离散型随机变量的分布列综合题精选（附答案）
1.某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖。卡片用后入回盒子，下一位参加者继续重复进行。
（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从
盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是
18
5
，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及ξξ，D E 的值。 解：（I ）设“世博会会徽”卡有n 张，
由,18
5292
=C C n 得n=5， 故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为6
1
2924=C C
…………5分
（II ）)
1
,4(~B ξ的分布列为)4,3,2,1,0()5()1()(44===-k C k P k k k
ξ
0.9
)61(4,364=-?==?
=∴ξξD E …………12分
2.某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和D 两个动作。比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。 假设每个运动员完成每个系列中的K 和D 两个动作的得分是相互独立的。根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列中的K 和D 两个动作的情况如下表： 表1：甲系列 表2：乙系列
动作
K 动作 D 动作
得分
90 50 20 0
概率 10
910
110910
1
动作
K 动作
D 动作
得分
100 80
40
10
概率
4
3
4
1 4
341
现该运动员最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115分。
（1） 若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由。
并求其获得第一名的概率。
（2） 若该运动员选择乙系列，求其成绩ξ的分布列及数学期望.ξE
解.（1）应选择甲系列，因为甲系列最高可得到140分，而乙系列最高只可得到110分，不
可能得第一名。 该运动员获得第一名的概率.4
3434
14
34
3
=?+?=p （2）ξ的可能取值有50,70,90,110。 ();10081109109110=?==ξp ();100
910110990=?==ξp ();100910110970=?==ξp ().100
110110150=?==ξp
ξ
110 90 70 50 P
100
81
100
9 100
9 100
1
3．在本次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：‘每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。’某考生每道题都给出一个答案。某考生已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：
（Ⅰ）选择题得60分的概率； （Ⅱ）选择题所得分数ξ的数学期望
解：（1）得分为60分，12道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为
1
2
，有1道题答对的概率为
13，还有1道答对的概率为14
， 所以得分为60分的概率为： 1111
.23424
P =??=，
。。。。。。5分 （2）依题意，该考生得分的范围为｛45，50，55，60｝. ，。。。。。。6分 得分为45分表示只做对了9道题，其余各题都做错，
所以概率为112361
.234484
P =
??== ，
。。。。。。7分 得分为50分的概率为： 212311312111
.23423423424
P =??+??+??=，
。。。。。。8分
同理求得得分为55分的概率为：36
.24
P = ，。。。。。。9分 得分为60分的概率为：41
.24
P = ，。。。。。。10分 所以得分ξ的分布列为
数学期望61605
45505560424242412
E ξ=?+?+?+?=
。。。。。。12分
4．某设区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖。
（I ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒总抽两张都不是“海宝”卡的概率是
1
3
，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求ξ 的分布列及,E D ξξ。
解：（I ）设“世博会会徽”卡有n 张，由2210n C C =3
1
，得6n =……………（2分）
故“海宝”卡有4张，…………………………（3分）
抽奖者获奖的概率为242102
15
C C =…………………………（5分）
（Ⅱ）ξ～)
2,
4(B ，ξ的分布列为44213()()()(0,1,2,3,4)k k k p k C k ξ-===或 ∴4,4(1)151********
E D ξξ=?==??-=…………………………（12分）
5．某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别 从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x ，“实用性”得分为y ，统计结果如下表：
（Ⅰ）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率； （Ⅱ）若“实用性”得分的数学期望为
167
50
，求a 、b 的值． 解：（Ⅰ）从表中可以看出，“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件，
∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为
6
0.1250
=． …………4分 （Ⅱ）由表可知“实用性”得分y 有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，
且每个等级分别有5件，4b +件，15件，15件，8a +件． …………5分 ∴“实用性”得分y 的分布列为：
又∵“实用性”得分的数学期望为50
，
∴541515816712345505050505050
b a ++?+?+?+?+?=
． ……………10分 ∵作品数量共有50件，∴3a b +=
解得1a =，2b =． ……………………13分
6．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.
（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；
（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；
（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列. 解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为,m n ，则两次取球的编号的一切可能结果),(n m 有6636?=种， ………………2分
其中和为6的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5种，
则所求概率为
5
36
. ………………4分 （Ⅱ）每次从袋中随机抽取2个球,抽到编号为6的球的概率15261
3
C p C ==.
………………6分
所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为
2223122
(1)3()()339
C p p -=?=. ………………8分
（Ⅲ）随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6. ………………9分
33361
(3)20
C P X C ===
， 23363
(4)20
C P X C ===
， 243663
(5)2010
C P X C ====，
2536101
(6)202
C P X C ====. ………………12分
所以，随机变量X 的分布列为:
………………13分
7．甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方块4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。 （1）设),(j i 分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况 （2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜。你认为此游戏是否公平？请说明你的理由.
解：（1）甲、乙二人抽到的牌的所有情况为（2，3），（2，4），（2，'
4），（3，2），（3，4），（3，'
4），（4，2），（4，3），（4，'
4），（'
4，2），（'
4，3），（'
4，4），共12种不同情况 ………4分
（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，'
4.因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为
3
2
. ……8分 （3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2），（4，2），（4，3），（'4，2），（'4，3），共5种甲获胜的概率,1251=P 乙获胜的概率为12
7
2=P 12
7125<
∴此游戏不公平 ……..13分
8．某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：
（Ⅱ）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得
分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题得分ξ的数学期望.
解：（Ⅰ）设样本试卷中该题的平均分为x ，则由表中数据可得:
0198380206982302
3.011000x ?+?+?+?== ，
…….3分
据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分. …….4分
（Ⅱ）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的
概率为0.3， ………6分
(0)(10.8)(10.3)0.14P ξ==--= (2)(10.8)0.30.06P ξ==-= (3)0.8(10.3)0.56P ξ==-= (5)0.80.3)0.24P ξ==?=
则该同学这道题得分ξ的分布列如下：ks5u
所以E ξ=0×0.14+2×0.06+3×0.56+5×0.24=3 ……12分
9．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为
2
3
.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.
解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分
事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分
15
13
32104106)(=?+=
A p ………………4分 (Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.
30463101
(0)30C C P X C ===,21463
103(1)10
C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101
(3)6
C C P X C ===. (8)
分
……………9分
(Ⅲ)设随机选取3件产品都不
能通过检测的事件为B ……………10分
事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，
3
11
1()(
3
3
P B =
?=. ……………13分
10．某商场进行促销活动，到商场购物消费满100元就可转动转盘(转盘为十二等分的圆盘)一次进行抽奖，满200元转两次，以此类推（奖金累加）；转盘的指针落在A 区域中一等奖，奖10元，落在B 、C 区域中二等奖，奖5元，落在其它区域则不中奖．一位顾客一次购物消费268元，
(Ⅰ) 求该顾客中一等奖的概率；
(Ⅱ) 记ξ为该顾客所得的奖金数，求其分布列；
(Ⅲ) 求数学期望E ξ(精确到0.01)．
解(Ⅰ) 设事件A 表示该顾客中一等奖 11111
()212121212144
P A =?+??=
所以该顾客中一等奖的概率是
23
144
……4分 （Ⅱ）ξ的可能取值为20，15，10，5，0 ………5分
111(20)1212144P ξ==
?=，121
(15)2121236P ξ==??=
， 221911
(10)21212121272P ξ==?+??=
291(5)212124P ξ==??=，999
(0)121216P ξ==?=（每个1分）……………10分
所以ξ的分布列为 ………………10分
（Ⅲ）数学期望11111
2015105 3.3314436724
E ξ=?+?+?+?≈…………………14分
11．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为
，乙、丙面试合格的概率都是
，且面试是否合格互不影响．
（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率； （Ⅱ）求签约人数的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，
且
.
至少有1人面试合格的概率是
（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.
＝
＝
=
=
∴的分布列是
的期望
12．甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有
一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
1
()
2
p p ，且各局胜负
相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为5
9
．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．
解：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，
故2
2
5
(1)9
p p +-=， 解得13p =或23
p =． 又12p >
，所以2
3
p =． …………………6分 （Ⅱ）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6．
5(2)9
P ξ==，
5520
(4)(1)9981P ξ==-?=
， 52016
(6)198181
P ξ==--=，
所以随机变量ξ的分布列为：
所以ξ的数学期望2469818181
E ξ=?
+?+?=
．………………13分
13．甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.
（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.
（Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望. 解：（Ⅰ）事件A 表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知
2
32254
()C P A C C = ………………3分
11110220
=
?=. ………………5分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3. ………………6分
23225431
(0)10620
C P X C C ====?， ………………7分
1121233322
5423337
(1)10620C C C C P X C C +??+====?， ………………9分 21332254333
(3)10620
C C P X C C ?====
?， ………………10分 (2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=9
20
=
. ………………11分 X
………………12分
179317
()01232020202010
E X =?
+?+?+?=
. ………………13分
14．为振兴旅游业，某省2009年面向国内发行了总量为2000万张的优惠卡，其中向省外人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省旅游，其中43是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有3
1
持金卡，在省内游客中有
3
2
持银卡。 （1）在该团中随机采访3名游客，求至少有1人持金卡且恰有1人 持银卡的概率； (2 ) 在该团的省外游客中随机采访3名游客，设其中持金卡人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望EX 。 .解：（1）由题意知，省外游客有27人，其中9人持有金卡，省内游客有9人，其中6人持有银卡。
记事件B 为“采访该团3人中，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡，” 记事件1A 为“采访该团3人中，1人持金卡,1人持银卡，” 记事件2A 为“采访该团3人中，2人持金卡,1人持银卡，”
则23845
)()()(3
36
1
629336121161921=+=+=C C C C C C C A P A P B P 所以在该团中随机采访3名游客，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡的概率为238
45
。 …………………………………….6分
（2）X 的可能取值为0,1,2,3
因为975272
)0(327318===C C X P ， 325153)1(3
27
21819===C C C X P
32572)2(32711829===C C C X P ，975
28
)3(3
273
9===C C X P 所以X 的分布列为
…10分
故
1975
28
332572232515319752720=?+?+?+?
=EX ……………………13分
15．张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
1
2
；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
34，35
． （Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．
遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上
述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由． 解：（Ⅰ）设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则
031
2331111()=()()2222
P A C C ?+??=． …
……………4分
所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为
1
2
． （Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2． ……5分
331
(=0)=(1)(1)4510P X -?-=，
33339
(=1)=(1)(1)454520P X ?-+-?=
， 339
(=2)=4520
P X ?=
． ……8分
01210202020
EX =?+?+?=． ……10分
（Ⅲ）设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，1
(3,)2
Y B ，
1
所以13
322
EY =?
=． ……12分 因为EX EY <，所以选择L 2路线上班最好． ……14分
16．在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖。 （Ⅰ）求仅一次摸球中奖的概率；
（Ⅱ）求连续2次摸球，恰有一次不中奖的概率； （Ⅲ）记连续3次摸球中奖的次数为ξ，求ξ的分布列。
解：（Ⅰ）设仅一次摸球中奖的概率为P 1,则P 1=252102C C =49
……………………3分
（Ⅱ）设连续2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中奖的概率为P 2，则
P 2=1
211(1)C P P -=
40
81
………………………………………………7分 （Ⅲ）ξ的取值可以是0，1，2，3
(0)P ξ==(1-1P )3=
125
729
, (1)P ξ==12
311
(1)C P P -=300729=100243, (2)P ξ==22
311
(1)C P P -= =240729=80243
, (3)P ξ==31P =64
729
所以ξ的分布列如下表
………………………………………………………13分
17．在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜. (Ⅰ) 求该考生8道题全答对的概率；
(Ⅱ)若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.
解：(Ⅰ)说明另四道题也全答对，相互独立事件同时发生，即：64
1
41412121=
???
5分 (Ⅱ)答对题的个数为4，5，6，7，8，其概率分别为：
()649
434321214=
???=
=ξP ()6424
2434121212434321215=
????+????==ξP ()64226==ξP ()6487==ξP ()==ξ8P 64141412121=??? 分布列为：
………13分
18．为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立. （Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率；
（Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列及期望． 解：（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A . ………1分
每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有43种等可能的情况 . ……2分
事件A 所包含的等可能事件的个数为3， ………3分 所以，()4
31
327
P A =
=. 即：4人恰好选择了同一家公园的概率为
1
27
. ……5分
（Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则()1
3
P C =. …………6分
4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数，因此，随机变量X 服从二项分布.
X 可取的值为0，1，2，3，4.
………………8分 ()4412()()33
i i i
P X i C -==， 0,1,2,3,4i =.
………………10分
X 的期望为()14
433
E X =?=．
.……………………13分
19．某学校高一年级开设了,,,,A B C D E 五门选修课．为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程．假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数； （Ⅱ）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；
（Ⅲ）设随机变量X 为甲、乙、丙这三名学生参加A 课程的人数，求X 的分布列与数学期
望．
解：（Ⅰ）甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种，
故共有555125??=（种）．
（Ⅱ）三名学生选择三门不同选修课程的概率为：3
5312
525
A =．
∴三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为：1213
12525
-=
． （Ⅲ）由题意：0,1,2,3X =．
33464
(0)5125P X ===； 1233
448(1)5125C P X ?===； 233412(2)5125C P X ?===； 3331
(3)5125
C P X ===．
ξ的分布列为
数学期望64481210123125125125125EX =?
+?+?+?
=3
5
．--------------- 13分
20．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考
核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核，若小张参加每次考核合格的概
率依次组成一个公差为
18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过1
2
，且他直到参加第二次考核才合格的概率为9
32
（I ）求小张第一次参加考核就合格的概率P 1；
几个重要的离散型随机变量的分布列 井 潇（鄂尔多斯市东胜区东联现代中学017000） 随着高中新课程标准在全国各地的逐步推行，新课标教材越来越受到人们的关注，新教材加强了对学生数学能力和数学应用意识的培养，而概率知识是现代公民应该具有的最基本的数学知识，掌握几种常见的离散型随机变量的分布列是新课标教材中对理科学生的最基本的要求，也是高考必考的内容，先结合新教材，具体谈一谈几个重要的离散型随机变量分布列及其简单的应用。 下面先了解几个概念: 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量就叫随机变量.随机变量常用希腊字母,ξη等表示. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量就叫离散型随机变量. 离散型随机变量的分布列:一般地设离散型随机变量ξ可能取得值为 123,,,...,,...,i x x x x ξ取每一个值()1,2,3,...i x i =的概率()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列. 由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都有以下两个性质 (1)0,1,2,3,...i P i ≥= (2)123...1P P P +++= 离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和. 一、 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示第k 次独立重复试验时事件第一次发生。如果把第k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()() ,k k P A p P A q ==，那么 ()()1231...k k P k P A A A A A ξ-==，根据相互独立事件的概率的乘法公式得 ()()()()()()1231...k k P k P A P A P A P A P A ξ-==()11,2,3,...k q p k -==。 于是得到随机变量ξ的概率分布
5.离散型随机变量及其分布律 【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第二章第§2离散型随机变量及其分布律 【教材分析】：概率论考察的是与各种随机现象有关的问题，并通过随机试验从数量的侧面来研究随机现象的统计规律性，由此，就把随机试验的每一个可能的结果与一个实数联系起来。随机变量正是为了适应这种需要而引进的，随机变量的引入有助于我们应用微积分等数学工具，把研究深入，一维离散型随机变量是随机变量中最简单最基本的一种。 【学情分析】： 1、知识经验分析 学生已经学习了概率的意义及概率的公理化定义，学习了事件的关系及运算，掌握了概率的基本计算方法。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能： 了解离散型随机变量的分布律，会求某些简单的离散型随机变量的分布律列；掌握伯努利试验及两点分布， 2、过程与方法 由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，发展学生的抽象、概括能力。 3、情感态度与价值观 通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受到生活与数学“零距离”，从而激发学生学习数学的热情。 【教学重点、难点】： 重点：掌握离散型随机变量的概念及其分布律、性质，理解伯努利试验，两点分布。 难点：伯努利试验，两点分布。 【教学方法】：讲授法启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】：
一、问题引入（离散型随机变量的概念） 例1：观察掷一个骰子出现的点数。 随机变量 X 的可能值是 ： 1， 2， 3， 4， 5， 6。 例2若随机变量 X 记为 “连续射击， 直至命中时的射击次数”， 则 X 的可能值是： 1,2,3,. 例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8，现该射手射了30次，则随 机变量 X 记为“击中目标的次数”， 则 X 的所有可能取值为： 0,1,2,3,,30. 定义 有些随机变量的取值是有有限个或可列无限多个，称此随机变量为离散型随机变量。 【设计意图】：让学生感受到数学与生活“零距离”，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生获得良好的价值观和情感态度。 二、离散型随机变量的分布律 定义 设离散型随机变量X 的所有可能取值为),2,1( =k x k ， X 取各个可能值得概率，即事件称}{k x X =的概率，为 ,2,1,}{===k p x X P k k 由概率的定义，k p 满足如下两个条件： 1）)21(0 ，，=≥k p k ； 2） ∑∞ ==1 1k k p （分布列的性质） 称（2.1）式为离散型随机变量为X 的概率分布或分布律， 也称概率函数。 常用表格形式来表示X 的概率分布： n i n p p p p x x x X 2121 【设计意图】：给出分布律的概念和性质，体现具体到抽象、从特殊到一般的数学思想，同时让学生感受数学化归思想的优越性和这一做法的合理性。 例1：()()1,2,,C k P X k k N X N ?=== 若为随机变量的分布律，是确 定常数C 。 解：由分布律特征性质 1 知 C ≥ 0 ， 由其特征性质 2 知 1 ()1N k P X k == =∑ 1 N k C k N =?=∑ )(12C N N ++=+ ()12 C N += 21C N ∴= + 【设计意图】：通过这个例子，让学生掌握离散型随机变量的分布律的性质。
第2离散型随机变量的方差 学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 知识点离散型随机变量的方差 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列为 X 01 2 P 6 10 1 10 3 10 Y 01 2 P 5 10 3 10 2 10 思考1试求EX，EY. 思考2能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低？ 思考3试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？ 梳理(1)离散型随机变量的方差的含义 设X是一个离散型随机变量，用E(X－EX)2来衡量X与EX的________________，E(X－EX)2是(X－EX)2的________，称E(X－EX)2为随机变量X的方差，记为________． (2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系 方差越____，随机变量的取值越分散；方差越____，随机变量的取值就越集中在其均值周
围． (3)参数为n，p的二项分布的方差 当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其方差DX＝np(1－p)． 类型一求离散型随机变量的方差 命题角度1已知分布列求方差 例1已知X的分布列如下： X －10 1 P 1 2 1 4 a (1)求X2 (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 反思与感悟方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝EX2－(EX)2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2DX. 跟踪训练1已知η的分布列为 η010205060 P 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15 (1)求方差； (2)设Y＝2η－Eη，求DY.
离散型随机变量及其分布列第一课时 2.1.1离散型随机变量 教学目标：1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用，理解随机变量、离散型随机变量的概念．初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量． 2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题，体会用离散型随机变量思想 描述和分析某些随机现象的方法，树立用随机观念观察、分析问题的意识． 3、发展数学应用意识，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，逐步认识 数学的科学价值和应用价值． 教学重点：随机变量、离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量．教学难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究． 教学方法：启发讲授式与问题探究式． 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境，引出随机变量 提出思考问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示？ 启发学生：掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但可以将结果于数字建立对应关系． 在让学生体会到掷骰子的结果与出现的点数有对应关系后，也能创造性地提出用数字表示掷一枚硬币的结果．比如可以用1表示正面向上的结果，用0表示反面向上的结果．也可以分别用1、2表示正面向上与反面向上的结果． 再提出思考问题2：一位篮球运动员3次罚球的得分结果可以用数字表示吗？ 让学生思考得出结论：投进零个球——— 0分 投进一个球——— 1分 投进两个球——— 2分 投进三个球——— 3分 得分结果可以用数字0、1、2、3表示． 二、探究发现 1、随机变量 问题1.1：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？ 引导学生从前面的例子归纳出：如果将实验结果与实数建立了对应关系，那么随机试验的结果就可以用数字表示．由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值，因此是个变量． 问题1.2：如果我们将上述变量称之为随机变量，你能否归纳出随机变量的概念？ 引导学生归纳随机变量的定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． 随机变量常用字母X、Y、ξ、η来表示． 问题1．3：随机变量与函数有类似的地方吗？ 引导学生回顾函数的理解： 函数 实数实数 在引导学生类比函数的概念，提出对随机变量的理解：
2019-2020学年高中数学 2.3.1离散型随机变量的期望学案 新人教 A 版选修2-3 【教学目标】 1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望． ⒉理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξ～Β(n ，p)，则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望 【教学重难点】 教学重点：离散型随机变量的期望的概念 教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望 【教学过程】 一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离 散型、连续型） 5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…， ξ取每一个值xi （i=1，2，…）的概率为 ()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 6. 分布列的两个性质： ⑴Pi ≥0，i ＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1． 7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ， （k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n P n n q p C 00 1 11-n n q p C … k n k k n q p C - … q p C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝
专项-离散型随机变量及其分布列 知识点 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下： 此表称为离散型随机变量P ( X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列． (2)分布列的性质：① p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；① 11 =∑=n i i p 3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N ，k ＝0,1,2，…，m ， 其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ①N *. 如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．
题型一离散型随机变量的理解 【例1】下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( ) A ．某个路口一天中经过的车辆数X B ．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度X C ．某超市一天中来购物的顾客数X D ．小马登录QQ 找小胡聊天，设X ＝? ???? 1，小胡在线 0，小胡不在线 【例2】写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和X ； (2)某汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y 表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数． 【例3】袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是( ) A ．ξ＝4 B ．ξ＝5 C ．ξ＝6 D ．ξ≤5 【例4】袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是 ( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25 【过关练习】 1.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． ①掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数； ②掷一枚质地均匀的骰子，向上一面出现的点数； ③某个人的属相随年龄的变化； ④在标准状态下，水结冰的温度． 2.某人射击的命中率为p (0
§2.3.2离散型随机变量的方差导学案 高二数学组 一、教学目标 1、通过实例，理解离散型随机变量的方差； 2、能计算简单离散型随机变量的方差。 重点：离散型随机变量的方差的概念 难点：根据离散型随机变量的分布列求出方差 二、自学引入： 问题1：某射手在10次射击中所得环数为：10，9，8，10，8，10，10，10，8，9. 求这名射手所得环数的方差。 问题2：某射手在一次射击中所得环数 能否根据分布列求出这名射手所得环数的方差？ 引入概念： （1）方差的概念：设一个离散型随机变量X所有可能取得值是x1，x2，…，x n；这些值对应的概率为p1，p2，…，p n，则 D（X）= ， 叫做这个离散型随机变量X的方差。 离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量的取值。 （2）D（X）的叫做随机变量X的标准差。 三、问题探究： （1）若随机变量X服从参数为p的二点分布，则D（X）= （）。 （2）若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则D（X）= （）。 四、典例解析： 例1 甲、乙两射手在同样条件下进行射击，成绩的分布列如下： 射手甲： 射手乙： 谁的射击水平比较稳定。 变式训练设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求D（X）
例2 已知某离散型随机变量X 服从下面的二项分布： k k k C k X P -==449.01.0)( (k=0,1,2,3,4). 求E （X ）和D （X ）。 变式训练 一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 0.02。设发病的牛的头数为X ，求E （X ）和D （X ）。 五、小结： 六、作业：课后练习A 、B 。 §2.3. 2离散型随机变量的方差当堂检测 高二数学组 1、已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ） A ．1000.08和； B ．200.4和； C ．100.2和； D ．100.8和 2、设投掷1颗骰子的点数为ξ，则（ ） A.E ξ=3.5，D ξ=3.52 B.E ξ=3.5，D ξ=12 35 C.E ξ=3.5，D ξ=3.5 D.E ξ=3.5，D ξ= 16 35 3、有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求E （X ），D （X ） 4、A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示： A 机床 B 机床 问哪一台机床加工质量较好
常用离散型随机变量的分布函数 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概 率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分 布或分布律，表格表示形式如下： [2] 性质： ? 0i p ≥ ?11n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p == ∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有： ()()x F x f x dx -∞= ? 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函 数或者密度函数。
[2] 连续型随机变量的密度函数的性质 ?()0f x ≥ ? ()1f x dx +∞ -∞=? ?{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞ -∞<≤=-= ? ?若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '= (3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别： [1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是 (),-∞+∞，对于任何x ，000 {}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间 断点，其图形呈阶梯形。 [2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随 机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1. [3] 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何 给定值的概率都为0. [4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间 取值的概率与区间端点无关，即：
离散型随机变量的概念》教学设计 一、教材分析 《离散型随机变量的概念》是人教 A 版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》第二章随机变量及其分布的第一节离散型随机变量及其分布列的第一课时。本章是在必修三中学习了基本的概率统计知识的基础上，进一步学习随机变量及其分布的知识。本节内容一方面承接了必修三的知识；另一方面，掌握好这一节课将有助于后续的学习，因此它在知识体系上起着承上启下的作用。随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，从而使得更多的数学工具有了用武之地。离散型随机变量是最简单的随机变量。本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法。 二、学情分析 学生在必修 3 概率一章中学习过的随机试验、随机事件、简单的概率模型和必修1 中学习过的变量、函数、映射等知识是学习、领悟和“接纳”随机变量概念的重要知识基础，教学时应充分注意这一教学条件；另外，为更好地形成随机变量和离散型随机变量两个概念，教学中可借助媒体列举和展现丰富的实例和问题，以留给学生更多的时间思考和概括。 三、教学策略分析 学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。本课以情境为载体，以学生为主体，以问题为手段，激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，培养学生分析问题、 解决问题的能力
四、目标分析 1知识与技能目标：理解随机变量和离散型随机变量的概念，能够运用随机变量表示随机事件，学会恰当的定义随机变量； 2、过程与方法目标：在教学过程中，以不同的实际问题为导向，弓I导学生分析问题的特点，归纳问题的共性，提高理解分析能力和抽象概括能力； 3、情感与态度目标：通过列举生活中的实例，提高学生学习数学的积极性, 使学生进一步感受到数学与生活的零距离，增强数学应用意识。 五、教学重点与难点 教学重点：随机变量、离散型随机变量概念的理解及随机变量的实际应用；教学难点：对随机变量概念的透彻理解及对引入随机变量目的的认识。 六、教学过程设计：
离散型随机变量及其分布列 知识点 1随机变量的有关概念 (1) 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 X , Y , E, n …表示. (2) 离散型随机变量：所有取值可以一- 变量. 2. 离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 X 1, X 2,…，X i ,…，x n , X 取每一个值X i (i = 1,2,…，n) 的概率P(X = X i )= P i ，以表格的形式表示如下： 此表称为离散型随机变量 P(X = X i )= p i , = 1,2,…, n 表示X 的分布列. (2)分布列的性质： n ① p i >0 i = 1,2,3,…,n ；① P i 1 i 1 3. 常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两点分布，并称 p = P(X = 1)为成功概率. (2)超几何分布 其中 m = min{ M , n}，且 n 汆， M 哥，n , M , N ①N *. 如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 题型一离散型随机变量的理解 【例 1】 下列随机变量中，不是离散型随机变量的是 ( ) A ．某个路口一天中经过的车辆数 X B .把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度 X C .某超市一天中来购物的顾客数 X 在含有M 件次品的N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品，则 P(X = k)= c M c N —M c N ,k = 0,1,2, m ,
2.1.1离散型随机变量 【学习要求】 1．理解随机变量及离散型随机变量的含义． 2．了解随机变量与函数的区别与联系． 【学法指导】 引进随机变量的概念，就可以用数字描述随机现象，建立连接数和随机现象的桥梁，通过随机变量和函数类比，可以更好地理解随机变量的定义，随机变量是函数概念的推广. 【知识要点】 1．随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件： （1）试验可以在相同的情形下重复进行； （2）试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个．这种试验就是一个随机试验． 2．随机变量：在随机试验中，随着变化而变化的变量称为随机变量． 3．离散型随机变量：所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量. 【问题探究】 探究点一随机变量的概念 问题1掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 问题2随机变量和函数有类似的地方吗？ 例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． （1）上海国际机场候机室中2013年10月1日的旅客数量； （2）2013年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间； （3）2013年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数； （4）体积为1 000 cm3的球的半径长． 小结随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值． 跟踪训练1指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． （1）某人射击一次命中的环数； （2）任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数； （3）投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值； （4）某个人的属相． 探究点二离散型随机变量的判定 问题1什么是离散型随机变量？ 问题2非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别？ 例2①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ； ③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是() A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④ 小结该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出． 跟踪训练2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． （1）白炽灯的寿命ξ； （2）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； （3）江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ； （4）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数． 探究点三离散型随机变量的应用 例3（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ.写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． （2）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？ 小结解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果． 跟踪训练3下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果． （1）盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η. （2）从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ. （3）离开天安门的距离η. （4）袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ. 【当堂检测】 1．下列变量中，不是随机变量的是() A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度 C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数 2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是() A．取到产品的件数B．取到正品的概率 C．取到次品的件数D．取到次品的概率 3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是() A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点 C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则“ξ＝6”表示的试验结果是___________________． 【课堂小结】 1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．
离散型随机变量 学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系. 知识点一随机变量 思考1抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？ 答案可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上. 思考2在一块地里种10棵树苗，棵数为x，则x可取哪些数字？ 答案x＝0,1,2,3， (10) (1)定义 在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，数字随试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. (2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η…表示. 知识点二随机变量与函数的关系 思考随机变量和函数有类似的地方吗？ 答案随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数.试验结果相当于函数的自变量，随机变量相当于函数的函数值，随机变量可以看作函数概念的推广. 知识点三离散型随机变量 1.定义：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量. 2.特征： (1)可用数值表示. (2)试验之前可以判断其出现的所有值. (3)在试验之前不能确定取何值.
(4)试验结果能一一列出. 类型一随机变量的概念 例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由. (1)某机场一年中每天运送乘客的数量. (2)某单位办公室一天中接到电话的次数. (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数. (4)明年某天济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间. 解(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量. (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量. (3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量. (4)济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量. 反思与感悟随机变量的辨析方法 1.随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同. 2.随机试验的结果的确定性.即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量. 跟踪训练1下列变量中，不是随机变量的是() A.一射击手射击一次命中的环数 B.标准状态下，水沸腾时的温度 C.抛掷两枚骰子，所得点数之和 D.某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数 答案 B 解析B中求沸腾时的温度是一个确定的值. 类型二离散型随机变量的判定
离散型随机变量的分布列综合题精选（附答案） 1.某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖。卡片用后入回盒子，下一位参加者继续重复进行。 （Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从 盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是 18 5 ，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及ξξ，D E 的值。 解：（I ）设“世博会会徽”卡有n 张， 由,18 5292 =C C n 得n=5， 故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为6 1 2924=C C …………5分 （II ）) 1 ,4(~B ξ的分布列为)4,3,2,1,0()5()1()(44===-k C k P k k k ξ 0.9 )61(4,364=-?==? =∴ξξD E …………12分 2.某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和D 两个动作。比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。 假设每个运动员完成每个系列中的K 和D 两个动作的得分是相互独立的。根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列中的K 和D 两个动作的情况如下表： 表1：甲系列 表2：乙系列 动作 K 动作 D 动作 得分 90 50 20 0 概率 10 910 110910 1 动作 K 动作 D 动作 得分 100 80 40 10 概率 4 3 4 1 4 341
2．1.1 离散型随机变量 知识点随机变量 (1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个□01确定的数字表示．在这个对应关系下，□02数字随着□03试验结果的变化而变化．像这种随着□04试验结果变化而变化的变量称为随机变量． (2)表示：随机变量常用字母□05X，Y，ξ，η表示． 知识点随机变量与函数的关系 相同点随机变量和函数都是一种映射 随机变量是随机试验的结果到□01实数的映射，函数是□02实数到□03实区别 数的映射 随机试验结果的范围相当于函数的□04定义域，随机变量的取值范围相联系 当于函数的□05值域 知识点离散型随机变量 所有取值可以□01一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 随机试验的特点 (1)试验的所有结果可以用一个数来表示； (2)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前，却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的取值是任意的实数．( ) (2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( ) (3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( ) 答案(1)×(2)√(3)× 2．做一做 (1)甲进行3次射击，甲击中目标的概率为1 2 ，记甲击中目标的次数为ξ，则 ξ的可能取值为________． (2)同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________． (3)在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件取到次品就停止，抽取次数为X，则X＝3表示的试验是________． 答案(1)0,1,2,3 (2){0,1,2,3,4,5} (3)共抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品 解析(1)甲可能3次全击中，也可能一次未中，中1次，2次，所以ξ的取值为0,1,2,3. (2)当硬币全部为正面向上时，ξ＝0，硬币反面向上的个数还可能有1个，2个，3个，4个，也可能都反面向上，即5个． (3)由随机试验可知X＝3表示抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品． 探究1 随机变量的概念 例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量． (2)某单位办公室一天中接到电话的次数． (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数． (4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间． [解] (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量． (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量． (3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
离散型随机变量及其分布 知识点一：离散型随机变量的相关概念； 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ??????、ξ取每一个值()1,2,i x i =???的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质； 任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) 01,2,i p i ≥=???，；12(2) 1P P ++ = 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+ 知识点二：两点分布： 若随机变量X 的分布列: 则称 X 的分布列为两点分布列. 特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1) 为成功率. (2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是 否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究. 知识点三：超几何分布： 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则
高一数学必修2-3 2.1--01 《2．1．1离散型随机变量》导学案 编撰崔先湖姓名班级组名. 【学习目标】1.理解随机变量的意义； 2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量 的例子； 3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量. 【学习重点】随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 【学习难点】随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 【学法指导】自主与讨论相结合 【导学过程】 一教材导读 思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化． 定义1：称为随机变量．随机变量常用字母…表示．思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？ 随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的映为，函数把映为．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的，随机变量的取值范围相当于函数的．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的． 例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品”, {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出3 件以上次品”又如何用X 表示呢？ 定义2：，称为离散型随机变量. 离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为；某网页在24小时内被浏览的次数Y也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为。 思考3：电灯的寿命X是离散型随机变量吗？ 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，表示反面向上 （2）若ξ是随机变量，b a b a, , + =ξ η是常数，则η也是随机变量 二、题型导航 题型一、随机变量概念的辨析 【例1】将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是：（） (A)两次出现的点数之和；(B)两次掷出的最大点数； (C)第一次减去第二次的点数差；(D)抛掷的次数。 变式1 （1）洪湖车站每天候车室候车的人数X，（2）张三每天走路的步数Y，（3）下落的篮球离地面的距离Z，（4）每天停靠洪湖港的船的数量S.不是离散型随机变量的是 解题总结 题型二、随机变量的值域 【例2】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 (1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ； (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η 变式2写出下列各随机变量可能取得值： （1）抛掷一枚骰子得到的点数。 （2）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数。 （3）抛掷两枚骰子得到的点数之和。 （4）某项试验的成功率为0.001，在n次试验中成功的次数。 （5）某射手有五发子弹，射击一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求这名射手的射击次数X的可能取值 解题总结
离散型随机变量及其分布 知识点一：离散型随机变量的相关概念； 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机 变量随机变量常用希腊字母、等表示 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随 机变量叫做离散型随机变量。若 是随机变量， a b ，其中a 、b 是常数，则 也 是随机变量 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的 变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变 量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列 出，而连续性随机变量的结果不可以 --------------------- 列出 离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量可能取的值为X i 、X 2 X i 取每一 个值X i i 1,2, 的概率为P( X ) p ，贝U 称表 为随机变量的概率分布，简称的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质； 任何随机事件发生的概率都满足:0 P(A) 1,并且不可能事件的概率为0，必然事 件的概率为 1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) P i 0, i 1,2, ; (2) RP.L 1 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即P( 知识点二：两点分布： 若随机变量X 的分布列: 特别提醒：(1) 若随机变量X 的分布列为两点分布，则称X 服从两点分布，而称P(X=1为成 功 率? (2) 两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 ⑶两点分布列的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是 否为正 品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列 来研究? 知识点三：超几何分布： 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则 C k C n k X k ) P( X k ) P( X k 1) L 则称X 的分布列为两点分布列