例1判断下列数列是否为等差数列：
(1)1,1,1,1,1；
(2)4,7,10,13,16；
(3)－3，－2，－1,1,2,3.
解(1)所给数列是首项为1，公差为0的等差数列．
(2)所给数列是首项为4，公差为3的等差数列．
(3)因为(－1)－(－2)≠1－(－1)，所以这个数列不是等差数列．
反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断a n＋1－a n(n≥1)是不是一个与n无关的常数．
跟踪训练1判断下列数列是不是等差数列：
(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，…，a，….
解由等差数列的定义，得(1)，(2)，(5)是等差数列，(3)，(4)不是等差数列．
例2求出下列等差数列中的未知项：
(1)3，a,5；
(2)3，b，c，－9.
解(1)根据题意，得a－3＝5－a，
解得a ＝4.
(2)根据题意，得?????
b －3＝
c －b ，
c －b ＝－9－c ，
解得?
????
b ＝－1，
c ＝－5.
反思与感悟 应用方程的思想能求等差数列中未知的项，列方程的依据是等差数列的定义． 跟踪训练2 已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数： (1)( )，5,10； (2)1，2，( )； (3)31，( )，( )，10.
解 (1)设所填的数为a ，由等差数列的定义， 得5－a ＝10－5，所以a ＝0.
(2)设所填的数为b ，由等差数列的定义， 得2－1＝b －2，所以b ＝22－1. (3)设所填的数为x ，y ，由等差数列的定义，
得????? x －31＝y －x ，y －x ＝10－y ，解得?????
x ＝24，y ＝17.
探究点二 等差中项的应用
思考1 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0. 答 插入的数分别为3,2,0.
思考2 如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，如何用a ，b 表示A?
答 由a ，A ，b 组成等差数列，所以A －a ＝b －A ，∴2A ＝a ＋b ，∴A ＝a ＋b 2.
小结 如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，那么A ＝a ＋b 2.我们把A ＝a ＋b
2
叫做a 与b 的等差中项．
例3 (1)在等差数列{a n }中，是否有a n ＝a n －1＋a n ＋1
2
(n ≥2)?
(2)在数列{a n }中，如果对于任意的正整数n (n ≥2)，都有a n ＝a n －1＋a n ＋1
2，那么数列{a n }一定
是等差数列吗？
解 (1)因为{a n }是等差数列，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n －1＋a n ＋1
2.
(2)在数列{a n }中，如果对于任意的正整数n (n ≥2)都有a n ＝a n －1＋a n ＋1
2，那么a n ＋1－a n ＝a n －
a n －1(n ≥2)．
这表明，这个数列从第2项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，所以数列{a n }是等差
数列．
反思与感悟 判断一个数列是否为等差数列，除了利用定义外，还可以利用2a n ＝a n －1＋a n ＋
1(n ∈N
*)来判定．
跟踪训练3 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列． 解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋7
2＝3.
又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋3
2＝1.
又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋7
2＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
1．已知等差数列{a n }前5项为7,12,17,22,27，则公差d 为________． 答案 5
解析 由等差数列的定义，得d ＝12－7＝17－12＝22－17＝27－22＝5. 2.2－1与2＋1的等差中项是________． 答案
2
解析 设等差中项为a ，则有2a ＝(2－1)＋(2＋1)＝22，所以a ＝ 2.
3．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a
b
＝________.
答案 13
解析 ∵?
????
2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x .∴a b ＝1
3
.
4．等差数列{a n }中，已知a 1＝1
3，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．
解 ∵a 2＋a 5＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋5d ＝4，
∴d ＝23.
∴a n ＝13＋(n －1)×23＝23n －13.
由a n ＝23n －1
3＝33，解得n ＝50.
[呈重点、现规律]
1．如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列．
2．一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同．当这些常数不同时，此数列不是等差数列．
3．d ＝a n －a n －1(n ≥2)或d ＝a n ＋1－a n 是证明或判断一个数列是等差数列的依据(d 是常数)．切记不可通过计算a 2－a 1，a 3－a 2等有限的几个式子的值后，发现它是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论．
一、基础过关
1．若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是________．
答案 b －a 3
解析 由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a
3.
2．等差数列14,11,11,8，…中第一个负数项是第______项． 答案 7
解析 由等差数列的前4项14,11,11,8知，公差为－3，所以第5项为8－3＝5，第6项为5－3＝2，第7项为2－3＝－1＜0.
3．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z ＝________. 答案 39
解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，
∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26.
∴x ＋y ＋z ＝39.
4．已知a ＝13＋2，b ＝1
3－2，则a 、b 的等差中项是________．
答案
3
解析 由于a ＝
13＋2＝3－2，b ＝1
3－2
＝3＋2，所以a ＋b 2＝ 3.
5．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B ＝________. 答案 60°
解析 因为A 、B 、C 成等差数列，
所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°， 从而B ＝60°.
6．下列数列为等差数列的是________． ①4,7,10,13,16，…； ②31,25,19,13,7，…； ③0,0,0,0,0，…；
④a ，a －b ，a －2b ，…； ⑤1,2,5,8,11，…. 答案 ①②③④
解析 通过观察可知①②③④是等差数列，⑤不是等差数列，因为a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 2－a 1≠a 3－a 2.
7．在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5℃，5 km 高度的气温是－17.5℃，求2 km,4 km,8 km 高度的气温． 解 用{a n }表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a 1＝8.5，a 5＝－17.5，由a 5＝a 1＋4d ＝8.5＋4d ＝－17.5，解得d ＝－6.5，∴a n ＝15－6.5n .∴a 2＝2，a 4＝－11，a 8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃. 二、能力提升
8．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1
d 2的值
为________．
答案 43
解析 n －m ＝3d 1，d 1＝1
3(n －m )．
又n －m ＝4d 2，d 2＝1
4
(n －m )．
∴d 1d 2＝1
3(n －m )14
(n －m )＝43
. 9．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________. 答案 15
解析 由?
????
a 4＝a 1＋3d ＝1
a 7＋a 9＝2a 1＋14d ＝16，
∴???
a 1
＝－17
4
d ＝7
4
.
∴a 12＝a 1＋11d ＝－174＋11×7
4
＝15.
10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．
答案 ????
83，3
解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由?????
a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0
，
解不等式得：8
3
11．已知a ，b ，c 成等差数列，那么a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )是否能构成等差数列？
证明 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . ∴a 2(b ＋c )＋c 2(a ＋b )
＝a 2b ＋a 2c ＋c 2a ＋c 2b ＝(a 2b ＋c 2b )＋(a 2c ＋c 2a ) ＝b (a 2＋c 2)＋ac (a ＋c )＝b (a 2＋c 2)＋2abc ＝b (a 2＋c 2＋2ac )＝b (a ＋c )2＝b ·(a ＋c )·(a ＋c ) ＝2·b 2(a ＋c )．
∴a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )能构成等差数列．
12
(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？ (2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？
解 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t . (2)当t ＝1 min ＝60 s 时， s ＝9.8t ＝9.8×60＝588 cm.
当s ＝49 cm 时，t ＝s 9.8＝49
9.8
＝5 s.
三、探究与拓展
13．已知1a ，1b ，1
c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 也成等差数列．
证明 ∵1a ，1b ，1
c 成等差数列，
∴2b ＝1a ＋1
c ，即2ac ＝b (a ＋c )． ∵
b ＋
c a ＋a ＋b c ＝c (b ＋c )＋a (a ＋b )
ac
＝c 2＋a 2＋b (a ＋c )ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac
＝2(a ＋c )2b (a ＋c )
＝2(a ＋c )
b .
∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b
c
成等差数列．
