a r X i v :a s t r o -p h /0105519v 1 30 M a y 2001Mon.Not.R.Astron.Soc.000,1–13(2001)Printed 1February 2008(MN L
a T E X style ?le v1.4)Relativistic corrections to the multiple scattering e?ect on the Sunyaev-Zel’dovich e?ect in the isotropic
approximation
Naoki Itoh,1?Youhei Kawana,1?Satoshi Nozawa,2?and Yasuharu Kohyama,3§1Department of Physics,Sophia University,7-1Kioi-cho,Chiyoda-ku,Tokyo,102-8554,Japan 2Josai Junior College for Women,1-1Keyakidai,Sakado-shi,Saitama,350-0295,Japan 3Fuji Research Institute Corporation,2-3Kanda-Nishiki-cho,Chiyoda-ku,Tokyo,101-8443,Japan Submitted 2001February ABSTRACT We extend the formalism for the calculation of the relativistic corrections to the Sunyaev-Zel’dovich e?ect for clusters of galaxies and include the multiple scatter-ing e?ects in the isotropic approximation.We present the results of the calculations by the Fokker-Planck expansion method as well as by the direct numerical integration
of the collision term of the Boltzmann equation.The multiple scattering contribution
is found to be very small compared with the single scattering contribution.For high-
temperature galaxy clusters of k B T e ≈15keV,the ratio of the both contributions is
?0.2%in the Wien region.In the Rayleigh–Jeans region the ratio is ?0.03%.There-
fore the multiple scattering contribution is safely neglected for the observed galaxy
clusters.
Key words:cosmic microwave background —cosmology:theory —galaxies:clusters:
general —radiation mechanisms:thermal —relativity.
c
2001RAS
2N.Itoh et al.
1INTRODUCTION
Compton scattering of the cosmic microwave background(CMB)radiation by hot intracluster gas—the Sunyaev-Zel’dovich e?ect(Zel’dovich&Sunyaev1969;Sunyaev&Zel’dovich1972,1980a,1980b,1981)—provides a useful method to measure the Hubble constant H0(Gunn1978;Silk&White1978;Birkinshaw1979;Cavaliere,Danese&De Zotti1979;Birkinshaw,Hughes &Arnaud1991;Birkinshaw&Hughes1994;Myers et al.1995;Herbig et al.1995;Jones1995;Markevitch et al.1996;Holzapfel et al.1997;Hughes&Birkinshaw1998;Furuzawa et al.1998;Komatsu et al.1999;Reese et al.2000).The original Sunyaev-Zel’dovich formula has been derived from a kinetic equation for the photon distribution function taking into account the Compton scattering by electrons:the Kompaneets equation(Kompaneets1957;Weymann1965).The original Kompaneets equation has been derived with a nonrelativistic approximation for the electron.However,recent X-ray observations have revealed the existence of many high-temperature galaxy clusters(David et al.1993;Arnaud et al.1994;Markevitch et al. 1994;Mushotzky&Scharf1997;Markevitch1998).In particular,Tucker et al.(1998)reported the discovery of a galaxy cluster with the electron temperature k B T e=17.4±2.5keV.Rephaeli and his collaborator(Rephaeli1995;Rephaeli& Yankovitch1997)have emphasized the need to take into account the relativistic corrections to the Sunyaev-Zel’dovich e?ect for clusters of galaxies.
In recent years remarkable progress has been achieved in the theoretical studies of the relativistic corrections to the Sunyaev-Zel’dovich e?ects for clusters of galaxies.Stebbins(1997)generalized the Kompaneets equation.Itoh,Kohyama& Nozawa(1998)have adopted a relativistically covariant formalism to describe the Compton scattering process(Berestetskii, Lifshitz&Pitaevskii1982;Buchler&Yueh1976),thereby obtaining higher-order relativistic corrections to the thermal Sunyaev-Zel’dovich e?ect in the form of the Fokker-Planck expansion.In their derivation,the scheme to conserve the photon number at every stage of the expansion which has been proposed by Challinor&Lasenby(1998)played an essential role. The results of Challinor&Lasenby(1998)are in agreement with those of Itoh et al.(1998).The latter results include higher-order expansions.Itoh et al.(1998)have also calculated the collision integral of the Boltzmann equation numerically and have compared the results with those obtained by the Fokker-Planck expansion method.They have con?rmed that the Fokker-Planck expansion method gives an excellent result for k B T e≤15keV,where T e is the electron temperature.For k B T e≥15keV,however,the Fokker-Planck expansion results show nonnegligible deviations from the results obtained by the numerical integration of the collision term of the Boltzmann equation.
In our previous papers devoted to the study of the relativisitc corrections to the Sunyaev-Zel’dovich e?ect for clusters of ?Email:n
Relativistic corrections to the Sunyaev-Zel’dovich e?ect3 galaxies(Itoh,Kohyama,&Nozawa1998;Nozawa,Itoh,&Kohyama1998;Itoh,Nozawa,&Kohyama2000;Nozawa et al. 2000),we have so far restricted ourselves to the case of single Compton scattering.This is justi?ed because the optical depth for the Compton scattering of the CMB photon inside the galaxy clusters is generally about10?2or smaller(Birkinshaw 1999).Nevertheless,it would be desirable to evaluate the e?ects of the multiple Compton scattering of the CMB photon inside the galaxy clusters accurately,as we have already developed the method to calculate the relativistic corrections to the Sunyaev-Zel’dovich e?ect for the galaxy clusters with high accuracy.The multiple scattering e?ects have been already considered by many authors(Wright1979;Fabbri1981;Loeb,McKee&Lahav1991;Sazonov&Sunyaev1998;Molnar& Birkinshaw1999;see Birkinshaw1999for other references).Molnar&Birkinshaw(1999),in particular,have carried out a detailed Monte Carlo calculation including multiple scattering e?ects.However,most of the calculations to date other than Monte Carlo type have assumed isotropy of the radiation?eld after the?rst Compton scattering.In this paper we wish to evaluate the multiple scattering e?ects in the same theoretical framework of our previous papers.As a matter of fact, the method of calculating the multiple scattering contributions to the Sunyaev-Zel’dovich e?ect adopted by Fabbri(1981) and also by Sazonov&Sunyaev(1998)is in the same line as the present paper.The lowest-order term has been already obtained by them.We will calculate the relativistic corrections(higher-order terms)in the present paper.We will also carry out direct numerical integration of the collision term of the Boltzmann equation and compare the results with those obtained by the Fokker-Plank expansion method.The present paper is complementary to the work of Molnar&Birkinshaw(1999) who presented Monte Carlo results without the isotropic approximation.In the central region of a spherical galaxy cluster, the assumption of the isotropy of the incident radiation?eld is valid.Therefore,rigorously speaking,the present result is valid for such conditions of restricted geometry.Nevertherless,the analytical as well as numerical results with the isotropic approximation in the present paper will be useful when one compares with the full numerical calculation which does not assume the isotropy of the incident radiation?eld.
The present paper is organized as follows.In§2we give the method of the calculation and the results.In§3we give discussion of the results and concluding remarks.
2MUTIPLE SCATTERING CONTRIBUTION IN THE ISOTROPIC APPROXIMATION
In the present paper,we would like to derive the analytic as well as numerical expressions for the multiple scattering con-tribution to the Sunyaev-Zeldovich e?ect for the central region of a spherical galaxy cluster in the isotropic approximation. As a reference system,we choose the system that is?xed to the center of mass of the galaxy cluster.The galaxy cluster is assumed to be?xed to the cosmic microwave background(CMB).Following Itoh et al.(1998),we start with the Fokker-Planck expansion for the time evolution equation of the CMB photon distribution function n(ω):
?n(ω)
+n(1+n) I1
?x
c 2001RAS,MNRAS000,1–13
4N.Itoh et al.
+
2 ?2n ?x +n (1+n ) I 2+2 ?3n ?x 2
+3(1+n )?n
?x 4+4(1+n )?3n ?x 2+4(1+n )
?n k B T e ,(2)
?x ≡ω′?ωk ! d 3p
mc 2.(5)
The explicit forms for I k are given in Itoh et al.(1998).
We ?rst assume the initial photon distribution of the CMB radiation to be Planckian with temperature T 0:
n (X )=n 0(X )≡1
k B T 0.(7)
Assuming T 0/T e ?1,one obtains the following expression for the fractional distortion of the photon spectrum derived by Itoh et al.(1998):
?n (X )
e X ?1
Y 0+θe Y 1+θ2e Y 2+θ3e Y 3+θ4e Y 4+θ5e Y 5+θ6e Y 6 ,(8)y ≡σT ?0
d?1N e (?1),(9)
where σT is the Thomson scattering cross section,N e is the electron number density,and the integral is over the photon path length in the cluster.The explicit forms for Y 0,Y 1,Y 2,Y 3and Y 4are given in Itoh et al.(1998).In the present paper we have
also included higher order terms of θ5e Y 5and θ6e Y 6.The explicit forms are given as follows:
Y 5=?45
32?X
?289178?X 3?2319993112?X 5?8065243
?X 7?46679252?X 9?581890?X 11+?S 2 ?289174?X ?25519923112?X 3?7661978
Relativistic corrections to the Sunyaev-Zel’dovich e?ect
5+426200?X
5?11529713252?X 7?29377945?X 9 +?S
4 ?2319993224?X ?1209786021
?X 4+1843924745?X 6+40017121
+132122063?X 2+975684790
?X 4+314919763
+749942345?X 2+497381945+158369
256+128655
32?X
2+5085355532?X
4+45820310721?X 6+71548297420?X 8+73131559?X
10+6361
675?X 12+3764+5085355564?X 2+595664039114?X 4+143096594
840
?X 6+18356019059?X
8+6475498225?X
10+5043132+77894528197?X 2+228954550470?X
4+12425050345
9?X 6+1755508789?X 8+134350784+2217997207105?X 2+65745263459?X 4+690760073
135?X 6+9151432420
+50533901059?X 2+109098147145
?X 4+125656819
+69474842225?X
2+63282617675+343940532
,(12)?S ≡X
2 .
(13)Equation (8)is the single scattering contribution,i.e.the ?rst-order term in y .If the cluster of galaxies is optically thin,i.e.y ?1,the single scattering approximation is a good approximation.In fact,the approximation is valid for most of c
2001RAS,MNRAS 000,1–13
6N.Itoh et al.
the clusters.However,it is extremely important to calculate the next-order contribution in order to obtain more accurate theoretical prediction for the future observation of the Sunyaev-Zeldovich e?ect for clusters of galaxies.
We now calculate the multiple scattering contribution.Since y?1is realized for most of clusters of galaxies,the second-order contribution is considered to be su?cient.We now assume that the initial photon distribution has an isotropic?rst-order https://www.doczj.com/doc/486921679.html,ly,
n(X)=n1(X)≡n0(X)+?n(X),
=n0(X) 1+?n(X)
n0(X)=
yθe Xe X
2
y2θ2e Xe X
5
?X2+1271
5
?X4+7
5
+
2542
5
?X2+91
5
+
119
25
?X2+312912
25
?X4
+
34873
15
?X6+367
25
+
625824
25
?X2+453349
15
?X4+367
25
+
592841
25
?X3
c 2001RAS,MNRAS000,1–13
Relativistic corrections to the Sunyaev-Zel’dovich e?ect7 +?S6 ?6239150?X ,(18)
Z3=?90+96651
50
?X2+62384943
175
?X4
+103117227
105
?X6+590831
35
?X8+859 100
+
62384943
350
?X2+1340523951 35
?X4+2363324
35
?X6+215609 175
+
1752992859
7
?X2+37813184 35
?X4+1459441
105
+
36631522
35
?X2+1544482
35
+
593569
25
?X2+129233103
175
?X4
+5504779501
105
?X6+114929504
105
?X8
+2681837
75
?X10+2851
25
+
258466206
350
?X2+71562133513
35
?X4+459718016
210
?X6+673141087 150
?X8+1451159
175
+
93581251517
7
?X2+7355488256 35
?X4+4556441063
75
?X6+39340949 105
+
7125629248
105
?X2+2410971463
300
?X4+309598643
105
+
1853149367
75
?X2+488977861
150
+
15569311
8
+
12368565
160
?X2+41024053941
560
?X4
+124274226315
35
?X6+29643451897
28
?X8
+10436409287
225
?X10+2347649
675
?X12+2039 320
+
41024053941
1120
?X2+1615564942095
8N.Itoh et al.
?7140718798870?X 5?2609199739925200?X 7?63666249731050?X 9?111003163150?X 11 +
?S 4 ?789133416691792?X ?22549638312175?X 3?3834572897116800?X 5?535726666041050?X 7?190034801260?X 9 +
?S 6 ?10648440314700?X ?141551726786300?X 3?5217804263412100?X 5?1732220216945?X 7 +
?S 8 ?327470412725200?X ?556152659294200?X 3?761509408630?X 5 +
?S 10 ?43428804111050?X ?10557411866300?X 3 +
?S 12 ?8907983237800?X ,(21)
Z 6=2310525
100?X 2+252517854951
4900?X 4
+143434835467311
147?X 6+9794517932561
196?X 8
+2312186142587
1575?X 10+2067628712
4725?X 12
+105557789
3675?X 14+3008
200+252517854951
9800?X 2+1864652861075043
98?X 4+19589035865122
392?X 6+580358721789337
1575?X 8+2104846028816
1575?X 10+143875266407
3675?X 12+49259008
4900+243839220294428749?X 2
+313424573841952
98?X 4+3928404256255313
1575?X 6+57062417193776
63?X 8+3832908876379
1225?X 10+2574414848
588+303630055909391
49?X 2+2078655342185713
1575?X 4+224530004722216
945?X 6+13054120650052
735?X 8+29281785088
196+1597720624527617
1575?X 2+177310534011916
315?X 4+35848797395657
735?X 6+129412835072
Relativistic corrections to the Sunyaev-Zel’dovich e?ect
9+?S
10 ?40926654386363675?X ?826417761076388200?X 3?
45125705574411025?X 5 +
?S 12 ?697303053956529200?X ?26350142566433075?X 3 +?S 14 ?559228710433075?X ,
(22)where ?X
and ?S are de?ned by equations (12)and (13),respectively.In equation (15),the ?rst term corresponds to the ?rst-odrder contribution and the second term corresponds to the second-order contribution of the multiple scattering.In deriving equation (15),we have used the following identity relation for y :
σT ?0d?1N e (?1)σT
?10d?2N e (?2)=1
2
y 2.(23)We have also neglected terms higher than O (θ6e )in the y 2contributions in equation (15).It is important to note that equation
(15)satis?es the photon number conservation.
We note that the lowest-order term Z 0has been already obtained by Fabbri (1981)and also by Sazonov &Sunyaev (1998).The present calculation has produced the relativistic correction terms Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,Z 5,and Z 6.
We will also calculate the multiple scattering e?ect to the thermal Sunyaev-Zeldovich e?ect by numerically integrating the collision term of the Boltzmann equation.Here we assume that the radiation ?eld after the ?rst Compton scattering is isotropic.The original Boltzmann equation for the photon distribution function n (ω)is given by (Itoh et al.1998)?n (ω)
(2π)3d 3p ′d 3k ′W f (E ) [1+n (ω′)]n (ω)?[1+n (ω)]n (ω′)e ?x
.(24)
By inserting equation (14)in equation (24)we obtain
?n (ω)(2π)3
d 3p ′d 3k ′W f (E ) [1+n 0(ω′)]n 0(ω)?[1+n 0(ω)]n 0(ω′)
e ?x
?2 d 3p n 0(ω′)
n 0(ω) 1?e ?x ?e ?x +n 0(ω)?n (ω)e X ?1
?n (X )
10N.Itoh et al.
The?rst term?I1contains a factor y,whereas the second term?I2contains a factor y2.In Figure1we show?I2/y2as a function of X for the case k B T e=5keV.For k B T e≤5keV it is found that results of the Fokker-Planck expansion approximation perfectly agree with that obtained by the numerical integration of the collision term of the Boltzmann equation for the entire region of X≤20.For k B T e≤5keV the convergence of the series with respect to the relativistic temperature parameterθe is relatively fast.Therefore it is su?cient to include up toθ4e Z4terms in equation(15).In Figure2we show?I2/y2for the case k B T e=10keV.For this temperature region the convergence of the series expansion is slow for large values of X.The Fokker-Planck expansion aprroximation is valid for X≤10.For higher temperature region,the convergence is even worse. For k B T e=15keV the expansion approximation is valid for the region of X≤4.
In order to estimate the relative importance of the multiple scattering contribution,we now de?ne the following ratio:Γ≡
?I2/y2
?I1
=yΓ≈?0.2y≈?0.2%,(28) where we used a typical value y≈0.01of the galaxy clusters.Therefore the maximum e?ect of the multiple scattering contribution is?0.2%of the single scattering contribution for the observed high-temperature galaxy clusters.
In the Rayleigh–Jeans limit where X→0,equation(15)is further simpli?ed:
?n(X)
10θe+
123
280
θ3e+
14403
224
θ5e+
423951
5θe+
226
1400
θ3e+
13758
4480
θ5e+
25927827
?I1
≈?yθe≈?0.03%.(30) In the Rayleigh–Jeans region the multiple scattering contribution is safely neglected.
3DISCUSSIONS AND CONCLUDING REMARKS
We have calculated the relativistic corrections to the multiple scattering contribution to the Sunyaev-Zel’dovich e?ect in the isotropic approximation by extending the formalism developed in our previous papers as well as by Fabbri(1981)and Sazonov &Sunyaev(1998).We have also calculated the multiple scattering e?ect to the Sunyaev-Zeldovich e?ect by numerically integrating the collision term of the Boltzmann equation.Our approach is complementary to the Monte Carlo calculation of
c 2001RAS,MNRAS000,1–13
Relativistic corrections to the Sunyaev-Zel’dovich e?ect11 Molnar&Birkinshaw(1999).We have estimated the accuracy of the Fokker-Planck expansion approximation by comparing with the result obtained by the numerical integration of the collision term of the Boltzmann equation.We have found that Fokker-Planck expansion approximation is valid for the enire region of X≤20for k B T e≤5keV.However,for k B T e≤10keV, valid region is limited to X≤10.For higher temperature region,the convergence is even worse.For k B T e=15keV the expansion approximation is valid for the region of X≤4.
From the results presented in the previous section it is clear that the multiple scattering contribution?I2is very small compared with the single scattering contribution?I1.For high-temperature galaxy clusters of k B T e≈15keV,we obtain the ratio?I2/?I1≈?0.2%at X=5.In the Rayleigh–Jeans region we have?I2/?I1≈?0.03%.Therefore it is concluded that the multiple scattering contribution to the thermal Sunyaev-Zel’dovich e?ect for galaxy clusters can be safely neglected.The reader is therefore referred to our previous four papers which deal with the single scattering contribution in detail.
ACKNOWLEDGMENTS
We wish to thank Dr.S.Y.Sazonov and Dr.S.M.Molnar for valuable communication.This work is?nancially supported in part by the Grant-in-Aid of Japanese Ministry of Education,Science,Sports,and Culture under the contract#10640289.
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Relativistic corrections to the Sunyaev-Zel’dovich e?ect13 FIGURE CAPTIONS
?Figure1.The spectral intensity distortion?I2/y2as a function of X for the case k B T e=5keV.The dotted curve shows the contribution up toθ4e Z4.The dashed curve shows the contribution up toθ5e Z5.The dash-dotted curve shows the full contribution up toθ6e Z6.The solid curve shows the results of the numerical integration.
?Figure2.Same as Figure1except for k B T e=10keV.The dotted curve shows the contribution up toθ4e Z4.The dashed curve shows the contribution up toθ5e Z5.The dash-dotted curve shows the full contribution up toθ6e Z6.The solid curve shows the results of the numerical integration.
?Figure3.The ratioΓas a function of k B T e for a?xed value of X=5.The dotted curve shows the contribution up to θ4e Z4.The dashed curve shows the contribution up toθ5e Z5.The dash-dotted curve shows the full contribution up toθ6e Z6. The solid curve shows the results of the numerical integration.
This paper has been produced using the Royal Astronomical Society/Blackwell Science L a T E X style?le.
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二年级数学上册《表内乘法》知识点汇 总 三、表内乘法 重点、难点 、乘法的初步认识 （1）结合数一数、摆一摆的具体活动，经历相同加数连加算式的抽象过程，感受这种运算与日常生活的联系，体会学习乘法的必要性。 （2）结合具体情境，经历把相同加数的连加算式抽象为乘法算式的过程，初步体会乘法运算的意义，体会乘法和加法之间的联系与区别。 （3）会把相同加数的连加算式改写为乘法算式，知道写法、读法，并能应用加法计算简单的乘法算式的结果。 2、乘法的初步认识 （1）能根据加法算式列出乘法算式，知道乘法算式中各部分的名称及含义。 （2）知道用乘法算式表示“相同加数连加算式”比较简便，为进一步学习乘法奠定基础。 （3）能从生活情境中发现并提出可以用乘法解决的问题，初步学会解决简单的乘法问题。 3、的乘法口诀
（1）结合具体情境，进一步体会乘法的意义，并经历的乘法算式的计算过程和的乘法口诀的编制过程。 （2）能用的乘法口诀进行乘法计算，体验运用乘法口诀的优越性。 （3）能用的乘法运算解决生活中简单的实际问题。 4、2、3、4的乘法口诀 （1）结合具体情境，经历2、3、4的乘法口诀的编制过程，进一步体会编制乘法口诀的方法。 （2）能够发现每一组乘法口诀的排列规律，培养有条理的思考问题的习惯，逐步的发展数感。 （3）掌握2、3、4的乘法口诀，会用已经学过的口诀进行乘法计算，并能解决简单的实际问题。 、（1）结合具体情境，掌握乘加、乘减算式的运算顺序，并能正确计算。 （2）能用含有两级运算的算式解决简单的实际问题，培养应用数学的意识和能力。 （3）培养学生从不同的角度观察思考问题的习惯，体现解决问题策略的多样化。 （4）在做一做2题中，应适当拓展，引导学生发现相邻两句口诀之间的关系，帮助学生理解和记忆乘法口诀。 6、6的乘法口诀 （1）经历独立探索、编制6的乘法口诀的过程，体验
乘加乘减教学设计 兴庆区二十三小学贾雯 教材分析 “乘加、乘减”是人教版小学数学二年级上册第四单元《表内乘法（一）》中的内容。本节课是表内乘法的重要内容之一，是在学生已经初步理解的乘法的意义和1-5的乘法口诀后进行教学的。例5通过旋转木马的实例，呈现解决问题的不同思路，具体形象地说明乘加乘减的计算顺序，并利用计算形如“3×3＋2”的题目，知道两句相邻口诀之间的关系，用连加、加减混合、乘加、乘减等多种方式，帮助学生理解和记忆乘法口诀。同时通过利用图式结合的方式，让学生掌握乘加、乘减得计算顺序。这部分内容是学生今后学习混合运算和解决稍复杂实际问题的基础。 学情分析 学生已经学习了乘法的初步认识和1-5的乘法口诀，能够正确理解乘法的含义，并能运用口诀熟练计算。通过前面的学习，学生初步具备了运用已学知识解决问题的能力。同时也有一定的收集信息、提出问题、独立思考、小组合作、解决问题的能力。但是对于既含有乘法又含有加或减法的计算是首次接触，在计算中学生可能会出现计算顺序不正确的现象。教学目标 1.学会乘加、乘减的计算方法。 2.能够正确地进行乘加乘减的运算。 3.学会用含有乘加乘减的算式解决一些简单实际问题。。 教学重难点
重点：了解含有乘加乘减的算式的运算顺序。 难点：学会用含有乘加或乘减的算式解决问题。 教学过程 一、复习铺垫 2×2 = 2×4 = 4×4 = 1×3 = 3×2 = 1×4 = 3×3 = 3×4 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 2 + 2 = 以开火车形式汇报答案，并请学生选择一道题目说说表示什么意义。 二、创设情境，引入新课 教师谈话：同学们公园去过吗？（课件出示游乐园图。）公园里蕴含着许多的数学知识呢，这节课我们一同去公园中寻找需要我们解决的问题。（出示4匹小木马，每匹小木马上有3人。） 教师：仔细观察，你从这幅图中获得了那些数学信息，能够提出什么问题？应该怎样解决呢？ 学生列式：加法算式：3+3+3+3=12（个） 乘法算式：3×4=12（个） 加数相同我们可以直接用乘法计算。 三、自主探究，合作交流 1、教学例5 （1）过渡：仔细观察有什么变化，看谁的小眼睛最亮，（走了一个人）现在一共有多少人？能直接列乘法算式计算吗？请同学们讨论怎样解决这个问题。 （2）汇报交流。 方法1：根据每匹小木马上的人数，用连加计算，列式：3+3+3+2=11（个）。
人教版小学数学二年级上册第四单元表内乘法（一）乘加、乘减同步测试A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友，经过一段时间的学习，你们掌握了多少知识呢？今天就让我们来检测一下吧！一定要仔细哦！ 一、填空题 (共3题；共14分) 1. （4分）在横线上填上“>””<”或“=”。 56+9________70 2×8________3×630分________半小时 4×6+2________6×5-4 48+25________79-11 98厘米________1米 100分________1时10米________10厘米58分________1时 2. （4分）6×(21－17)=________ 3. （6分） 2个3相加，可以写成________×________或________×________，这两个式子都可以用________这句口诀计算。 二、单选题 (共2题；共4分) 4. （2分）2×3＋28=（） A . 6 B . 10 C . 20 D . 34 5. （2分） (2019三上·龙岗期中) 算式6+14□3=48，口里应该填（）符号。 A . + B . -
C . × 三、解答题 (共5题；共25分) 6. （5分） (2019二下·吴忠期中) 做一个灯笼用6张纸。 （1） 50张纸可以做几个灯笼，还剩几张纸？ （2） 40张纸做8个灯笼，够吗？ 7. （5分）笑笑班体育课各小组投球的个数如下： 第1小组○○○○○○○○○○○○ 第2小组○○○○○○○○○○ 第3小组○○○○○○○○○○○○ 第4小组○○○○○○○○○○○○ 笑笑班的同学一共投球多少个？ 8. （5分） (2019二上·景县期中) 爸爸去超市购物，请你帮爸爸算一算。 （1）买5个杯子、2个灯泡和2支铅笔共需要多少元? （2）爸爸付出50元钱，应找回多少元? （3）你还能提出其他数学问题并解答吗? 9. （5分） (2019二上·简阳期末) 购物
表内乘除法口算过关检测（乘加乘减） 班级：姓名：成绩： 说明：100题，平均每分钟8题，答题时间15分钟。 9×5－5＝4＋5×6＝92－4×6＝8×9－72＝28－2×8＝29－1×2＝7－5×0＝1×0＋9＝8×3＋39＝3×7＋20＝58－6×8＝66－7×7＝11＋9×8＝14＋5×7＝21－7×3＝12＋3×2＝4×7－14＝2×7－0＝72－8×6＝68＋1×9＝50－5×4＝33－5×3＝66－9×4＝1×6－4＝42－7×1＝6×6＋23＝20＋2×7＝ 71－7×6＝5×6－9＝20＋7×6＝32＋8×8＝56－5×6＝3×1＋67＝8×4＋41＝41－4×7＝24－1×8＝24＋3×8＝56－4×7＝72＋6×4＝36＋0×5＝30－1×6＝21＋7×8＝19－1×5＝1＋9×9＝35－5×2＝37＋7×6＝3×5＋33＝9×0－0＝65－3×9＝9×9－6＝28＋0×2＝92－6×8＝42＋4×6＝6×2＋20＝80－5×4＝58＋0×1＝6×8＋27＝7×1＋29＝5×3－6＝89－8×9＝32－2×2＝90－9×9＝2×8－8＝68－7×3＝9×5－9＝66－6×6＝75－6×8＝13＋16－24＝40－9×2＝4×9－2＝3×9－9＝9×4－24＝95－6×7＝4×8－0＝4×8＋16＝40－5×4＝42＋0×2＝4×4－0＝48＋6×6＝1＋5×8＝77－2×7＝27＋4×5＝0×6＋32＝8×0＋49＝48－6×3＝9×6－12＝4×9＋4＝34－0×6＝0×7＋14＝3×8＋5＝25＋8×7＝6×3－0＝50－1×5＝80－2×8＝5×9－5＝5×8－32＝78－8×4＝57－8×6＝47＋4×2＝16－6×2＝
第4课时乘加乘减 ?教学内容 教科书P58例5，完成教科书P58“做一做”和P59“练习十二”中第1~5题。 ?教学目标 1.在具体情境中，感受乘加、乘减算式的具体意义及运算顺序，并能按顺序正确地运算。 2.经历发现、提出、分析与解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，树立问题意识。 3.引导学生在解决具体问题的过程中，体会解决问题方法的多样性，体验成功的乐趣。?教学重点 掌握乘加、乘减的运算顺序。 ?教学难点 理解算理，并进行乘加、乘减之间的改写。 ?教学准备 课件，小棒。 ?教学过程 一、情境导入，激发兴趣 师：同学们还记得我们的智慧游乐园吗?在这个游乐园里我们解决了一些数学问题， 还有很多问题我们没有解决，这节课我们继续来解决这些问题。 课件出示教科书P58例5旋转木马图（先隐藏坐了两名同学的旋转木马）。 师:仔细观察课件展示的图片，每个转盘上有几个人?(3个人) 师:一共有多少个人?你能列算式解答吗? 【学情预设】学生列式:加法算式:3+3+3＝9(个)；乘法算式:3×3＝9(个)。 师:看来大家真的很聪明，都做对了。这些题既可以列成加法算式，也可以列成乘法算式。那谁知道为什么可以列成乘法算式呢? 【学情预设】学生可能会说“因为它们的加数都相同”。 师：说到了关键之处。像这种加数相同的加法，我们用乘法表示比较简便。 【设计意图】新课一开始，教师先引导学生复习旧知识，把学生带入一个轻松、愉快的学习氛围中，使学生迅速进入最佳学习状态。 二、自主探究，解决问题 1.教学乘加。 课件出示教科书P58例5情境图。【教学提示】 要让学生准确清晰地说出图意，写出算式，说明理由。
表内乘法（一） 第一课时乘法的初步认识 教学目标 1．创设情境初步体会乘法含义，认识乘号，会读会写乘法算式。 2．培养学生动手操作及语言表达能力，鼓励学生小组交流合作学习。 教学用具 多媒体，小棒。 教学过程 一、创设情境 1．出示情景图。 师：小朋友们，今天老师带你们去游乐园好吗？多媒体出示第44页主题图。 2．观察画面。 师：仔细看一看，你都发现了什么？互相说一说。 想不想把你看到的告诉其他的小朋友或者听课的老师呢？
学生可能说： 看到小火车、过山车、摩天轮、小桌子等等。 看到小火车有4排座位，每排坐3个人…… 二、探索新知 1．摆图形游戏。 （1）（过渡）师：小朋友们可真聪明，给你们一幅图，你们就能想到这么多的问题，现在老师手里有三根小棒，你能想到什么呢？（△、个、工）我想摆两个三角形得用几根小棒？给你们4根小棒，你能摆什么呢？（口、山、2个人）4根小棒的作用真不小，能摆口、山，还能摆2个人字呢。现在每个小朋友都有一捆小棒，你喜欢什么图形，就摆什么图形。开始吧。 （2）摆图形听音乐。 教师巡视，有目的地问几名学生。 （3）交流。 师：摆好了吗？给同桌说一说，你摆了什么图形？每个图形用了几根小棒？共用了几根小棒？并把算式写到题卡上。 师：谁摆的是一样的图形，告诉老师。（板书三个加数相同的算式）
师：谁摆的是不一样的图形？（板书一个加数不相同的算式）师：你们想不想看看其他同学摆的图形？走下座位看一看，谁摆的图形最好看，再算一算他一共用了几根小棒？（课件出示音乐）。 师：小朋友刚才看了其他小朋友摆的图形，好看吗？刚才老师也看了，小朋友们摆的图形各式各样，都很好看。现在我们看黑板。 2．导入乘法。 师：观察前面三个算式有什么特点？ 师：在加法算式中，如果每个加数都相同，我们就把他叫做相同加数。 师：像这样求几个相同加数的和还可以用一种新的方法，叫做乘法，今天我们就一起来研究乘法的初步认识。（板书课题）齐读一遍。 3．教学乘法。 用学生说出的算式进行教学。 以3＋3＋3＋3＋3＋3＝18为例。 师：刚才我们说这个加法算式的每个加数都相同，那么相同加数是几？跟老师一起数一数有几个3呢？（带领学生数1、2…6，板书：6）
二年级上册第四单元 《表内乘法（一）》课标及教材解读 一、课标要求 《义务教育课程标准（2011版）》在“学段目标”“第一学段”中提出了“经历数与代数的抽象、运算、建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，建立数感。初步形成运算能力，发展抽象思维。培养学生“四能”（发现问题、提出问题、分析问题、解决问题）。让学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）”。 《义务教育课程标准（2011版）》在“课程内容”中提出了“结合具体情境，体会乘法运算的意义；能熟练口算表内乘法；经历与他人交流各自算法的过程，能运用乘法运算解决生活中常见问题，并能对结果的实际意义作出解释”。 二、课标解读 本单元是学生学习乘法的开始，遵循儿童已有的经验和认知发展基本规律基础上，提供大量同数相加的现实情境，架起加法算式与乘法算式之间的桥梁，突出乘法意义的本质，使学生更加明白乘法的意义。在理解意义的基础上熟记2～6的乘法口诀，并能在实际应用中进一步领会四则运算的意义，积累解决问题的经验和策略，逐步形成分析问题、解决问题的能力。同时为后面学习6～9的乘法口诀做好方法上的准备，也是今后学习表内除法和多位数乘、除法的基础。 （一）通过情景图，提供丰富而生动的直观表象，使学生形成对乘法现实模型的认识，突出对乘法意义的理解。 1．利用生活中的素材，让学生列出加法算式，促使学生概括加法算式的特征，以此了解乘法产生的背景和学习乘法的必要性，沟通加法与乘法之间的联系，为理解乘法意义打下基础。 2．关注学生的直观经验。组织学生进行多样的，有层次的活动中，让学生运用多种表征方式之间的相互转化，加强对乘法现实模型的认识，逐步提高学生抽象水平，深化对乘法意义的理解。 3．在活动和练习中，巩固相同数连加与乘法的关系，体会乘法是解决一类问题的模型，在算式比较和意义理解的基础上不断提升对乘法意义的理解水平。 （二）在生活情境中调动学生的的兴趣，通过解决问题体会乘法口诀的必要性，从而经历编制口诀的过程，掌握编制口诀的方法，在解决实际问题中体会乘法口诀的
作品编号：51897654258769315745896 学校：五朱角市鸟砟镇四灵小学* 教师：猴挪黑* 班级：占卜参班* 第4课时乘加乘减 ?教学内容 教科书P58例5，完成教科书P58“做一做”和P59“练习十二”中第1~5题。 ?教学目标 1.在具体情境中，感受乘加、乘减算式的具体意义及运算顺序，并能按顺序正确地运算。 2.经历发现、提出、分析与解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，树立问题意识。 3.引导学生在解决具体问题的过程中，体会解决问题方法的多样性，体验成功的乐趣。 ?教学重点 掌握乘加、乘减的运算顺序。 ?教学难点 理解算理，并进行乘加、乘减之间的改写。 ?教学准备 课件，小棒。 ?教学过程 一、情境导入，激发兴趣 师：同学们还记得我们的智慧游乐园吗?在这个游乐园里我们解决了一些数学问题，还有很多问题我们没有解决，这节课我们继续来解决这些问题。 课件出示教科书P58例5旋转木马图（先隐藏坐了两名同学的旋转木马）。 师:仔细观察课件展示的图片，每个转盘上有几个人?(3个人) 师:一共有多少个人?你能列算式解答吗? 【教学提示】 要让学生准确清晰地说出图意，写出算式，说明理
【学情预设】学生列式:加法算式:3+3+3＝9(个)；乘法算式:3×3＝9(个)。 师:看来大家真的很聪明，都做对了。这些题既可以列成加法算式，也可以列成乘 法算式。那谁知道为什么可以列成乘法算式呢? 【学情预设】学生可能会说“因为它们的加数都相同”。 师：说到了关键之处。像这种加数相同的加法，我们用乘法表示比较简便。 【设计意图】新课一开始，教师先引导学生复习旧知识，把学生带入一个轻松、愉 快的学习氛围中，使学生迅速进入最佳学习状态。 二、自主探究，解决问题 1.教学乘加。 课件出示教科书P58例5情境图。 (1)看图提问。 师:仔细观察，你知道了哪些信息？你能提出什么数学问题? 【学情预设】大部分学生能观察出情境图中相关的数学信息，并提出数学问题。但 由于此图与以往学过的看图列乘法算式有所不同，所以在引导学生准确表达图意时，还 要关注学生语言表述的简明性和完整性。 【设计意图】学生是在认识了乘法的基础上来学习乘加的，他们已有了这方面的知 识经验，但这种经验是模糊的。所以教师要让学生通过观察找出其不同之处，在已有知 识经验的基础上进行教学，不仅找准了学生的认知基础，同时培养了学生发现和提出问 题的能力。 (2)尝试列式。 师:你能根据题意，利用手中的学具（小棒）和同桌一起边摆边列出算式，并说说 你们是怎么想的吗? 注意一人摆，一人列算式。学生摆教师指导。 师:我看到大家都已经有了自己的想法，谁愿意上来边摆边说说你的想法? 【学情预设】利用摆小棒的方法来帮助学生理解乘加算式，学生可能会出现以下两 种情况： 预设1：因为每个木马上的人数不相同，所以用加法计算：3+3+3+2=11。 预设2：将人数相同的用乘法计算，再加上人数不同的：3×3+2=11。 结合学生的汇报，教师板书。 (3)认识乘加。 师：这两道算式都能计算出旋转木马上的人数。你们觉得哪道算式更简便呢？ 【学情预设】大部分学生会说3×3+2简便些。 师:看来，在一道加法算式中，只要有几个相同加数连加，就可以先用乘法来表示， 然后再加上剩下的加数(不同的数)，这样就变成了一道什么算式? 学生回答。（板书课题：乘加） 【设计意图】给学生自主思考的时间，让他们发现和提出问题，并在分析和解决问 题的过程中，通过摆小棒的方法理解算理，列出算式，从而达到不仅知其然，还知其所 【教学提示】
表内乘法（一）、（二）的整理和复习 一、教学目标 1、知识与技能：通过复习使学生加深乘法含义的理解及各部分名称的掌握。经历口诀表的整理过程，发现口诀表中的规律，进一步熟记1～9的乘法口诀，熟练地口算9以内的两个数相乘的积。提高学生用乘法解决问题的能力。 2、过程和方法：在经历简单分类和复习的过程中，培养学生的数学能力。注重培养学生语言表达能力、有序思考的思维方法，体会解决问题策略多样化的教学思想。 3、情感、态度与价值观：让学生在独立思考的基础上加强交流，体验与同伴合作学习的快乐，培养合作交流的意识，培养学生良好的学习习惯，培养学生学习数学的热情，感受我国渊远的数学文化，提高学好数学的信心。 二、教学重难点 教学重点：进一步熟记乘法口诀，正确计算表内乘法。使学生能比较熟练地运用乘法运算解决简单的实际问题。 教学难点：用自己的语言讲出“求一个数的几倍是多少（求几个几是多少）”的实际问题的思考过程，体会解决问题策略多样化的思想。 【设计思路：本节课分三个层次实施教学，第一层次：回顾这两个单元的主要内容，把知识进行整合，并建构知识网络。第二层次：探索乘法口诀表的规律,强化记忆。第三层次：全面复习这两个单元的内容，查缺补漏，综合提升。】 三、教学环节设计 （一）开门见山，导入复习 师：同学们，刚才我们在玩游戏的时候，用到了我们的数学知识，游戏中出现的乘法算式，你们是怎么算出得数的？ 生：用乘法口诀 师：乘法口诀是我们学过的表内乘法的知识，这节课我们就对表内乘法的知识进行整理和复习。（板贴课题：表内乘法的整理和复习） （二）回顾整理，建构知识块 师：我们先一起来回顾一下这两个单元我们学习了哪些内容？ （师用课件出示电子课本，让学生一边看课本，师一边提示知识点，唤起学生
第四单元表内乘法（一）与第六单元表内乘法（二） 知识要点归纳： 1、乘法的含义 乘法是求几个相同加数连加的和的简便算法。如：计算：2+2+2=6，用乘法算就是：2×3=6或3×2=6. 2、乘法算式的写法和读法 ⑴连加算式改写为乘法算式的方法。求几个相同加数的和，可以用乘法计算。写乘法算式时，可以用乘法计算。写乘法算式时，可以先写相同的加数，然后写乘号，再写相同加数的个数，最后写等号与连加的和；也可以先写相同加数的个数，然后写乘号，再写相同加数，最后写等号与连加的和。 如：4+4+4=12改写成乘法算式是4×3=12或3×4=12 ⑵乘法算式的读法。读乘法算式时，要按照算式顺序来读。如：6×3=18读作：“6乘3等于18”。 3、乘法算式中各部分的名称及实际表示的意义 在乘法算式里，乘号前面的数和乘号后面的数都叫做“乘数”；等号后面的得数叫做“积”。 4、乘法算式所表示的意义 求几个相同加数的和，用乘法计算比较简单。一道乘法算式表示的就是几个相同加数连加的和。如： 4×5表示5个4相加或4个5相加。 5、加法写成乘法时，加法的和与乘法的积相同。 6、乘法算式中，两个乘数交换位置，积不变。 7、算式各部分名称及计算公式。 乘法：乘数×乘数=积 加法：加数+加数=和 和—加数=加数 减法：被减数—减数=差 被减数=差+减数
减数=被减数—差 8、在9的乘法口诀里，几乘9或9乘几，都可看作几十减几，其中“几”是指相同的数。 如：1×9=10—1 9×5=50—5 9、看图，写乘加、乘减算式时： 乘加：先把相同的部分用乘法表示，再加上不相同的部分。 乘减：先把每一份都算成相同的，写成乘法，然后再把多算进去的减去。 计算时，先算乘，再算加减。如： 加法：3+3+3+3+2=14 乘加：3×4+2=14 乘减：3×5-1=14 10、“几和几相加”与“几个几相加”有区别 求几和几相加，用几加几；如：求4和3相加是多少？用加法（4+3=7） 求几个几相加，用几乘几。 补充：几和几相乘，求积？ 用几×几. 如：2和4相乘用2×4=8 2个乘数都是几，求积？用几×几。如：2个8相乘用8×8=64 11、一个乘法算式可以表示两个意义，如“4×2”既可以表示“4个2相加”，也可以表示“2个4相加”。 “5+5+5”写成乘法算式是（3×5=15）或（5×3=15）， 都可以用口诀（三五十五）来计算，表示（3）个（5）相加 3×5=15读作：3乘5等于15. 5×3=15读作：5乘3等于15 学习小提示： “聪明出于勤奋，天才在于积累。”同学们，没有目标就没有方向，每一个学习阶段都要给自己定一个目标。每一位同学都应该相信“一份耕耘，就有一份收获”。老师坚信你们一定会给自己交一份满意的答卷。加油吧！孩子们。
第4课时乘加乘减 【教学内容】 教材第58页的内容及第59页练习十二的第1~5题。 【教学目标】 1.学会乘加、乘减式题的计算方法。 2.通过讨论、交流，使学生发现解决一个问题有不同的方法，从而培养学生从不同角度观察、思考问题的习惯，体现解决问题策略多样化的思想。 3.通过乘加、乘减式题，帮助学生掌握相邻两句口诀之间的联系。 【重点难点】 1.乘加、乘减式题的计算方法及它们之间的联系；通过乘加、乘减式题，掌握相邻两句口诀之间的联系。 2.引导学生从不同的角度思考问题，体现解决问题策略多样化的思想。 【教学准备】 电脑课件，图片。 【复习导入】 1.看图列式。 口诀：
口诀： 2.用一句口诀写出两个乘法算式。 二三得六三四十二二四得八三五十五 3.把可以写成乘法算式的写出来。 2+2+2+2 4+4+4+4+4 5+5+5+4 【导入新课】 师：游乐场里，小朋友们正玩得兴高采烈，看，他们正在朝我们招手呢！让我们一起进去看看吧！（出示课件） 【进行新课】 知识点乘加乘减 1.学习例5。 师：请同学们仔细地观察情境图，完整地把图意说一说。 学生活动：观察图，说图意。 有4组木马，每组上面坐了3个小朋友，有一个小朋友跑去玩过山车了，还剩下几个小朋友呢？ 师：这个问题怎么列式解决呢？请把算式写在练习本上。和你的同桌说一说，你是怎么想的。 学生在汇报时出现的算式如下，教师进行板书： 想法1：3+3+3+2=11，教师追问学生的想法。 （前3个木马上都有3个小朋友，所以3+3+3，第4个木马上有2个，最后再加上2。） 想法2：3+3+3+3-1=11，教师追问学生的做题思路。 （有4个木马，每个木马上有3个小朋友，所以3+3+3+3，因为走了一个，最后再减去1。）