第八章
8-1 导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。
解 非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的麦克斯韦方程如下：
???
?
??
??
?
=??=????-=????+=??)(),()(0),()()
,()(),(),()(),(),(r r E r r H r r H r r E r E r r J r H ρεμμεt t t t t t t t t ， 分别对上面两式的两边再取旋度，利用矢量公式A A A 2)(?-???=????，得
???
? ????-?+??+????=??-?)()(),(),()
,()(),()()
,()
()(),(2
22
r r r E r r J r r H r r E r r r E εερμμμεt t t t t t t t t
???
? ?????-????-?-?=??-?μμεμε)(),()
,()(),()
,()
()(),(2
22
r r H r E r r J r H r r r H t t t t t t t
则相应的亥姆霍兹方程为
????
????-?++??=+?)()()()()()(j )()(j )
()()()(22r r r E r r J r r H r r E r r r E εερωμμωμεω???
? ?????-??-?-?=+?μμεωμεω)()()()(j )()
()()()(22r r H r E r r J r H r r r H
8-2 设真空中0=z 平面上分布的表面电流t J s x s sin 0ωe J =，试求空间电场强度、磁场强度及能流密度。
解 0=z 平面上分布的表面电流将产生向z +和z -方向传播的两个平面波，
设z > 0区域中的电场和磁场分别为)(1z,t E ，)(1z,t H ，传播方向为z +；而z < 0区域中的场强为)(2z,t E 和)(2z,t H ，传播方向为z -。显然，各个场分量均与0=z 边界平行。由于表面电流的存在导致磁场强度在0=z 边界上不连续，但是电场强度仍然连续。由此求得下列方程：
[]s n t t J H H e =-?),0(),0(21
),0(),0(21t t E E =
式中z n e e -=。考虑到
[]z z,t Z z,t e H E ?=)()(101；[])()()(202z z,t Z z,t e H E -?=
求得，[]0)0()0(210=?+z ,t ,t Z e H H ，获知)0()0(12,t ,t H H -=
因此，t J t J ,t y z x z s ωωsin 2
1
sin 2121)0(001e e e e J H =?-=?-=
那么， ()kz t J z,t y -=ωsin 21
)(01e H ， z > 0
同理可得 ()kz t J z,t y +-=ωsin 2
1
)(02e H ， z < 0
因此，两边的电场强度分别为
()kz t J Z z,t x -=
ωsin 2)(00
1e E ， z > 0 ()kz t J Z
z,t x +=ωsin 2
)(002e E ， z < 0
能流密度分别为
()kz t J Z z,t z,t z,t z
-=?=ω2
200111sin 4
)()()(e H E S ,
z > 0 ()kz t J Z z,t z,t z,t z +-=?=ω2
200222sin 4
)()()(e H E S ， z < 0
8-3 已知理想介质中均匀平面波的电场强度瞬时值为
)3
1018sin() ,(6x t t x y π
π-
?=e E (V/m)
试求磁场强度瞬时值、平面波的频率、波长、相速及能流密度。 解 已知电场强度瞬时值为
()??? ?
?
-?=x t t x y ππ311018sin ,6e E (V/m)
可见这是向+x 方向传播的平面波。因此，磁场强度的瞬时值为
()??
?
??-?=x t t x z
ππ311018sin Z 1,6e H (A/m) 式中ε
μ
=
Z 为媒质的波阻抗。 根据题意，获知平面波的角频率61018?=πω，波数π3
1
=k 。由此求出
频率：Hz 10926?==π
ωf ；波长：m 62==k π
λ
相速：61054?==λf v p (m/s) 能流密度：H E S ?=)m /W (311018sin Z 1262??? ?
?
-?=x t x
ππe 8-4 设真空中平面波的磁场强度瞬时值为
)2106cos(4.2) ,(8y t t y z πππ+?=e H (A/m)
试求该平面波的频率、波长、相位常数、相速、电场强度复矢量及能流密度。 解 根据题意，获知平面波的角频率6106?=πω，相位常数π2=k 。由此求出
频率：Hz 10328?==
πωf ；波长：m 12==k π
λ 相速：8
103?==
k
v p ω(m/s)
已知磁场强度瞬时值为
()()
y t t y z πππ2106cos 4.2,8+?=e H (A/m)
可见这是向-y 方向传播的平面波。因此，电场强度的瞬时值为
()()
y t Z t y x πππ2106cos 4.2,60+?=e E (V/m)
式中0
0εμ=
Z 为真空的波阻抗。那么，电场强度的复矢量为 ()y x
Z y ππ2j 0e 2
4.2e E =(V/m)
能流密度矢量：
())W/m (6.3452
4.2230
2ππy y
Z
e e H E S -=-=?=
8-5 当频率分别为10kHz 与10GHz 的平面波在海水中传播时，求此平面波
在海水中的波长、传播常数、相速及特性阻抗。 解 当kHz 10=f 时，4102?=πω，
110910
80102364494>>?=????=-ππωεσ， 故可视为良导体。那么
相位常数：40.0=='μσπf k ；衰减常数：40.0='=''k k
波长：ππ
λ52='=k ；相速154m s 1014.340.0102-?=?=
'=πωk v p 波阻抗：()Ωe 14.0j 14
j π
σ
μπ=+=f Z c 当kHz 10=f 时，10102?=πω，
109.010*********
10<<=????=-ππωεσ， 故可视为非理想的电介质，则
相位常数：28.1873=='μεωk 衰减常数：3.842==''ε
μ
σ
k 波长：mm 354.32='=
k π
λ；相速：m/s 10354.37?==k
v p ω 波阻抗：Ω15.4280
1200====
π
εμεμZ Z r r c 8-6 推导式（8-3-9）。
解 若媒质的电导率为σ，则无源区中的麦克斯韦方程为
E E E H )j (j j ω
σ
εωωεσ-=+=??
令ω
σ
εεj
-=e ，代入下述齐次亥姆霍兹方程 ?????=+?=+?0
2
222H H E E e e μεωμεω 再令e c k μεω22
=，显然c k 为复数。设k j k k c ''-'=，将e ε代入c k 得
)j (j 2222ω
σεμω-='''-''-'k k k k
该方程两端对应的实部和虚部应该相等，即
??
?='''=''-'ωμσ
με
ωk k k k 2222 求解上述联立方程即可求得式（8-3-9），即
?
??
?
??
?-+=''++=']1)(1[2]
1)(1[22
2ωεσμεωωεσμεωk k 8-7 试证一个线极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。 证明 令一个x 方向的线极化平面波为
)2
1
21(E E E x x +==e e E
那么可将上式改写为
??? ??-+??? ??+=+==E E E E E E E y x y x x x 21j 2121j 2
1
)2121(e e e e e e E
显然上式右端两项均为圆极化平面波，而且旋转方向恰好相反。这就证实一个线极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。
8-8 试证一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。
证明 由教材8-4节可见，通过坐标轴旋转，任一椭圆极化平面波均可表示为
y y x x E E e e E j +=
令21E E E x +=，21E E E y -=，即
)(211y x E E E +=
，)(2
1
2y x E E E -= 那么前式可展开为
)(j )(2121E E E E y x -++=e e E
此式又可改写为
)j ()j (2211E E E E y x y x e e e e E -++=
显然，上式代表两个旋转方向相反的圆极化波。
8-9 试证圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。 证明 设圆极化波电场强度的瞬时值为
()??? ?
?
+-+-=2sin sin ),(00πωωkz t E kz t E t z y x e e E
上式可改写为
()()kz t E kz t E t z y x -+-=ωωcos sin ),(00e e E
相应的磁场强度为
()()kz t Z E
kz t Z E t z x y
---=ωωcos sin ),(0
000e e H 那么，能流密度瞬时值为
()()0202
0202020cos sin )
,(),(),(Z E kz t Z E kz t Z E t z t z t z z
z e e H E S =??
????-+-=?=ωω 可见，圆极化波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。 8-10 设真空中圆极化平面波的电场强度为
x z y x π2j e )j (100)(-+=e e E (V/m)
试求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度以及能流密度。 解 由电场强度的表示式可见，π2=k ，那么
波长：m 12==
k πλ；频率：Hz 1038?==λ
c
f 因传播方向为+x 方向，z 分量又导前y 分量，因此该圆极化平面波是左旋的。
磁场强度为
()x y z x Z ππ
2j 0e j 65
1--=
?=
e e E e H （A/m ） 能流密度为
08.5361000
*x x
e e H E S ≈=?=π
（W/m 2） 8-11 当平面波自第一种理想介质向第二种理想介质垂直投射时，若媒质波阻抗12Z Z >，证明边界处为电场驻波最大点；若12Z Z <，则边界处为电场驻波最小点。
证明 设入射波的传播方向为+z 方向，z <0一侧媒质波阻抗为Z 1，z >0一侧媒质波阻抗为Z 2，那么，入射波和反射波可以分别表示为
入射波：z k i i 1j 0e -=E E ；反射波：z k r r 1j 0
e E E = 边界上的反射系数为1
21
2Z Z Z Z R +-=
由于两种介质均为理想介质，1Z 和2Z 为实数，且1≤R 。
媒质①中合成电场可表示为
())
e
1(e
e e e e 1111112j j 0
j 0j 0j 0j 0z
k z
k i
z
k i
z k i z k r z k i R R z +=+=+=---E E E E E E
媒质①中合成电场的振幅为
()z k i
R z 12j 0e 1 +=E E
显然，绝对值z k R 12j e 1+的最大值为()R +1，而最小值为()R -1。
当12Z Z >时，0>R ，那么在z = 0的边界上
R R R z k +=+=+11e 112j
可见边界上为电场驻波最大点。
当12Z Z <时，0 R R R z k -=+=+11e 112j 可见边界上为电场驻波最小点。 实际上，当12Z Z >时，0>R ，由于边界上反射波和入射波的相位相同，因而形成电场驻波的最大点。当12Z Z <时，0 8-12 当均匀平面波自真空向理想介质平面边界垂直投射时，测得驻波比为2.7，试求该理想介质的介电常数。 解 由题可知，7.211=-+= R R S 46.0=?R ，求得46.0±=R 。 若取46.0=R ，则由0 Z Z Z Z R +-= 及πε μ120 ,00 ==Z Z ，求出 114.0<=r ε。显然，此结果不合理。因此，应取46.0-=R ，则求得29.7=r ε。 8-13 当右旋圆极化平面波自真空沿正Z 方向向位于z = 0平面的理想导电体平面垂直投射时，若其电场强度的振幅为E 0，试求：①电场强度的瞬时形式及复数形式；②反射波电场强度的表示式；③理想导电体表面的电流密度。 解 由题意知，可设该右旋圆极化平面波的电场强度的复数形式为 ()kz y x E z j 0 e j 2 )(--= e e E 其瞬时值为 ()()??? ? ? --+-=2sin sin ,00πωωkz t E kz t E t z y x e e E 反射波为 ()()kz y x r R E z j 0e j 2 e e E -= ，因1-=R ，则 ()t z r ,Ε()kz y x E j 0 e j 2 e e -- =。 令真空中的合成磁场为 ()()()z z z r i H H H += 因为()()kz x y i Z E z j 0 0e j 2-+= e e H ；()()kz x y r Z E z j 0 0e j 2e e H += 那么合成磁场为 ()()kz Z E z x y cos j 20 e e H += 已知表面电流密度为 ()0H e J ?=n s 式中z n e e -=，()0H 为理想导电体表面的合成磁场。因此，求得表面电流为 ()()y x z s Z E e e H e J j 20)(0 -= ?-=。 8-14 若在电磁参数4=r ε，1=r μ的玻璃表面镀上一层透明的介质以消除红外线的反射，红外线的波长为0.75μm ，试求：①该介质膜的介电常数及厚 度；②当波长为0.42μm 的紫外线照射该镀膜玻璃时，反射功率与入射功率之比。 解 ①为了消除红外线反射，介质膜的介电常数应使其波阻抗Z 2满足下述关系式 102Z Z Z = 式中Z 0为真空波阻抗，Z 1为玻璃的波阻抗。已知 0εμ= Z ， 0 00101211εμεμεεμ= == r Z 那么，介质膜的介电常数应满足下式 002021εμεμ=221 2112020 2=?=?=?r εεεεε 介质膜的厚度应等于该红外线在其内传播时的波长的四分之一。已知红外线的波长μm 75.00=λ，那么介质膜的厚度应为 μm 1326.02 475 .04`120=== r d ελ ②已知紫外线的波长μm 42.0=λ，则其在介质膜中的波长为2 λ λ= '，相 位常数为λ πλπ2 22='= k ，那么 ππ893.02 475 .042.022== kd 对于波长μm 42.0=λ的紫外线，边界上的输入波阻抗为 ) 191.0j 538.0(0.985188.0j 53.0j0.124-1j0.255.0893.0tan 21j 2 1893.0tan 21j 212tan j tan j 000012212-≈-≈-≈++=++=Z Z Z Z kd Z Z kd Z Z Z Z in π π 那么，边界上的总反射系数为 j0.164290.033 .2382 .0j 675.0191.0j 1.54191.0j 462.000--≈--≈---=+-= Z Z Z Z R in in 功率之比等于 场强振幅的平方比，故反射功率与入射功率之比为 111.02 2 ==R E E i r 。 8-15 设某种多层媒质由三种媒质组成，当平面波自第一种媒质沿正Z 方向向多层媒质边界正投射时，如习题图8-15所示。若R 12为媒质①与媒质②形成的边界反射系数，R 23为媒质②与媒质③形成的边界反射系数，试以反射系数R 12及R 23表示z = 0处的总反射系数。 解 依题意知 1 21 212Z Z Z Z R +-= ，232323Z Z Z Z R +-=， 其中1Z 、2Z 、3Z 分别为三种媒质 的波阻抗；则可得 212 12 111Z R R Z +-= ，22323311Z R R Z -+= ； 那么，在0=z 处的输入波阻抗为 ()()()()d k R R d k R R Z d k Z Z d k Z Z Z Z in 22323223232 2322232 tan 1j 1tan 1j 1tan j tan j ++--++=++= 已知总反射系数为1 1 Z Z Z Z R in in +-= ，将1Z 与in Z 代入，求得 ()()()()d k R R R R d k R R R R R 223122312223122312tan 1j 1tan j -++-++= 。 8-16 已知平面波的电场强度为 z x z π2j e 10)(-=e E 向三层介质边界正投射，如习题图 8-16所示。已知三种介质的参数为 ,16 ,4 ,1321===r r r εεε 习题图8-15 习题图8-16 0321μμμμ===， 中间介质夹层厚度m 5.0=d ，试求各区域中电场强度及磁场强度。 解 由题意知，波数π2=k ，波长m 12==k π λ。 在媒质②中的波长为m 5.02 2==r ελ λ，π42=k ，可见2λ=d 。那么，0=z 处的输入波阻抗为 32322232 tan j tan j Z d k Z Z d k Z Z Z Z in =++= 故0=z 处总的反射系数为 5 314 11 41131311-=+-=+-=+-=Z Z Z Z Z Z Z Z R in in ， 透射系数为 5 21= +=R T ； 已知入射波电场强度为z x i e z π2j 110)(-=e E ，那么在0 z y i e Z z π2j 1 110)(-=e H ， z y r e Z z π2j 1 16)(e H = 在d z ≤≤0的区域中，可令入射波和反射波的电场强度和磁场强度分别为 z i i z π4j 202e )(-=E E ，z r r z π4j 202e )(E E = z i i Z z π4j 2202 e )(-=E H ，z r r Z z π4j 2202e )(E H -= 在z > d 的区域中，可令入射波的强度和磁场强度分别为 ) (8j 30 3 e )(d z i i z --=πE E ，)(8j 3 30 3 e )(d z i i Z z --=πE H 根据z = 0和z = d 的边界上电场强度和磁场强度的切向分量必须连续的边界条件，可得下列方程： )0()0()0()0(2211r i r i E E E E +=+ )0()0()0()0(2211r i r i H H H H +=+ )()()(322d E d E d E i r i =+ )()()(322d H d H d H i r i =+ 即 r i E E 2020610+=- 220220 11610Z E Z E Z Z r i - =+ i r i E E E 302020=+ 3 30 220220Z E Z E Z E i r i = - 式中00 1Z Z == εμ 2 202Z Z = = εμ 4 303Z Z = = εμ。 代入上述方程组，求得 620=i E 220-=r E 430=i E 那么，各区域中的电场强度和磁场强度分别如下： z x i e z π2j 110)(-=e E ， z x r e z π2j 16)(e E -= z y i e Z z π2j 1 110)(-=e H ， z y r e Z z π2j 1 16)(e H = z x i z π4j 2e 6)(-=e E ， z x r z π4j 2e 2)(e E -= z y i Z z π4j 02e 12)(-=e H ， z y r Z z π4j 0 2e 4)(e H = )(8j 3e 4)(d z x i z --=πe E ， ) (8j 0 3e 16)(d z y i Z z --=πe H 8-17 试证式（8-7-14）。 证明 已知均匀平面波表示式为 r k E E ?-=j 0e ，r k H H ?-=j 0e 式中 z k y k x k z y x ++=?r k 代入无源区中的麦克斯韦方程 E H ωεj =?? 考虑到 ? ?? ? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=++??=???-y H x H x H z H z H y H e x y z z x y y z x z y x e e e H H H H r k )(j 式中 x y z z y y z e H k H k z H y H e r k ?---=??-??j )(j y z x x z z x e H k H k x H z H e r k ?---=??-??j )(j z x z y x x y e H k H k y H x H e r k ?---=??- ??j )(j 显然，上式可改写为 )(j H k H ?-=?? 因此求得 E H k ωε-=?)( 同理可证第二方程 H E k ωμ=?)(。 对于散度方程，考虑到 r k r k r k E ?-?-?----=??+??+??=??j j j j j j e E k e E k e E k z E y E x E z z y y x x z y x 可见，)j(E k E ?-=??，求得0=?E k 。 同理可证第四方程0=?H k 。 8-18 已知平面波的电场强度为 )4.22.1(j e ]24)3j 2[(z y z y x -+++=e e e E 试求：① 传播常数k ；② 极化特性；③ 是否是TEM 波？ 解 已知平面波的表示式为 r k E E ?-=j 0e ，由题获知 z y z k y k x k z y x 4.22.1+-=++=?r k 可见，4.2,2.1,0=-==z y x k k k ，即传播常数为 z y e e k 4.22.1+-= 5 5 64.22.122= +=k 传播方向位于yz 平面，如习题图8-18所示。 E y 分量与E z 分量构成线极化波，它和相位不同振幅不等的E x 分量合成后,构成椭圆极化波。由于E x 分量相位导前，因此形成右旋椭圆极化波。 因0=?E k ，故为TEM 波。 8-19 当2121 ,μμεε≠=以及ε 和μ 均不等时，试求垂直极化平面波斜投射时的布鲁斯特角和临界角。 解 已知 t i t i Z Z Z Z R θθθθcos cos cos cos 1212+-= ⊥， t i i Z Z Z T θθθc o s c o s c o s 2122+=⊥ 当2121 ,μμεε≠=时，要使0=⊥R ，发生无反射，则应满足 ?????===121212sin sin cos cos μμθθθθk k Z Z t i t i ??? ??? ?==?12 21 sin sin cos cos μμθθμμθθt i t i 可见，布鲁斯特角 2 12arcsin μμμθ+=B 。 当 900cos 1=?=t t Z θθ时，1=⊥R ，发生全反射。那么，由 1 2 12sin sin μμθθ= =k k t i 求得临界角 1 2 arcsin μμθ=c 。 显然，只有21μμ>时才会发生全发射。 当ε 和μ 均不等时，要使0=⊥R ，发生无反射，则由 y E y +E z 习题图8-18 ?????===112212 12sin sin cos cos μεμεθθθθk k Z Z t i t i ??? ?? ??==?112 2122 1sin sin cos cos εμεμθθεμεμθθt i t i 求得布鲁斯特角 () 2 22112 2 1212arcsin μμεμεμμεθ--=B 。 当 900cos 1=?=t t Z θθ时，1=⊥R ，发生全反射。那么，由 1 12 212sin sin εμεμθθ= =k k t i 求得临界角 1 12 2arcsin εμεμθ=c 。 8-20 当平面波向理想介质边界斜投射时，试证布鲁斯特角与相应的折射角之和为2/π。 证明 考虑到大多数介质的磁导率相同，此时只有平行极化波才可能发生全反射和无反射。已知平行极化波的反射系数为 t i t i Z Z Z Z R θθθθcos cos cos cos 2121//+-= 又由折射定律 1 212sin sin εε θθ==k k t i ，对平行极化波而言要使0//=R ，则t i Z Z θθc o s c o s 21=，即t i θεθεc o s c o s 12=，解得 2 12sin εεεθ+= B ，2 11sin εεεθ+= t 因B θεεεεεεθθsin 1sin 1cos 2 122 112=+=+- =-=t t ，可见 2 π θθ= +t B 8-21 当平面波自空气向无限大的介质平面斜投射时，若平面波的电场强度振幅为1(V/m)，入射角为60?，介质的电磁参数为1 ,3==r r με，试求对于水平和垂直两种极化平面波形成的反射波及折射波的电场振幅。 解 对于平行极化波，因 603 13 arcsin =+=B θ，可见 60==B i θθ，故此时发生无反射，即折射波的电场振幅为1(V/m)。 对于垂直极化波 i i i i R θεεθθεεθ2 12212sin cos sin cos -+--= ⊥5.05 .135.05.135.0-=-+--= i i i T θεεθθ2 12sin cos cos 2-+= ⊥5.0= 故反射波和折射波的电场振幅均为0.5(V/m)。 8-22 已知天线罩的相对介电常数8.2=r ε，为消除频率为3GHz 的平面波的反射，试求：①介质层的厚度；②若频率提高10%时产生的最大驻波比。（天线罩两侧的媒质可以当作空气） 解 ①由于m 1.010 31039 8 =??==f c λ，则在天线罩中该平面波的波长为 060.0== 'r ελ λm 又由于天线罩两侧媒质的波阻抗相等，故其厚度应取半波长的整数倍，即厚度为 ()m 030.02 n n d =' =λ 式中 ,3,2,1=n 。 ②若频率提高10%，对应的波长为091.01.1== f c λm ，则在天线罩中该平面波的波长为054.0== 'r ελ λm 。那么，天线罩表面的输入波阻抗为 d k Z Z d k Z Z Z Z in 2020tan j tan j ++= 式中01 Z Z r ε= 。 求得 171 .0j 67.1061 .0j 67.1tan j 1tan j 0 220 ++=++=Z d k d k Z Z r r in εε 反射系数为 245 .0j 211 .0j 00+-=+-= Z Z Z Z R in in 最大驻波比为 068.1033 .01033 .0111=-+= -+= R R S 。 8-23 当均匀平面波由空气向位于0=z 平面的理想导电体表面斜投射时，已知入射波电场强度 )86(j e 10),(z x y z x +-=e E i (V/m) 试求：①平面波的频率；②入射角；③反射波的电场强度和磁场强度；④空气中的合成场及能流密度矢量。 解 由入射波的电场强度表示式可知 8, 0, 6===?++=?z y x z y x k k k z k y k x k r k 因此 波数：1022 2=++=z y x k k k k ；波长：ππ λ2.02== k 频率：Hz 1077.48?==λc f ；入射角： 375 3arcsin ==i θ 入射波的磁场强度为 ()()()z x x z i i i Z Z z x 86j 0 0e 8610 )(1,+--= ?= e e E k H 由于入射方向位于xz 平面，电场方向垂直于入射面，因此，入射波为垂直极化波。已知垂直极化波在理想导电体表面上的反射系数1-=⊥R ，则反射波的电场强度和磁场强度分别为 ()()z x y r z x 86j e 10,---=e E ()()()z x x z r r r Z Z z x 86j 0 0e 8610 )(1,--+= ?= e e E k H 合成波的电场强度和磁场强度分别为 r i E E E +=x y z 6j e 8sin j 20--=e r i H H H +=()x x z z z Z 6j 0 e 8sin 160j 8cos 1201 -+=e e 能流密度矢量 z Z z z x 16sin 10 j 8sin 300 2* e e H E S --=?=π 。 8-24 已知0>x 区域为理想导电体，0 )(2j e )2j (),(y x z y x y x +-++-=πe e e H i (A/m) 试求：①平面波的频率；②入射角；③离开导体表面1m 处的合成波电场强度及能流密度。 解 ①由入射波的磁场强度表示式获知 )(2)(y x z k y k x k z y x +=++=?πr k ， 可见π2==y x k k ，0=z k ，π222 22=++=z y x k k k k 则频率：Hz 1024.428?== π kc f ②根据传播方向与分界面的关系，得入射角 4 π θ=i 。 ③入射波的磁场强度i H 可分解为两个分量，即 ),(),(),(21y x y x y x i i i H H H += 式中 )(2j 1e 2j ),(y x z i y x +-=πe H )(2j 2e )(),(y x y x i y x +-+-=πe e H 对应的电场强度为 )(2j 01e )j(),(y x x y i Z y x +--=πe e E )(2j 02e 2),(y x z i Z y x +--=πe E 已知传播方向位于xy 平面，因此),(1y x i E 为平行极化波，它在理想导电体边界上的反射系数11=R ，故反射波的电场强度和磁场强度分别为 )(2j 01e )j(),(y x y x r Z y x +--+-=πe e E )(2j 1e 2j ),(y x z r y x +--=πe H 因为),(2 y x i E 为垂直极化波，它在理想导电体边界上的反射系数11-=R ，故反射波的电场强度和磁场强度分别为 )(2j 02e 2),(y x z r Z y x +--=πe E )(2j 2e )(),(y x y x r y x +----=πe e H 那么，合成波的电场强度和磁场强度分别为 [ ] () y z y x y x z y x x z x y y x z y x y x z x y r r i i Z x x x Z Z Z y x y x y x y x y x πππππππππ2j 02j 02j 2j ) (2j 0)(2j 02121e 2sin 22 j 2sin 22cos 2j e e )2j j (e )2j (j e )2j j (e )2j (j ) ,(),(),(),(),(---+--+-++-=+--+--=+--+--=+++=e e e e e e e e e e e e e e e E E E E E [ ] () y z y x y x z y x x z y x y x y x z y x y x z r r i i x x x y x y x y x y x y x πππππππππ2j 2j 2j 2j ) (2j )(2j 2121e 2cos 22 j 2sin j 22cos 2e e )2j (e )2j (e )2(j e )2(j ) ,(),(),(),(),(---+--+-+--=+--+++-=--++-=+++=e e e e e e e e e e e e e e e H H H H H 离开导体表面1m 处的合成波电场强度磁场强度分别为 y x Z y π2j 0e 2j ),1(--=-e E () y z x y π2j e 22j 2),1(-+-=-e e H 能流密度为 0*24),1(),1(),1(Z y y y y e H E S =-?-=- 8-25 当平面波向位于空气中厚度为d 的无限大介质层斜投射时，若介质层的介电常数为ε，入射角为i θ，试求介质中以及空气中 的折射角。 解 平面波在边界上满足相位匹配条 件，即 θθθ'==sin sin sin 321k k k t i 而由于第一种介质和第三种介质均为 空气，相位常数31k k =，可见空气中的折射角i θθ='，如 图8-25所示。 习题图8-25 由t i k k θθsin sin 21=，求得介质层中折射角为 ? ?? ? ??=???? ??=i i t k k θεεθθsin arcsin sin arcsin 021 8-26 当平面波向等腰直角玻璃 棱镜的底边垂直投射时，如习 题图8-26所示。若玻璃的相对 介电常数4=r ε，试求反射功率 r W 与入射功率i W 之比。 解 当该平面波进入玻璃棱镜后，在边界2上的入射角为 4 π θ= i 但是在此边界上发生全反射的临界角为 6 arcsin 0π εεθ==r c 可见，c i θθ=，因此在边界2上发生全反射。同样在边界3上也将发生全反射，所以到达稳态后，没有能量越过边界2和3。因此，可以认为反射功率r W 等于入射功率i W 。 8-27 已知均匀平面波的频率 MHz 1000=f ，向多层媒质垂直 投射，如习题图8-27所示。 该多层媒质的参数为41=r ε； 92=r ε，163=r ε，0321μμμμ===， 中间夹层厚度cm 5=d 。试求：① 第一媒质中反射功率r W 与入射功率i W 之比，② 第三媒质中透射功率t W 与入射功率i W 之比。 解 ①已知频率MHz 1000=f ，则在媒质2中的波长为 习题图8-26 习题图8-27 一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+? ,B E t ???=-? ,0B ?= ,D ρ?= 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? S D d s ρ=? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。 6电位满足的泊松方程为 ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。8.电场强度E 的单位是， 电位移D 的单位是 。9．静电场的两个基本方程的微分 形式为 0E ??= ρ?= D ；10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 3.0 0n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H 4.D E ε= ,B H μ= ,J E σ= 5. J t ρ ??=- ? 6.2ρ?ε?=- 12??= 12 12n n εεεε??=?? 7.唯一性定理 8.V/m C/m2 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令 B A =?? 的依据是（c.0B ?= ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ ) l n (0 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性） 分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω= 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-? 其振幅值为：304510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510 .dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。 试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S S d q =?得2 4q D r π= 24D e e r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε= = 五、两块无限大接地导体板分别置于x=0和x=a 处，其间在x=x0处有一面密度为σ2C/m 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。（20分） 解：()2 102d 00;d x x x ?=<<()22 02d 0 d x x a x ?=<< 得： ()()11100;x C x D x x ?=+<< ()()2220x C x D x x a ?=+< < A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。 4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程 6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。 . 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得2 4q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε== 第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+? B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角 速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。 电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量— 电磁场与电磁波例题详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第1章 矢量分析 例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为 0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ： 0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x ++=的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为 ： z y dz y x dy xy dx 222== 从而有 ???????==z y dz xy dx y x dy xy dx 2222 解之即得矢量方程???=-=2 2 21c y x x c z ，c 1和c 2是积分常数。 例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角 3 ,4 ,3 π γπ βπ α= = = 的方向导数。 解：由于 1) 2,1,1(2) 2,1,1(-=-=??==M M yz y x ?, 02) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xz xy y ?, 32) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xy z z ?, 2 1cos ,22cos ,21cos === γβα 所以 1cos cos cos =??+??+??= ??γ?β?α??z y x l M 例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。 解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为 1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l ++=-+-+-= 其单位矢量 3147 31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5, 10, 2) 2,1,5()2,1,5()2,1,5() 2,1,5() 2,1,5() 2,1,5(==??==??==??xy z xz y yz x ? ?? 所求方向导数 314 123 cos cos cos = ??=??+??+??=?? l z y x l M ?γ?β?α?? 例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。 解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x ? 所以 623) 0,0,0(z y x a a a ---=?? ，36) 1,1,1(y x a a +=?? 例1.6 运用散度定理计算下列积分： ??++-+=S z y x S d z y xy a z y x a xz a I )]2()([2322 S 是0=z 和2 2 22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。 解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+= 则由散度定理???=??τ τs S d A d A 可得 电磁场与电磁波复习材料 简答 1． 简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 2． 试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 3． 试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 4． 什么是色散？色散将对信号产生什么影响？ 答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分） 5．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 6．试简述唯一性定理，并说明其意义。 7．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 8．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究 10．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 方程的微分形式： 11．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 12．已知麦克斯韦第一方程为 t D J H ??+ =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 《电磁场与电磁波》试卷1 一. 填空题（每空2分,共40分） 1．矢量场的环流量有两种特性：一是环流量为0，表明这个矢量场 无漩涡流动 。另一个是环流量不为0，表明矢量场的 流体沿着闭合回做漩涡流动 。 2．带电导体内静电场值为 0 ，从电位的角度来说，导体是一个 等电位体 ，电荷分布在导体的 表面 。 3．分离变量法是一种重要的求解微分方程的方法，这种方法要求待求的偏微分方程的解可以表示为 3个 函数的乘积，而且每个函数仅是 一个 坐标的函数，这样可以把偏微分方程化为 常微分方程 来求解。 4．求解边值问题时的边界条件分为3类，第一类为 整个边界上的电位函数为已知 ，这种条件成为狄利克莱条件。第二类为已知 整个边界上的电位法向导数 ，成为诺伊曼条件。第三类条件为 部分边界上的电位为已知，另一部分边界上电位法向导数已知 ，称为混合边界条件。在每种边界条件下，方程的解是 唯一的 。 5．无界的介质空间中场的基本变量B 和H 是 连续可导的 ，当遇到不同介质的分 界面时，B 和H 经过分解面时要发生 突变 ，用公式表示就是 12()0n B B ?-=，12()s n H H J ?-=。 6．亥姆霍兹定理可以对Maxwell 方程做一个简单的解释：矢量场的 旋度 ，和 散度 都表示矢量场的源，Maxwell 方程表明了 电磁场 和它们的 源 之间的关系。 二．简述和计算题（60分） 1．简述均匀导波系统上传播的电磁波的模式。（10分） 答：（1）在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，即电场和磁场完全在横平面内，这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM 波。 （2）在电磁波传播方向上有电场和但没有磁场分量，即磁场在横平面内，这种模式的电磁波称为横磁波，简称TM 波。因为它只有纵向电场分量，又成为电波或E 波。 （3）在电磁波传播方向上有磁场但没有电场分量，即电场在横平面内，这种模式的电磁波称为横电波，简称TE 波。因为它只有纵向磁场分量，又成为磁波或M 波。 从Maxwell 方程和边界条件求解得到的场型分布都可以用一个或几个上述模式的适当幅相组合来表征。 2．写出时变电磁场的几种场参量的边界条件。（12分） 解：H 的边界条件 12()s n H H J ?-= E 的边界条件 一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（ ） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（ ） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（ ） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（ ） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（ ） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（ ） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面， 若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（ ） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（ ） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（ ） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播 二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、 内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、 自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度 第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ） 由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ， 得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123P P P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。 第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。 电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度 在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ?? ????++=??= div ； 散度在圆柱坐 标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。 二者的关系 n dS dC e A ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该点最 大环量密度的方向。 4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e 的表达 式 ； 7、直角坐标系下方向导数 u l ??的数学表达式是cos cos cos l αβγ????????ｕｕｕｕ＝＋＋ｘｙｚ ，梯度的表达式x y z G e e e grad x y z φφφφφ???=++=?=???； 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。 第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+ 《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。 二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量，，求 （1） （2） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1）试写出其时间表达式； （2）说明电磁波的传播方向； 四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求 （1）球内任一点的电场强度 （2）球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程； （2）求槽内的电位分布 . 电磁场与电磁波练习题 1、直角坐标系中，两个矢量A 与B ，其中x y z A e e e =-+， x y z B e e e =++，则：A e = ； A B ?= ； A B ?= 。 2、在有限的区域V 内，任一矢量场由它的 、 和 唯一地确定。 3、标量场u 的梯度、矢量场F 的散度、旋度可用哈密顿算符?表示为 、 、 。 4、已知磁感应强度为 (3)(32)()x y z x y z y mz =+--+B e e e ，则m 的值为____。 : 5、 写出电流连续性方程的微分形式 。 6、从宏观效应看，物质对电磁场的响应可分为 、 和 三种现象。 7、一个点电荷q 放在两相交0 60的导体平面内，则存在 个镜像电荷。 8、写出电磁能量守恒关系的坡印廷定理的表达式 。 9、均匀平面波在良导体中传播时，磁场的相位滞后电场 度。 10、反射系数的定义式为 。 11对于矢量A ，若 =++x x y y z z A e A e A e A ，则：z x e e ?= ；x x e e ?= ；z y e e ?= 。 12、直角、圆柱、球坐标系下体积元分别为 、 、 。 （ 13、矢量(cos sin )y x y A e x x -=-e e ，则A ?= 。 14、对于线性和各向同性的媒质，这些方程是 、 、 ，称为媒质的本构关系。 15、理想介质的电导率σ= ，而理想导体的电导率σ= 。 16、电场强度E 电位函数?的关系为 。 17、在电磁场工程中，通常规定矢量位A 的散度为 ，此式称为洛伦兹条 件。 18、电磁波的波长不仅与 有关，还与媒质的参数 、 有关。 19、电场强度矢量 ()()m x xm z z jE cos k z E =e ，写出其瞬时值矢量(,)z t E = 。 20、对于导电媒质的垂直入射，反射系数Γ与透射系数τ之间的关系为 。 《 21、旋涡源与通量源不同在于前者不发出矢量线也不汇聚矢量线。（正确、错误） 22、位移电流密度是磁场的旋涡源，表明时变磁场产生时变电场。（正确、错误） 23、理想导体内部不存在电场，其所带电荷只分布于导体表面。（正确、错误） 24、当感应电动势 0in ξ<时，表明感应电动势的实际方向与规定方向相同。（正确、错 误） 25、电容的大小与电荷量、电位差无关。（正确、错误） 26、当12()jkz jkz x E z Ae A e -=+时，第一项代表波沿+z 方向传播，第二项代表沿-z 方向传播。（正确、错误） 27、矢量函数E 满足真空中的无源波动方程一定满足麦克斯韦方程。（正确、错误） 28、电磁波的趋肤深度随着波频率、媒质的磁导率和电导率的增加而增加。（正确、错误） | 29、反射系数与投射系数之间的关系为1τ+Γ=。（正确、错误） 30、驻波的电场强度与磁场强度不仅在空间位置上错开 1/4λ，在时间上也有/2π的相移。 （正确、错误） 31、方向导数的定义是与坐标无关，但其具体计算公式与坐标系有关。（正确、错误） 32、亥姆赫兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件惟一地确定。（正确、错误） 33、在静电场中的电感与导体系统的几何参数和周围媒质无关，与电流、磁通量有关。（正确、错误） 34、不管是静态还是时变情况下，电场和磁场都可以相互激发。（正确、错误） 35、接地导体球上的感应电荷的分布是不均匀的，靠近点电荷的一侧密度小。（正确、错误） 36、任一线极化波，都可将其分解为两个振幅相等、旋向相反的圆极化波。 第1章习题解答 1.4 计算下列标量场u 的梯度u ? ： （1）234u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）222323u x y z =-+。 解：（1） 34224233234x y z x y z u u u u e e e e xy z e x y z e x y z x y z ????=++=++??? （2）()()()x y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ????=++=+++++??? （3）646x y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z ????=++=-+??? 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导 数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ????=++=+++??? 因为410x y z x y z A f f f f e e e e e e x y z ????=++=++??? 所以 ( max 410l x y z f e e e e l ?==++? ( min 410l x y z f e e e e l ?==-++? 1.10 求下列矢量场在给定点的散度值： （1）()x y z A xyz e x e y e z =++ 在()1,3,2M 处； （2）242x y z A e x e xy e z =++ 在()1,1,3M 处； （3）())1222x y z A e x e y e z x y z =++++ 在()1,1,1M 处。 解：（1） 222636y x z M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z ?????=++=++=??=??? （2）42212y x z M A A A A x z A x y z ?????= ++=++??=??? （3）y x z A A A A x y z ?????=++ ??? ( )( )( ) 2222 2222 2222 3 3 3 x y z x x y z y x y z z ++-++-++ -= + + = M A ??=(完整版)电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
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