2011-2012学年江苏省苏州市吴中区九年级（上）
期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题纸相对应的位置上．
1．（3分）在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2
2．（3分）（2007?无锡）下面与是同类二次根式的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定
4．（3分）（2013?鞍山）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：
选手甲乙丙丁
平均数（环）9.2 9.2 9.2 9.2
方差（环2）0.035 0.015 0.025 0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（3分）若x=﹣，y=+，则xy的值为（）
A．2B．2C．（a+b）D．（a﹣b）
6．（3分）如图，方格纸上一圆经过（2，5），（﹣2，1），（2，﹣3），（6，1）四点，则该圆圆心的坐标为（）
A．（2，﹣1）B．（2，2）C．（2，1）D．（3，1）
7．（3分）若（n+1）x|n|+1+（n﹣1）x+3n=0是关于x的一元二次方程，则它的一次项系数是（）A．n﹣1 B．﹣2 C．0D．﹣2或0
8．（3分）如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）
A ． 4
B ． 8
C ． 4
D ． 8 9．（3分）近年来，全国房价不断上涨，某区2011年5月份的房价平均每平方米为9300元，比2009年同期的房价平均每平方米上涨了2700元，假设这两年该区房价的平均增长率均为x ，则关于x 的方程为（ ）
A ． （1+x ）2
=2700 B ． 2700（1+x ）2
=9300 C ． （9300﹣2700）（1+x ）=9300 D ． （9300﹣2700）
（1+x ）2
=9300 10．（3分）下列命题：
①若a+b+c=0，则b 2
﹣4ac ≥0；
②若b ＞a+c ，则一元二次方程ax 2
+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若b=2a+3c ，则一元二次方程ax 2
+bx+c=0有两个不相等的实数根；
④若a+b+c=0，则一元二次方程ax 2
+bx+c=0有两个不相等的实数根． 其中正确的命题序号是（ ）
A ． ①②③
B ． ①③
C ． ①④
D ． ②③④
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题纸相对应的位置上．
11．（3分）计算：= _________ ． 12．（3分）（2007?娄底）我国著名的珠穆朗玛峰海拔高达8844米，在它周围2千米的附近，耸立的几座著名山峰的高度如下表： 山峰名 珠穆朗玛 洛子峰 卓穷峰 马卡鲁峰 章子峰 努子峰 普莫里峰
海拔高度
8844m 8516m 7589m 8463m 7543m 7855m 7145m 则这七座山峰海拔高度的极差为 _________ 米． 13．（3分）如图，在△ABC 中，∠B=50°，∠C=60°，它的内切圆O 分别与BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F ．则∠EDF 的度数是 _________ °．
14．（3分）（2010?眉山）一元二次方程2x 2
﹣6=0的解为 _________ ．
15．（3分）若
，则
= _________ ．
16．（3分）（2012?峨眉山市模拟）如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D ．若CD=，则线段BC 的长度等于 _________ ．
17．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则实数a的取值范围是_________．18．（3分）如图，已知点A的坐标为（，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=（k＞0）的图
象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB=3BD，以点C为圆心，CA的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是_________（填“相离”、“相切”或“相交”）．
三、解答题：本大题共11小题，共76分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
19．（5分）计算：．
20．（5分）（2010?綦江县）解方程：x2﹣2x﹣1=0
21．（5分）如图，已知点P、Q，且PQ=3cm．请在下列方格纸上画出图形，并用阴影部分将图形表示出来．（注：方格纸中每格长度代表1cm，不要求写法．）
画图要求如下：到点P的距离小于或等于2cm，且到点Q的距离小于或等于5cm的点的集合．
22．（6分）（2010?常熟市模拟）某路段需要铺设轨道，先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？
23．（6分）（2010?广州）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求
的值．
24．（8分）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲95 82 88 81 93 79 84 78
乙83 92 80 95 90 80 85 75
（1）请你计算这两组数据的平均数、极差；
（2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从数据的离散程度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．25．（6分）如图，已知AB=1，点c是线段AB的黄金分翻点，试用一元二次方程求根公式验证黄金比
．
26．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2=0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求实数m的值；
（2）若方程的两实数根之积等于m2+9m+2，求的值．
27．（8分）（2012?枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA=3，AE=2，
（1）求CD的长；
（2）求BF的长．
28．（9分）（2009?淄博）如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD．
（1）求BD的长；
（2）求∠ABE+2∠D的度数；
（3）求的值．
29．（10分）（2009?淄博）如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
2011-2012学年江苏省苏州市吴中区九年级（上）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题纸相对应的位置上．
1．（3分）在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2
考点：二次根式有意义的条件．
专题：计算题．
分析：二次根式的被开方数2﹣x是非负数．
解答：解：根据题意，得
2﹣x≥0，
解得x≤2．
故选C．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数大于等于0．
2．（3分）（2007?无锡）下面与是同类二次根式的是（）
A．B．C．D．
考点：同类二次根式．
专题：计算题．
分析：分别将各选项中的二次根式化为最简，然后可判断出答案．
解答：解：A、是最简二次根式与不同，故本选项错误；
B、=2，故本选项错误；
C、=2，故本选项正确；
D、=2，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查同类二次根式的知识，属于基础题，比较简单，注意细心将各选项分别化简后再作答．
3．（3分）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定
考点：直线与圆的位置关系．
专题：计算题．
分析：根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断即可，当d＞r时，直线与圆相离，当d=r 时，直线于圆相切．
解答：解：⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，
即：d=4，r=5，
∵d＜r
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
可．难度较小．
4．（3分）（2013?鞍山）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：
选手甲乙丙丁
平均数（环）9.2 9.2 9.2 9.2
方差（环2）0.035 0.015 0.025 0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
考点：方差．
专题：压轴题；图表型．
分析：根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
解答：解：因为S甲2＞S丁2＞S丙2＞S乙2，方差最小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙．故选B．
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离
平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（3分）若x=﹣，y=+，则xy的值为（）
A．2B．2C．（a+b）D．（a﹣b）
考点：二次根式的乘除法．
专题：压轴题．
分析：利用平方差公式计算．
解答：解：xy=（﹣）（+）
=a﹣b．
故选D．
点评：本题的关键利用平方差公式化简．
6．（3分）如图，方格纸上一圆经过（2，5），（﹣2，1），（2，﹣3），（6，1）四点，则该圆圆心的坐标为（）
A．（2，﹣1）B．（2，2）C．（2，1）D．（3，1）
考点：坐标与图形性质；垂径定理．
分析：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．求两弦的垂直平分线的交点坐标即可．
解答：解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．
得（2，5）和（2，﹣3）的垂直平分线是y=1，
（﹣2，1）和（6，1）的垂直平分线是x=2．
故选C．
点评：考查了坐标与图形性质和垂径定理，此题要根据坐标确定两条分别平行于x轴和y轴的弦，然后求
7．（3分）若（n+1）x |n|+1
+（n ﹣1）x+3n=0是关于x 的一元二次方程，则它的一次项系数是（ ） A ． n ﹣1 B ． ﹣2 C ． 0 D ． ﹣2或0
考点： 一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式． 专题： 常规题型．
分析： 先根据一元二次方程的定义求出n 的值，然后根据一元二次方程的一般形式是：ax 2
+bx+c=0（a ，b ，
c 是常数且a ≠0），在一般形式中ax 2
叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，即可得出答案．
解答： 解：∵（n+1）x |n|+1
+（n ﹣1）x+3n=0是关于x 的一元二次方程，
∴|n|+1=2，n+1≠0， 解得：n=1，
则方程整理为：x 2
+3=0， ∴它的一次项系数是0． 故选C ．
点评：
本题考查一元二次方程的定义及其一般形式，属于基础题，只含有一个未知数，并且未知数的最高次
数是2的整式方程叫一元二次方程；同时注意掌握一元二次方程的一般形式是：ax 2
+bx+c=0（a ，b ，
c 是常数且a ≠0），在一般形式中ax 2
叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
8．（3分）如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB 的长是（ ）
A ． 4
B ． 8
C ． 4
D ． 8
考点： 切线长定理；等边三角形的判定．
分析： 根据切线长定理知PA=PB ，而∠P=60°，所以△PAB 是等边三角形，由此求得弦AB 的长． 解答：
解：∵PA 、PB 都是⊙O 的切线， ∴PA=PB ， 又∵∠P=60°，
∴△PAB 是等边三角形，即AB=PA=8， 故选B ．
点评：
此题主要考查的是切线长定理以及等边三角形的判定．
9．（3分）近年来，全国房价不断上涨，某区2011年5月份的房价平均每平方米为9300元，比2009年同期的房价平均每平方米上涨了2700元，假设这两年该区房价的平均增长率均为x ，则关于x 的方程为（ ）
A ． （1+x ）2
=2700 B ． 2700（1+x ）2
=9300 C ． （9300﹣2700）（1+x ）=9300 D ． （9300﹣2700）
（1+x ）2
=9300
考点： 一元二次方程的应用． 分析： 由于设这两年房价的平均增长率均为x ，那么2010年的房价平均每平方米为（9300﹣2700）（1+x ）
元，2011年的房价平均每平方米为（9300﹣2700）（1+x ）（1+x ）元，然后根据题意就可列出方程．
（9300﹣2700）（1+x）2=9300，
∴D答案正确，
故选D
点评：本题是一道增长率问题，主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次涨价后商品的售价，再根据题意列出第二次涨价后的售价，令其等于最后价格即可．
10．（3分）下列命题：
①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；
②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
④若a+b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．
其中正确的命题序号是（）
A．①②③B．①③C．①④D．②③④
考点：根的判别式．
专题：计算题．
分析：利用根的判别式，把每一种情况里的一只等量关系代入，看b2﹣4ac的结果再来确定根的情况．
解答：解：①若a+b+c=0，那么b=﹣a﹣c，
∴b2﹣4ac=（﹣a﹣c）2﹣4ac=a2+c2+2ac﹣4ac=（a﹣c）2≥0，
故①正确；
②若b＞a+c，a+c若与b符号相同，那么b2﹣4ac＞（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2，
∵（a﹣c）2≥0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
又∵a+c若与b符号不相同，
则b＞a+c，可能b2＜（a+c）2，
则此时△＜0，
此时方程无实数根，
故此选项错误；
③若b=2a+3c，那么△=b2﹣4ac=（2a+3c）2﹣4ac=（2a+2c）2+5c2，
当a≠0，c=﹣a时，△＞0；当a≠0，c=0时，△＞0；当a≠c≠0时，△＞0，
∴△＞0，
故此选项正确；
④若a+b+c=0，则b=﹣a﹣c，
∴b2﹣4ac=（﹣a﹣c）2﹣4ac=a2+c2+2ac﹣4ac=（a﹣c）2≥0，
当a=c≠0时，△=0，当a≠c≠0时，△＞0，
∴方程有实数根，
故此选项错误．
故选B．
点评：本题考查了根的判别式，解题的关键是注意△＞0，方程有两个不相等的实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程无实数根．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题纸相对应的位置上．
11．（3分）计算：=﹣．
考点：二次根式的加减法．
专题：计算题．
分析：先将化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可得出答案．
故答案为：﹣．
点评：此题考查二次根式的加减运算，比较简单，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
12．（3分）（2007?娄底）我国著名的珠穆朗玛峰海拔高达8844米，在它周围2千米的附近，耸立的几座著名山峰
的高度如下表：
山峰名珠穆朗玛洛子峰卓穷峰马卡鲁峰章子峰努子峰普莫里峰海拔高度8844m 8516m 7589m 8463m 7543m 7855m 7145m 则这七座山峰海拔高度的极差为1699米．
考点：极差．
专题：图表型．
分析：根据极差的公式：极差=最大值﹣最小值．找出所求数据中最大的值8844，最小值7145，再代入公式求值即8844﹣7145=1699．
解答：解：数据中最大的值8844，最小值7145，这七座山峰海拔高度的极差为8844﹣7145=1699（米）．故填1699．
点评：极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，它的内切圆O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F．则
∠EDF的度数是55°．
考点：三角形的内切圆与内心；圆周角定理．
专题：计算题．
分析：运用切线的性质，可得OF⊥AB，OE⊥AC，又因为∠B=50°，∠C=60°，可得∠A=70°，根据四边形内角和定理，得出∠FOE=110°，再根据圆周角定理得出∠EDF=55°．
解答：解：∵内切圆O与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠A=70°，
∴∠FOE=110°，
∴∠EDF=55°．
故答案为：55．
点评：此题主要考查了切线的性质定理，以及四边形内角和定理和圆周角定理，题目比较典型综合性较强．14．（3分）（2010?眉山）一元二次方程2x2﹣6=0的解为±．
考点：解一元二次方程-直接开平方法．
专题：计算题．
分析：先把式子移项，变成x2=3，从而把问题转化为求3的平方根．
解答：解：2x2﹣6=0，
2x2=6，
x=±．
点评：主要考查直接开平方法解方程．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）
2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．
法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
15．（3分）若，则=2．
考点：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；二次根式的混合运算．
专题：计算题．
分析：根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后将代数式化简再代值计算．
解答：
解：∵，
∴a=3，b=2；
原式=+=+=2．
故答案为2．
点评：本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解
这类题目．
16．（3分）（2012?峨眉山市模拟）如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O
相切，切点为D．若CD=，则线段BC的长度等于．
考点：切线的性质；勾股定理．
专题：推理填空题；方程思想．
分析：如图，连接DO，首先根据切线的性质可以得到∠ODC=90°，又AC=3BC，O为AB的中点，由此可以得到∠C=30°，接着利用30°的直角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求解．
解答：解：如图，连接DO，
∵CD是⊙O切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
而AB是⊙O的一条直径，AC=3BC，
∴AB=2BC=OC=2OD，
∴∠C=30°，
∴OD=CD，
而CD=，
∴OD=BC=．
故答案为：．
点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题
17．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则实数a的取值范围是a≥1且a≠5．
考点：根的判别式；一元二次方程的定义．
专题：计算题．
分析：在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0．
解答：解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以△=b2﹣4ac=16+4（a﹣5）≥0，
解之得a≥1．
∵a﹣5≠0
∴a≠5
∴实数a的取值范围是a≥1且a≠5
故答案为a≥1且a≠5．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
18．（3分）如图，已知点A的坐标为（，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=（k＞0）的图
象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB=3BD，以点C为圆心，CA的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是相交（填“相离”、“相切”或“相交”）．
考点：待定系数法求反比例函数解析式；直线与圆的位置关系．
分析：
根据A点的坐标为（，3）、AB=3BD，可以求得点D的坐标，从而得出反比例函数y=解析式，
再根据A点坐标得出AO直线解析式，进而得出两图象的交点坐标，进而得出AC的长度，再利用
直线与圆的位置关系得出答案．
解答：解：∵已知点A的坐标为（，3），AB=3BD，
∴OA=2，AB=3，BD=1，
∴D点的坐标为（，1），
∴反比例函数y=解析式为：y=，
设AO直线解析式为：y=k′x，
∴k′=，
∴y=x．
则，
解得，，或（不合题意，舍去）
∴C（1，），则OE=1，CE=，
∴根据勾股定理知CO=2，
∴AC=2﹣2．
∵AC﹣CE=2﹣2﹣=﹣2＜0，
∴AC＜CE，
∴该圆与x轴的位置关系是相交．
故答案为：相交．
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及反比例函数的性质以及直线与反比例函数交点坐标的求法，综合性较强得出AC的长是解决问题的关键．
三、解答题：本大题共11小题，共76分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
19．（5分）计算：．
考点：二次根式的加减法．
专题：计算题．
分析：先将各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可得出答案．
解答：
解：原式=2+﹣+
=．
点评：本题考查二次根式的加减运算，难度不大，在进行二次根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．20．（5分）（2010?綦江县）解方程：x2﹣2x﹣1=0
考点：解一元二次方程-公式法．
专题：计算题．
分析：先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解皆可．
解答：解：解法一：∵a=1，b=﹣2，c=﹣1
∴b2﹣4ac=4﹣4×1×（﹣1）=8＞0
∴
∴，；
解法二：（x﹣1）2=2
∴
∴，．
点评：命题意图：考查学生解一元二次方程的能力，且方法多样，可灵活选择．本题考查了解一元二次方程的方法，公式法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c=0的解为x=（b2
﹣4ac≥0）．
21．（5分）如图，已知点P、Q，且PQ=3cm．请在下列方格纸上画出图形，并用阴影部分将图形表示出来．（注：方格纸中每格长度代表1cm，不要求写法．）
画图要求如下：到点P的距离小于或等于2cm，且到点Q的距离小于或等于5cm的点的集合．
考点：勾股定理的应用．
专题：开放型．
分析：和已知点P的距离大于或等于2cm而小于或等于5cm的点的集合，就是以P为圆心2cm为半径的圆，以及以点Q为圆心5cm为半径的圆，两圆及其之间的部分．
解答：解：如图所示：
点评：本题主要考查了勾股定理及圆的集合定义，就是到定点的距离等于定长的点的集合．
22．（6分）（2010?常熟市模拟）某路段需要铺设轨道，先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？
考点：分式方程的应用．
分析：相等关系：2×甲的工作效率+3×乙的工作效率=1．
解答：解：设甲工程队单独完成任务需x天，则乙工程队单独完成任务需（x+2）天．
依题意得=1．
解得x=﹣1或x=4．
经检验x=﹣1，x=4都是原分式方程的解．
但x=﹣1不符合实际意义，故舍去．
∴乙单独完成任务需要x+2=4+2=6（天）．
答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要4天、6天．
点评：此题考查分式方程的应用，关键在寻找题中的相等关系．
23．（6分）（2010?广州）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求
的值．
考点：根的判别式．
分析：由于这个方程有两个相等的实数根，因此△=b2﹣4a=0，可得出a、b之间的关系，然后将
化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值．
解答：解：∵ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即b2﹣4a=0，
b2=4a，
∵===
∴===4．
点评：本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．
24．（8分）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲95 82 88 81 93 79 84 78
乙83 92 80 95 90 80 85 75
（1）请你计算这两组数据的平均数、极差；
（2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从数据的离散程度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．
考点：方差；算术平均数；极差．
专题：计算题．
分析：（1）根据平均数、极差的定义直接计算即可解答．
（2）计算出甲、乙两名工人的方差，比较即可解答．
解答：解：（1）甲的极差是95﹣78=17，乙的极差是：95﹣75=20，
甲的平均数=（95+82+88+81+93+79+84+78）÷8=85，
乙的平均数=（83+92+80+95+90+80+85+75）÷8=85，
答：这两组数据的平均数都是85，极差分别为17、20．
（2）派甲参赛合适，理由如下：
甲的方差=[（78﹣85）2+（79﹣85）2+（81﹣85）2+（82﹣85）2+（84﹣85）2+（88﹣85）2+（93﹣
85）2+（95﹣85）2]÷8=35.5，
乙的方差=[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（80﹣85）2+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（92﹣
85）2+（95﹣85）2]÷8=41；
甲的方差小，比较稳定．
点评：本题主要考查平均数、方差的定义，本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组
数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
25．（6分）如图，已知AB=1，点c是线段AB的黄金分翻点，试用一元二次方程求根公式验证黄金比
．
考点：黄金分割．
分析：设较长的线段AC的长为x，根据黄金分割点的定义，得出AC2=AB?BC，据此列出方程x2=1?（1﹣x）求解即可．
解答：解：设较长的线段AC的长为x，则
AC2=AB?BC，即x2=1?（1﹣x），
解得x1=，x2=（舍去）
∴．
点评：考查了黄金分割点的定义，根据定义列出方程是解题的关键．
26．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2=0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求实数m的值；
考点：根的判别式；根与系数的关系．
专题：探究型．
分析：（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
（2）设方程的两根分别为x1、x2，由根与系数的关系可得出关于m的方程，求出m的值，舍去
不符合条件的m值即可．
解答：解：（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=（m﹣1）2﹣4（m+2）=0，即m2﹣6m﹣7=0，
解得m=﹣1或m=7；
（2）设方程的两根分别为x1、x2，则x1?x2=m+2，
∴m2+9m+2=m+2，化简得，m2+8m=0，解得m=0或m=﹣8，
∵m=0时，△=﹣7＜0，方程无实数根，故舍去，
∴m=﹣8，
∴=1．
点评：本题考查的是根的判别式及一元二次方程根与系数的关系，在解答（2）时要把所得m的值代入原方程进行检验，这是此题的易错点．
27．（8分）（2012?枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA=3，AE=2，
（1）求CD的长；
（2）求BF的长．
考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．
专题：计算题．
分析：（1）连接OC，在△OCE中用勾股定理计算求出CE的长，然后得到CD的长．
（2）根据切线的性质得AB⊥BF，然后用△ACE∽△AFB，可以求出BF的长．
解答：解：（1）如图，连接OC，
∵AB是直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE
在直角△OCE中，OC2=OE2+CE2
32=（3﹣2）2+CE2
得：CE=2，
∴CD=4．
（2）∵BF切⊙O于点B，
∴∠ABF=90°=∠AEC．
又∵∠CAE=∠FAB（公共角），
∴△ACE∽△AFB
∴=
即：=
∴BF=6．
点评：本题考查的是切线的性质，（1）利用垂径定理求出CD的长．（2）根据切线的性质，得到两相似三角形，然后利用三角形的性质计算求出BF的长．
28．（9分）（2009?淄博）如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD．
（1）求BD的长；
（2）求∠ABE+2∠D的度数；
（3）求的值．
考点：切割线定理；三角形中位线定理；切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．
专题：代数几何综合题；压轴题．
分析：（1）连接OC，BD，AE，根据OC∥BD，OC为△ABD的中位线，可知：BD=2OC，得BD的长；
（2）连接AE，根据切线长定理知：AB=EB，可得：∠BAE=∠BEA；根据圆周角相等，得：∠D=∠AEB，
可将∠ABE+2∠D的值求出；
（3）根据△BGO∽△AGB，可将的值求出．
解答：解：（1）连接OC，BD，
∵AB是小圆的切线，C是切点，
∴OC⊥AB，
∴C是AB的中点．
∵AD是大圆的直径，
∴O是AD的中点．
∴OC是△ABD的中位线．
∴BD=2OC=10．
（2）连接AE．
由（1）知C是AB的中点．
同理F是BE的中点．
即AB=2BC，BE=2BF，
由切线长定理得BC=BF．
∴BA=BE．
∴∠BAE=∠E．
∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180°．
（3）连接BO，在Rt△OCB中，
∵OB=13，OC=5，
∴BC=12．
由（2）知∠OBG=∠OBC=∠OAC．
∵∠BGO=∠AGB，
∴△BGO∽△AGB．
∴．
点评：在解本题的过程中要用到切线长定理，中位线定理，相似三角形的判定等知识，要求学生熟练掌握和应用．
29．（10分）（2009?淄博）如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
考点：一元二次方程的应用；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；梯形．
专题：几何动点问题；压轴题．
分析：（1）以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；
或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所
以可以根据这两种情况来求解x的值．
（2）以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的
左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所
以可以根据这些条件列出方程关系式．
（3）如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，
BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，
所以不能成为等腰梯形．
解答：解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）
①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1=﹣1，x2=﹣﹣1（舍去）．
因为BQ+CM=x+3x=4（﹣1）＜20，此时点Q与点M不重合．
所以x=﹣1符合题意．
②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．
此时DN=x2=25＞20，不符合题意．
故点Q与点M不能重合．
所以所求x的值为﹣1．
（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，
由20﹣（x+3x）=20﹣（2x+x2），
解得x1=0（舍去），x2=2．
当x=2时四边形PQMN是平行四边形．
②当点P在点N的右侧时，
由20﹣（x+3x）=（2x+x2）﹣20，
解得x1=﹣10（舍去），x2=4．
当x=4时四边形NQMP是平行四边形．
所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．
由于2x＞x，
所以点E一定在点P的左侧．
若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，
则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，
即2x﹣x=x2﹣3x．
解得x1=0（舍去），x2=4．
由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．
点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．