一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)
1.如图(1),将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起.
(1)试判断∠ACE与∠BCD的大小关系,并说明理由;
(2)若∠DCE=30°,求∠ACB的度数;
(3)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明理由;
(4)若改变其中一个三角板的位置,如图(2),则第(3)小题的结论还成立吗?(不需说明理由)
【答案】(1)解:∠ACE=∠BCD,理由如下:
∵∠ACD=∠BCE=90°,∠ACE+∠ECD=∠ECB+∠ECD=90°,
∴∠ACE=∠BCD
(2)解:若∠DCE=30°,∠ACD=90°,
∴∠ACE=∠ACD﹣∠DCE=90°﹣30°=60°,
∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE,
∠ACB=90°+60°=150°
(3)解:猜想∠ACB+∠DCE=180°.理由如下:
∵∠ACD=90°=∠ECB,∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°,
∴∠ECD+∠ACB=360°﹣(∠ACD+∠ECB)=360°﹣180°=180°
(4)解:成立
【解析】【分析】(1)根据同角的余角相等即可求证;
(2)根据余角的定义可先求得∠ACE=∠ACD-∠DCE,再由图可得∠ACB=∠ACE+∠BCE,把∠ACE和∠BCE 的度数代入计算即可求解;
(3)由图知,∠ACB=∠ACD+∠BCE-∠ECD,则∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCE,把∠ACD和∠BCE的度数代入计算即可求解;
(4)根据重叠的部分实质是两个角的重叠可得。。
2.如图,直线m与直线n互相垂直,垂足为O,A、B两点同时从点O出发,点A沿直线m向左运动,点B沿直线n向上运动.
(1)若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P,在点A、B的运动过程中,∠APB的大小是否会发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由;
(2)若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q,AP的延长线交QB的延长线于点C,在点A、B的运动过程中,∠Q和∠C的大小是否会发生变化?若不发生变化,请求出∠Q和∠C的度数;若发生变化,请说明理由.
【答案】(1)解:不变化.理由:∵AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线,∠AOB=90°,∴∠APB=180°(∠OAB+∠ABO)=180° ×90°=135°
(2)解:都不变.
理由:∵AQ和BQ分别是∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线,AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线,
∴∠CAQ=∠QBP=90°,又∠APB=135°,
∴∠Q=45°,∴∠C=45°
【解析】【分析】根据角平分线定义和三角形内角和定理得到∠APB=180° ?(∠OAB+∠ABO);根据邻补角的平分线互相垂直,得到∠CAQ=∠QBP=90°,由∠APB的度数,求出∠Q和∠C的度数.
3.如图1,点为直线上一点,过点作射线,使,将一直角三角板的直角顶点放在点处,一边在射线上,另一边在直线的下方.
(1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图,使一边在的内部,且恰好平
分,问:此时直线是否平分?请直接写出结论:直线 ________(平分或不平分) .
(2)将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第秒时,直线恰好平分锐角,则的值为________.(直接写出结果)
(3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转,请探究:当始终在的内部时(如图3),与的差是否发生变化?若不变,请求出这个差值;若变化,请举例说明.
【答案】(1)平分
(2)或49
(3)解:不变,设,
,,
【解析】【解答】(1)直线平分;(2)或
【分析】(1)根据图形得到直线ON平分∠AOC ;(2)由三角板绕点 O 以每秒 5 °的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t 秒时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,求出t的值;(3)根据题意得到∠AON=50°?y,∠AOM?∠NOC=x?y=40°.
4.如图1,点A、B分别在数轴原点O的左右两侧,且 OA+50=OB,点B对应数是90.
(1)求A点对应的数;
(2)如图2,动点M、N、P分别从原点O、A、B同时出发,其中M、N均向右运动,速度分别为2个单位长度/秒,7个单位长度/秒,点P向左运动,速度为8个单位长度/秒,设它们运动时间为t秒,问当t为何值时,点M、N之间的距离等于P、M之间的距离;
(3)如图3,将(2)中的三动点M、N、P的运动方向改为与原来相反的方向,其余条件不变,设Q为线段MN的中点,R为线段OP的中点,求22RQ﹣28RO﹣5PN的值.
【答案】(1)解:如图1,∵点B对应数是90,
∴OB=90.
又∵ OA+50=OB,即 OA+50=90,
∴OA=120.
∴点A所对应的数是﹣120
(2)解:依题意得,MN=|(﹣120+7t)﹣2t|=|﹣120+5t|,
PM=|2t﹣(90﹣8t)|=|10t﹣90|,
又∵MN=PM,
∴|﹣120+5t|=|10t﹣90|,
∴﹣120+5t=10t﹣90或﹣120+5t=﹣(10t﹣90)
解得t=﹣6或t=14,
∵t≥0,
∴t=14,点M、N之间的距离等于点P、M之间的距离
(3)解:依题意得RQ=( 45+4t)﹣(﹣60﹣4.5t)=105+8.5t,
RO=45+4t,
PN=(90+8t)﹣(﹣120﹣7t)=210+15t,
则22RQ﹣28RO﹣5PN=22(105+8.5t)﹣28(45+4t)﹣5(210+15t)=0
【解析】【分析】(1)根据点B对应的数求得OB的长度,结合已知条件和图形来求点A 所对应的数;(2)由M、N之间的距离等于P、M之间的距离列式为,列方程求出t;(3)由M、N之间的距离等于P、M之间的距离列式为,列方程求出t,并求出RQ,RO 及PN,再求出22RQ﹣28RO﹣5PN的值.
5.如图1,点O是弹力墙MN上一点,魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转,当转到ON位置时,则从ON位置弹回,继续向OM位置旋转;当转到OM位置时,再从OM的位置弹回,继续转向ON位置,…,如此反复.按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转:第1步,从OA0(OA0在OM上)开始旋转α至OA1;第2步,从OA1开始继续旋转2α至OA2;第3步,从OA2开始继续旋转3α至OA3,?….
例如:当α=30°时,OA1, OA2, OA3, OA4的位置如图2所示,其中OA3恰好落在ON 上,∠A3OA4=120°;
当α=20°时,OA1, OA2, OA3, OA4, OA3的位置如图3所示,
其中第4步旋转到ON后弹回,即∠A3ON+∠NOA4=80°,而OA3恰好与OA2重合.
解决如下问题:
(1)若α=35°,在图4中借助量角器画出OA2,OA3,其中∠A3OA2的度数是________;
(2)若α<30°,且OA4所在的射线平分∠A2OA3,在如图5中画出OA1,OA2,OA3, OA4并求出α的值;
(3)若α<36°,且∠A2OA4=20°,则对应的α值是________
(4)(选做题)当OA i所在的射线是∠A i OA k(i,j,k是正整数,且OA j与OA k不重合)的平分线时,旋转停止,请探究:试问对于任意角α(α的度数为正整数,且α=180°),旋转是否可以停止?写出你的探究思路.
【答案】(1)45°
(2)解:如图所示.
∵α<30°,
∴∠A0OA3<180°,4α<180°.
∵OA4平分∠A2OA3,
∴2(180°﹣6α)+ =4α,解得:
(3),,
(4)解:对于角α=120°不能停止.理由如下:
无论a为多少度,旋转过若干次后,一定会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线,所以旋转会停止.
但特殊的,当a为120°时,第一次旋转120°,∠MOA1=120°,第二次旋转240°时,与OM 重合,第三次旋转360°,又与OM重合,第四次旋转480°时,又与OA1重合,…依此类推,旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA1重合”两种情况,不会出第三条射线,所以不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线这种情况,旋转不会停止
【解析】【解答】解:(1)解:如图所示.aφ=45°,
【分析】(1)根据题意,明确每次旋转的角度,计算即可;(2)根据各角的度数,找出等量关系式,列出方程,求出α的度数即可;(3)类比第(2)小题的算法,分三种情况讨论,求出α的度数即可;(4)无论a为多少度,旋转很多次,总会出一次OA i是∠A i OA K是的角平分线,但当a=120度时,只有两条射线,不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线,所以旋转会中止.
6.如图1, .如图2,点分别是上的点,且, .
(1)求证: F;
(2)若的角平分线与的角平分线交于点,请补全图形并直接写出与之间的关系为________.
【答案】(1)证明:如图,延长EH,交CD的延长线与M,
(2)∠BFE=2∠P.
【解析】【解答】解:(2)结论:∠BFE=2∠P,理由如下:
如图,设∠B=∠HEF=y.∠BFE=x
=
,
故答案为:∠BFE=2∠P.
【分析】(1)延长EH,交CD的延长线与M,根据平行线的性质及等量代换即可证明;
(2)设∠B=∠HEF=y,∠BFE=x,根据平行的性质结合三角形的内角和定理得出∠BFE=2∠P.
7.已知:如图1,在平面直角坐标系中,点A,B,E分别是x轴和y轴上的任意
点.BD是∠ABE的平分线,BD的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C.
(1)探究:
求∠C的度数.
(2)发现:当点A,点B分别在x轴和y轴的正半轴上移动时,∠C的大小是否发生变化?若不变,请直接写出结论;若发生变化,请求出∠C的变化范围.
(3)应用:如图2在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=310°,CF平分∠DCB,CF的反向延长线与∠EDC外角的平分线相交于点P,求∠P的度数.
【答案】(1)解:∵∠ABE=∠OAB+∠AOB,∠AOB=90°,
∴∠ABE=∠OAB+90°,
∵BD是∠ABE的平分线,AC平分∠OAB,
∴∠ABE=2∠ABD,∠OAB=2∠BAC,
∴2∠ABD=2∠BAC+90°,
∴∠ABD=∠BAC+45°,
又∵∠ABD=∠BAC+∠C,
∴∠C=45°
(2)解:不变.
理由如下:∵∠ABE=∠OAB+∠AOB,∠AOB=90°,
∴∠ABE=∠OAB+90°,
∵BD是∠ABE的平分线,AC平分∠OAB,
∴∠ABE=2∠ABD,∠OAB=2∠BAC,
∴2∠ABD=2∠BAC+∠AOB,
∴∠ABD=∠BAC+ ∠AOB,
又∵∠ABD=∠BAC+∠C,
∴∠C=∠AOB=45°
(3)解:延长ED,BC相交于点G.
在四边形ABGE中,
∵∠G=360°﹣(∠A+∠B+∠E)=50°,
∴∠P=∠FCD﹣∠CDP=(∠DCB﹣∠CDG)
=∠G= ×50°=25°
【解析】【分析】(1)(2)根据三角形外角的性质和角平分线的性质进行解答;
(3)延长ED,BC相交于点G,根据四边形形内角和为360°求得∠G的度数,再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求∠P的度数.
8.以直线AB上点O为端点作射线OC,使∠BOC=60°,将直角△DOE的直角顶点放在点O 处.
(1)如图1,若直角△DOE的边OD放在射线OB上,则∠COE=________;
(2)如图2,将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动,使得OE平分∠AOC,说明OD所在射线是∠BOC的平分线;
(3)如图3,将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动,使得∠COD= ∠AOE.求∠BOD的度数.
【答案】(1)30
(2)解:∵OE平分∠AOC,
∴∠COE=∠AOE= ∠COA,
∵∠EOD=90°,
∴∠AOE+∠DOB=90°,∠COE+∠COD=90°,
∴∠COD=∠DOB,
∴OD所在射线是∠BOC的平分线
(3)解:设∠COD=x°,则∠AOE=5x°,
∵∠DOE=90°,∠BOC=60°,
∴6x=30或5x+90﹣x=120,
∴x=5或7.5,
即∠COD=65°或37.5°,
∴∠BOD=65°或52.5°
【解析】【解答】(1)∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°,
又∵∠COB=60°,
∴∠COE=∠BOE-∠COB=30°,
故答案为30;
【分析】(1)根据图形得出∠COE=∠BOE-∠COB,代入求出即可;(2)根据角平分线定
义求出∠COE=∠AOE= ∠COA,再根据∠AOE+∠DOB=90°,∠COE+∠COD=90°,可得∠COD=∠DOB,从而问题得证;(3)设∠COD=x°,则∠AOE=5x°,根据题意则可得6x=30或5x+90﹣x=120,解方程即可得.
9.如图,已知,,,点E在线段AB上,,点F在直线AD上,.
(1)若,求的度数;
(2)找出图中与相等的角,并说明理由;
(3)在的条件下,点不与点B、H重合从点B出发,沿射线BG的方向移动,其他条件不变,请直接写出的度数不必说明理由.
【答案】(1)解:,,
,
,
,
,
(2)解:与相等的角有:,,.理由:,
两直线平行,内错角相等,
,,
,
,
同角的余角相等,
,
,
两直线平行,同位角相等,
(3)解:35°或145°
【解析】【解答】解:或
当点C在线段BH上时,点F在点A的左侧,
如图1:
,
两直线平行,内错角相等,当点C在射线HG上时,点F在点A的右侧,
如图2:
,
两直线平行,同旁内角互补,
,
.
【分析】根据,,可得,再根据,即可得到;根据同角的余角相等以及平行线的性质,即可得到与相等的角;分两种情况讨论:当点C在线段BH上;点C 在BH延长线上,根据平行线的性质,即可得到的度数为或.
10.如图,三角形ABC,直线,CD、BD分别平分和.
(1)图中,,,求的度数,说明理由.
(2)图中,,直接写出 ________.
(3)图中,, ________.
【答案】(1)解:
,
,
如图1过D点作,
,
,,
,即
又、BD分别平分和.
,同理
(2)
(3)
【解析】【解答】
如图2过D点作,
,
,,
,即
又、BD分别平分和.
,同理,
,
,
即,
,
,
,
,
故答案为.
如图3过D点作,
,
,,
,即
又、BD分别平分和.
,同理,
,
,
即,
,
,
,
,
故答案为.
【分析】(1)过点作,根据平行线的性质,得出,,则,再根据、分别平分和,得出,同理,即可解答;(2)根据(1)的思路即可解答;(3)根据(2)的思路即可解答.
11.
(1)(问题背景)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D
(2)(简单应用)
如图2,AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC=28°,∠ADC=20°,求∠P的度数(可直接使用问题(1)中的结论)
(3)(问题探究)
如图3,直线BP平分∠ABC的外角∠FBC,DP平分∠ADC的外角∠ADE,若∠A=30°,∠C =18°,则∠P的度数为________
(4)(拓展延伸)
在图4中,若设∠C=x,∠B=y,∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为________(用x、y表示∠P)
(5)在图5中,BP平分∠ABC,DP平分∠ADC的外角∠ADE,猜想∠P与∠A、∠C的关系,直接写出结论________.
【答案】(1)解:如图1,
∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD=180°
∵∠AOB=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D
(2)解:∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD
∴∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD,
由(1)的结论得:∠BCP+∠P=∠BAP+∠ABC①,∠PAD+∠P=∠PCD+∠ADC②
①+②,得2∠P+∠PAD+∠BCP=∠BAP+∠ABC +∠PCD+∠ADC
∴∠P= (∠ABC+∠ADC)
∴∠ABC=28°,∠ADC=20°
∴∠P= (28°+20°)
∴∠P=24°
故答案为:24°
(3)24°
(4)∠P= x+ y
(5)∠P=
【解析】【解答】解:(3)∵如图3,直线BP平分∠ABC的外角∠FBC,DP平分∠ADC 的外角∠ADE,
∴∠1=∠2,∠3=∠4
由(1)的结论得:∠C+180°-∠3=∠P+180°-∠1①,∠A+∠4=∠P+∠2②
①+②,得∠C+180°-∠3+∠A+∠4=∠P+180°-∠1+∠P+∠2
∴30°+18°=2∠P
∴∠P=24°
故答案为:24°
( 4 )由(1)的结论得:∠CAB+∠C=∠P+ ∠CDB①,∠CAB+∠P=∠B+ ∠CDB②
①×3,得∠CAB+3∠C=3∠P+ ∠CDB③
②-③,得∠P-3x=y-3∠P
∴∠P= x+ y
故答案为:∠P= x+ y
( 5 )如图5所示,延长AB交DP于点F
由(1)的结论得:∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3
∵∠1=∠PBF=180°-∠BFP-∠P=180°-(∠A+∠3)-∠P
∴∠A+360°-2∠A-2∠3-2∠P=∠C+180°-2∠3
解得:∠P=
故答案为:∠P=
【分析】(1)根据三角形内角和为180°,对顶角相等,即可证得∠A+∠B=∠C+∠D(2)由(1)的结论得:∠BCP+∠P=∠BAP+∠ABC①,∠PAD+∠P=∠PCD+∠ADC②,将两个式子相加,已知AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,可得∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD,可证
得∠P= (∠ABC+∠ADC),即可求出∠P度数.(3)已知直线BP平分∠ABC的外角∠FBC,DP平分∠ADC的外角∠ADE,可得∠1=∠2,∠3=∠4,由(1)的结论得:∠C+180°-∠3=∠P+180°-∠1,∠A+∠4=∠P+∠2,两式相加即可求出∠P的度数.(4)由(1)的结论
得:∠CAB+∠C=∠P+ ∠CDB,∠CAB+∠P=∠B+ ∠CDB,第一个式子乘以3,得到的式子减去第二个式子即可得出用x、y表示∠P(5)延长AB交DP于点F,标注出∠1,∠2,∠3,∠4,由(1)的结论得:∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3,其中根据对顶角相等,三角形内角和,以及外角的性质即可得到∠1=∠PBF=180°-∠BFP-∠P=180°-(∠A+∠3)-∠P,代入∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3,即可得出∠P与∠A、∠C的关系.
12.如图1,,点,分别在,上,射线绕点顺
时针旋转至便立即逆时针回转,射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转.射线转动的速度是每秒度,射线转动的速度是每秒度.
(1)直接写出的大小为________;
(2)射线、转动后对应的射线分别为、,射线交直线于点,若射线比射线先转动秒,设射线转动的时间为秒,求为多少时,直线直线?
(3)如图2,若射线、同时转动秒,转动的两条射线交于点,作,点在上,请探究与的数量关系.
【答案】(1)60°
(2)解:设灯转动t秒,直线直线,
①当时,如图,
,
,
,
,
,
,
解得;
②当时,如图,
,,
,
,,解得,
综上所述,当秒或秒时直线;
(3)解:和关系不会变化,
理由:设射线AM转动时间为m秒,
作,,,
,,
,
,,
,而,
,
,
,
,
即,
和关系不变.
【解析】【解答】解:(1)∵
,
∴,