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解三角形专题

一、基础知识：

1、正弦定理：2sin sin sin a b c R A

===，其中R 为ABC 外接圆的半径

正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-=

（2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=（恒等式）（3）

22sin sin sin bc B C

a A

2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-

变式：（1）222

cos 2b c a A bc

+-=

① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A 是钝角还是锐角

当222b c a +>时，cos 0A >，即A 为锐角；

当222b c a +=（勾股定理）时，cos 0A =，即A 为直角；当222b c a +<时，cos 0A <，即A 为钝角

② 观察到分式为齐二次分式，所以已知,,a b c 的值或者::a b c 均可求出cos A

（2）()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知b c +和bc 时不需要计算出,b c 的值，进行整体代入即可 3、三角形面积公式：

（1）1

2S a h =

? （a 为三角形的底，h 为对应的高）（2）111

sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===

（3）()1

S a b c r =++? （r 为三角形内切圆半径，此公式也可用于求

内切圆半径）

（4）海伦公式：()()()()1,2

S p p a p b p c p a b c =---=++

（5）向量方法：(

)()

S a b

a b

?-? （其中,a b 为边,a b 所构成的

向量，方向任意）证明：()2222222111

sin sin 1cos 244

S ab C S a b C a b C =?==-

S ∴=cos a b ab C ?=

∴ (

)()

S a b

a b

?-?

坐标表示：()()1122,,,a x y b x y =，则12211

S x y x y =

4、三角形内角和A B C π++=（两角可表示另一角）。 ()sin()sin sin A B C C π+=-= ()cos()cos cos A B C C π+=-=-

5、确定三角形要素的条件：（1）唯一确定的三角形： ① 已知三边（SSS ）：可利用余弦定理求出剩余的三个角 ② 已知两边及夹角（SAS ）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角 ③ 两角及一边（AAS 或ASA ）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边（2）不唯一确定的三角形 ① 已知三个角（AAA ）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：::sin :sin :sin a b c A B C = ② 已知两边及一边的对角（SSA ）：比如已知,,a b A ，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个。其原因在于当使用正弦定理求B 时，

sin sin sin sin a b b A

B A B a =?=，而0,,22B πππ????

∈ ?

???

时，一个sin B 可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一。（判

定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1） 6、解三角形的常用方法：

（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解

（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积

公式等建立方程，再进行求解

7、三角形的中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理：如图，设AD 为ABC 的一条中线，则()22222AB AC AD BD +=+ （知三求一）

证明：在ABD 中

2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-?

①

2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-? ② D 为BC 中点 BD CD ∴=

ADB ADC π∠+∠= cos cos ADB ADC ∴=-

∴ ①+②可得：

()22222AB AC AD BD +=+

（2）角平分线定理：如图，设AD 为ABC 中BAC ∠的角平分线，则

AB BD

AC CD

证明：过D 作DE ∥AC 交AB 于E

BD BE

DC AE

∴

EDA DAC ∠=∠

AD 为BAC ∠的角平分线

EAD DAC ∴∠=∠

EDA EAD ∴∠=∠

EAD ∴为等腰三角形 EA ED ∴=

BD BE BE

DC AE ED ∴

而由BED BAC 可得：

BE AB

ED AC

AB BD

AC CD ∴=

二、典型例题：

例1：（1）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c

，若

c b B ===，则C =_____

（2））ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c

，若

c b C ===，则B =_____

思路：（1）由已知,,B b c 求C 可联想到使用正弦定理：

sin sin sin sin b c c B

C B C b

=?=

代入可解得：1

sin 2

C =。由c b <可得：60C B <=，所以30C = 答案：30C =

（2）由已知,,C b c 求B 可联想到使用正弦定理：

sin sin sin sin b c b C

B B

C c

=?=

代入可解得：sin 2

B =

，则60B =或120B =，由c b <可得：C B <，

所以60B =和120B =均满足条件答案：60B =或120B =

小炼有话说：对比（1）（2）可发现对于两边及一边的对角，满足条件的三角形可能唯一确定，也有可能两种情况，在判断时可根据“大边对大角”的原则，利用边的大小关系判断出角之间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的情况。进而确定是一个解还是两个解。

例2：在ABC 中，2,60BC B ==，若ABC AC 边

长为_________ 思路：通过条件可想到利用面积S 与,BC B ∠求出另一条边AB ，再利用余弦定理求出AC 即可

解：11sin 22222

ABC

AB BC B AB =

?????= 1AB ∴=

2221

2cos 142232

AC AB BC AB BC B ∴=+-?=+-??=

AC ∴=

例3：（2012课标全国）已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，且有

cos sin 0a C C b c +--=

（1）求A

（2）若

2a =，且ABC ,b c

（1）思路：从等式

cos sin 0a C C b c +

--=入手，观察每一项关于

,,a b c 齐次，考虑利用正弦定理边化角：

cos sin 0sin cos sin sin sin 0a C C b c A C A C B C +--=?+--=，所涉及

式子与,A C 关联较大，从而考虑换掉()sin sin B A C =+，展开化简后即可求出A 解：

cos sin 0a C C b c +

--=

sin cos sin sin sin 0A C A C B C ?+--=

()

sin cos sin sin sin 0A C A C A C C ?-+-=

sin cos sin sin cos sin cos sin 0A C A C A C C A C ?+---=

cos 12sin 1sin 662A A A A ππ???

?-=?-=?-= ? ????

A π

∴-

或56

A π

（舍）

A π∴=

（2）思路：由（1）可得

A π

=，再由ABC S =2a =可想到利用面

积与关于A 的余弦定理可列出,b c 的两个方程，解出,b c 即可

解：1

sin 42

ABC

bc A bc ==?= 222222cos 4a b c bc A b c bc =+-?=+-

222248

b c bc b c bc bc ??+-=+=∴???

==?? 可解得2

2b c =??

小炼有话说：通过第（1）问可以看出，在遇到关于边角的方程时，可观察边与角正弦中是否具备齐次的特点，以便于进行边角互化。另一方面当角,,A B C 同时出现在方程中时，通常要从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角例4：如图，在ABC 中，D 是边AC

上的点，且

,2,2AB AD AB BC BD ===，则sin C 的值为

___________

思路：求sin C 的值考虑把C 放入到三角形中，可选的三角形有ABC 和BDC ，在BDC 中，已知条件有两边,BD BC ，但是缺少一个角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在ABD 中，三边比例已知，进而可求出BDA ∠，再利用补角关系求出BDC ∠，从而

BDC 中已知两边一角，可解出C

解：由2AB =可设2BD k =

则AB =

,4AD BC k ∴==

∴

在

ADB

中，

(

2cos 2k AD BD AB

ADB AD BD

+-+-==

cos

cos 3

BDC ADB ∴=-=-

sin 3

BDC ∴=

在BDC 中，

由正弦定理可得：

sin sin sin sin 6

BD BC BD BDC C C BDC BC ?=?==

小炼有话说：（1）在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三角形时尽量选择要素多的，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。

（2）本题中给出了关于边的比例，通常对于比例式可考虑引入一个字母（例如本题中的k ），这样可以将比例转化为边的具体数值，便于计算

例5：已知ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对边的边长，若ABC 的

面积为S ，且()222S a b c =+-，则tan C 等于___________

思路：由已知()222S a b c =+-可联想到余弦定理关于cos C 的内容，而

sin 2

S ab C =，

所以可以得到一个关于sin ,cos C C 的式子，进而求出tan C

解：()222221

22sin 22

S a b c ab C a b c ab =+-??=+-+

而2222cos c a b ab C =+- 2222cos a b c ab C ∴+-=代入可得：

sin 22cos sin 22cos ab C ab ab C C C =+?=+

4sin sin 22cos 5

sin cos 1cos 5C C C C C C ?

=?=+??∴???+=??=-??

tan 3

C ∴=-

答案：4

tan 3

C =-

例6：在ABC ? 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ?的

面积为，1

2,cos ,4

b c A -==- 则a 的值为 .

思路：已知cos A 求a 可以联想到余弦定理，但要解出,b c 的值，所

以寻找解出,b c

的条件，1

sin 2

ABC

S bc A ==

而sin 4A ==

代

入

可

得

bc =，再由2

b c -=可得

()2

2222cos 22cos 64a b c bc A b c bc bc A =+-=-+-=，所以8a =

答案：8

例7：设ABC 的内角

,,A B C

所对边的长分别为

,,a b c

，若

sin cos 0b A B -=，且2b ac =，则

a c

+的值为（）

C. 2

D. 4

思路：由

sin cos 0

b A B -

=可得：sin sin cos 0B A A B -

=，从而

tan B =，解得

B π

，从2b ac

=可联想到余弦定理：

222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，所以有()2

220a c ac ac a c +-=?-=，从

而a c =再由2b ac =可得a b c ==，所以a c

+的值为2

答案：C

小炼有话说：本题的难点在于公式的选择，2b ac =以及所求

a c

+也会让我们想到正弦定理。但是通过尝试可发现利用角进行计算较为复杂。所以在解三角形的题目中，条件的特征决定选择哪种公式入手；如果所给是关于边，角正弦的其次式，可以考虑正弦定理。如果条件中含有角的余弦，或者是边的平方项，那么可考虑尝试余弦定理。

例8：设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且

22,6

b a b

c A π

=+=

，则C =（）

6π B. 4

C. 34π

D. 4

或34π

思路：由22a b bc =-的结构可以联想到余弦定理：

2222cos a b c bc A =+-，可以此为突破口，即

2222cos b bc b c bc A -=+-，代入解得：

)

1c b ∴=，

进而求出a =，得到,,a b c 比例代入余弦定理可计算出C

解：由22b a bc =+可得：22a b bc =-， 2222cos a b c bc A =+-

2222cos b bc b c bc A ∴-=+-

)

21c bc = )1c b ∴=代入到22b a bc =+

可得：)

2221a b b =-

a ∴===

::1a b c ∴=

)

222

111

cos 22

a b c C ab

+-∴==

C π

∴=

例9：已知ABC 的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（） A. 34

B. 56

710

思路：不妨考虑a b c <<，将三个边设为1,,1a x b x c x =-==+，则2C A =，

想到正弦定理

sin sin 22cos sin sin c C A

A a A A

===，再将cos A 利用余弦定理用边表示，列方程解出x ，从而求出cos A

解：设a b c <<，则1,,1a x b x c x =-==+

2C A = sin sin 22cos sin sin c C A A a A A

∴

=== 22222222c b c a b c a a bc bc

+-+-∴=?=代入1,,1a x b x c x =-==+可得： ()()

()

21111

1x x x x x x x ++--+=-+ ，解得：5x =

4,5,6a b c ∴===

2223

cos 24

b c a A bc +-∴==

答案：A

小炼有话说：本题的特色在于如何利用“最大内角是最小内角2倍”这个条件，可联想到正余弦的二倍角公式。本题采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之间与题目中边的条件找到联系。如果采用余弦二倍角公式，则有2cos 2cos 1C A =-，即便使用余弦定理也会导致方程次数过高，不利于求解。

例10：在ABC 中，D 为边BC 上一点，1

,120,22

BD CD ADB AD =

∠==，若ADC

的面积为3-BAC ∠=_________

思路：要求出BAC ∠，可在ABC 中求解，通过观察条

件

120(120),2,3ADC ADB ADC AD S ∠=∠===-可从ADC 可解，解出,AD AC ，进而求出BD ，

再在ABD 中解出AB ，从而ABC 三边齐备，利用余弦定理可求出

BAC ∠

解：

sin 32

ADC

AD DC ADC =

??=

(

)

23212sin

3DC π-∴==?

BD DC ∴==-

)

2cos 22

1222

1cos

AC AD DC AD DC ADC π

??∴=+-??=+-???

(

64=-

)1AC ∴=

同理2222cos AB AD DB AD DB ADB ∴=+-??

)

221221cos

--??

-6=

AB ∴=

222661311

cos 22AB AC BC BAC AB AC ??

+---+-∴===?

BAC ∴∠=

答案：60BAC ∠=

小炼有话说：（1）本题与例4想法类似，都是把所求要素放入到三角形中，同时要通过条件观察哪个三角形条件比较齐备，可作为入手点解出其他要素

（2）本题还可以利用辅助线简化运算，作

AM BC ⊥于M ，进而利用在Rt ADM 中60,2ADC AD ∠==

得1AM DM ==，再用

3ADC

解出)2

CD =-

进

而1

BD =-，则在BC

上

3BM BD DM CM CD DM =+==-=

所以45,tan 2CM

BAM MAC AM

∠===-15

MAC ∠=，所以60BAC ∠= 三、近年好题精选

1、设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别为

,,a b c

，且

1,,24

ABC

a B S

=，则sin A =（）

110

2、设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且3,1,2b c A B ===，则a 的值为（）

D. 3、在ABC 中，D 为BC

边上一点，2,45DC BD AD ADC ==∠=

，若AC =，则BD =（）

2+ B. 4 C.

2+ D.

4、（2015，北京）在ABC 中，4,5,6a b c ===，则sin 2sin A

=_______ 5、（2015，广东）设ABC 的内角

,,A B C 的对边分别为,,a b c

，若

1,26

a B C π===

，则b =_______

6、（2015，福建）若锐角ABC

的面积为且5,8AB AC ==，则BC

等于_______ 答案：7

7、（2015，天津）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知

ABC

的面积为1

2,cos 4

b c A -==-

，则a 的值为_________ 8、（2014，天津）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知

b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______

9、（2014，山东）在ABC 中，已知tan AB AC A ?=，当6

A π

=时，ABC

的面积为_____

10、（2014，辽宁）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a c >，已知1

2,cos ,33

BA BC B b ?===，求：（1）,a c 的值（2）()cos B C -的值

11、（2015，陕西）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c

，向量(),m a =与()cos ,sin n A B =平行

（1）求A

（

2）若2a b ==，求ABC 的面积 12、（2015，新课标II ）在ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD 的面积是ADC 面积的2倍（1）求

sin sin B

（

2）若1,2

AD DC ==

，求,BD AC 的长

13、（2015，安徽）在ABC

中，3,6,4

A A

B A

C π

==D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长

14、(2015，江苏）在ABC 中，已知

2,3,3

AB AC A π

===

（1）求BC 的长（2）求sin2C 的值

习题答案： 1、答案：A

解析：1

sin 22

ABC

ac B c =

=?= 2222cos b a c ac B ∴=+-

代入可得：213221252

b =+-??= 5b ∴=

sin sin sin sin 10

a b a A B A B b ∴=?=?=

2、答案：D

解析：2A B = sin sin 22sin cos A B B B ∴==

2cos a b B ∴= 222

cos 2a c b B ac

+-=

222219

2622a c b a a b a ac a

+-+-∴=??=?

()2238a a ∴=-

2224a a ∴=?=

3、答案：C

解析：设BD x =，则2CD x =，由余弦定理可得： 222

2cos135AB AD BD AD BD =+-? 222

2cos45AC AD CD AD CD =+-?，代入可得：

2222

22244AB x x

AC x x ?=++??=+-??

AC AB =

∴22

1222244x x x x

++=+-

解得：2x =+4、答案：1

解析：222sin 2sin 2536164

2cos 221sin sin 22566

A A b c a a A C C bc c +-+-=?=??=??=??

5、答案：1

解析：由1

sin 2

B =及6

C π=可得：6

B π

=，从而23

A π=

，由正弦定理可

得：

sin sin a b

A B

，解得1b = 6、答案：7 解析：由1sin 2ABC

AB AC A =

，可得：sin 2A =，即3

A π

，再由余弦

定理可计算7BC ==

7、答案：8

解析：1

cos sin

A A

=-?==

sin24

ABC

S bc A bc

∴==?=

∴由余弦定理可得：()()

2222cos21cos64

a b c bc A b c bc A

=+-=-+-= 8

∴=

8、答案：1

解析：由2sin3sin

B C

=可得23

b c

=代入到1

b c a

-=即可得到::4:3:2

a b c=，不妨设4,3,2

a k

b k

c k

===，则222222

94161

cos

22324

b c a k k k

bc k k

+-+-

===-

9、答案：1

解析：sin

tan cos

cos

AB AC A bc A

?=?=

sin

cos

∴=

11sin11

sin tan

22cos26

ABC

S bc A A

∴==?==

10、解析：由2

BA BC

?=可得：cos2

ac B=

∴=

由余弦定理可得：()()

221cos

b a

c ac B

=+-+即()2

9165

a c a c

=+-?+= 6

a c

∴+=

解得：3

（2）由1

cos

可得：sin B==

由正弦定理可知：sin

sin

sin sin9

b c c B

B C b

=?==

c b

∴为锐角

cos

∴==

()23

cos cos cos sin sin

B C B C B C

∴-=+=

11、解析：（1）m n∥

cos sin sin sin

A a

B A A B

=?=

sin tan

A A A

=?=

∴=

（2）由余弦定理可得：2222cos

a b c bc A

=+-即2

742

c c

=+-22303

c c c

∴--=?=

sin23

2222

ABC

S bc A

∴==???=

12、解析：（1）11

sin,sin

ABD ADC

S AB AD BAD S AC AD CAD

=?=?

ABD ADC

S S BAD CAD

=∠=∠

ABD

ADC

S AB

S AC

∴==

sin1

sin2

B AC

C AB

∴==

（2）2

ABD

ADC

S BD

S DC

BD DC

∴==

在,

ABD ADC

222

2cos

AB AD BD AD BD ADB

AC AD CD AD CD ADC

?=+-?

=+-?

22222

2326

AB AC AD BD DC

∴+=++=

再由2

AB AC

=可解得：1

AC=

13、解析：

2222cos

AB AC AB AC A

=+-??

361826

=+-??-=

∴=

由正弦定理可得：sin

sin

sin sin10

AC BC AC A

B A BC

=?==

cos

∴=

由AD BD =可知ABD 为等腰三角形 2ADB B π∴∠=-∠

由正弦定理可得：

()

sin sin sin 2AD AB AB

B BDA B π==-

sin sin sin22sin cos 2cos AB AB AB

AD B B B B B B

∴=

?=?== 14、解析：（1）由余弦定理可得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-??

49223cos 73

=+-???=

BC ∴=

（2）由余弦定理可得：222cos

27AC BC AB C AC BC +-===

sin 7

C ∴==

sin 22sin cos 27C C C ∴==?=

解三角形讲义

一、正弦定理 1、在ABC ?中： 2R sinC c sinB b sinA a ===（R 为△ABC 的外接圆半径）。它的变式有：①a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ；②；，R c C R B R a A 2sin 2b sin 2sin ===③a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC 。推论1：△ABC 的面积为：S △ABC =21absinC=21bcsinA=2 1 casinB （证明：由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC = C ab sin 2 1 ）。推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a 。(证明：因为B+C=π－A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a)；还有两个式子为：acosC+ccosA=b ，bcosA+acosB=c 。 2、利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 ①已知两角和任意一边，求其他两边和一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。例1 △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a=2，?=45B ，分别求出下式中角A 的值。①b= 2 1 ；②b=1；③b=332；④b=2；⑤b=2。【答①无解；②A=?90；③A=??12060或； ④A=?45；⑤A=?30。】例2 在△ABC 中，已知AB=1，?=50C ，当B= 时，BC 的长取最大值。【答：?40】 3、推导并记住：42675cos 15sin -= = ，4 2 615cos 75sin +== 。例3 在锐角△ABC 中，若C=2B ，则 b c 的范围是（） A 、（0，2） B 、)2,2( C 、)3,2( D 、)3,1( 【答：C 】例4 在△ABC 中，c=3，C=?60，求a+b 的最大值。【答：23】例5 在等腰△ABC 中，已知 2 1 sinB sinA =，BC=3，则△ABC 的周长为。【答：15】 4、角平分线定理：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD = 。例6 已知△ABC 的三条边分别是3、4、6，则它较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比为（） A 、1:1 B 、1:2 C 、1:4 D 、3:4 【答：B 】练习1 △ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。若x a =,2=b ,?=45B ,且此三角形有两解，则x 的取值范围为 ( ) A 、)22,2( B 、22 C 、),2(+∞ D 、]22,2( 【答：A 】

(完整版)解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式（1）高底??= ?2 1ABC S ；（2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径（两边夹一角）； 6．三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角（1）仰角和俯角

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》技巧及练习题附答案

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为（） A B C D 【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ，则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ，所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <；当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，

解三角形大题及答案

(I)求 (II)若,求. 2．（2013四川）在中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 3．（2013山东）设△ 的内角所对的边分别为,且,, . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值. 4．（2013湖北）在中,角,,对应的边分别是,,.已知 . (I)求角的大小; (II)若的面积,,求的值. 5．（2013新课标）△ 在内角的对边分别为,已知. (Ⅰ)求; (Ⅱ)若 ,求△ 面积的最大值. 6．（2013新课标1）如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90° (1)若PB=1 2 ,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA [ 7．（2013江西）在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-3sinA)cosB=0. (1) 求角B 的大小; (2)若a+c=1,求b 的取值范围 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ABC ,,A B C ,,a b c 6a c +=2b =7 cos 9 B = ,a c sin()A B -ABC ?A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC ?S =5b =sin sin B C

(I)求 (II)若,求. 【答案】 4．（2013年高考四川卷（理））在中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 【答案】解: 由,得 , 即, 则,即 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ()I ()()2 3 2cos cos sin sin cos 25 A B B A B B A C ---++=-()()3 cos 1cos sin sin cos 5 A B B A B B B -+---=-????()()3 cos cos sin sin 5 A B B A B B ---=- ()3cos 5A B B -+=- 3cos 5 A =-

高中数学竞赛_解三角形【讲义】

第七章解三角形一、基础知识在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长， 2 c b a p ++= 为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△AB C 外接圆半径）。推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1 sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足 ) sin(sin a b a a -= θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义， BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1 ；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =，所以) sin() sin(sin sin A a A a --= θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1 -[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2 -2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1）【证明】因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠，所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0，所以q ×①+p ×②得 qc 2 +pb 2 =(p+q)AD 2 +pq(p+q)，即AD 2 =.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+= （2）海伦公式：因为412 =? ABC S b 2c 2 sin 2 A=4 1b 2c 2 (1-cos 2 A)= 4 1 b 2 c 2 16 14)(12 22222=??????-+-c b a c b [(b+c)2-a 2 ][a 2 -(b-c) 2 ]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里 .2 c b a p ++= 所以S △ABC =).)()((c p b p a p p --- 二、方法与例题

高考解三角形专题(一)及答案

解三角形专题 1．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1,3 a b B π ===，则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC ?的面积，若 () 2 2214 S b c a = +-，则A ∠=（） A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3．在ABC ?中，若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=，则该三角形的形状是（） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在中，内角为钝角，，，，则（） A. B. C. D. 5.在中，若，，则的周长为（）C A ． B ． C. D ． 6. 在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列，则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角的对边分别为 ,且 ,则的最大值为 __________． 8.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的最小值为． 9.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知 . （1）求角的大小；（2）若的面积，为边的中点，，求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab

高考数学压轴专题专题备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编及答案解析

数学《三角函数与解三角形》复习知识要点(1) 一、选择题 1．已知sin α，sin()10 αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（） A ． 512 π B ． 3 π C ． 4 π D ． 6 π 【答案】C 【解析】【分析】由题意，可得22 π π αβ- <-< ，利用三角函数的基本关系式，分别求得 cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解. 【详解】由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2 π. 又sin(α－β)，∴cos(α－β). 又sin α＝ 5，∴cos α＝5 ， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝5×10 －5×10??- ? ??? ＝2.∴β＝4π. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．将函数()()sin 0,π2f x x ?ω?ω? ?=+>< ?? ?的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω?? =- ??? ，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（） A ．()sin 26f x x π? ? =+ ?? ? B ．()sin 2π6f x x ? ?=- ??? C ．()sin 4π6f x x ? ?=+ ?? ? D ．()sin 4π6f x x ? ?=- ?? ? 【答案】C 【解析】

解三角形大题专练(2020更新)

解三角形大题专练 1．(2018·北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－1 7. (1)求∠A ； (2)求AC 边上的高．解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－1 7，所以sin B ＝1－cos 2 B ＝43 7 . 由正弦定理得sin A ＝ a sin B b ＝3 2 . 由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π 2，所以∠A ＝π 3. (2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33 14 ，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝33 2 . 2.在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝3 7 a . ①求sin C 的值； ②若a ＝7，求△ABC 的面积． [解析](2)(文)①在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝3 7a ，所以由正弦定理得sin C ＝ c sin A a ＝37×32＝33 14 . ②因为a ＝7，所以c ＝3 7 ×7＝3. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得72＝b 2＋32 －2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×3 2 ＝6 3.

3.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2 B 2 . ①求cos B ； ②若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . (理)①解法一：∵sin(A ＋C )＝8sin 2 B 2， ∴sin B ＝8sin 2 B 2，即2sin B 2·cos B 2＝8sin 2 B 2， ∵sin B 2>0，∴cos B 2＝4sin B 2 ， ∴cos 2B 2＝1－sin 2B 2＝16sin 2B 2，∴sin 2B 2＝117 ∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1517 . 解法二：由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2 B 2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2 B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝15 17 . ②由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝4 17ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝17 2. 由余弦定理及a ＋c ＝6得， b 2＝a 2＋ c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－17×32 17 ＝4，∴b ＝2. 4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知. （1）求tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值。【答案】（1）2；（2）3. 【思路分析】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sinB 的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解. 2221 ,42 A b a c π =-=

最全面的解三角形讲义

解三角形【高考会这样考】 1．考查正、余弦定理的推导过程． 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．基础梳理 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos_A ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos_B ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3．面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则 A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b 解的个数无解一解两解一解一解无解 5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．

解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式（1）高底??=?2 1ABC S ；（2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径（两边夹一角）； 6．三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角（1）仰角和俯角

(新高考地区使用)专题01 三角函数与解三角形

三角函数与解三角形专项练习 1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-．（1）求角C ；（2）若D 是边BC 的中点，11cos 14 B =，21AD =，求AB C 的面积S ． 2．如图，四边形OACB 中，,,a b c 为ABC ?的内角,,A B C 的对边，且满足sin sin tan 2cos cos A B C B C =--+ （1）证明：2b c a +=；

（2）若22OA OB ==，且b c =，设()0AOB θθπ∠=<<，当θ变化时，求四边形OACB 面积的最大值. 3．一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．记AOE θ∠=，（1）用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ；（2）当小球从A 到F 所用的时间最短时，求cos θ的值． 4．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=；①3=2ABC BA BC S →→?△；①sin sin 33B B π? ?++= ??? 这三个条件中任选一个，作出解答.

（1）求角B 的值；（2）若ABC 为锐角三角形，且1b =，求ABC 的面积的取值范围. 5．已知ABC 的面积为（Ⅰ）b 和c 的值；（Ⅱ）sin()A B -的值. 条件①:6a =,1cos 3 =- C ；条件②:A C =,7cos 9B =-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 6．在ABC 中，7cos 8 A =，3c =，且b c ≠，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：（1）b 的值；

解三角形大题经典练习

高考大题练习（解三角形1） 1在"BC中，内角A*的对边分别为a，b，c，已知co TZ 普 cosB （1）求哑的值；（2）若cos^1,^2，求：ABC的面积S . sin A 4 C 2、在.ABC中，角A, B,C的对边分别是a,b,c，已知si nC?cosC=1-s in . 2 (1)求sin C的值; (2)若a2 b2=4(a b) -8，求边c 的值. 3、在. ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c . ■TT d (1)若sin(A ^2 cos A，求A 的值；(2)若cosA= —,b=3c，求sinC 的值. 6 3 5 3 4、- ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD=33,sin B ,cos ADC ，求AD . 13 5 高考大题练习（解三角形1、在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知 1 a =1, b =2, cosC 二- 4 （1）求ABC的周长；（2）求cos（A-C）的值. 2、在ABC中，角A, B,C的对边分别是a,b,c .已知si n A ? si nC二psi nB（p?R），且 ac」b2. （1）当p =5,b =1时，求a,c的值；（2）若角B为锐角，求p的取值范围. 4 4 3、在ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a,b,c .且2asi nA = （2b，c）si nB，（2c，b）si nC . （1）求A的值；（2）求sin B sinC的最大值. 1 4、在ABC中，角A, B,C的对边分别是a,b,c，已知cos2C - 4

（1）求sinC 的值；（2）当a=2,2s in A=s in C 时，求b,c 的长. 高考大题练习（解三角形3） A 2x15 T 1、在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足cos , AB A^ 3 . 2 5

解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式（1）高底??= ?2 1ABC S ；（2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径（两边夹一角）； 6．三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论

高中数学专题练习-三角函数及解三角形

高中数学专题练习-三角函数及解三角形 1．【高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为 A．B． C．D．【答案】D 【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论: ①f(x)是偶函数②f(x)在区间（，）单调递增 ③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④B．②④ C．①④D．①③ 【答案】C 【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点:；当时，

图2 图3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论:①函数的周期是函数周期的一半； ②不是周期函数. 4．【高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα= A． B． C．D．【答案】B 【解析】，，，又，，又，，故选B．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 5．【高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论: ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点

解三角形高考大题-带答案汇编

解三角形高考大题，带答案 1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形， 90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值；（Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠， CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以62 cos cos(4530)4 CBE +=-=∠． ···················································· 6分（Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理 2 sin(4515)sin(9015) AE =-+．故2sin 30 cos15 AE = 122 624 ? = +62=-． 12分 2. （江苏17）（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。（1）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。【解析】：本小题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力。（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad )，则10 cos cos AQ OA BAO θ = =∠，故10 cos OB θ = 又1010OP tan θ=-，所以1010 1010cos cos y OA OB OP tan θθθ =++= ++- B A C D E B C D A O P

解三角形完整讲义

正余弦定理知识要点: 1、正弦定理：或变形: 2、余弦定理：或 3、解斜三角形的常规思维方法是：（1 ）已知两角和一边（如A、B C）,由A+B+C = n求C,由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = n求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C = n求C, 再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C = n求角C。 4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式? 5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S = 1/2 * absinC 7、三角学中的射影定理：在△ ABC中，，… &两内角与其正弦值：在△ ABC中,,… 【例题】在锐角三角形ABC中，有（B ） A. cosA>sinB 且cosB>sinA B. cosAsinB 且cosBsinA 9、三角形内切圆的半径：，特别地, 正弦定理专题：公式的直接应用 1、已知中，，，，那么角等于（） A. B. C. D. 2、在厶AB（中, a=, b =, B= 45°贝U A 等于（C ） A. 30 ° B. 60 ° C. 60 或120 ° D 30 或150 3、的内角的对边分别为，若，则等于（） A. B. 2 C. D. 4、已知△ AB（中,,,则a等于（B ） A. B. C. D. 5、在△ AB（中, = 10 , B=60° ,C=4则等于（B ） A. B. C. D. 6、已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则等于.（） 7、△ AB（中,,,,则最短边的边长等于（A ） A . B. C . D . & △ AB（中,,的平分线把三角形面积分成两部分，则（ C ） A . B . C . D . 9、在△ AB（中，证明：。证明：由正弦定理得：专题：两边之和 1、在厶AB(中, A= 60 ° B= 45 则a = （,）

北京高三理科解三角形大题专题带答案

实用文档解三角形大题专题 20141513 分）（．（本小题满分石景山一模）B，Ca，b，cA，ABCca?b?Asin2b3a?中，角．，的对边分别为，且在△B的大小；（Ⅰ）求角c ABC2a?7?b的面积．，求边的长和△（Ⅱ）若， 13201415分）（．（本小题满分西城一模）222 aBACbcABC bca?b?c?．在△中，角，，所对的边分别为．已知，，A的大小；（Ⅰ）求6b?2?Bcos ABC 的面积．，（Ⅱ）如果，求△3 标准文案．实用文档（2014海淀二模）15.（本小题满分13分）

A7sina?2ABC?b?21. 且在锐角中，B的大小；（Ⅰ）求c c3a?的值（Ⅱ）若. ，求 20151513 分）西城二模）（．（本小题满分 b 3 a C ABC AB ab c 7，，＝，所对的边分别为＝在锐角△中，角，，，，已知．A 的大小；（Ⅰ）求角ABC 的面积．（Ⅱ）求△ 标准文案．实用文档（2013丰台二模）15．（13分） 2(B?C)?32sinsin2A.的三个内角分别为已知A,B,C,且ABC?（Ⅰ）求A的度数； BC?7,AC?5,求（Ⅱ）若的面积S. ABC?

20141513 分）（．（本小题满分延庆一模）?3c,a,b,AB,C?C?Bcos2ABCa?．在三角形中，角，且所对的边分别为，，45Asin的值；（Ⅰ）求ABC?的面积．（Ⅱ）求标准文案．实用文档（2015顺义一模）15.（本小题满分13分） ?6ABC??32,sinBb?B?A?c,a,bA,B,C. 在已知,中角,所对的边分别为, 32a; (I)求的值Ccos. 的值(II)求

高中数学解题思维提升专题05三角函数与解三角形大题部分训练手册

专题05 三角函数与解三角形大题部分【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。【温馨小提示】此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文）已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）.当时,求函数)(x f 的最小值和最大值【答案】（1）π, （2）【解析】（1） ,π=T , 单调递增区间为；（2） ∴当时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知中,角所对的边分别是 ,

且,其中是的面积,. （1）求的值；（2）若,求的值. 【答案】（1）；（2）. （2）,所以,得①, 由（1）得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数．（1）求f（x）的解析式并写出单增区间；（2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围．【答案】（1）,单调递增区间为；（2）．

解三角形大题与答案36029

1．（2013大纲）设ABC ?的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B (II)若31 sin sin 4 A C -= ,求C . 2．（2013）在 ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值; (Ⅱ)若42a =,5b =,求向量BA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影. 3．（2013）设△ ABC 的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7 cos 9 B = . (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值. 4．（2013）在ABC ?中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=. (I)求角A 的大小; (II)若ABC ?的面积53S =,5b =,求sin sin B C 的值. 5．（2013新课标）△ABC 在角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ; (Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值. 6．（2013新课标1）如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P 为△ABC 一点,∠BPC=90° (1)若PB=1 2 ,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA [ 7．（2013）在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA- sinA)cosB=0.