高等数学教案 、
第一章 函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下： 1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中 逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2． 掌握极限四则运算法则。 3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。 第一章共12学时，课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时 绪论 数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价： 恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。 张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二） 初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。
第7章 多元函数微积分 测试题 一、单项选择题。 1．设23)12(++=y x z ，则 =??y z （ D ）。 A ．13)12)(23(+++y x y B ．13)12)(23(2+++y x y C ．)12ln()12(23+++x x y D ．)12ln()12(323+++x x y 2．设)ln(y x z +=，则=) 0,1(d z （ B ） 。 A ．y x d d +- B ．y x d d + C ．y x d d - D ．y x d d -- 3．下列说法正确的是（ A ）。 A ．可微函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； B ．函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ； C ．若),(00y x f x 0),(00==y x f y ，则函数),(y x f 在点),(00y x 处达到极值。 D ．若),(00y x f x 或),(00y x f y 有一个不存在，则函数),(y x f 在点),(00y x 处一定没有极值。 4．设uv z =，v u x +=，v u y -=，若把z 看作y x ,的函数，则 =??x z （ A ） 。 A ．x 21 B ．)(21 y x - C ．x 2 D ．x 5．下列各点中（ B ）不是函数x y x y x z 9332233-++-=的驻点。 A ．)0,1( B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)0,3(- 6．二元函数?????=≠+=)0,0(),( 0)0,0(),( ),(2 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处（ C ）。 A ．连续，偏导数存在 B ．连续，偏导数不存在 C ．不连续，偏导数存在 D ．不连续，偏导数不存在 7．函数xy y x z ++=22的极值点为（ A ）。 A ．)0,0( B ．)1,0( C ．)0,1( D ．不存在
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
第六章多元函数微分学 ［单选题］ 1、 设积分域在 D由直线x+y二0所围成，则 | dxdy 如图: ［单选题］ 2、 A 9 B、4 C 3
【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ［单选题］ 3、 设H 二才，则y=() A V 皿2-1) B 、xQnx-1) D 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 首先设出-,J ' 二一；，然后求出 最后结果中把二】用’’次方代换一下就可以得到结果. ［单选题］ 4、 Ft F'y,尸空二 dx F f y
［% I 设Z = 则去九￡ |（） km ，（心+& J D ）L 『（也几） AK^*° A'X ?■ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】D 【您的答案】您未答题 【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到 ［单选题］ 5、 设z=ln （x+弄），示=（） A 1 B 、 X+旷" C 1-2妒 盂+沙 D X + 帘 一" 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 B 、 lim U m /侃+山+ 3) — / (险用) Ay 了0+山』0）—/（兀 几） Ar lim /(x+Ax.y)-/^) 4y
|"S 1 I 对x求导，将y看做常数，小门?八 ［单选题］ 6、 设U 了：,；_丁；：￡=() 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】<■■-?■■■■■：川［单选题］ 7、 设f(x r x+y) = ^ + x2t则￡0,卩)+ ￡(尽刃二() A丨； B、… C : D ', 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 f(x,兀+y)=砂+ F二疏》+兀) /fcy) = ^y X '(^y)=y 二兀 ￡(2)+另(“)=曲 ［单选题］ 8
§7.1 空间解析几何基本知识 教学内容提要 1. 空间直角坐标系； 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式； 3. 简单的曲面方程。 教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。 教学重点与难点 常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程： 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点 且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴 z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式 空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。 例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。 二、曲面及其方程的概念 1．曲面方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。 例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。 三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为
多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2
第七章 多元函数微积分学 第一部分：多元函数微分学 一、二元函数的极限专题练习： 1.求下列二元函数的极限: (1) ()2 1 1(,)2,2lim 2;y xy x y xy +? ? →- ? ? ?+ (2) () ()2222 (,),3 lim sin ;x y x y x y →∞∞++ (3) ()(,)0,1sin lim ;x y xy x → (4) ( (,)0,0lim x y → 2．证明：当()(,)0,0x y →时，() 44 3 4 4(,)x y f x y x y =+的极限不存在。 二、填空题 3. 若22),(y x y y x f -=+，则=),(y x f ； 4. 函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是D = ； 5. 已知2 (,)x y f x y e = ，则 '(,)x f x y = ； 6. 当23(,)5f x y x y =,则 '(0,1)x f = ； 7. 若2yx e z xy +=，则=??y z ； 8. 设)2ln(),(x y x y x f + =，则'(1,0)y f =； 9. 二元函数xy xe z =的全微分=dz ；
10.arctan()Z xy =设，则dz= . 三、选择题 11.设函数 ln()Z xy =，则 Z x ?=? ( ) A 1y B x y C 1x D y x 12.设2sin(),Z xy = 则 Z x ?=? ( ) A 2cos()xy xy B 2cos()xy xy - C 22cos()y xy - D 22cos()y xy 13.设 3xy Z =，则 Z x ?=? ( ) A 3xy y B 3ln 3xy C 13xy xy - D 3ln 3xy y
第六章 多元函数微分学 答案及评分标准 一、1、B 解：原式6)11(3lim )11(3lim 0 000=++=++=→→→→xy xy xy xy y x y x . 2、A 解：2R D =，当022≠+y x 时，),(y x f 连续；当022=+y x 时 22222221)(210),(y x y x y x y x f +=++≤-.即)0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→. 3、B 4、D 解：)0,0()0(111222?>≥?≥++≥z z y x z 是最小值点，由于)0,0(为定义域内点，所以)0,0(也是极小值点. 5.C 解：由方向导数的定义可得. 二、1、 2ln 2、xy xyz xyz yz -- 3、21f z f '+'，2212 2f xz f x f ''+''+' 解：21211f z f z f f x u '+'=?'+?'=??， 故22122222122f xz f x f x f z f x f z x u ''+''+'=?''+'+?''=???. 4、{2x －4,4y －6,6z －8} 解：grad f ={2x －4,4y －6,6z －8}；grad f |(2,1,2)={0,－2,4}， |grad f |(2,1,2)=，即f 在点(2，1，2)处方向导数 的最大值为. 5、 dy dx +2ln 2 三、解：1cos sin ?+?=????+????=??v e y v e x v v z x u u z x z u u )]cos()[sin(y x y y x e xy ++?+= ……………5分 1cos sin ?+?=????+????=??v e x v e y v v z y u u z y z u u )]cos()[sin(y x x y x e xy ++?+= ……………10分 四、解：xy x z 2=?? y x y z cos 2+=?? （4分） x y x z 22=??? （7分） y y z sin 22-=?? （10分）
高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e
5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____
多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．
第六章多元函数微积分复习要点 一、基本概念及相关定理 1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数 A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于 000(,)P x y 时的极限.记作0 lim (,)x x y y f x y A →→=,或00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或 lim (,)f x y A ρ→=,或 (,)f x y A →,0ρ→.其中 ， ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意 0(,)()P x y U P ∈，都有 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=（或 0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,) P x y 处连续. 3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义. （1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导 数定义为00000 (,)(,)lim x f x x y f x y x ? →+?-?，记作 00 x x y y z x ==??，或 00 x x y y f x ==??， 或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即 x x y y z x ==??=00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ? →+?-?. （2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对 y 的偏导
第六章 多元函数微积分 一、单项选择题 二、填空题 1.设z=22y x +，则)2,1(dz =___________. 2.设z =x y cos ，则全微分d z =___________. 3.设z=x e xy ,则y x z ???2=______________________. 4．设z =(2x +y )2y ，则x z ??=________. 5.设z=y x 322e -,则y x z ???2=_______________. 6．设函数v u w w v u w v u f ++-=)(),,(，则=-+),,(xy y x y x f ． 7.设函数z =22y x +,则偏导数 =??x z _________. 三、计算题 1．设z=arctan x y ，求y x z 2???. 2．设隐函数z （x,y ）由方程x+2y+z=2xyz 所确定，求 x z ??. 3．计算二重积分I=??+D 22dxdy )y x (x ，其中D 是由直线x=0, y=0及x+y=3所围成的闭区域. 4.设z =z (x ,y )是由方程e xyz +z -sin(xy )=1所确定的隐函数，求 x z ??,y z ??. 5.计算二重积分I = ??D y x xy x d d )cos(2，其中D 是由直线x =1,y =x 及x 轴所围成的平面区域. 6.计算二重积分??D y x y x d d 2，其中D 是由直线y =x ,x =1以及x 轴所围的区域. 7．计算二重积分??=D y x x I d d ，其中区域D 由曲线x y = ，直线x =2以及x 轴围成. 8.方程xyz -ln(xyz )=1确定了隐函数z =z (x,y ),求y z x z ????,.
第一章 习题1-1 1.用区间表示下列不等式的解 2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.01 1 x x x x x ≤>--+<<<+ 解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3]. (2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞). (3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+??>?即0210x x x ≤≤??>??>? 所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2]. (3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ?--≥?-≠??->?即6112x x x -≤≤??≠??
第六章 多元函数微积分 §6.1 空间解析几何简介 一、填空题 1. )12,4,3(-M 点到坐标轴的距离为_________； 2. 以点)3,2,1(--为球心过)0,2,1(--点的球面方程为_________； 3. 将xoy 坐标面上的圆2)1(2 2 =-+y x 绕oy 轴旋转一周所生成的球面方程是___________，且球心坐标是_____________，半径为___________； 4. 方程222 0223 x y z +-=表示旋转曲面.，它的旋转轴是_________； 5.方程z y =2 在平面解析几何中表示__________，在空间解析几何中表示___________； 6. 点)3,2,1(--到平面042=-+z y x 的距离为_________； 7. 过三点)2,0,1(1-M ，)0,0,1(2M ，)0,1,1(3M 的平面方程为_________； 8. 在空间直角坐标系中方程?? ???=-=- 0214 92 2x z x 表示_________； 9. 曲面z y x =-2 2 在xoz 坐标面上的截痕是_________； 10. 双曲抛物面z y x 23 2 2 =-与xoy 坐标面的交线是_________； 11. 由曲面22y x z += 与222y x R z --=所围成的有界区域用不等式组可表示为 _________； 12. 用平面h x =去截双叶双曲面122 2222-=+-c z b y a x ，所得截痕是__________；若用平 面)(2 2 b k k y >=截上述曲面所得截痕是_________ . 二、分别画出下列方程在平面和空间上的图形 （1）x y =2
第一章 函数 一、填空 1、设()()x t t f ψ=，则()()=-01f f 。 2、设()11 1>≤???=x x x x f ，则()()x e f x f +?1sin = 。 3、71 2arcsin 42-+-=x x y 的定义域为 。 4、()x x f x f 2 12=??? ??- ，则()x f = 。 5、()00 1<≥?????=x x x x x f ，则()[]=x f f 。 6、已知()()[]21,sin x x f x x f -==?，则()x ?= 。 7、设函数()x f 满足关系式：()()x e x f x f 3121=--+，则函数()x f = 。 8、已知()[]()2sin ,cos 1x x x x f =+=??，则()x f = 。 9、已知()?????≤≤+<≤<≤-+=3 121030 31 32x x x x x x f x ，则其反函数()x f 1-= 。 10、函数3arcsin cos lg x y =由 复合而成。 二、选择 1、函数()x x f 3=，则()y x f +=（ ） A 、()()y f x f B 、()x f 2 C 、()x f D 、()y f 2、若()x f 是（-∞，+∞）上有定义的函数，则下列（ ）奇函数。 A 、()3x f B 、()[]3x f C 、()()x f x f -- D ()()x f x f -+ 3、设函数()x f 定义在（0，+∞）内，b a ,为任意正数，若函数() x x f 单调减少，则有（ ） A 、()()()b f a f b a f +<+ B 、()()() b a b f a f b a f ++<+ C 、()()()b f a f b a f +>+ D 、()()() b a b f a f b a f ++>+
第一章函数 历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题] 1、 设函数，则f(x)=（） A、x(x+1) B、x(x-1) C、(x+1)(x-2) D、(x-1)(x+2) 【正确答案】B 【答案解析】 本题考察函数解析式求解. ，故 [单选题] 2、 已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）. A、[1，3] B、[-1，5] C、[-1，3] D、[1，5] 【正确答案】A 【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4 即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题] 3、 设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）. A、[0，2] B、[0，16] C、[-16，16] D、[-2，2] 【正确答案】D 【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足： [单选题] 4、 函数的定义域为（）. A、[-1,1] B、[-1,3] C、(-1,1) D、(-1,3) 【正确答案】B 【答案解析】 根据根号函数的性质，应该满足： 即 [单选题]
写出函数的定义域及函数值（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】C 【答案解析】 分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集， 故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）. [单选题] 6、 设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】A 【答案解析】本题考察三角函数公式。 . [单选题] 7、 设则=（）. A、 B、
第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 ) 一． 可微性与全微分： 1． 可微性：由一元函数引入. ))()((22y x ?+?ο亦可写为y x ?+?βα, →??) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (. 2． 全微分: 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1 二. 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: 2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1. 3. 求偏导数: 例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 . 例5 设 . 0 , 0, 0 ,),(222222 2 3? ????=+≠+++=y x y x y x y x y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f . 证 ρ θθρρρθ ρθρ) sin cos (lim ),(lim 2320sin ,cos ) 0,0(),(+===========→==→y x y x y x f =)0,0(0)sin cos (lim 2 30 f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 . ) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim 300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 2 00y y y y f y f y y →→=-= 不存在 . Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 . 三. 可微条件:
第七章 多元函数微分学 一、内容分析与教学建议 （一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。 在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。 （二） 多元函数、极限、连续 先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。 （三） 偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[] ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是 否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。 （四） 复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ?=，)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。
习题7.1(A) 1、求点(2,1,3)A -关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标。 解 (1)(2,1,3)--,(2,1,3)--, (2,1,3)； (2)x 轴：(2,1,3)-，y 轴：(2,1,3)---，z 轴：(2,1,3)-； (3) (2,1,3)--。 2、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ (4,3,5)A -，(2,3,4)B -，(2,3,4)C --，(2,3,1)D -- 并求点(4,3,5)A -分别到(1)坐标原点；(2)各坐标轴；(3)各坐标面的距离。 解 A 点在第4卦限； B 点在第5卦限； C 点在第8卦限； D 点在第3卦限。 (1) A =(4,3,5)- (2) A 到x = A 到y = A 到z 5=； (3) A 到坐标面xy 5=； A 到坐标面yz 4=； A 到坐标面xz 3=。 3、在z 轴上求一点M ，使该点与点(4,1,7)A 和(3,5,2)B 的距离相等。 解 因为所求点在z 轴上, 所以设该点为(0,0,)M z , 由题意有MA MB , 即 22 222 2(4)1(7 )35(2 )z z 两边平方, 解得149z , 于是所求点为14(0,0,)9 M . 4、写出球心在点(1,3,2)--处，且通过点(1,1,1)-的球面方程。 解 由2 2 2 2000()()()x x y y z z R ，得 2 222(1())(113())(12)R
则3R ，从而球面方程为 2 2 2 2(1)(3)(2)3x y z 5、下列各题中方程组各表示什么曲线？ (1) 2248, 8; x y z z (2) 22 25, 3;x y z x (3) 22 2 4936, 1; x y z y (4) 2244, 2. x y z y 解 (1) 双曲线；(2) 圆；(3) 椭圆；(4) 抛物线。 6、描绘下列各组曲面在第一卦限内所围成的立体的图形。 (1) 0,0,0,1x y z x y z ===++=； (2) 2 2 2 2 2 2 0,0,0,,x y z x y R y z R ===+=+=。 解 (1)、(2)题的图如下： (1)题图 (2)题图 7、由上半球面 224 z x y 和圆锥面223()z x y 围成一个立体，求它在xy 面上 的投影区域。 解 将上半球面和圆锥面的方程联立得到方程组 2 22 2 43() z x y z x y 在该方程组中, 消去z , 得到2 2 1x y . 这是准线为 221 x y z , 母线平行于z 轴 的柱面, 且它在xy 面上的投影是xOy 坐标平面上的一个圆. 故题设中两个已知曲面所围成立体在xy 面上的投影区域为: 2 21x y . 习题7.1(B) 1、指出下列各题中平面位置的特点，并画出各平面。 (1) 0y =； (2) 1z =； (3) 23x y +=； (4) 20x y +=；
第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。 定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。 定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)<0)，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ