本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．
设集合{}1234P =，，，，{}|2Q x x x =∈R ≤，，则P Q =（ ）
A ．{}12，
B ．{}34，
C ．{}1
D ．{}21012--，
，，， 【解析】 A
2．
i 是虚数单位，则3
2i 1i
=-（ ） A ．1i + B ．1i -+
C ．1i -
D ．1i --
【解析】 C 3． 设()2:e ln 21x p f x x x mx =++++在()0+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）
4．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 B
模拟考试
第7讲
高考模拟试题
5． 执行如图的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是（ ） 6．
A ．8
B ．5
C ．3
D ．2
【解析】 C
7．
若函数()f x 的图象可由函数()ln 1y x =+的图象逆时针旋转π
2
而得到，则()f x =（ ） A ．e 1x --
B ．e 1x -
C ．1e x --
D ．1e x -
【解析】 A
8．
抛物线2y ax =的准线方程为2y =，则a 的值为（ ） A ．18
B ．18
-
C ．8
D ．-8
【解析】 B 9．
如图，在边长为1的正方形OABC 中，任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
14
B ．15
C ．
16
D ．
17
【解析】 C 10．
已知点()P x y ，在由不等式组30
1010x y x y x +-??--??-?
≤≤≥确定的平面内，O 为坐标原点，点()12A -，
，则c o s O P A O P ∠的最大值是（ ） A
．2
B
C
D 【解析】 D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11．
将参数方程12cos 2sin x y θ
θ=+??=?
（θ为参数），化为普通方程，所得方程是 ．
【解析】 ()2
214x y -+=．
12．
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()13112
n n a S n -=
≥，且454a =，则1a 的数值为 ．
【解析】 2．
13．
如图已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长
线上一点，且DF CF =，::4:2:1AF FB BE =．若CE 与圆相切，则CE
的长为_________
．
14．
某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种
种．（结果用数值表示）
【解析】 7．
E
15． 已知a b ，
是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()
0c a c b -?-=，则c 的最大值是 ．
【解析】
16．
已知在半径为2的球面上有A ，B ，C ，D 四点，若2AB CD ==，则四面体ABCD 的体积的最大值
为 ．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤
17．
在ABC △中，角A B C ，，的对边为a ，b ，c ，且1
cos 3
A =．
⑴ 求2
sin cos22
B C
A ++的值．
⑵ 若a =ABC △面积的最大值．
【解析】 ⑴ 1
9
-．
⑵ 故
ABC △ 18．
如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=?，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点，2AC BC ==，14AA =．
⑴ 求证：CF ⊥平面1ABB ；
⑵ 当E 是棱1CC 中点时，求证：CF ∥平面1AEB ；
⑶ 在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B --的大小是45?，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由．
【解析】 ⑴ ∵AC CB =，F 是AB 中点，∴CF AB ⊥．
由直三棱柱知，1BB ⊥面ACB ，∴1BB CF ⊥ ∵1AB
BB B =，∴CF ⊥面1ABB ．
⑵ 取1AB 中点D ，连接ED FD ，
∵112FD BB ∥，11BB CC ∥，11
2CE CC =，
∴FD CE ∥
，CEDF 是平行四边形 E F
C 1
B 1
A 1
C
B
A
于是CF ED ∥，而ED ?面1AEB ，因此CF ∥平面1AEB ． ⑶ 当E 是1CC 的中点即2CE =时，二面角1A EB B --的大小是45?．
19．
（广东卷理）
根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API 数据按照区间[]050，
，(]50100，，(]100150，
，(]150200，，(]200250，，(]250300，进行分组，得到频率分布直方图如图．
⑴ 求直方图中x 的值；
⑵ 计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；
⑶ 求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率． （结果用分数表示．已知7578125=，72128=，
32738123
18253651825182591259125
++++=
，365735=?） 【解析】 ⑴ 119
18250
x =
； ⑵ 219；
⑶ 概率为7
6
1
767
72323766531555578125C C ????????--=
? ? ? ?????????
． x 8
912531825718252365频率组距
20．
已知函数()()()221ln 0f x x a x a x a =-++>． ⑴ 求函数()f x 的单调区间；
⑵ 若函数()f x 在[]12，上总存在1x ，2x ，使得()()()12120x x f x f x -->????成立，求实数a 的取值范围．
【解析】 ⑴ 综上，1
2
a =
时，()f x 的单调递增区间为()0+∞，
． 1
2
a >
时，()f x 的单调递增区间为()0+∞，
． 12a >
时()f x 的单调递增区间为102?? ???，和12??+∞ ???
，，()f x 为单调递减区间为12a ??
???，．
⑵ 综上，02a <<．
21．
设椭圆中心在坐标原点，()20A ，，()01B ，是它的两个顶点，直线(0)y kx k =>与AB 相交于点D ，与椭圆相较于E F ，两点． ⑴ 若 6ED DF =，求k 的值； ⑵ 求四边形AEBF 面积的最大值．
【解析】 ⑴ 23k =
或3
8
k =．
⑵ S 的最大值为
22．
下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S ．其特点是每行每列都是等差数列，第i 行第j 列的数记为ij A ．
1 4 7 10 13 … 4 8 1
2 16 20 … 7 12 17 22 27 … 10 16 22 28 34 … 1
3 20 27 3
4 41 …
… … … …
⑴ 证明：存在常数*C ∈N ，对任意正整数i 、j ，ij A C +总是合数；
⑵ 设S 中主对角线上的数18172841，，，，，组成数列{}n b ．试证不存在正整数k 和()1m k m <<，使得1b ，k b ，m b 成等比数列；
⑶ 对于⑵中的数列{}n b ，是否存在正整数p 和r ()1150r p <<<，使得1b ，r b ，p b 成等差 数列．若存在，写出p ，r 的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．
【解析】 ⑴ 因为第一行数组成的数列{}
1j A （1j =，2，…）是以1为首项，公差为3的等差数列，
所以111332j A j j +
-?-＝（）＝，
第二行数组成的数列{}
2j A （1j ＝，2，…）是以4为首项，公差为4的等差数列， 所以24144j A j j +
-?＝（）＝． 所以214322j j A A j j j -
--＝（）＝＋， 所以第j 列数组成的数列{}
ij A （1i ＝，2，…）是以32j -为首项，公差为 2j ＋的等差数列， 所以()()()()=3212224=228ij A j i j ij i j i j --?+=++-++-＋． 故()()822ij A i j +=++是合数．
所以当8C =时，对任意正整数i j ，，ij A C +总是合数．
⑵ （反证法）假设存在k 、m ，1k m <<，使得1b ，k b ，m b 成等比数列，即21m k b b b =
∵()2
28n nn b A n ==+-，
∴()()2
22
12828m k ?????+-=+-????
得()()2
22
2288m k ??+-+-=??
，
即()()()()22
2282288m k m k ????+++-+-++=????
， 又∵1k m <<，且k 、m ∈N ，∴2k ≥、3m ≥，()()2
228516813m k +++-+-=≥ ∴()()()()
2
2
8
80228113
228
m k m k <+-++=
<+++-≤
，这与()()2
228m k +-++∈Z 矛盾，所以不存在正整数k 和()1m k m <<，使得1b ，k b ，m b 成等比数列． ⑶ 假设存在满足条件的p ，r ，那么()()
22244144r r p p +-=++-
即()()()()25151r r p p +-=+-． 不妨令()51
215r p r p +=-???-=+??
，得1319r p =??=?
所以存在13r =，19p =使得1b ，r b ，p b 成等差数列．
（注：第⑶问中数组()r p ，不唯一，例如()85121，也可以）