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高中数学必修五
第一章
解三角形知识点归纳
1、三角形三角关系:
A+B+C=180 °; C=180 °— (A+B) ;
2、三角形三边关系:
a+b>c; a-b 3、三角形中的基本关系: sin( A B) sin C , cos( A B) cosC , tan(A B) tan C , AB C A C AB C sin cos ,cos B sin , tan cot 2 2 2 2 2 2 4、正弦定理:在 C 中, a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边, R 为 C 的外 接圆的半径,则有 a b c 2R . sin sin sin C 5、正弦定理的变形公式: ①化角为边: a 2R sin , b 2R sin , c 2R sin C ; ②化边为角: sin a , sin b , sin C c ; 2R 2R 2R ③ a : b : c sin : sin : sin C ;④ a b c a b c . sin sin sin C sin sin sin C 6、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角 . ②已知两角和其中一边的对角,求其他边角 .( 对于已知两边和其中一边所对的角的题型要 注意解的情况(一解、两解、三解) ) 7、余弦定理: 在 C 中,有 a 2 b 2 c 2 2bccos 等,变形: cos b 2 c 2 a 2 等, 2bc 8、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角,求其余的量。②已知三边求角) 9、三角形面积公式: 1 bc sin 1 ab sin C 1 ac 2 S C . =2R sinAsinBsinC= sin 2 2 2 abc = r ( a b c) = 4 R 2 p( p a)( p b)( p c) 10 、如何判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一 成边的形式或角的形式设 a 、 b 、 c 是 C 的角 、 、 C 的对边,则: ①若 a 2 b2 c 2 ,则 C 90 ;②若 a 2 b2 c 2 ,则 C 90 ;③若 a 2 b2 c 2 ,则 C 90 . 11、三角形的四心: 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点(重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1 )外心——三角形三边垂直平分线相交于一点(外心到三顶点距离相等) 内心——三角形三内角的平分线相交于一点(内心到三边距离相等) 12同角的三角函数之间的关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1(2)倒数关系:tanα·cotα =1 sin cos (3)商的关系:tan , cot cos sin -- 特殊角的三角函数值 三角 0 30 45 60 90 函数值 sin 1 2 3 1 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 2 2 2 tan 3 1 3 不存在 3 三角函数诱导公式: “ ( k )” 记忆口诀 : “奇变偶不变,符号看象限” ,是指 k 2 ( ), k ∈ Z 的三角函数值,当 k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦(正切,余切 ; 正 2 割、余割也同样) ; 当 k 为偶数时, 函数名 不变。然后 符号 与 ‘将 α 看成锐角时原三角函数值的正负号’一致。 三角函数的图像与性质: y=sinx y - -5 1 3 7 2 2 o 2 2 -4-7 -3 -2-3- -1 2 53 4 2 2 2 2 x y=cosx y -5 - 2 1 3 7 -7 -3 2 - o 2 3 2 -2-3 2 5 4 -4 -1 2 2 2 2 3 - - o 3 x - 2 2 2 2 y tan x y sin x y cos x -- ---- 定义域R R x | x 1 R 且 x k ,k Z 2 值域[1,1] [ 1, 1] R 周期性 2 2 奇偶性奇函数偶函数奇函数 , [ 2 2k , [ 2 k 1 ;上为增函 k 上为增函数(k Z )上为增 2 k ] k , 2k ] 数 [ 2 k 2 2 , 2 2 k 1] [ 2 k , 上为减函数 函数;2 上( k Z )3 单调性 2 k ] 2 为减函数(k Z ) 有关函数 y A sin( x ) B(其中 A 0,0) 最大值是 A B ,最小值是 B A ,周期是 T 2 ,相位是 x ,,频率是 f 初相是; 2 其图象的对称轴是直线是该图象的对称中心。x k( k Z ) ,凡是该图象与直线y B 的交点都2 函数 y=sin(ω x +) 的图象与函数y=sin x 的图象的关系: 由 y=sin x 的图象变换出y =sin(ω x+) 的图象一般有两个途径,只有区别开这两个 途径,才能灵活进行图象变换。 途径一:先平移变换再周期变换( 伸缩变换 ) 先将 y=sin x 的图象向左(>0)或向右(<0=平移||个单位,再将图象上各点的横 坐标变为原来的 1 倍(ω>0),便得y=sin(ωx+) 的图象。(先相位变换,再周期变换)途径二:先周期变换( 伸缩变换 ) 再平移变换。 先将 y=sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(ω>0),再沿x 轴向左(>0)或向|| 右( <0=平移个单位,便得 y=sin(ω x +) 的图象。(先周期变换,再相位变换)对称轴与对称中心: y sin x 的对称轴为x k 2 ,对称中心为(k ,0)k Z ; y cos x 的对称轴为x k,对称中心为(k 2 ,0); y=tan x图像的对称中心是(k,0),无对称轴。 2 ★诱导公式★(以下 k ∈ Z) -- ---- 公式一:设α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin ( 2kπ+α)= sin α cos ( 2kπ+α)= cos αtan ( 2kπ+α)= tan α 公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系: sin (π+α)=- sin αcos (π+α)=- cos αtan (π+α)= tan α 公式三:任意角α与 - α的三角函数值之间的关系: sin (-α)=- sin αcos (-α)= cos αtan (-α)=- tan α 公式四:利用公式二和公式三可以得到π- α与α的三角函数值之间的关系: sin (π-α)= sin αcos (π -α)=- cos αtan (π-α)=- tan α 公式五:利用公式一和公式三可以得到2π - α与α 的三角函数值之间的关系: sin ( 2π-α)=- sin αcos ( 2π-α)= cos αtan ( 2π-α)=- tan α 公式六:π/2 ±α及 3 π/2 ± α 与α 的三角函数值之间的关系: sin (π /2 +α)= cos αcos (π /2 +α)=- sin αtan (π /2 +α)=- cot αcot (π /2+α)=- tan α sin (π /2-α)= cos αcos (π /2-α)= sin α tan (π /2-α)= cot αcot (π /2-α)= tan αsin ( 3π /2 +α)=- cos αcos ( 3π /2+α)= sin αtan ( 3 π /2 +α)=- cot αcot ( 3π /2+α)=- tan αsin ( 3π /2-α)=- cos αcos ( 3π /2-α)=- sin α tan ( 3π /2-α)= cot αcot ( 3π /2-α)= tan α 同角三角函数基本关系 同角三角函数的基本关系式 商的关系:sin α/cos α= tan α 平方关系: sin 2 α+ cos 2 α= 1 两角和差公式两角和与差的三角函数公式 sin (α+β)= sin αcos β+ cos αsin βsin (α-β)= sin αcos β- cos αsin βcos (α+β)= cos α cos β- sin αsin βcos (α-β)= cos αcos β+ sin αsin βtan (α+β)= (tan α +tan β) / (1- tan α tan β) tan (α-β)= (tan α- tan β) / (1 + tan α· tan β ) 二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式) sin2 α= 2sin α cos α cos2 α= cos^2( α ) - sin^2( α) =2cos^2( α) - 1 = 1 - 2sin^2(α) tan2 α= 2tan α /[1 - tan^2( α )] 半角公式半角的正弦、余弦和正切公式( 降幂扩角公式) sin 2 ( α /2) = (1 - cos α) / 2 cos 2 ( α /2) = (1 + cos α) / 2 2 ( α /2)= (1 - cos α ) / (1 + cos α) tan 另也有 tan( α/2)=(1 - cos α)/sin α=sin α /(1+cos α) 万能公式 -- ---- 万能公式 sin α=2tan( α/2)/[1+tan 2 ( α /2)] cos α=[1 -tan 2 ( α /2)]/[1+tan 2 (α/2)] tan α =2tan( α/2)/[1 -tan 2 (α/2)] 三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 3 sin3 α= 3sin α- 4sinα tan3 α=( 3tan α- tan 3 α)/( 1 - 3tan 2 α) 和差化积公式三角函数的和差化积公式 sin α+ sin β= 2sin[( α+β )/2] · cos[(-αβ )/2] sin α- sin β= 2cos[( α+β )/2]· sin[(-βα)/2] cos α+ cos β= 2cos[(α+β )/2]· cos[(-αβ )/2] cos α - cos β=- 2sin[(α+β )/2]· sin[(-βα)/2] 积化和差公式三角函数的积化和差公式 sin α · cos β= [sin( cos α · sin =β [sin( α+β) + sin( α +β ) - sin( α-β )]/2 α-β )]/2 cos α · cos β= [cos(α +β )+cos(α-β )]/2 sin α · sin =β— [cos(α +β)-cos(α -β )]/2 -- 第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 2)化边为角: C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b < 三角函数、解三角形 1.弧长公式:r l α= 扇形面积公式:22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式: 平方关系:1cos sin 2 2 =+αα 商数关系:sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式(把角写成απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式: βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如: x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理: 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径) 8.余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc =+-A ,2 2 2 2cos b a c ac =+-B ,2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论:222cos 2b c a bc +-A =,222cos 2a c b ac +-B =,222 cos 2a b c C ab +-=. 第一章解三角形 .正弦定理: 2)化边为角: a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 )化边为角: a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 )化角为边: sin A sin B a ; sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 )化角为边:si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ① 已知两个角及任意一边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中,已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时,B 无解; ② a bsinA 或a b 时,B 有一个解; ③ bsinA a b 时,B 有两个解。 如:①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B (有一个解) ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B (有两个解) 注意:由正弦定理求角时,注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径, 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形:1) a b c a sin sin si sin 2R (其中R 是三角形外接圆的半径) b c sin sinC c 2R 沁;求出 sin C 1.正弦定理:在一个三角形中, bsin A 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 基础强化(8)——解三角形 1、①三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B); ②. 三角形三边关系:a+b>c; a-b 实用标准 —tanC。 例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6 解三角形专题题型归纳 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??=?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 1. 任意角的三角函数的定义: 设〉是任意一个角,p (x, y )是〉的终 边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦) + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin : cos : tan : 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式(把角写成2 …形式,利用口诀:奇变偶不变,符 (2)商数关 系: tan-E 屮一、 cos 。(用于切化弦) (1)平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点 5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限) sin (2k .亠 x ) = sin x cos (2k ■亠 x ) = cosx [)tan (2k ,亠 x )二 tanx sin ( -x ) - - sin x cos (-x ) =cosx H )tan (-x ) - - tanx m ) |sin (,亠 x ) = -sin x cos (m ) = - cosx tan (二 x ) IV ) Sin (兀 _x ) =sin x cos (兀—x ) = —cosx tan (兀一 sin (— -〉)= cos ..z sin (二:)=cos : V ) -?) = sin : 解三角形知识点归纳总 结 Company Document number:WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于 外接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半 径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 2)化边为角: C B A c b a sin :sin :sin ::=; 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用 正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b < 1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异 于原点),它与原点的距离是 0r =>,那么 sin ,cos y x r r αα= =, () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦) + + - + - + - - - + + - sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= (2)商数关系: sin tan cos α αα= (用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式(把角写成α π±2k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin( 三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意 一点(异于原点),它与原点的距离是0r =>,那么 sin ,cos y x r r αα= =,()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦) + + - + - + - - - + + - sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系:22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= (2)商数关系:sin tan cos α αα = (用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式(把角写成 απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 欢迎阅读 第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B . 2)化边为角:C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b < 三角函数知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是 第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S , 则l r α=,2C r l =+,211 22 S lr r α==. 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的 距离是() 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 三角函数和解三角形知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点及原点重合,角的始边及x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α 为第几象限 角.第一象限角的集合为 {}360 36090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为 {}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为 {}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为 {}360270 360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为 {}180,k k αα=?∈Z 终边在 y 轴上的角的集合为{ }18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为 {}90,k k αα=?∈Z 3、及角α终边相同的角的集合为 {}360,k k ββα=?+∈Z 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是. 6、弧度制及角度制的换算公式:2360 π=,,. 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=, 2C r l =+, . 8、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是 (),x y ( ) r r =>,则,,. 9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11 、 角 三 角 函 数 的基本关系:()221sin cos 1 αα+=() 2 222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-; z 第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B . 2)化边为角:C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解;③b a A b < 第一章解三角形 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意一边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180,求角A,由正弦定理a =sinA ; b =sin B ; a =sin A :求出匕与。 b sin B c sin C c sin C ②已知两边和其中一边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理生二业求出角B ,由A+B+C=180求出角C,再使用正弦定理弓二sinA b sin B 4. △ ABC 中,已知锐角A,边b,贝U ① a :: bsinA 时,B 无解; ② a = bsin A 或a _ b 时,B 有一个解; ③ bsin A ::: a ::: b 时,B 有两个解。 如:①已知A = 60 Y a = 2, b = 2 3 ,求B (有一个解) ②已知A = 60 Y b =2,a = 2、、3,求B (有两个解) 注意:由正弦定理求角时,注意解的个数。 二. 三角形面积 1 1 1 1. S ABC absi nC bcsi nA acsi nB 2 2 2 .正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外接圆的直径,即 — b — =2R (其中R 是三角形外接圆的半径) sin A sin B sin C abc 2.变形: 1) a b c a b sin A+si n E+si nC si n A si n E sinC 2)化边为角: a : b : c = sin A: sin B :sin C ; 7 a sin A ; b sin B a sin A b sin B c sin C ' c sin C )化边为角: a = 2Rsin A, b=2Rsin B, c = 2RsinC )化角为边: )化角为边: sin A a ; ; sin B b sin A =— 2R si n B b si nA a sin C c sin C c ' si nB=2, si 门。=£ 2R 2R 求 c sin C - 1 - 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 解三角形知识点归纳总结 Prepared on 22 November 2020 第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于 外接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半 径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 2)化边为角: C B A c b a sin :sin :sin ::=; 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用 正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b <解三角形知识点归纳总结
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