，包括知识、方法总结、典型例题等。 四、实验（实践）内容 无 五、考核方式 考核方式为笔试；平时成绩占50%，期末成绩占50%；平时成绩评定包含出勤、课堂表现、作业、讨论、期中考核等方面。 六、推荐教材和主要参考书 教材：王忠仁等. 复变函数与积分变换[M]. 北京：高等教育出版社，2006. 参考书：[1]刘建亚. 复变函数与积分变换[M]. 北京：高等教育出版社，2005. [2]华中科技大学. 复变函数与积分变换[M]. 北京：高等教育出版社, 2008. 制订人（签字）：张梅审核人（签字）：杨慧卿日期：2012年 12月 复变函数教学大纲 一、课程概述： 复变函数是数学专业一门主要的专业必修课。复变函数是数学的一门重要分支。复变函数是数学分析的后续课程。它的理论和方法，对于数学的其他学科，对于物理，力学，工程技术中的一些问题，有许多重要的应用。通过本课程的教学，应使学生掌握复变函数的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力，从而为从事教学科研及其他实际工作打好基础。本课程的主要内容包括：复数与复变函数，复变函数的导数，解析函数及其性质，复变函数的积分及其性质，柯西积分定理及柯西积分公式，复变函数展开为泰勒级数、洛朗级数，孤立奇点的分类（包括无穷远点），留数在求积分中的应用，共形映射的概念及性质等. 二、教学目的： 通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。为进一步学习其他课程，并为将来从事教学、科研及其他实际工作打好基础。通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。 三、学时分配表 四、教学基本内容： 第一章、复数与复变函数（8学时） 教学要求： 掌握复数及运算规律, 掌握复数与平面点、平面向量的对应关系。掌握复数的几何表示及运算性质；掌握模，辅角的概念及性质；掌握复数的几种表示形式及相互之间的运算关系。理解复数的乘积及商、幂、根的求法，了解区域的概念。理解复变函数及复变函数的极限和连续性。 掌握复变函数的概念及有关性质，了解复球面与无穷远点概念，了解区域（单、复连通）光滑曲线、无穷远点、复平面及扩充复平面的概念。 难点是辐角的概念及复球面与无穷远点的要领。 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2 z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 22 2 ≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 复变函数论第四版答案钟玉泉 （1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与 xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 （2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 （3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 （4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极 点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和 零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 （6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。 （7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 （8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的 微分方程，以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。 《复变函数与积分变换》课程教学大纲 一、课程与任课教师基本信息 课程名称：复变函数与积分变换课程类别：必修课 课程英文名称：Function of Complex Variable and Integral Transform 总学时/周学时/学分：56/4/3其中实验（实训、讨论等）学时：4 先修课程：高等数学 授课时间：1-18周周一1-2，1-8周周三3-4节授课地点：6F302 授课对象：2016通信工程1-6班 开课院（系）：计算机学院高等数学课程群 任课（/助课）教师姓名/职称：刘学杰/讲师编写人姓名/职称：刘学杰/讲师 使用教材：《复变函数与积分变换》，苏变萍、陈东立，北京：高等教育出版社，2010。 教学参考资料： 1、《复变函数与积分变换》，马柏林、李丹衡、宴华辉，上海：复旦大学出版社，2007。 2、《复变函数与积分变换》，刘西民，上海：上海交通大学出版社，2010。 课程期末考核方式：开卷（）闭卷（√）课程论文（）实操（） 联系电话：1592022386/64613Email:bgliouxj@https://www.doczj.com/doc/45166783.html, 答疑时间、地点与方式：1.每次上课的课前、课间和课后，采用一对一的问答方式；2.每次发放作业时，课前采用集中讲解方式；3.课程结束后和教学前安排集中答疑。 编写时间：2017年9月28-9月5日 二、课程简介 本课程属于电子、电气、自动化及光信息的基础必修课，其目的是为培养相关专业学生的计算能力和理性思考能力。由于针对的是非数学专业的学生，因此在兼顾理论的同时，以实际应用为主。通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的一些基本概念、基本理论与基本方法；能应用复变函数的积分理论、留数理论解决一些实际问题；使学生掌握Fourier变换、Laplace变换的性质及相关计算，并以此为工具学会分析和处理工程实际中的一些问题，为学习后续课程打好基础。培养学生应用这些概念与方法解决实际问题的基本技能，为学习相关后续专业课程奠定必要的数学基础，并为将来从事教学、科研以及其它实际工作打好基础。 三、课程教学目标（精炼概括3-5条目标，本课程教学目标须与授课对象的专 业培养目标有一定的对应关系） 结合专业培养目标，提出本课程要达到的目标。这些目标包括： 1．知识与技能目标：通过本课程的学习，使学生掌握常用的计算法则，了解该课程的后续应用。学生在学习完本课程后，至少应掌握下述技能：(1)解析函数的构造及其幂级数表示；（2）Fourier变换的性质及其应用；（3）Laplace变换及其应用；（4）离散Fourier变换、快速Fourier变换及其应用；（5）z变换及其应用。应理解复变函数的解析性、多元函数的调和性与基本的复变函数，了解函数的奇点与留数定理。 2．过程与方法目标：通过本课程的学习，使学生的基本运算能力、分析问题的能力与 教学大纲 课程：复变函数与积分变换 适用专业：理工科专业(四年制本科) 编者：李贤 审核人： 教研室：高等数学教研室 院系：教育学院 制订时间：2010年7月 修订时间：年月 教育学院高等数学教研室制 《复变函数与积分变换》课程教学大纲 课程名称：复变函数与积分变换 英文名称：Functions of Complex Variable and Integral Transforms 课程编号： 课程所属单位：教育学院高等数学教研室 课程面向专业：理工科各专业（四年制本科） 课程类型：必修课 总学时：64学时学分： 4学分 编写修订人及单位：李贤教育学院高等数学教研室 修订时间：2010年7月 说明部分 一、大纲的使用说明： 本大纲主要根据我校理工类本科专业复变函数与积分变换内容要求组织形成，并适度参照全国各个院校所用复变函数与积分变换教材。体系结构与多数常用教材相吻合，易于选择相应教材进行课堂教学，教学过程可根据各专业的具体要求进行适当删节。 二、课程简介： 复变函数是研究复变数之间的相互依赖关系的一门数学学科，而积分变换则是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。复变函数、积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，为学习有关专业课和扩大数学知识面打下必要的数学基础。 三、课程性质 开设本课程，主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上，一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，另一方面，使学生具备一定的解决实际问题的能力，同时，它也是理工类专业的一门理论性和应用性较强的基础理论课。 四、课程教学目的与基本要求 在课程的学习中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，了解复变函数与积分变换的一些基本知识，内容包含复变函数、解析函数、解析函数的级数表示、留数定理、保形映射以及工程上常用的傅立叶变换与拉普拉斯变换等，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力，. 五、教学方法要求 课程教法： 1．本课程以课堂讲授为主，适当利用多媒体教学手段，采用启发式，结合实际灵活施教。 2．适当补充后续课程所必需的初等数学基础知识，在此基础上，高等数学教学内容以学科专业必备的数学基础为主，着重基本内容的讲解，采用由简到难、精讲多练的方法，加强典型习题的练习，提高学生动手能力，重视学生良好的学习方法和学习习惯的培养。 4．授课教师应推荐相应的参考书目，补充适当的课外读物。 5．每次课后留作业，作业批改1/3，按时辅导答疑; 每章至少上一次习题课。 复变函数教学大纲 Prepared on 24 November 2020 复变函数教学大纲 课程名称：复变函数课程编码： 英文名称：Complex Analysis 学时：48 学分：3 适用专业：信息与计算科学课程类别：任选 课程性质：学科基础课 先修课程：数学分析高等代数空间解析几何 教材：复变函数论（钟玉泉第三版高等教育出版社） 一、课程性质与任务 复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础。复变函数论不但是我们所学数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，它不仅在数学学科众多分支（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…）有着广泛应用，而且还被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。复变函数论课程是信息与计算科学专业的一门重要必修基础课。开设本课程，主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上，一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，另一方面，使学生具备一定的分析问题、解决实际问题的能力。 二、课程教学的基本要求 复变函数论作为一门学科，有其自身的特点和研究方法与研究工具，在学习过程中，应注意与微积分理论的比较，从而加深理解，同时也须注意复变函数本身的特点，并掌握它自身所固有的理论和方法，抓住要点，融会贯通。 本课程主要包括：复数与复变函数、解析函数——柯西黎曼定理、复变函数的积分——柯西定理、柯西积分公式与高阶导数公式、级数——泰勒级数与洛朗级数、应用留数计算及其应用。 教学要求层次：有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。 在复变函数论的学习过程中，使学生逐步提高数学修养，掌握数学研究的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高，同时极大的扩展学生的学习思路，使他们了解更多的应用知识，特别是和现代生活息息相关的数学应用知识。 三、课程内容及教学要求 第一章复数与复变函数 教学基本内容： 1.复数发展史略； 2.复数定义及运算：复数的定义、相等及运算，复数的代数式，复数的模与辐角，共轭复数； 3.复平面与复球面：复平面，复数的向量式、三角式与指数式，复数的乘幂与n次方根，无穷远点与复球面； 4.复数的应用举例； 《复变函数与积分变换》课程教学大纲 《复变函数与积分变换》课程教学大纲课程名称：复变函数与积分变换课程代码： 英文名称：Function of Complex Variable and Integral Transformation 课程性质：专业必修课程学分/学时：2学分/36学时开课学期：第3学期 适用专业：电气工程及其自动化先修课程：高等数学后续课程：自动控制原理、信号与系统、检测技术与仪表开课单位：机电工程学院课程负责人： 大纲执笔人： 大纲审核人： 一、课程性质和教学目标课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。 教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等 数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。 本课程的具体教学目标如下： 1. 熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。 2. 大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。 3. 基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。 数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数 第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开 西安交通大学现代远程教育考试卷及答案 课 程：复变函数（A ） 专业班号 考试日期 年 月 日 姓 名 学号 期中 期末 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1、若函数()z f 在区域D 内解析，则函数()z f 在区域D 内（ ） A ．在有限个点可导 B ．存在任意阶导数 C ．在无穷多个点可导 D ．存在有限个点不可导 2、设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z →=，那么 ()()Re ,0s f z =（ ） A ．2i π B ．2i π- C ．1 D ．-1 3、函数()()()411 ++=z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个，则m=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4、下列命题正确的是（ ） A ．i i 2< B ．零的辐角是零 C ．仅存在一个数z,使得z z -=1 D ．iz z i =1 5、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ．()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ．()∑∞=+-01 221n n n n z （z <1） C ．()∑∞=++-012121n n n n z （z <1） D ．()∑∞=-0221n n n n z （z <1） 6、在下列函数中，()0Re 0==z f s z 的是（ ） A ．()21z e z f z -= B ．()z z z z f 1sin -= C ．()z z z z f cos sin += D ．()z e z f z 111--= 7、设a i ≠，C ：i z -=1，则()=-?dz i a z z C 2cos （ ） A ．0 B ． 2i e π C ．2ie π D ．icosi 8、下列函数是解析函数的为（ ） A ．xyi y x 222-- B ．xyi x +2 C ．)2()1(222x x y i y x +-+- D ．33iy x + 9、下列命题中，不正确的是（ ） A ．如果无穷远点∞是()f z 的可去奇点，那么()() Re ,0s f z ∞= B ．若()f z 在区域D 内任一点0z 的邻域内展开成泰勒级数，则()f z 在D 内解析 C ．幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数 D ．函数22e i e i ω-=+将带形域()0Im z π<<映射为单位圆1ω< 10、函数()()() 2222f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。 A ．全平面 B ．2x = C ．2y = D ．处处不可导 二、判断题（每题2分，共30分；正确：√；错误：×） 1、对任意的z ，() ()2Ln z 2Ln z =.（ ） 2、在柯西积分公式中，如果D a ?，即a 在D 之外，其它条件不变，则积分()=-?dz a z z f i C π210，()D z ∈.（ ） 3、区域()0Im z ＞是无界的单连通的闭区域。（ ） 《复变函数与积分变换C》课程教学大纲 Complex Function and Integral Transformation C 课程代码： 课程性质：专业基础理论课/必修 适用专业：机自开课学期：4 总学时数：24 总学分数：1.5 编写年月：2007.7 修订年月：2007.7 执笔：卫雪梅 一、课程的性质和目的 《复变函数》是高等院校工科类及应用理科类有关专业的一门基础理论课.本课程旨在使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习相关专业课程、以后实际应用及进一步扩大数学知识面而奠定必要的基础. 二、课程教学内容及学时分配 (1) 课程教学内容 第一章复数与复变函数 1．掌握复数各种表示方法及其运算(扼要讲述)； 2．了解区域的概念； 3．理解复变函数概念； 4．了解复变函数的极限和连续的概念。 第二章解析函数 1．理解复变函数的导数及复变函数解析的概念 2．掌握复变函数解析的充要条件； 3．了解指数函数、三角函数、双曲函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质(包括在单值域中的解析性)。 第三章复变函数的积分 l．了解复变函数积分的定义及性质，会求复变函数的积分； 2．理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式； 3．掌握解析函数的高阶导数公式(证明不作要求),了解解析函数无限次可导的性质： 第四章级数 1．理解复数项级数收敛，发散及绝对收敛等概念； 2．了解幂级数收敛的概念，会求幂级数的收敛半径；了解幂级数在收敛圆内的一些基 本性质。 3．理解泰勒定理(证明不作要求） 4．了解,sin ,cos ,ln(1)z e z z z +，n z )1(+,的麦克劳林展开式，并会利用它们简单的解析函数展开为幂级数。 5．理解罗朗(Laurent)定理(证明不用要求)； 6．会用间接方法将简单的函数在其孤立奇点附近展开为罗朗级数。 (2) 学时分配 三、课程教学的基本要求 由于《复变函数》的基础课地位，及在应用科学中的重要性，要求学生应对本课程有基本的理解与掌握。学生必须熟练掌握 （1）复变解析函数理论 （2）复变函数的积分理论 （3）复变函数的一些罗朗级数理论 （4）复变函数的调和函数理论 四、本课程与其它课程的联系与分工 先修课程：高等数学，线性代数 后续课程：作为基础课，它是许多后续课程，如数学物理方程、电路原理以及其他专业基础课和专业课的基础。 五、建议教材及教学参考书 ［1］ 西安交通大学编，《复变函数》，高等教育出版社， 2005年出版 ［2］ 钟玉泉编，《复变函数论》，高等教育出版社，2004年 《复变函数论》教学大纲 一、课程基本信息 中文名称：复变函数论 英文名称：Theory of Functions of Complex Variable 课程编号：061111B 课程类别：专业主干课 总学时数：48 学分：3 适用专业：数学与应用数学 开课系部：数学与信息技术学院 先修课程：数学分析,高等代数，解析几何 二、课程性质与教学目的 复变函数是数学、物理及电子类各专业必修的一门基础课，其理论随着它的应用领域不断扩大而发展成为一门庞大的数学分支。一方面讲述复变函数的基本理论与方法，另一方面渗透复分析领域内的相关内容。教学目的使学生掌握复变函数的基本内容和方法，为进一步学习复分析，从事工程和电子应用、科研及其它工作打好坚实基础。 三、课程教学基本要求 第一讲复数及其运算 (2学时) 1、复数的基本概念和表示方法 内容：复数相关的基本概念，复数的6种表示方法 要求：理解复数的相关基本概念，会用复数的6种表示方法互相变换，会准确计算刘种表示方法中复数的实部、虚部、模、辐角等。 2、复数的运算 内容：代数形式的四则运算，三角形式的乘除运算和幂运算，开方运算。 要求：掌握复数的代数运算，理解复数的三角形式乘除运算，掌握三角形式的幂运算和开方运算。 3、复数的几何意义 内容：复数的坐标表示和向量表示的运算，复数几何意义，复数乘除幂和开方的几何意义。 要求：理解复数的几何表示和几何意义，掌握复数乘法除法的几何意义，会应用复数乘除的几何意义证明一些几何问题，了解复数幂和开方的几何意义。 第二讲复变函数的极限与连续 (2学时) 1、复数列的极限 内容：复数列极限的定义，复数列极限的充要条件，复数列极限的计算 要求：理解复数极限的定义，掌握复数列极限的充要条件，会计算复数列的极限。 2、复变函数的定义和极限 内容：复变函数的定义，复变函数的定义域和值域，复变函数的分类，复变函数的极限，复变函数极限与实二元函数二重极限关系，计算复变函数的极限。 要求：理解复变函数的定义，理解复变函数定义域和值域的关系，了解复变函数的分类，理解复变函数极限的定义和充要条件，掌握复变函数极限与实二元函数二重极限关系，会计算复变函数的极限 3、复变函数的连续性 内容：连续性的定义，复变函数连续的性质，复变函数连续的充要条件，初等函数连续性。 要求：理解连续性的定义，掌握复变函数连续的性质，理解复变函数连续的充要条件。掌握初等函数连续性。 第三讲复变函数的导数与微分 (2学时) 1、复函数导数的定义 内容：复函数导数的定义，复函数实部和虚部可导定义，导数的四则运算，导数的复合函数运算，导数的反函数运算，初等函数可导性 要求：理解复函数导数的定义，掌握复函数实部和虚部的导数定义，掌握导数的四则运算，掌握导数的复合函数运算，理解导数的反函数运算，理解初等函数的可导性 2、复函数的微分 内容：复变函数微分的定义，复变函数的可导、微分和连续的关系，复变函数导数和实二元函数导数的关系。 要求：理解复变函数微分的定义，理解复变函数的可导、微分和连续的关系，理解复变函数导数和实二元函数导数的关系。 3、复函数可微分的条件 内容：柯西黎曼方程，可微分的必要条件可微分的充要条件，可微分的必要条件 要求：掌握柯西黎曼方程，理解可微分的必要条件，理解可微分的充要条件，理解可微分的必要条件。 场论与复变函数(Functions of Complex Variables) 教学大纲 付小宁 课程编号: SC1112004 学分数：3学分 课内时数：46 课程性质：必修课 适用专业：测控技术与仪器先修课程：数学分析 开课学期：第四学期开课院系：04院自动化/电气/测控 一、该课程的地位、基本要求、与其他课程的联系和分工 《复变函数》课程是研究复数域上函数的一门学科，为“测控技术与仪器专业”的必修课，属于专业基础课性质。本课程讲述复变函数及其相互关系的研究、计算复变函数的各种方法，包括复数及复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数和保角映射。通过本课程的学习，可以进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生的数学知识，为学生掌握复变函数在自然科学和工程技术中的应用打下基础。 数域从实数域扩大到复数域后，产生了复变函数论，并且深刻地深入到代数学、微分方程、概率统计、拓朴学等数学分支。二十世纪以来，已被广泛地应用到理论物理、天体力学等方面，发展到今天已成为一个内容非常丰富，应用极为广泛的数学分支，成为理工科大学的必修课程。 掌握场论的有关内容、概念和方法，使学生理解和掌握在力学、电学、电磁学等学科中所遇到的场的数学背景，掌握其运算的一般规律，使学生得到抽象科学思维的训练，提高学生数学素养和能力，为学生学习有关后续课程以及进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。 二、课程内容及学时分配 第一章复数与复变函数 3学时第一节复数及其代数运算 第二节复数的几何表示 第三节复数的乘幂与方根 第四节区域 第五节复变函数 第六节复变函数的极限和连续性。 要求：[1]. 熟练掌握复数的各种表示方法及其运算。 [2]. 了解区域的概念。 [3]. 熟悉简单图形或区域的复变函数表示 [4]. 掌握复变函数的极限与连续性。 第二章解析函数 6学时第一节解析函数的概念 第二节函数解析的充要条件 第三节初等函数(完整版)《复变函数》教学大纲
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