201６-２０17学年河北省石家庄一中高二（上）期中数学试卷（理
科）
一、选择题：本题共１2小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
１．（5分)已知全集U＝{1,2,3,4，5｝，集合A={x|ｘ2﹣3x+2＝0｝，B＝{ｘ|ｘ=2α，α∈A}，则集合?U（Ａ∪Ｂ）＝（)
A.｛２,４｝?B．{１，3，5｝?C．{1，２,4｝D。｛３，5｝
２．（5分）如果等差数列{a n}中，a３+a４＋ａ５=12,那么a１+a２+…+a7=(）
A．1４B.2１Ｃ．28?Ｄ.35
3。(5分)有一个袋子中装有标注数字1，2,３，4的四个小球,这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5的概率是( )
A。?B.?C．D。
４．（5分）样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2,3,第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为( )
Ａ．﹣1?Ｂ．1 C．2 Ｄ．
５．（5分)设b、c表示两条直线，α,β表示两个平面,则下列命题是真命题的是( ）A．若b?α，c∥α,则b∥c?B．若ｂ?α,ｂ∥c,则c∥α
C．若c∥α,α⊥β,则c⊥β D.若c∥α，c⊥β，则α⊥β
６．(５分)执行如图所示的程序框图，输出的Ｓ值为( ）
A.8 Ｂ．6?C。４?D.2
7。（５分）采用系统抽样方法从960人中抽取３2人做问卷调查,为此将他们随机编号为1，2,…，960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9。抽到的32人中，编号落入区间[1，450］的人做问卷A，编号落入区间［4５1,75０]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( ）A.7?Ｂ．９C．１0 D．1５
８.(5分）已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+=１（ａ＞b＞0）的焦点与
顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）
A．?B．?Ｃ． D.
9．(5分）将一条5米长的绳子随机的切断为两段，则两段绳子都不短于1米的概率为（)
A．B． C.?D.
1０。（5分)执行如图所示的程序框图,若输出ｋ的值为6，则判断框内可填入的条件是（）
A。s＞?Ｂ。ｓ＞?C.s>?Ｄ.s＞
11．（5分)函数y=（acoｓx＋bsｉｎx）cosｘ有最大值2，最小值﹣1，则实数(ab）2的值为()
A。１Ｂ．8 Ｃ。９?D。２
12．(5分）如图所示,已知正方体AＢCＤ﹣A１B1Ｃ1Ｄ1的棱长为２，长为2的线段MN的一个端点M在棱DＤ1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动,则ＭN的中点的轨迹的面积为（)
Ａ．4πB.2π?Ｃ．π D。
二、非选择题：本题共４小题，每小题５分，共20分
13．(５分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为。
类别老年教师中年教师青年教师合计
人数９0018０016０0４300 14．（５分）若命题“?x∈R，使得x2+(ａ﹣１)x＋1≤0"为假命题，则实数a的范围.
15.（5分）已知数列｛ａn｝的前n项和Ｓn=﹣n2＋kn(k∈NΦ),且Sｎ的最大值为８，则a2= ．
１6.(５分）若抛物线C：ｙ=ax2﹣１（a≠0）上有不同两点关于直线l:y+x=0对称，则实数a的取值范围是.
三、解答题：本大题共６小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤。
１7．（10分)△AＢＣ的内角A，Ｂ，C的对边分别为ａ,ｂ,c,已知２cｏsＣ(acosB ＋bcｏsA）=ｃ。
（Ⅰ)求C；
（Ⅱ）若ｃ＝，△ABC的面积为,求△AＢC的周长。
1８.(1２分）我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出ｘ的部分按议价收费．为了了解居民用水情况,通过抽样，获得了某年１0０位居民每人的月均用水量(单位：吨），将数据按照［0,0。5）,[0．5，1),…，［4，4。５)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图。
（Ⅰ）求直方图中a的值；
(Ⅱ)设该市有３0万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
（Ⅲ）若该市政府希望使85％的居民每月的用水量不超过标准x（吨）,估计ｘ的值，并说明理由．
19.（12分)已知单调递增的等比数列｛ａn｝满足：a2+a3＋a４=2８，且a3+2是a2，
a4的等差中项
①求数列｛ａ
ｎ
｝的通项公式；
②设b n=a nｌog2a n,求数列｛b n｝的前n项和S n。
20．（1２分)如图是我国2０08年至２０1４年生活垃圾无害化处理量（单位:亿吨)的折线图
（Ⅰ)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明;
（Ⅱ）建立ｙ关于t的回归方程(系数精确到0.０1），预测２０1７年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据:y
ｉ=9．３2，t
ｉ
y i=4０.17，＝0.55，≈2.6４6。
参考公式:相关系数r＝回归方程=＋t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣.
2１。（12分）如图，四棱锥Ｐ﹣ＡBCD中，PA⊥底面ABCＤ,AＤ∥BＣ，AＢ=A Ｄ=AＣ＝3，ＰA＝BC=４,M为线段AD上一点，AＭ=2MD，N为PC的中点．(1)证明：MＮ∥平面PAB；
（2）求直线ＡＮ与平面PMN所成角的正弦值．
2２.(12分）已知椭圆+=１（a〉b>0)的左右焦点Ｆ1、F2，离心率为，双曲线方程为﹣=1（ａ＞0，b〉0),直线x=2与双曲线的交点为A、Ｂ,且|AB|=．
(Ⅰ）求椭圆与双曲线的方程；
(Ⅱ）过点F2的直线l与椭圆交于M、Ｎ两点，交双曲线与P、Ｑ两点，当△Ｆ1MN(F1为椭圆的左焦点）的内切圆的面积取最大值时，求△Ｆ1ＰＱ的面积．
20１6－２0１7学年河北省石家庄一中高二（上)期中数
学试卷(理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共１２小题，每小题5分,共6０分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）(2016秋?石家庄期中)已知全集U＝{1,2,3，4，5}，集合Ａ=｛x｜x2﹣3x＋２=0},B=｛x|x=２α，α∈Ａ｝，则集合?U（A∪B)=（)
A。{2,４｝B．{１,3,５｝Ｃ．｛1，2，4｝?D。｛３，５}
【分析】化简集合A,B,求得A,Ｂ的并集,再求补集即可.
【解答】解：全集U=｛1，2，3，４，5｝，集合A={ｘ｜x２﹣3x+2=０｝＝｛1,2},Ｂ={x｜x＝２α，α∈Ａ}=｛２，４}，
A∪B=｛1，2，4｝,
?U（A∪B）＝{3，5｝．
故选：D．
2．(5分）（2010?大纲版Ⅱ）如果等差数列｛ａn｝中,a3+ａ4+a5=1２,那么a１+ａ
2+…+a7=()
A。14?B.21 Ｃ.28?D．3５
【分析】由等差数列的性质求解。【解答】解：a3+a４+a5=3a４=１2,a４＝4，
∴a
１＋a
２
＋…+a7=＝7a4=28
故选C
3。（5分)(２016秋?石家庄期中)有一个袋子中装有标注数字1，2，３,4的四个小球,这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为５的概率是（）
A。?Ｂ.?C.Ｄ．
【分析】典型的古典概型考题，弄清基本事件的个数即可正确求解。
【解答】解：任取两球,共有6种等可能的结果：（1，２）,(1，3），(1,４)，（2，3)，(2,4），（3，４），
而数字之和为5的共有２种:（1,4），(2，３），
所以数字之和为5的概率为P==，
故选:D．
4。（5分）（201６秋?石家庄期中)样本中共有５个个体,其中四个值分别为0，１，２，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为１，则样本方差为（）
Ａ.﹣1?B．1 C．2 Ｄ．
【分析】根据平均数公式先求出a，再计算方差。
【解答】解：设丢失的数据为a，则这组数据的平均数是
(ａ+0+1+2+３)÷５=１，解得a=﹣1，
根据方差计算公式得
s２=[（﹣1﹣1)2＋(０﹣1)2+（１﹣1）２＋（2﹣１）2+(3﹣1)2］=2．
故选:C。
５.（5分）(2014?漳州模拟）设b、c表示两条直线，α,β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（）
A．若b?α,c∥α,则b∥c?Ｂ.若b?α,b∥c，则c∥α
C。若c∥α,α⊥β，则ｃ⊥β?D．若c∥α,ｃ⊥β，则α⊥β
【分析】由题设条件，对四个选项逐一判断即可,A选项用线线平行的条件进行判断；B选项用线面平行的条件判断;C选项用线面垂直的条件进行判断；D选项用面面垂直的条件进行判断,
【解答】解：A选项不正确,因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；
Ｂ选项不正确,因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；
C选项不正确，因为两面垂直,与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直;
Ｄ选项正确,因为线与面平行,线垂直于另一面,可证得两面垂直．
故选Ｄ
6.(5分)（20１２秋?麻栗坡县校级期末）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A。8?Ｂ。6?Ｃ．４?D.2
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量Ｓ的值，模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=１时，满足进行循环的条件，执行循环体后，Ｓ=2,k＝2，
当k=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后,S=８，k＝３，
当k=3时,不满足进行循环的条件，
故输出结果为：8
故选:A
7。（５分）（2０12?山东）采用系统抽样方法从９60人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，９６0，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的３２人中，编号落入区间［1,４50］的人做问卷A，编号落入区间［45１，7５０]的人做问卷Ｂ，其余的人做问卷C。则抽到的人中,做问卷Ｂ的人数为(）
A。7 B。9 C．１0?D．15
【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列,求得此等差数列的通项公式为a
＝9＋（ｎ﹣1)３0＝3０ｎ﹣2１，由451≤3０n﹣２
ｎ
1≤7５0 求得正整数n的个数。
【解答】解:9６0÷32＝３0，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列,且此等差数列的通项公式为ａn＝9+(n﹣1)30=30n﹣21．
由４51≤30ｎ﹣2１≤75０解得15．7≤n≤25.7．
再由n为正整数可得16≤n≤２5,且n∈z，故做问卷B的人数为10,
故选：C。
8．(５分）（20１5?陕西校级模拟）已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+=1(a＞b>０)的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为(）
A． B.C．?D。
【分析】根据双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+＝1（a＞ｂ>0）的焦点与顶点，确定双曲线的顶点与焦点，再根据双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，确定双曲线的渐近线，从而求出椭圆的离心率。
【解答】解:∵双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+＝1(a>b＞0）的焦点与顶点，
∴双曲线的顶点是（０,±），焦点是（0,±ａ)，
设双曲线方程为（m＞０,n>0），
∴双曲线的渐近线方程为ｙ=±ｘ，
∵m=，ｎ２＝ａ2﹣m2=ｂ2,
∴ｎ=b,
∵双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x,
∴m=ｎ，
∴a2﹣b２=b2，
∴c2=a2﹣c2,
∴a2=2c2,
∴ａ=ｃ
∴e==．
故选：C.
9．（5分）（２01６秋?张家口期末）将一条5米长的绳子随机的切断为两段,则两段绳子都不短于１米的概率为(）
Ａ。Ｂ．Ｃ。?D。
【分析】将一条5米长的绳子随机的切断为两段，则两段绳子都不短于１米，即在距离两端分别至少为1米，关键几何概型公式可得．
【解答】解:由题意，只要在距离两端分别至少为1米处剪断,
满足题意的位置由3米，由几何概型公式得到所求概率为；
故选B。
１0．（５分）（２01４?重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是（)