高中数学选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》测试题A 卷
考试时间：100分钟，满分：150分
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分） 1.()3
=()
A.8-
B.8
C.8i -
D.8i 2.3
21i i =-()
A.1i +
B.1i -
C.1i -+
D.1i --
3.若R i i m ∈+2)
3(，则实数m 的值为（） A.32± B.2
3± C.3± D.33± 4.已知复数(1+)z i i =(i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于（）
A ．第四象限B.第三象限
C ．第二象限D.第一象限
5．互为共轭复数的两复数之差是( )
A ．实数
B ．纯虚数
C ．0
D ．零或纯虚数 6.设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z ＝( )
A ．－i
B ．I
C ．－1
D ．1
7．已知复数z 1＝1，z 2＝－2i ，则z 1·z 2等于( )
A ．8
B ．－8
C ．8i
D ．－8i 8.若1a i
-＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝( )
D ．1 9.若复数i
i a 21-+是纯虚数,则实数的值a 为（） A.2B.21- C.51D.52- 10.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z ＝(1＋a i)·i 为“等部复数”，则实数a 的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
二、填空题（每小题6分,共24分）
11．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i ，则z 的实部是________．
12．已知复数z 满足(3－4i)z ＝5i ，则|z |＝________.
13．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．
14．复数z 1＝3＋4i ，z 2＝1＋i ，i 为虚数单位，若221z z z =?，则复数z =________. 三、解答题（共计76分）．
15.（本题满分12分）设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，求z ．
16.（本题满分12分）已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .
17.（本题满分12分）复数z 1＝
35a +＋(10－a 2)i ，z 2＝21a
-＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．
18.（本题满分12分）设z 是虚数，ω＝z ＋1z ，且－1<ω<2. 求|z |的值及z 的实部的取值范围；
19.（本题满分14分）
实数m 分别取什么数值时？复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2
－2m －15)i
(1)与复数2－12i 相等；
(2)与复数12＋16i 互为共轭复数；
(3)对应的点在x 轴上方．
20.（本题满分14分）
(1)计算2025100)2
1(])11()21[(i i i i i +-+-+?+; (2)已知,3421i z i +=+）（求z 及z
z .
高中数学选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》测试题A 卷答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）
1.【答案】A
【解析】()3
=3321)8+++=-故选A
2.【答案】B 【解析】i i i i i i i i i -=+=+-+=-1)
1)(1()1(2123433 3.【答案】C.
【解析】2(3)m i R ==+-∈Q
230,m m ∴-==4.【答案】C
【解析】1z i =-在复平面上的对应点的坐标为(1,1)-，对应第二象限
5.【答案】D
【解析】设互为共轭复数的两个复数分别为z ＝a ＋b i ，z ＝a －b i(a ，b ∈R )，
则z －z ＝2b i 或z －z ＝－2b i.
∵b ∈R ，当b ≠0时，z －z ，z －z 为纯虚数；
当b ＝0时，z －z ＝z －z ＝0.故选D.
6.【答案】A
【解析】由i z ＝1得z ＝1i
＝－i. 7.【答案】 C
【解析】 ∵z 1＝1，z 2＝2i ，
∴z 1·z 2＝(12i)＝＋i 2＋6i ＋2i ＝8i.
8.【答案】A.
【解析】由
1a i -＝1－b i 得a ＝2，b ＝－1，所以a ＋b i ＝2－i ，所以|a ＋b i|所以选A.
9【答案】A 【解析】i i a 21-+=()(12)(12)(12)a i i i i +++-=22155a a i -++，Q 复数i
i a 21-+是纯虚数，∴20,25a a -== 10.【答案】A
解析：选A.由已知可得z ＝(1＋a i)·i ＝－a ＋i ，所以－a ＝1，即a ＝－1.
二、填空题（每小题6分,共24分）
11.【答案】 1
【解析】由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝
32i i -+＝2＋3i ，即z ＝1＋3i. 12.【解析】因为(3－4i)z ＝5i ，
所以z ＝
534i i -＝5(34)(34)(34)i i i i +-+ ＝5(34)25
i i +＝－45＋35i ，
故|z |＝1. 【答案】1
13.【解析】∵x 为实数，∴x 2
－6x ＋5和x －2都是实数．
由题意，得2650,20,x x x ?-+
【答案】(1,2)
14.【解析】由2
2
1z z z =?得2221(1)23434z i i z z i i +===++ 2(34)(34)(34)
i i i i -=+- 8686.252525
i i +==+ 【答案】
862525i + 三、解答题（共计76分）．
15.【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)
5.
于是(3＋4i)z ＝(3a -4b )＋(4a ＋3b )i.……………5分
由题设得340430
a b a b -=??+≠?得b ＝34a 代入得a 2＋23()4a ＝25，a ＝±4， 4,3,a b =?∴?=?
或4,3,a b =-??=-?……………10分 ∴z ＝4-3i 或z ＝-4＋3i.……………12分
16.【解析】设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，
则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，……………3分
代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ， ……………5分
根据复数相等得222443()6a a b ?=?-+=-?
，……………7分 解得11a b =??=?或11a b =??=-?或11a b =-??=?或11a b =-??=-?
. ……………9分 故所求复数为
11x i y i =+??=-?或11x i y i =-??=+?
或11x i y i =-+??=--?或11x i y i =--??=-+?.……………12分 17.【解析】 z 1＋z 2＝
35a +＋(a 2－10)i ＋21a -＋(2a －5)i ＝32()51a a
++-＋[(a 2-10)＋(2a -5)]i
＝13(5)(1)
a a a -+-＋(a 2＋2a -15)i …………8分 ∵z 1＋z 2是实数，
∴a 2
＋2a -15＝0，解得a ＝-5或a ＝3.……………10分
又(a ＋5)(a -1)≠0，∴a ≠-5且a ≠1，故a ＝3.……………12分
18.【解析】(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， 22221()(),a b a bi a b i a bi a b a b
ω=++=++-+++……………4分 ∵ω是实数，220.b b a b ∴-
=+……………6分 又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴|z |＝1，ω＝2a .……………8分
12ω-< a ∴-<<，……………11分 即z 的实部的取值范围是1(,1)2 -.……………12分 19.【解析】(1)根据复数相等的充要条件得 22562,21512.m m m m ?++=?--=-?解之得m ＝－1.……………5分 (2)根据共轭复数的定义得 225612,21516. m m m m ?++=?--=-?解之得m ＝1.……………10分 (3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0， 解之得m ＜－3或m ＞5.……………………14分 20.【解析】(1)原式=1025)(])()21[(i i i --++ =22)()]()21[(i i i --++=)1()1(2--+i =1+2i ……………7分 (2)43(43)(12)46512145i i i i z i ++-+-= ==++=i -2;2z i ∴=+; 234255 z i i i z +==+-……………………………………………14分
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