（湘教版）高中数学选修2-2（全册）同步练习汇总
第4章导数及其应用
4．1导数概念
4．1.1问题探索——求自由落体的瞬时速度
一、基础达标
1．设物体的运动方程s＝f(t), 在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时, 其中时间的增量d
() A．d>0 B．d<0
C．d＝0 D．d≠0
答案 D
2．一物体运动的方程是s＝2t2, 则从2 s到(2＋d) s这段时间内位移的增量爲
() A．8 B．8＋2d
C．8d＋2d2D．4d＋2d2
答案 C
解析Δs＝2(2＋d)2－2×22＝8d＋2d2.
3．一物体的运动方程爲s＝3＋t2, 则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度爲
() A．4.11 B．4.01 C．4.0 D．4.1
答案 D
解析v＝3＋2.12－3－22
0.1＝4.1.
4．一木块沿某一斜面自由下滑, 测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程爲
s＝1
8t
2, 则t＝2时, 此木块水平方向的瞬时速度爲
()
A．2 B．1 C.1
2 D.
1
4
答案 C
解析Δs
Δt＝
1
8(2＋Δt)
2－
1
8×2
2
Δt＝
1
2＋
1
8Δt→
1
2(Δt→0)．
5．质点运动规律s＝2t2＋1, 则从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间的变化率爲________．
答案4＋2d
解析v＝2(1＋d)2＋1－2×12－1
1＋d－1
＝4＋2d.
6．已知某个物体走过的路程s(单位: m)是时间t(单位: s)的函数: s＝－t2＋1.
(1)t＝2到t＝2.1；
(2)t ＝2到t ＝2.01； (3)t ＝2到t ＝2.001.
则三个时间段内的平均速度分别爲________, ________, ________, 估计该物体在t ＝2时的瞬时速度爲________． 答案 －4.1 m/s －4.01 m/s －4.001 m/s －4 m/s
7．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时, 需在2 s 内完成刹车, 其位移 (单位: m)关于时间(单位: s)的函数爲: s (t )＝－3t 3＋t 2＋20, 求:
(1)开始刹车后1 s 内的平均速度； (2)刹车1 s 到2 s 之间的平均速度； (3)刹车1 s 时的瞬时速度． 解 (1)刹车后1 s 内平均速度
v 1＝s (1)－s (0)1－0＝(－3×13＋12＋20)－201
＝－2(m/s)．
(2)刹车后1 s 到2 s 内的平均速度爲: v 2＝s (2)－s (1)
2－1
＝(－3×23＋22＋20)－(－3×13＋12＋20)1
＝－18(m/s)．
(3)从t ＝1 s 到t ＝(1＋d )s 内平均速度爲: v 3＝s (1＋d )－s (1)d
＝－3(1＋d )3＋(1＋d )2＋20－(－3×13＋12＋20)d
＝－7d －8d 2－3d 3
d ＝－7－8d －3d 2
→－7(m/s)(d →0)
即t ＝1 s 时的瞬时速度爲－7 m/s. 二、能力提升
8．质点M 的运动方程爲s ＝2t 2－2, 则在时间段[2,2＋Δt ]内的平均速度爲
( )
A ．8＋2Δt
B ．4＋2Δt
C ．7＋2Δt
D ．－8＋2Δt
答案 A
解析 Δs Δt ＝2(2＋Δt )2－2－(2×22－2)
Δt
＝8＋2Δt .
9．自由落体运动的物体下降的距离h 和时间t 的关系式爲h ＝1
2gt 2, 则从t ＝0到t ＝1时间段内的平均速度爲________, 在t ＝1到t ＝1＋Δt 时间段内的平均速度爲________, 在t ＝1时刻的瞬时速度爲________． 答案 12g g ＋1
2g Δt g 解析 12g ×12－12g ×021－0＝1
2g .
12g (1＋Δt )2－12g ×12Δt ＝g ＋
1
2g Δt . 当Δt →0时, g ＋1
2
g Δt →g .
10．自由落体运动的物体下降距离h 和时间t 的关系式爲h ＝12gt 2
, t ＝2时的瞬时速度爲19.6, 则g ＝________. 答案 9.8
解析 12g (2＋Δt )2－12g ×22Δt ＝2g ＋
1
2g Δt . 当Δt →0时, 2g ＋1
2g Δt →2g . ∴2g ＝19.6, g ＝9.8.
11．求函数s ＝2t 2＋t 在区间[2,2＋d ]内的平均速度． 解 ∵Δs ＝2(2＋d )2＋(2＋d )－(2×22＋2)＝9d ＋2d 2, ∴平均速度爲Δs
d ＝9＋2d .
12．甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别
如图①、②所示．问:
(1)甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快?
(2)甲、乙二人百米赛跑, 快到终点时, 谁跑得快(设Δs爲s的增量)?
解(1)由题图①在(0, t]时间段内, 甲、乙跑过的路程s
甲 乙 , 故宥 s甲 t< s乙 t即在 任一时间段(0, t]内, 甲的平均速度小于乙的平均速度, 所以乙比甲跑得快．(2)由题图②知, 在终点附近[t－d, t)时间段内, 路程增量Δs乙>Δs甲, 所以 Δs乙d>Δs甲 d即快到终点时, 乙的平均速度大于甲的平均速度, 所以乙比甲跑得 快． 三、探究与创新 13．质量爲10 kg的物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律做直线运动, 求运动开始后4秒时物体的动能． 解s(Δt＋4)－s(4) Δt＝ 3(Δt＋4)2＋(Δt＋4)＋4－(3×42＋4＋4) Δt＝3Δt＋25, 当Δt→0时, 3Δt＋25→25. 即4秒时刻的瞬时速度爲25. ∴物质的动能爲1 2m v 2＝ 1 2×10×25 2＝3 125(J) 4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线 一、基础达标 1．已知曲线y＝2x2上一点A(1,2), 则A处的切线斜率等于 () A．2 B．4 C．6＋6d＋2d2D．6 答案 B 2．已知曲线y＝1 2x 2－2上的一点P(1, － 3 2), 则过点P的切线的倾斜角爲 () A．30°B．45° C．135°D．165° 答案 B 3．如果曲线y＝2x2＋x＋10的一条切线与直线y＝5x＋3平行, 则切点坐标爲 () A．(－1, －8) B．(1,13) C．(1,12)或(－1,8) D．(1,7)或(－1, －1) 答案 B 4．曲线y＝x－2在点P(3,1)处的切线斜率爲 () A．－1 2B．0 C. 1 2D．1 答案 C 解析(3＋Δx)－2－3－2 Δx ＝Δx＋1－1 Δx＝ 1 Δx＋1＋1 . 当Δx→0时, 1 Δx＋1＋1 → 1 2. 5．若曲线y＝x2＋1在曲线上某点处的斜率爲2, 则曲线上该切点的坐标爲________． 答案(1,2) 6．曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程爲________． 答案2x－y＋1＝0 解析(1＋Δx)2＋2－(12＋2) Δx＝Δx＋2, 当Δx→0时, Δx＋2→2. 所以曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线斜率爲2, 其方程爲y－3＝2(x－1)．即爲2x－y＋1＝0. 7．抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行, 求点P的坐标及切线方程． 解设点P(x0, y0), f(x0＋d)－f(x0) d＝(x0＋d)2－x20 d＝d＋2x0, d→0时, d＋2x0→2x0. 抛物线在点P处的切线的斜率爲2x0, 由于切线平行于2x－y＋4＝0, ∴2x0＝2, x0＝1, 即P点坐标爲(1,1), 切线方程爲y－1＝2(x－1), 即爲2x－y－1＝0. 二、能力提升 8．曲线y＝－1 x在点(1, －1)处的切线方程爲 () A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 答案 A 解析－ 1 Δx＋1－(－ 1 1) Δx＝ 1－ 1 Δx＋1 Δx＝ 1 Δx＋1, 当Δx→0时, 1 Δx＋1→1. 曲线y＝－1 x在点(1, －1)处的切线的斜率爲1, 切线方程爲y＋1＝1×(x－1), 即y＝x－2. 9．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率爲________．答案7 解析f(2＋Δx)－f(2) Δx ＝(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(22＋3×2) Δx＝Δx＋7, 当Δx→0时, Δx＋7→7, 所以, f(x)在A处的切线的斜率爲7. 10．曲线f(x)＝x2＋3x在点A处的切线的斜率爲7, 则A点坐标爲________．答案(2,10) 解析设A点坐标爲(x0, x20＋3x0), 则f(x0＋Δx)－f(x0) Δx ＝(x0＋Δx)2＋3(x0＋Δx)－(x20＋3x0) Δx ＝Δx＋(2x0＋3), 当Δx→0时, Δx＋(2x0＋3)→2x0＋3, ∴2x0＋3＝7, ∴x0＝2. x20＋3x0＝10.A点坐标爲(2,10)． 11．已知抛物线y＝x2＋1, 求过点P(0,0)的曲线的切线方程．解设抛物线过点P的切线的切点爲Q(x0, x20＋1)． 则(x0＋Δx)2＋1－(x20＋1) Δx＝Δx＋2x0. Δx→0时, Δx＋2x0→2x0. ∴x20＋1－0 x0－0 ＝2x0, ∴x0＝1或x0＝－1. 即切点爲(1,2)或(－1,2)． 所以, 过P(0,0)的切线方程爲y＝2x或y＝－2x.即2x－y＝0或2x＋y＝0. 三、探究与创新 12．直线l: y＝x＋a(a≠0)和曲线C: y＝x3－x2＋1相切, 求切点的坐标及a的值．解设切点A(x0, y0), (x0＋d)3－(x0＋d)2＋1－(x30－x20＋1) d ＝3x20d＋3x0d2＋d3－2x0d－d2 d ＝3x 20－2x 0 ＋(3x 0－1)d ＋d 2→3x 2 0－2x 0(d →0)． 故曲线上点A 处切线斜率爲3x 20－2x 0, ∴3x 20－2x 0＝1, ∴x 0＝1或x 0＝－1 3, 代入C 的方程得 ?? ? x 0＝1，y 0＝1 或????? x 0＝－1 3，y 0＝23 27 代入直线l , 当?? ? x 0＝1， y 0＝1 时, a ＝0(舍去), 当????? x 0＝－13， y 0＝23 27 时, a ＝32 27, 即切点坐标爲(－13, 2327), a ＝32 27. 4．1.3 导数的概念和几何意义 一、基础达标 1．设f ′(x 0)＝0, 则曲线y ＝f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线 ( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交 答案 B 2．已知函数y ＝f (x )的图象如图, 则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是 ( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A ) C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定 答案 B 解析分别作出A、B两点的切线, 由题图可知k B>k A, 即f′(x B)>f′(x A)．3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8), 则在点A处的切线斜率爲 () A．4 B．16 C．8 D．2 解析在点A处的切线的斜率即爲曲线y＝2x2在x＝2时的导数, 由导数定义可求y′＝4x, ∴f′(2)＝8. 答案 C 4．已知函数f(x)在x＝1处的导数爲3, 则f(x)的解析式可能爲 () A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1) B．f(x)＝2(x－1) C．f(x)＝2(x－1)2 D．f(x)＝x－1 答案 A 解析分别求四个选项的导函数分别爲f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2； f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1. 5．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________, 该切线方程爲____________． 答案33x－y＋1＝0 解析Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2, 故y′|x＝1＝lim d→0Δy d ＝lim d→0 (3＋d)＝3. ∴切线的方程爲y－4＝3(x－1), 即3x－y＋1＝0. 6．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3, 则这条切线方程爲____________． 答案4x－y－5＝0 解析∵f′(x)＝f(x＋d)－f(x) d＝ (x＋d)2－1－(x2－1) d ＝2xd＋d2 d＝(2x＋d)＝2x. 设切点坐标爲(x0, y0), 则由题意知f′(x0)＝4, 即2x0＝4, ∴x0＝2, 代入曲线方程得y0＝3, 故该切线过点(2,3)且斜率爲4.所以这条切线方程爲 y－3＝4(x－2), 即4x－y－5＝0. 7．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 解∵f′(3)＝f(3＋d)－f(3) d ＝(3＋d)3－33 d＝(d 2＋9d＋27)＝27, ∴曲线在点(3,27)处的切线方程爲y－27＝27(x－3), 即27x－y－54＝0. 此切线与x轴、y轴的交点分别爲(2,0), (0, －54)． ∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积爲S＝1 2×2×54＝54. 二、能力提升 8．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程爲 () A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x 答案 A 解析－(Δx＋1)3＋3(Δx＋1)2－(－13＋3×12) Δx ＝－Δx2＋3. Δx→0时, －Δx2＋3→3. ∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率爲3. 所以切线方程爲y－2＝3(x－1), 即y＝3x－1. 9．函数y＝f(x)图象在M(1, f(1))处的切线方程爲y＝1 2x＋2, 则f(1)＋f′(1)＝ ________. 答案 3 解析 由已知切点在切线上． ∴f (1)＝12×1＋2＝5 2. 切线的斜率f ′(1)＝1 2.∴f (1)＋f ′(1)＝ 3. 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0, b )处的切线方程爲x －y ＋1＝0, 则a , b 的值分别爲________, ________. 答案 1 1 解析 ∵点(0, b )在切线x －y ＋1＝0上, ∴－b ＋1＝0, b ＝1. 又f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝Δx 2＋a Δx ＋b －b Δx ＝a ＋Δx , ∴f ′(0)＝a ＝1. 11．已知曲线y ＝x 3＋1, 求过点P (1,2)的曲线的切线方程． 解 设切点爲A (x 0, y 0), 则y 0＝x 30＋1. (x 0＋Δx )3＋1－(x 30＋1)Δx ＝Δx 3＋3x 20Δx ＋3x 0Δx 2 Δx ＝ Δx 2＋3x 0Δx ＋3x 2 0. ∴f ′(x 0)＝3x 20, 切线的斜率爲k ＝3x 20. 点(1,2)在切线上, ∴2－(x 30＋1)＝3x 20(1－x 0)．∴x 0＝1或x 0＝－12. 当x 0＝1时, 切线方程爲3x －y －1＝0, 当x 0＝－1 2时, 切线方程爲3x －4y ＋5＝0. 所以, 所求切线方程爲3x －y －1＝0或3x －4y ＋5＝0. 12．求抛物线y ＝x 2的过点P (5 2, 6)的切线方程． 解 由已知得, Δy d ＝2x ＋d , ∴当d →0时, 2x ＋d →2x , 即y ′＝2x , 设此切线过抛物线上的点(x 0, x 20), 又因爲此切线过点(5 2, 6)和点(x 0, x 20), 其斜率应满足 x20－6 x0－ 5 2 ＝2x0, 由此x0应满足x20－5x0＋6＝0. 解得x0＝2或3. 即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4), (3,9)． 所以切线方程分别爲y－4＝4(x－2), y－9＝6(x－3)． 化简得4x－y－4＝0,6x－y－9＝0, 此即是所求的切线方程． 三、探究与创新 13．求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程．解设切点爲P(a, b), 函数y＝x3＋3x2－5的导数爲y′＝3x2＋6x.故切线的斜率 k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3, 得a＝－1, 代入y＝x3＋3x2－5得, b＝－3, 即P(－1, －3)．故所求直线方程爲y＋3＝－3(x＋1), 即3x＋y＋6＝0. 4．2.3 导数的运算法则 一、基础达标 1．设y＝－2e x sin x, 则y′等于 () A．－2e x cos x B．－2e x sin x C．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x) 答案 D 解析y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)． 2．当函数y＝ x2＋a2 x(a>0)在x＝x0处的导数爲0时, 那么x0＝ () A．a B．±a C．－a D．a2 答案 B 解析 y ′＝? ?? ?? x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2, 由x 20－a 2 ＝0得x 0＝± a . 3．设曲线y ＝x ＋1x －1 在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直, 则a 等于 ( ) A ．2 B.12 C ．－1 2 D ．－2 答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2 x －1 , ∴y ′＝－ 2(x －1)2 .∴y ′|x ＝3 ＝－1 2. ∴－a ＝2, 即a ＝－2. 4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率爲k , 则当k ＝3时的P 点坐标爲 ( ) A ．(－2, －8) B ．(－1, －1)或(1,1) C ．(2,8) D.? ?? ??－1 2，－18 答案 B 解析 y ′＝3x 2, ∵k ＝3, ∴3x 2＝3, ∴x ＝±1, 则P 点坐标爲(－1, －1)或(1,1)． 5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2, 曲线y ＝g (x )在点(1, g (1))处的切线方程爲y ＝2x ＋1, 则曲线y ＝f (x )在点(1, f (1))处切线的斜率爲________． 答案 4 解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x , f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4. 6．已知f (x )＝1 3x 3＋3xf ′(0), 则f ′(1)＝________. 答案 1 解析 由于f ′(0)是一常数, 所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0), 令x ＝0, 则f ′(0)＝0, ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数: (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x 2. 解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋ 3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9. 法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3, ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －1 2sin x , ∴y ′＝x ′－? ???? 12sin x ′＝1－12cos x . 二、能力提升 8．曲线y ＝ sin x sin x ＋cos x －12在点M ? ???? π4，0处的切线的斜率爲 ( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.2 2 答案 B 解析 y ′＝ cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1 (sin x ＋cos x )2 , 故y ′| x ＝π4＝1 2, ∴曲线在点M ? ???? π4，0处的切线的斜率爲12. 9．已知点P 在曲线y ＝4 e x ＋1 上, α爲曲线在点P 处的切线的倾斜角, 则α的取值范围是 ( ) A ．[0, π 4) B ．[π4, π2) C ．(π2, 3π4] D ．[3π4, π) 答案 D 解析y′＝－ 4e x (e x＋1)2 ＝－ 4e x e2x＋2e x＋1 , 设t＝e x∈(0, ＋∞), 则y′ ＝－ 4t t2＋2t＋1 ＝－ 4 t＋ 1 t＋2 , ∵t＋ 1 t≥2, ∴y′∈[－1,0), α∈[ 3π 4, π)． 10．(2013·江西)设函数f(x)在(0, ＋∞)内可导, 且f(e x)＝x＋e x, 则f′(1)＝________. 答案 2 解析令t＝e x, 则x＝ln t, 所以函数爲f(t)＝ln t＋t, 即f(x)＝ln x＋x, 所以 f′(x)＝1 x＋1, 即f′(1)＝ 1 1＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程． 解点(2,0)不在曲线y＝x3上, 可令切点坐标爲(x0, x30)．由题意, 所求直线方 程的斜率k＝x30－0 x0－2＝y′|x ＝x0 ＝3x20, 即 x30 x0－2 ＝3x20, 解得x0＝0或x0＝3. 当x0＝0时, 得切点坐标是(0,0), 斜率k＝0, 则所求直线方程是y＝0； 当x0＝3时, 得切点坐标是(3,27), 斜率k＝27, 则所求直线方程是y－27＝27(x－3), 即27x－y－54＝0. 综上, 所求的直线方程爲y＝0或27x－y－54＝0. 12．已知曲线f(x)＝x3－3x, 过点A(0,16)作曲线f(x)的切线, 求曲线的切线方程．解设切点爲(x0, y0), 则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x20－3, ∴切线方程爲y＝(3x20－3)x＋16, 又切点(x0, y0)在切线上, ∴y0＝3(x20－1)x0＋16, 即x30－3x0＝3(x20－1)x0＋16, 解得x0＝－2, ∴切线方程爲9x－y＋16＝0. 三、探究与创新 13．设函数f (x )＝ax －b x , 曲线y ＝f (x )在点(2, f (2))处的切线方程爲7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式； (2)证明: 曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积爲定值, 并求此定值． (1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝7 4x －3. 当x ＝2时, y ＝12, ∴f (2)＝1 2, ① 又f ′(x )＝a ＋b x 2, ∴f ′(2)＝7 4, ② 由①, ②得????? 2a －b 2＝12， a ＋ b 4＝74. 解之得??? a ＝1， b ＝3. 故f (x )＝x －3 x . (2)证明 设P (x 0, y 0)爲曲线上任一点, 由y ′＝1＋3 x 2知 曲线在点P (x 0, y 0)处的切线方程爲 y －y 0＝? ? ? ??1＋3x 20(x －x 0), 即y －? ? ???x 0－3x 0＝? ?? ??1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0, 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标爲? ? ???0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0, 从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标爲(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0, y 0)处的切线与直线x ＝0, y ＝x 所围成的三角形面积爲12?????? －6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0, y ＝x 所围成的三角形的面积爲定值, 此定值爲6. 4．2 导数的运算 4．2.1 几个幂函数的导数 4．2.2 一些初等函数的导数表 一、基础达标 1．下列结论中正确的个数爲 ( ) ①y ＝ln 2, 则y ′＝12；②y ＝1x 2, 则y ′|x ＝3＝－2 27；③y ＝2x , 则y ′＝2x ln 2； ④y ＝log 2x , 则y ′＝1 x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D 解析 ①y ＝ln 2爲常数, 所以y ′＝0.①错．②③④正确． 2．过曲线y ＝1 x 上一点P 的切线的斜率爲－4, 则点P 的坐标爲 ( ) A.? ????12，2 B.? ????12，2或? ????－12，－2 C.? ????－12，－2 D.? ?? ??12，－2 答案 B 解析 y ′＝? ?? ?? 1x ′＝－1x 2＝－4, x ＝± 12, 故选B. 3．已知f (x )＝x a , 若f ′(－1)＝－4, 则a 的值等于 ( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A 解析 f ′(x )＝ax a －1, f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4, a ＝4. 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线宥 ( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 答案 B 解析 ∵f ′(x )＝3x 2, 设切点爲(x 0, y 0), 则3x 2 0＝1, 得x 0＝±33, 即在点? ????33，39和点? ???? －33，－39处宥斜率爲1的切线． 5．曲线y ＝9 x 在点M (3,3)处的切线方程是________． 答案 x ＋y －6＝0 解析 ∵y ′＝－9 x 2, ∴y ′|x ＝3＝－1, ∴过点(3,3)的斜率爲－1的切线方程爲: y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0. 6．若曲线 在点 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积爲 18, 则a ＝________. 答案 64 解析 ∴曲线在点处的切线斜率 , ∴切线方程爲． 令x ＝0得 ；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积爲 S ＝12·3a · ＝18, ∴a ＝64. 7．求下列函数的导数: (1) y ＝7 x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2? ????1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x . 解 (1)y ′＝??? ?7x 3′＝＝ 377 x 4 . (2)y ′＝? ???? 1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x 2? ? ? ??1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2? ???? 2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x , ∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x , ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2 . 二、能力提升 8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线, 则实数k 的值爲 ( ) A.1e B ．－1 e C ．－e D ．e 答案 D 解析 y ′＝e x , 设切点爲(x 0, y 0), 则??? y 0＝kx 0，y 0＝e x 0， k ＝e x 0. ∴e x 0＝e x 0·x 0, ∴x 0＝1, ∴k ＝e. 9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角爲π 4, 则a ＝______. 答案 1 解析 y ′＝1x , ∴y ′|x ＝a ＝1 a ＝1, ∴a ＝1. 集合学习中的五大误区 集合是高中数学的基本概念，同时也是最难以理解的概念之一，尤其在解题时容易出现以下五个误区． 1、符号意义不清晰 例1 在①{}?∈?；②{}???；③若{}{}A x x B A ?==|,1,0，则B A ∈中，正确的叙述有几个？ 误解：1个（或2个）． 正解：{}?是含有一个元素“?”的非空集合，按规定?是任何非空集合的真子集， 从而①②均正确，对于③，{}{}{}{}1,0,1,0,?=B ，故B A ∈正确．综上，正确的叙述有3个． 2、忽略“互异”致增解 例2 {}{} A B a B a A ?==,,1,,4,12，求a ． 误解：由102422， 或得：或±===a a a a ． 正解：1=a 时，B A ，中分别出现相同元素，应舍去，故02或±=a ． 3、忽略空集漏特例 例3 {}{}A B ax x B A ?=-=-=,01|,1,3,求a ． 误解：??????=a B 1,从而311或 -=a ． 正解：当B ≠?时，311或 -=a ； 当B =?时，0=a ． 故3 11或-=a ． 例4 {}{} m B B A mx x x B x x x A ，求，若，==+-==+-=I 02|023|22． 误解：{}，，，A B A ?=21从而{}{ }{}2121，，B 或=．其中{}21，=B 时，符合题意，得：3=m ． 正解：当?≠B 时，3=m ； 当?=B 时，2222,082<<-<-=?m m ． 4、代表元素误理解 例5 已知{}{} B A x y x B x y y A I 求,1|,1|22-==-==． 误解：由?????-=-=2211x y x y 得： 新湘教版九年级下册数 学全册教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第1章二次函数 1.1 二次函数 【知识与技能】 1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 【过程与方法】 经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系. 【情感态度】 体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识. 【教学重点】 二次函数的概念. 【教学难点】 在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程. 一、情境导入，初步认识 1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S(m2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x2+100x,(0 b,c 是常数,a ≠0)的函数，叫做二次函数，其中x 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时,要连同符号一起指出. 三、典例精析，掌握新知 例1 指出下列函数中哪些是二次函数. (1)y=(x-3)2-x 2 ；(2)y=2x(x-1)；(3)y=32x-1；(4)y=22x ；(5)y=5-x 2+x. 【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析. 解:(2)(5)是二次函数,其余不是. 【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路: 1.将函数化为一般形式. 2.自变量的最高次数是2次. 3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为0. 例2 讲解教材P3例题. 【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围. 例3 已知函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)(m 是常数），当m 为何值时: (1)函数是一次函数; (2)函数是二次函数. 【分析】判断函数类型,关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零,列出相应方程或不等式. 解:(1)由200 m m m ?-=?≠? 得010m m ?=≠??或 , ∴m=1.即当m=1时，函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是一次函数. (2)由m 2-m ≠0得m ≠0且m ≠1, ∴当m ≠0且m ≠1时，函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是二次函数. 【教学说明】学生自主完成，加深对二次函数概念的理解，并让学生会列二次函数的一些实际应用中的二次函数解析式. 四、运用新知，深化理解 1.下列函数中是二次函数的是（ ） 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 湘教版义务教育课程标准实验教材《数学》的特色 我们编写的《义务教育课程标准实验教材·数学》（湘教版）的主要特色如下： 一、改革平面几何的讲授体系 平面几何历来是初中数学教学的难点，相当多的初中生感到平面几何难学。我们尝试构建平面几何的新的讲授体系，把几何的直观性与思维的严谨性有机地结合，使学生既比较容易地学习平面几何，又受到科学思维方式的训练。 学生从直观上很容易接受下述事实：经过平移，图形的形状和大小不会改变；经过旋转，图形的形状和大小不会改变；经过轴反射，图形的形状和大小也不会改变。我们把这三条作为公理。整套教材以下列命题为公理： （1）等量加等量，和相等。 （2）等量减等量，差相等。 （3）等量代换（即，如果a=b且c=b，那么a=c）。 （4）整体大于部分。 （5）通过两点有且只有一条直线。 （6）连接两点的所有连线中，线段最短。 （7）经过一条直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 （8）平移不改变图形的形状和大小，平移不改变直线的方向。 （9）轴反射不改变图形的形状和大小（但是会改变图形的定向）。 （10）旋转不改变图形的形状和大小。 我们运用公理（7）和公理（8）证明了平行线的性质定理I；利用平行线的性质定理I和公理（3）证明了平行线的判定定理I；运用公理（8）、（9）、（10）证明了三角形全等的三个判定定理。然后利用平行线的性质定理和判定定理，三角形全等的判定定理去研究三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等图形的性质和有关判定定理。在整个平面几何的讲授体系中，我们始终坚持把直观性与严谨性相结合。直观性使学生比较容易学习平面几何，严谨性使学生受到科学思维方式的训练，使学生养成讲道理的习惯，从而提高学生的素质。 二、按照数学的思维方式编写教学内容 我们认为数学教学的目标不仅要传授基础知识和基本方法，而且要让学生受到数学思维方式的熏陶。数学的思维方式是一种科学的思维方式，它让人们观察客观现象，从中抓住主要特征，抽象出概念或者建立模型；运用直觉判断或归纳、类比、联想、推理等进行探索，猜测可能有的规律；然后进行深入分析、逻辑推理和计算，揭示事物的内在规律，从而把纷繁复杂的客观现象整理得井然有序。这就是数学思维方式的全过程。我们按照数学的思维方式编写教材，既使学生比较容易的学习数学，又使学生受到数学思维方式的熏陶，这将使他 （湘教版）高中数学选修2-2（全册）课堂练习汇总 第4章导数及其应用 4．1导数概念 4．1.1问题探索——求自由落体的瞬时速度 1．一质点的运动方程是s＝4－2 t2，则在时间段[1,1＋d]内相应的平均速度为 () A．2d＋4 B．－2d＋4 C．2d－4 D．－2d－4 答案 D 解析v(1，d)＝4－2(1＋d)2－4＋2×12 d＝－ 4d＋2d2 d＝－2d－4. 2．已知物体位移s与时间t的函数关系为s＝f(t)．下列叙述正确的是 () A．在时间段[t0，t0＋d]内的平均速度即是在t0时刻的瞬时速度 B．在t1＝1.1，t2＝1.01，t3＝1.001，t4＝1.000 1，这四个时刻的速度都与t＝1时刻的速度相等 C．在时间段[t0－d，t0]与[t0，t0＋d](d>0)内当d趋于0时，两时间段的平均速度相等 D．以上三种说法都不正确 答案 C 解析两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度． 3．已知s＝1 2gt 2，从3秒到3.1秒的平均速度v＝________. 答案 3.05g 解析v＝1 2g·3.1 2－ 1 2g·3 2 3.1－3 ＝3.05g. 4．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2，则在时间段[2,2＋d]内的平均速度是________． 答案8＋2d 解析v(2，d)＝s(2＋d)－s(2) d＝8＋2d. 1．平均速度与瞬时速度的区别与联系 平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值，即用时间除位移得到，而瞬时速度是物体在某一时间点的速度，当时间段越来越小的过程中，平均速度就越来越接近一个数值，这个数值就是瞬时速度，可以说，瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于0时的“飞跃”． 2．求瞬时速度的一般步骤 设物体运动方程为s＝f(t)，则求物体在t时刻瞬时速度的步骤为： (1)从t到t＋d这段时间内的平均速度为f(t＋d)－f(t) d，其中f(t＋d)－f(t)称为位 移的增量； (2)对上式化简，并令d趋于0，得到极限数值即为物体在t时刻的瞬时速度. 4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线 1．一物体作匀速圆周运动，其运动到圆周A处时 () A．运动方向指向圆心O B．运动方向所在直线与OA垂直 C．速度与在圆周其他点处相同 D．不确定 答案 B 2．若已知函数f(x)＝2x2－1的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1＋d,1＋Δy)，则Δy d 等于 () A．1 B．2＋d C．4＋2d D．4＋d 答案 C 苏教版 -----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合 1.1集合的含义及其表示 1.2子集、全集、补集 1.3交集、并集 第2章函数 2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法 2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性 2.3映射的概念 第3章指数函数、对数函数和幂函数 3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数 3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数 3.3幂函数 3.4函数的应用3. 4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用 -----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步 1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球 1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法 1.2点、线、面之间的位置关系1. 2.1平面的基本性质 1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线 1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直 1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直 1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步 2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式 3.一般式 2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离 2.1.6点到直线的距离 2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2. 3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离 -----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步 1.1算法的意义 1.2流程图1. 2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构 1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句 1.3.4循环语句 1.4算法案例 第2章统计 2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法 2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样 2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2. 3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差 2.4线性回归方程 第3章概率 3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率 3.2古典概型 3.3几何概型 3.4互斥事件 -----------------------------------必修4----------------------------------- 第1章三角函数 1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制 1.2任意角的三角函数1. 2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系 1.2.3三角函数的诱导公式 1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质 1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用 第2章平面向量 2.1向量的概念及表示 2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘 2.3向量的坐标表示2. 3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算 2.4向量的数量积 2.5向量的应用 第3章三角恒等变换 3.1两角和与差的三角函数 3.1.1两角和与差的余弦 3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切 3.2二倍角的三角函数 3.3几个三角恒等式 -----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章解三角形 1．1正弦定理 1．2余弦定理 1．3正弦定理、余弦定理的应用 第2章数列 2．1数列 2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式 2.2.3等差数列的前n项和 2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式 2.3.3等比数列的前n项和 第3章不等式 湘教版初中数学7-9年级(上下册)电子课本汇总(下载看文 末) l 湘教版初中7-9年级数学知识点总结汇编 湘教版初中数学教材解读教材是实施《义务教育数学课程标准》的载体。新课改以来，尽管在教材编写过程中出现了“一纲多本”，也许它们编写的理念、结构和呈现方式不尽相同，但在这些教材的后面站着的都是“立德树人”这四个大字，在这四个字的背后，是有良好的数学素养、深刻的文化自信的一代新人。而这一切的发生离不开课堂，教材的落地在课堂，在于教师对教材的解读。下面我以八年级湘教版初中数学教材上下册为例进行解读，以期大家了解编者意图，便于我们有效的使用教材。 NO.1 一、教材的逻辑主线 SPRING 春暖花开好天气 教材内容总体来说涉及初中数学四个部分：数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践。各个部分侧重点各不相同。 （1）数与代数的逻辑主线着重于建模和算法 “数与代数”部分，教材自始至终重视数学建模，并随时渗透算理算法，发展学生的数学建模和数学运算核心素养。例如，八上第4章“一元一次不等式（组）”、八下第4章“一次函数”，都是先把实际情境抽象成数学问题，并用数学符号建立一元一次不等式、一次函数得到模型的；然后通过模型算出结果，并用此去解释其他现实问题，从而让学生体会建模的过程，理解不等式、函数是刻画现实世界数量关系的有效模型。同时，为了浅显易懂地渗透算法，教材采用形象、生动的卡通流程图给出了一般的解法步骤，例如八上1.5节的内容采用了流程图，将解可化为一元一次方程的分式方程的步骤以及建立方程模型解决实际问题的步骤呈现出来。 （2）空间与图形的逻辑主线注重于变换 “几何几何，想烂老壳”，可见几何的学习历来是初中数学的难点。为了突破难点，教材从学生已有的经验出发，通过图形变换来研究图形的性质，从而发展学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。如八下 2.3“中心对称和中心对称图形”，让学生认识了中心对称；八上2.3“等腰三角形”、2.4“线段的垂直平分线”等一些问题的探究，都是用变换的观点来认识图形，并在 湘教新版八年级上学期数学教学计划 三、教材分析： 本学期的教学内容共计五章： 第1 章：分式：了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除的运算；能够依据具体问题的数量关系，列出简单的分式方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解简单的可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）； 第2章：三角形：本章主要内容包括三角形相关概念和性质，命题与证明；利用平移、旋转和轴反射得出三角形全等的判定方法；直角三角形的性质和判定直角三角形全等的判定方法及勾股定理；三角形的作法。 第3章：实数：本章的主要内容包括平方根与立方根、算术平方根，在学习了平方根、立方根概念后，引进了无理数，从而对数的认识从有理数扩大到实数，学习平面直角坐标系，使得平面上的点与有序实数对一一对应，为学习函数及通过直角坐标系研究几何问题提供了研究工具。本章包含了数形结合和分类讨论的思想方法。 第4章：一元一次不等式（组）: 本章主要内容是不等式的基本性质、一元一次不等式的解法和应用。一元一次不等式组的概念和解法。 第5章：二次根式：理解二次根式的概念，能够应用定义判断一个式子是否为二次根式；理解二次根式的性质；熟练掌握二次根式的运算； 六、课时安排 章节时间 第1章分式约22课时 1.1分式 1.2分式的乘法和除法 1.3整数指数幂 1.4分式的加法和减法 1.5可化为一元一次方程的分式方程 小结与复习 第2章三角形约27课时 2.1三角形 2.2命题与证明 2.3等腰三角形 2.4线段的垂直平分线 2.5全等三角形 2.6用尺规作三角形 小结与复习 第3章实数约9课时 3.1平方根 3.2立方根 3.3实数 小结与复习 第4章一元一次不等式（组）约13课时 4.1不等式 4.2不等式的基本性质 4.3一元一次不等式的解法 4.4一元一次不等式的应用 4.5一元一次不等式组 小结与复习 第5章二次根式约14课时 5.1二次根式 5.2二次根式的乘法和除法 5.3二次根式的加法和减法 小结与复习 2013-9-1 高中数学必修+选修知识点归纳 恒 则成 人生一连串 的奋斗 追求理想要 奋战不懈 坚持到底 有恒则成 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：三角函数、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有3个系列： 选修系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数的引入、框图 选修系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数的引入 选修2—3：计数原理、概率，统计案例。 选修系列4：由4个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 （湘教版）高中数学选修2-2（全册）同步练习汇总 第4章导数及其应用 4．1导数概念 4．1.1问题探索——求自由落体的瞬时速度 一、基础达标 1．设物体的运动方程s＝f(t), 在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时, 其中时间的增量d () A．d>0 B．d<0 C．d＝0 D．d≠0 答案 D 2．一物体运动的方程是s＝2t2, 则从2 s到(2＋d) s这段时间内位移的增量爲 () A．8 B．8＋2d C．8d＋2d2D．4d＋2d2 答案 C 解析Δs＝2(2＋d)2－2×22＝8d＋2d2. 3．一物体的运动方程爲s＝3＋t2, 则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度爲 () A．4.11 B．4.01 C．4.0 D．4.1 答案 D 解析v＝3＋2.12－3－22 0.1＝4.1. 4．一木块沿某一斜面自由下滑, 测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程爲 s＝1 8t 2, 则t＝2时, 此木块水平方向的瞬时速度爲 () A．2 B．1 C.1 2 D. 1 4 答案 C 解析Δs Δt＝ 1 8(2＋Δt) 2－ 1 8×2 2 Δt＝ 1 2＋ 1 8Δt→ 1 2(Δt→0)． 5．质点运动规律s＝2t2＋1, 则从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间的变化率爲________． 答案4＋2d 解析v＝2(1＋d)2＋1－2×12－1 1＋d－1 ＝4＋2d. 6．已知某个物体走过的路程s(单位: m)是时间t(单位: s)的函数: s＝－t2＋1. (1)t＝2到t＝2.1； (2)t ＝2到t ＝2.01； (3)t ＝2到t ＝2.001. 则三个时间段内的平均速度分别爲________, ________, ________, 估计该物体在t ＝2时的瞬时速度爲________． 答案 －4.1 m/s －4.01 m/s －4.001 m/s －4 m/s 7．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时, 需在2 s 内完成刹车, 其位移 (单位: m)关于时间(单位: s)的函数爲: s (t )＝－3t 3＋t 2＋20, 求: (1)开始刹车后1 s 内的平均速度； (2)刹车1 s 到2 s 之间的平均速度； (3)刹车1 s 时的瞬时速度． 解 (1)刹车后1 s 内平均速度 v 1＝s (1)－s (0)1－0＝(－3×13＋12＋20)－201 ＝－2(m/s)． (2)刹车后1 s 到2 s 内的平均速度爲: v 2＝s (2)－s (1) 2－1 ＝(－3×23＋22＋20)－(－3×13＋12＋20)1 ＝－18(m/s)． (3)从t ＝1 s 到t ＝(1＋d )s 内平均速度爲: v 3＝s (1＋d )－s (1)d ＝－3(1＋d )3＋(1＋d )2＋20－(－3×13＋12＋20)d ＝－7d －8d 2－3d 3 d ＝－7－8d －3d 2 →－7(m/s)(d →0) 即t ＝1 s 时的瞬时速度爲－7 m/s. 二、能力提升 8．质点M 的运动方程爲s ＝2t 2－2, 则在时间段[2,2＋Δt ]内的平均速度爲 湘教版初中数学教材总目录 七年级上册 第1章有理数 1.1具有相反意义的量 1.2数轴、相反数与绝对值 1.3有理数大小的比较 1.4有理数的加法 1.5有理数的减法 1.6有理数的乘法 1.7有理数的除法 1.8有理数的乘方 1.9有理数的混合运算 1.10用计算器计算 第2章代数式 2.1用字母表示数 2.2列代数式 2.3多项式 2.4合并同类项 2.5代数式的值 2.6一次式的加法和减法 第3章图形欣赏与操作 3.1图形欣赏 3.2平面图形与空间图形 3.3观察物体 3.4图形操作 第4章一元一次方程模型与算法 4.1一元一次方程模型 4.2解一元一次方程的算法 4.3一元一次方程的应用 第5章一元一次不等式 5.1不等式的基本性质 5.2一元一次不等式的解法 5.3一元一次不等式的应用 第6章数据的收集与描述 6.1数据的收集 6.2统计图 6.3平均数、中位数和众数 七年级下册 第1章一元一次不等式组 1.1一元一次不等式组 1.2一元一次不等式组的解法 1.3一元一次不等式组的应用 第2章二元一次方程组 2.1二元一次方程组 2.2二元一次方程组的解法 2.3二元一次方程组的应用 第3章平面上直线的位置关系和度量关系3.1线段、直线、射线 3.2角 3.3平面直线的位置关系 3.4图形的平移 3.5平行线的性质与判定 3.6垂线的性质与判定 第4章多项式的运算 4.1多项式的加法和减法 4.2整式的乘法 4.2.1同底数幂的乘法 4.2.2幂的乘方与积的乘方 4.2.3单项式的乘法 4.2.4多项式的乘法 4.3乘法公式 第5章轴对称图形 5.1轴反射与轴对称图形 5.2线段的垂直平分线 5.3三角形 5.4三角形的内角和 5.5角平分线的性质 5.6等腰三角形 5.7等边三角形 第6章数据的分析与比较 八年级上册 第1章实数 1.1平方根 1．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程： (1)射线y ＝3x(x≤0)； (2)圆x 2＋y 2 ＋2ax ＝0(a≠0)． 【解】 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝3x ， 得ρsin θ＝3ρcos θ， ∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3 . 又x≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3 ， ∴射线y ＝3x(x≤0)的极坐标方程为θ＝4π3 (ρ≥0)． (2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0，得 ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＋2a ρcos θ＝0， 即ρ(ρ＋2acos θ)＝0， ∴ρ＝－2acos θ， ∴圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a≠0)的极坐标方程为 ρ＝－2acos θ. 2．分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程： (1)ρ＝5cos θ ；(2)ρ2＝tan θ. 【解】 (1)由ρcos θ＝5，得x ＝5. (2)x 2＋y 2＝y x (x≠0)，即x(x 2＋y 2)－y ＝0(x≠0)．又在极坐标方程ρ2＝tan θ中，极点(0,0)也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是x(x 2＋y 2)－y ＝0. 3．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π4 (ρ∈R)，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点． (1)把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)求弦AB 的长度． 【解】 (1)曲线C 2：θ＝π4 (ρ∈R)表示直线y ＝x ； 曲线C 1：ρ＝6cos θ化为直角坐标方程，即x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9. (2)因为圆心C 1(3,0)到直线的距离d ＝322 ，r ＝3，所以弦长AB ＝3 2. 4．求点A(2，π3)到直线l ：ρsin(θ－π6)＝－2的距离． 课题：集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其 所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体 问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到 这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set）， 也简称集。 3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生 的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4.关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素， 或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象）， 因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 5.元素与集合的关系； （1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a?A（或 a A）（举例） ∈ 6.常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R （二）集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还 常用列举法和描述法来表示集合。 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 湘教版初中数学目录 七年级上册 第1章有理数 1.1具有相反意义的量 1.2数轴、相反数与绝对值 1.3有理数大小的比较 1.4有理数的加法和减法 1.5有理数的乘法和除法 1.6有理数的乘方 1.7有理数的混合运算 第2章代数式 2.1用字母表示数 2.2列代数式 2.3代数式的值 2.4整式 2.5正式的加法和减法 第3章一元一次方程 3.1建立一元一次方程模型 3.2等式的性质 3.3一元一次方程的解法 3.4一元一次方程模型的应用 第4章图形的认识 4.1几何图形 4.2线段、射线、直线 4.3角 第5章数据的收集与统计图5.1数据的收集与抽样 5.2统计图 七年级下册 第1章二元一次方程组 1.1建立二元一次方程组 1.2二元一次方程组的解法 1.3二元一次方程组的应用 1.4三元一次方程组 第2章整式的乘法 2.1整式的乘法 2.2乘法公式 第3章因式分解 3.1多项式的因式分解 3.2提公因式法 3.3公式法 第4章相交线与平行线 4.1平面上两条直线的位置关系4.2平移4.3平行线的性质 4.4平行线的判定 4.5垂线 4.6两条平行线间的距离 第5章轴对称与旋转 5.1轴对称 5.2旋转 5.3图形变换的简单应用 八年级上册 第1章分式 1.1分式 1.2分式的乘法和除法 1.3整数指数幂 1.4分式的加法和减法 1.5可化为一元一次方程的分式方程第2章三角形 2.1三角形 2.2命题与证明 2.3等腰三角形 2.4线段的垂直平分线 2.5全等三角形 2.6用尺规作图 第3章实数 3.1平方根 3.2立方根 3.3实数 第4章一元一次不等式（组）4.1不等式 4.2不等式的基本性质 4.3一元一次不等式的解法 4.4一元一次不等式的应用 4.5一元一次不等式组 第5章二次根式 5.1二次根式 5.2二次根式的乘法和除法 5.3二次根式的加法和减法 八年级下册 第1章直角三角形 1.1直角三角形的性质和判定（1）1.2直角三角形的性质和判定（2）1.3直角三角形全等的判定 1.4角平分线的性质 精选 2017年八年级下册数学教学计划 一、教学任务 九年义务教育三年制课程标准实验教科书数学八年级下册。二、教学目标 １、通过本期教学完成初中数学八年级下册的新课教学。 ２、在教学中努力推进九年义务教育，落实新课改，体现新理念，培养创新精神。 三、教学思想 1、即注重传授知识，又注重学生数学的思维方式与能力。 2、以学生为主体，教师组织引导，师生密切配合。 四、教学对象简介 本学期我继续担任1502、1503班的数学教学工作。通过上学期的教学,学生的计算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，对图形及图形间数量关系有初步的认识，逻辑思维与逻辑推理能力得到了发展与培养，学生由形象思维向抽象思维转变，抽象思维得到了较好的发展，但部分学生没有达到应有的水平，没有形成对数学学习的浓厚兴趣，不能自行拓展与加深自己的知识面。通过教育与训练培养，绝大部分学生能够认真对待每次作业并及时纠正作业中的错误，课堂上能专心致志的进行学习与思考，学生的学习兴趣得到了激发和进一步的发展，课堂整体表现较为活跃，积极开动脑筋，乐于合作学习和善于分享交流在学习中的发现与体会，喜欢动手实践。 本学期将继续促进学生自主学习，让学生亲身参与活动，进行探索与发现，以自身的体验获取知识与技能；努力实现基础性与现代性的统一，提高学生的创新精神和实践能力；体现现代信息社会的发展要求，通过各种教学手段帮助学生理解概念，操作运算，扩展思路。 五、教材分析 本教材共有五章。其中第一章直角三角形；第二章四边形；第三章图形与坐标；第四章一次函数；第五章数据的频数分布。 （一）要点分析 第1章直角三角形 本章主要是掌握直角三角形的性质和判定；直角三角形全等的判定；角平分线的性质及判定；勾股定理的性质及判定；并能数形结合解决实际问题， 第2章四边形 本章主要是掌握多边形的内角和及外角和公式；掌握并会灵活运用平行四边行及特殊平行四边形的定义、性质及判定；会灵活运用平行四边形及特殊平行四边形的相关知识解决一些简单的实际问题；掌握梯形及等腰梯形的定义、性质及判定，并会灵活运用；理解并掌握 湘教版初中数学教材简介 《“湘教版”初中数学教材》是湖南教育出版社历时两年多，组织国内数学界优秀的学科专家教授、教育研究人员和一线教师，按照教育部颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的精神和要求，精心组织编写的一套紧密联系学生的生活实际，培养学生兴趣和创新意识，并能为学生的继续学习和终身发展打下良好基础的新课标教材。其中七年级上、下册，八年级上册已于2003年5月通过教育部全国中小学教材审定委员会的初审，在当年秋季进入实验区实验使用，受到实验区师生的好评。八年级下册，九年级上、下册已编写完毕。 一、教材的内容、体系结构 本套教材共6册，其中七年级上、下册，八年级上册已正式出版，并已在实验区使用，八年级下册，九年级上、下册计划于2004年7月正式出版。 教材把数学作为一个统一的整体，采取混编的形式，代数与几何内容交叉出现。每一册都有代数、几何、统计与概率等内容，让学生每学期学习时只带一本书，减轻学生书包的重量。每部分内容都配有一定量的习题和复习题。其中，复习题分为A、B、C，可供不同程度的学生选择。 每册都配有“课题学习”、“数学与文化”等开阔视野的内容，供学生学习时参考。 二、教材的主要特色 1. 新颖而又科学的教学内容体系 《课程标准》指出“让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释和应用的过程”，因此，教材的内容应该要有利于学生主动地进行观察、猜测、验证、推理。为此，我们对教材的体系进行了结构性的更新，具体如下： （一）代数部分强调建立模型和渗透算法思想。 教材在讲授代数知识时，强调引例问题的生活化，教材中的例子都是学生日常生活中非常熟悉的或者能够自主感知的问题，使学生在学习过程中体会数学知识的应用。我们教材从生活实例中先建立方程的模型，再讲解方程的算法，有了方程的模型与算法后，就可以解决现实客观现象中的一些类似问题。 （二）几何部分以变换为主线贯穿始终。 教材在“几何是研究图形在变换群下不变的性质”的现代数学观点为指导，先后研究了平移、轴反射、旋转、位似变换、相似变换、投影（平行投影和中心投影）等六种变换下图形的位置关系和度量性质。教材中中代数部分的许多重要结论就是用变换（平移、轴反射）的观点证明的。这种处理方式观点新，并在总体上构成一个科学严谨而又通俗易懂的内容体系。 （三）统计与概率着重强调统计思想 教材对有关的术语并不进行严格表述，避免将统计与概率的学习变成数字运算的练习，而是采取用学生所知的生活实例来引入概念，让学生通过动手、动脑和亲身调查，在具体情境中体会概率的意义，从中体会抽样的必要性及用样本估计总体的思想。 （四）课题学习给学生的主动学习创造机会 为让学生更好地经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程，教材在每册都安排了“课题学习”，有只需了解的，也有需要亲自动手去实践的，通过学生积极主动地学习探索，从中获得成功的体验和克服困难的经历，同时获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深对数学的理解。 （五）数学与文化使学生初步感受数学的美学价值 为使学生在学习数学知识的同时，又能对学生进行人文精神的培养，教材自始至终都设有“数学与文化”，从“我国是最早使用负数的国家”到“从对顶角相等看不同的数学文化”等等，无一不在介绍数学在不同背景下的各种文化内涵，使学生的视野得到开拓，对学生的进一步的学习和发展有一定的激励作用。 2. 教材内容设计有弹性，给学生提供了探索与交流的空间 我们按照“观察——探索——猜测——论证”的数学思维方式来编写教材，并以这样的数学思维为主线，以知识为载体，在教材中设立 湘教版初中数学教材 有理数1、1具有相反意义的量1、2数轴、相反数与绝对值1、3有理数大小的比较1、4有理数的加法1、5有理数的减法1、6有理数的乘法1、7有理数的除法1、8有理数的乘方1、9有理数的混合运算1、10用计算器计算第2章代数式2、1用字母表示数2、2列代数式2、3多项式2、4合并同类项2、5代数式的值2、6一次式的加法和减法 第3章图形欣赏与操作3、1图形欣赏3、2平面图形与空间图形3、3观察物体3、4图形操作 第4章一元一次方程模型与算法4、1一元一次方程模型4、2解一元一次方程的算法4、3一元一次方程的应用 第5章一元一次不等式5、1不等式的基本性质5、2一元一次不等式的解法5、3一元一次不等式的应用 第6章数据的收集与描述6、1数据的收集6、2统计图6、3平均数、中位数和众数七年级下册第1章一元一次不等式组1、1一元一次不等式组1、2一元一次不等式组的解法1、3一元一次不等式组的应用 第2章二元一次方程组2、1二元一次方程组2、2二元一次方程组的解法2、3二元一次方程组的应用 第3章平面上直线的位置关系和度量关系3、1线段、直线、射线3、2角3、3平面直线的位置关系3、4图形的平移3、5平行线的性质与判定3、6垂线的性质与判定 第4章多项式的运算4、1多项式的加法和减法4、2整式的乘法4、2、1同底数幂的乘法4、2、2幂的乘方与积的乘方4、2、3单项式的乘法4、2、4多项式的乘法4、3乘法公式 第5章轴对称图形5、1轴反射与轴对称图形5、2线段的垂直平分线5、3三角形5、4三角形的内角和5、5角平分线的性质5、6等腰三角形5、7等边三角形第6章数据的分析与比较八年级上册第1章实数1、1平方根1、2立方根1、3实数1、4平面直角坐标系 第2章一次函数2、1函数和它的表示法2、2一次函数和它的图象2、3建立一次函数模型 第3章全等三角形3、1旋转3、2图案的设计3、3全等三角形及其性质3、4三角形全等的判定定理3、5直角三角形3、6勾股定理3、7三角形作图 第4章频数与频率，数据的分布八年级下册第1章因式分解1、1多项式的因式分解子1、2提公因式法1、3公式法第2章分式2、1分式和它的基本性质2、2分式的乘除法2、3整数指数幂2、4分式的加减法2、5分式方程 第3章四边形3、1平行四边形与中心对称图形3、1、1平行四边形的性质和中心对称图形3、1、2中心对称图形(续)湘教版高中数学必修一集合文字素材(1)
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