2020届全国联考4月高三调研考试数学（文）试题
一、单选题
1．已知全集为R ，集合{}
02M x x =≤<，{}1,0,1,2,3N =-，()
=M N ?R e( ) A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,2,3-
【答案】C
【解析】利用交集及补集的定义求解． 【详解】
∵{}
02M x x =≤<，
={0M x x N ={?1，0，1，2，3} ∴() =M N ?R e{?1，2，3}. 故选：C . 【点睛】 本题考查集合的运算，根据交、并、补运算法则进行运算，属于基础题. 2．设复数231i z i i =-+，则z =( ) A B ．2 C D 【答案】A 【解析】根据复数四则运算化简z ，可求z 的模. 【详解】 ()()() 212331312111i i i z i i i i i i i i -= -=-=+-=-++-Q ， z ∴故选：A . 【点睛】 本题考查复数的运算及模的运算，考查对复数基础概念的掌握及运算能力，属于基础题. A ．c a b >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >> 【答案】C 【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0和1的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】 对数函数3log y x =为()0,∞+上的增函数，则3 31 log log 105 a =<=； 对数函数13 log y x =为()0,∞+上的减函数，则11 3311log log 153 b =>=； 指数函数3x y =为R 上的增函数，则103 033- <<，即01c <<. 因此，b c a >>. 故选：C. 【点睛】 本题考查指数幂和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题. 4．已知角()0,απ∈，角α的终边经过点7cos ,sin 66A ππ?? ?? ? ，则α=( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 【答案】D 【解析】根据诱导公式及特殊角三角函数值求出A 点坐标，再根据三角函数定义可得角α. 【详解】 1sin 6 2π = Q ，7cos cos cos 666ππππ??=+=-= ?? ?， 2 2 sin cos 166ππ??? ?+-= ? ?????， cos 6cos =1π α-∴= -又()0,απ∈，56 π α∴=. 【点睛】 本题考查角的概念，属于基础题. 5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，且2615a a +=，则4a =( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】B 【解析】由题可判断1q ≠，根据423S S =列方程 ()()421111311a q a q q q --=? --得22q =， 再代入2615a a +=可得23a =，根据公式可得4a . 【详解】 当数列{}n a 的公比1q =时，414S a =，2136S a =，423S S ≠，1q ∴≠. ()()421111311a q a q q q --∴ =? --，得22q =. ()4262115a a a q +=+=Q ，23a ∴=， 2426a a q ∴==. 故选：B . 【点睛】 本题考查等比数列，求等比数列中的项，一般根据条件列方程求出首项和公比即可，注意等比数列公比为1的求和公式，属于基础题. 6．已知m ，n 是空间内两条不同的直线，α，β是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α B ．若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，则 n α⊥ C ．若m αβ=I ，//n α，则//m n D ．若m α⊥，βn//，//αβ，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】A.若m n ⊥，m α⊥，则n αP 或n ?α.B.若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，若n β?，不成立，C.若m αβ=I ，//n α，m 与n 的关系是异面或平行.D.由面面垂直的性质定理判断. 若m n ⊥，m α⊥，则n αP 或n ?α，故A 不正确，； 若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，若n β?，则n α⊥，故B 不正确， 若m αβ=I ，//n α，m 与n 的关系是异面或平行，故C 不正确， 若m α⊥，//αβ，m β⊥，又因为βn//，所以m n ⊥，故D 正确. 故选：D 【点睛】 本题主要考查点、线、面的位置关系，还考查理解辨析的能力，属于中档题. 7．已知曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为31y x =+，则曲线()x f x y e = 在点 0x =处的切线方程为( ) A ．21y x =- B ．21y x =+ C ．1y x =- D ．1y x =+ 【答案】B 【解析】由()y f x =切线方程31y x =+，得()01f =，()03f '=，代入()x f x y e = 可得切点坐标，对() x f x y e =求导代入可得切线斜率，求解出方程即可. 【详解】 由切线方程31y x =+，得()01f =，()03f '=. 设()() x f x g x e =， 则()()() () ()() 2 x x x x e f x e f x f x f x g x e e ''--'= = ， ()()0001f g e ∴= =，()()() 0002f f g e '-'==， ∴曲线() x f x y e = 在点0x =处的切线方程为12y x -=， 即21y x =+， 【点睛】 本题考查曲线上某点的切线方程，考查导数的应用，根据导数求出切点与切线斜率即可，属于基础题. 8．执行如图的程序框图，最后输出结果为8.若判断框填入的条件是s a ≥，则实数a 的取值范围是( ) A ．(]21,28 B ．[)21,28 C ．(]28,36 D ．[)28,36 【答案】A 【解析】根据循环结构程序框图的运算，求得k =7及k =8时s 的值，判断框填入的条件是s a ≥，即可得a 的取值范围. 【详解】 1k =，0s =， ①条件不满足，1s =，2k =；②条件不满足，3s =，3k =； ③条件不满足，6s =，4k =；④条件不满足，10s =，5k =； ⑤条件不满足，15s =，6k =；⑥条件不满足，21s =，7k =； ⑦条件不满足，28s =，8k =；满足条件，退出循环. 2128a ∴<≤. 故选：A . 【点睛】 本题考查程序框图计算，此类问题需要分析程序框图中各个变量、语句的作用，根据流程图的顺序依次计算即可，属于基础题. 9．函数()()3sin cos 10f x x x a ωω=+->的最小正周期是π，则函数()f x 在区间[]0,100上的零点个数为（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 【答案】D 【解析】先用辅助角法，将()312cos 12f x x x ωω?=+-???? ，转化为 ()2sin 16f x x πω? ?=+- ?? ?，再由最小正周期是π，求得解析式，然后求零点即可. 【详解】 因为()1 2cos 12f x x x ωω?=+-???? 2sin 16x πω? ?=+- ?? ?. Q 最小正周期是π，=2ω∴. ()2sin 216f x x π? ?∴=+- ?? ?， 令()0f x =，得1sin 262 x π?? + = ?? ?. 226 6 x k π π π∴+ =+ 或5226 6 x k π π π+ =+ ，k ∈Z . x k π∴=或3 x k π π=+ ，k ∈Z . 0100x ≤≤Q ， ∴当x k π=时，0x =，π，2π，3π，L ，31π共32个； 当3 x k π π=+ 时，3 x π = ，3 π π+ ，23 π π+ ，L ，313 π π+ 共32个. ∴函数()f x 在区间[]0,100上的零点总共有64个. 故选：D 【点睛】 本题主要考查三角函数的性质和零点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．过双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的右焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ， 垂线交y 轴于点B ，且3AB FA =u u u r u u u r .若OAB V （O 是坐标原点），则双曲线的标准方程为( ) A ．2 213x y -= B ．22 132x y -= C ．2 2 1y x -= D ．22 1x y -= 【答案】A 【解析】由题意及点到直线距离公式可得FA b =，OA a =，由3AB FA =u u u r u u u r 可得 3AB b =， 根据面积公式可得ab =又根据垂线AF 的方程为()a y x c b =- -，得点B 的坐标为0,ac B b ?? ???，利用勾股定理可得222229a c a b b +=，结合222 +=a b c 联立解出a 、b 即可得双曲线方程. 【详解】 过右焦点(),0F c 作渐近线b y x a = 的垂线，渐近线方程即0bx ay -=. FA b = =Q ，OA a ∴=， 又3AB FA =u u u r u u u r 可得3AB b =， 则113222 OAB S OA AB a b = =??= △. ab ∴=. 又垂线AF 的方程为()a y x c b =- -，得点B 的坐标为0,ac B b ?? ??? ， Rt OAB ∴?中，22 2 2 29a c a b b +=②. 由①②及222+=a b c ，得23a =，21b =， ∴双曲线的标准方程为2 213 x y -=. 故选：A . 【点睛】 本题考查双曲线的方程，涉及双曲线渐近线相关的知识及三角形面积公式应用，列出关于a 、b 、c 的方程计算即可，属于综合题，考查综合分析及计算能力，属于中等题. 11．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆 以通过如下随机模拟试验来估计π的值：在区间()0,1内随机取2m个数，构成m个数对(),x y，设x，y能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y有n对，则通过随机模拟的方法得到的π的近似值为（） A． 2 m n m + B． 2 m n n + C． 24 m n m + D． 2 2 m n n + 【答案】C 【解析】根据在区间()0,1内随机取2m个数，则有01 01 x y << ? ? << ? ，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因为x，y能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得 221 1 x y x y ?+< ? +> ? 求得相应的面积，再利用几何概型的概率公式求解. 【详解】 依题有 01 01 x y << ? ? << ? ，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1. 因为x，y能与1构成钝角三角形， 由余弦定理的及三角形知识得 221 1 x y x y ?+< ? +> ? ， 构成如图阴影部分， 其面积为 1 42 π -， 由几何概型概率计算公式得 1 42 1 n m π - = ， 解得 24 m n m π + =. 故选：C 【点睛】 本题主要考查数学史和几何概型的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力， 12．已知三棱锥S ABC -的所有顶点在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰直角三角形，2SA AB AC ===，D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 【答案】B 【解析】由已知可得点D 是Rt ABC V 的外心，过点D 作DO ⊥平面ABC 使 1 12 DO SA = =，O 是外接球球心，半径设为R ，不难求出3R =，过点D 作球O 的截面，当OD ⊥截面时，截面面积最小，求出面积即可. 【详解】 点D 是Rt ABC V 的外心，过点D 作DO ⊥平面ABC 使1 12 DO SA = =， O 是外接球球心，半径设为R ，则OA OS R ==. 在直角梯形SADO 中，2SA =，1OD =，2AD = ，得3R =， 过点D 作球O 的截面，当OD ⊥截面时，截面面积最小， 此时截面圆的半径为222R OD -=， ∴截面面积的最小值是2π. 故选：B . 【点睛】 本题考查球截面问题，通常利用勾股定理求解，根据题意找出圆心，再利用垂直于直径的截面面积最小即可求出最小面积，属于中等题. 二、填空题 13．已知向量)3,1a = r ，() 3,b m =-r ，a r 与b r 的夹角为 23 π ，则实数m =__________. 【答案】1 【解析】根据向量的夹角公式可得关于m 的方程，计算求解即可． ∵向量)a =r ，() b m =r ，a r 与b r 的夹角为23 π， ∴||2a =r ，||b r ， 根据数量积定义21cos 32 |||a b a b π?===-r r r r ，解得1m =. 故答案为：1. 【点睛】 本题考查向量的夹角公式，解题关键是对向量夹角公式的灵活掌握，属于基础题. 14．已知抛物线()2 20y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴相交于点C .若以F 为圆心、 p 为半径的圆与抛物线相交于点A ，B ，则sin ACF ∠=__________. 【答案】 2 【解析】根据已知抛物线与圆方程联立可得交点A ，B 坐标，再由AB x ⊥轴及抛物线性质可得Rt AFC V 为等腰三角形，可得45ACF ∠=?，即可求解. 【详解】 由22 22 22y px p x y p ?=????-+=? ?? ??，得2p x y p ? =???=±?， ,2p A p ?? ∴ ???，,2p B p ??- ??? . AB x ∴⊥轴. 在Rt AFC V 中，AF CF p ==， 45ACF ∴∠=?， sin 2 ACF ∴∠= . . 【点睛】 本题考查抛物线的性质，掌握及灵活应用抛物线的定义及几何性质是解题关键，考查学生的分析与转化能力，属于简单题. 15．2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩 数依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x （单位：十万只），若这组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的 方差为1.44，且2 1x ，2 2x ，2 3x ，24x ，2 5x 的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生 产口罩__________十万只. 【答案】1.6 【解析】设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为x ，根据方差的计算公式有 ()()() 2221251 1.445x x x x x x ? ?-+-++-=??? ?L .即()()2 222125125257.2x x x x x x x x +++-++++=L L ，再利用21x ，2 2x ，23x ，24x ，2 5x 的平均数为4求解. 【详解】 依题意，得222 12520x x x +++=L . 设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为x ， 根据方差的计算公式有 ()( )() 2221251 1.445x x x x x x ? ?-+-++-=? ???L . ()()2 222 125125257.2x x x x x x x x ∴+++-++++=L L ， 即2 2 201057.2x x -+=， 1.6x ∴=. 故答案为：1.6 【点睛】 本题主要考查样本中的数字特征，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于基础题. 16．已知正项数列{}n a 和{}n b 满足：①11a =，23a =；②12n n n a a b ++=，2 11n n n b b a ++=. 则数列{}n a 的通项公式为n a =___________. 【答案】 ()1 12 n n + 【解析】根据条件②12n n n a a b ++=，2 11n n n b b a ++=联立化简得数列 是等差数列， 再根据条件①可得的通项，再代入②即可得数列{}n a 的通项公式. 【详解】 则2n ≥ 2n b =， 2n ∴≥ = = ∴ 数列 是等差数列. 又1212a a b +=，12b ∴=，222192 a b b = =， = d == ( ))1122 n n =-=+. ()2 112 n b n ∴= +， ()()11 122 n a n n +∴==++. ()1 12n a n n ∴=+，其中11a =适合此式， ()1 12 n a n n ∴=+. 故答案为：()1 12 n n +. 【点睛】 本题考查数列的通项公式，考查对数列相关知识的理解与运用，解题关键是对题目条件的转化，属于中等题. 三、解答题 17．某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照10:1的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下： 男生身高频率分布表 女生身高频数分布表 （1）估计这1000名学生中女生的人数； （2）估计这1000名学生中身高在[]170,190的概率； （3）在样本中，从身高在[] 170,180的女生中任取2名女生进行调查，求这2名学生身高在[)170175,的概率.（身高单位：厘米） 【答案】（1）400名；（2）0.49；（3） 1 5 . 【解析】（1）由男生、女生身高频数分布表可知，抽了60名男生，40名女生，则女生的人数为40 10004004060 ? =+； （2）由男生、女生身高频数分布表可知，身高在[]170,190的有49人，又共抽取100人，计算可得概率； （3）身高在[)170175,的女生有3名，身高在[]175,180的女生有3名，列举法可得抽取2名共15种，其中2名学生的身高都在[)170175,的情况有3种，可求概率. 【详解】 （1）由频率分布表可得样本中男生为60名，女生为40名， 估计这1000名学生中女生的人数大约是40 10004004060 ? =+（名）. （2）由表知，样本中身高在[]170,190的人数为19184233=49+++++， 样本容量是100， ∴样本中身高在[]170,190的概率为 49100 ， ∴估计这1000名学生中身高在[]170,190的概率为0.49. （3）依题意，身高在[)170175,的女生有3名，记为a ，b ，c ， 身高在[]175,180的女生有3名，记为d ，e ，f ， 则从身高在[] 170,180的女生中任取2名， 所有情况有：ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ， ef 共15种， ∴这2名学生身高都在[)170175,的概率为 31155 =. 【点睛】 本题考查频率分布表的应用及概率计算，解题关键是对频数分布表及古典概型求概率的灵活掌握，属于基础题. 18．如图，平面ABCD I 平面ABEF AB =，四边形ABCD 和ABEF 都是边长为2的正方形，点M ，N 分别是AF ，AB 的中点，二面角D AB F --的大小为60°. （1）求证：//MN 平面BCF ； （2）求三棱锥M BCF -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（23 【解析】（1）由中位线性质可知//MN BF ，又MN ?平面BCF ，BF ?平面BCF 即可求证； （2）根据题目条件不难得出DAF ∠就是二面角D AB F --的平面角，连接DM ，解三角形可得DAM △为直角三角形，由DM AM ⊥进一步求证可得DM ⊥平面ABEF ,又//CD 平面ABEF ，可得点C 到平面ABEF 的距离等于点D 到平面ABEF 的距离，即为所求三棱锥的高，再求出底面积代入体积公式即可. 【详解】 （1）证明：M Q ，N 分别是AF ，AB 的中点， //MN BF ∴. MN ?Q 平面BCF ，BF ?平面BCF ， //MN ∴平面BCF . （2）Q 四边形ABCD 和ABEF 都是边长为2的正方形， DA AB ∴⊥，FA AB ⊥， DAF ∴∠就是二面角D AB F --的平面角， 60DAF ∴∠=?. 连接DM ，在DAM △中，2DA =，1AM =，60DAM ∠=?， 3DM ∴=. 222DM AM AD ∴+=，DM AM ∴⊥. DA AB ⊥Q ，FA AB ⊥，FA DA A =I ， AB ∴⊥平面ADM ，AB DM ∴⊥. DM ∴⊥平面ABEF . //CD Q 平面ABEF ， ∴点C 到平面ABEF 的距离等于点D 到平面ABEF 的距离，为3. FA AB ⊥Q ，N 为AB 的中点，2AF AB ==， 1 1212 NBF S ∴=??=△ //MN Q 平面BCF ，M BCF N BCF C NFB V V V ---∴==. 13 333 M BCF NBF V S -∴=?= △. 【点睛】 本题考查线面平行的证明及三棱锥的体积求法，考查空间推理能力及转化能力，属于中等题. 19．ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC V 的外接圆半径为R ，面积为S ，已知A 为锐角，且( )222 2tan =4b c R A S +-. （1）求A ； （2）若=1a ，求S 的最大值. 【答案】（1） 4 π；（2） ) 1 214. 【解析】（1）根据正、余弦定理和同角三角函数的基本关系可求出sinA 的值，再根据是锐角三角形可确定角A 的值； 式可求最大值． 【详解】 （1）( )222 2tan 4b c R A S +-=Q ， () 222sin 1 24sin cos 2 A b c R bc A A ∴+-=?， 即22222cos b c R bc A +-=，2222cos 2b c bc A R ∴+-=， 由余弦定理得222a R =， 由正弦定理得()2 22sin 2R A R =，得sin A = A Q 为锐角，4 A π ∴= . （2）由余弦定理，得 22212 b c bc +-? =，221b c ∴+=+. 222b c bc +≥Q ，取等号的条件是b c =，22 bc ∴≤. ) 11 sin 124 S bc A ∴==≤ . S ∴的最大值为 ) 1 14 . 【点睛】 本题考查正、余弦定理的应用，涉及到的考点由同角三角函数关系、面积公式、基本不等式，属于综合题，考查综合分析能力及转化思想，属于中等题. 20．已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>，过C 的焦点且垂直于x 轴的直线被C 截得 C 的离心率为2 . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）经过右焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与y 轴相交 于点10,3?? ??? ，求直线l 的方程. 【答案】（1）2 212x y +=；（2）1y x =-或1122 y x =-. 【解析】（1）根据通径可求过C 的焦点且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长为2 2b ， 再由椭圆C 的离心率为 2 及椭圆解得a 、b ，可得椭圆方程； （2）依题意，得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，与椭圆联立利用 韦达定理可得线段AB 的中点为2222,1212k k k k ?? - ?++??，可得线段AB 的垂直平分线的方程为222121212k k y x k k k ??+=-- ?++??，代入10,3?? ??? 解得1k =或12k =，由此得出直线l 的方程. 【详解】 （1）过C 的焦点且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长为2 2b a ， 2 2 2222b a c a a b c ?=???∴=??=+??? ，解得a =1b c ==. ∴椭圆C 的标准方程为2 212 x y +=. （2）依题意，得直线l 的斜率存在且不为0，()1,0F ， 设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 由()22 112 y k x x y ?=-??+=??，得()2222 124220k x k x k +-+-=. 可得2880k ?=+>， 2 122412k x x k ∴+=+，2122 2212k x x k -=+， ()12122 2212k y y k x x k +=+-=- + ∴线段AB 的中点为2222,1212k k k k ?? - ?++??. 线段AB 的垂直平分线的方程为 22 2121212k k y x k k k ??+=-- ?++?? . 令0x =，得2 12k y k = +. 21 123 k k ∴ =+，解得1 k =或12k =. ∴直线l 的方程为1y x =-或11 22 y x =-. 【点睛】 本题考查椭圆方程与椭圆与直线综合问题，求椭圆方程一般思路为列关于a 、b 、c 的方程组求解即可，椭圆与直线综合问题通常是设直线，联立，求韦达定理代入核心条件求解未知量，计算量较大，属于中等题. 21．已知函数()2 ln 2f x x ax x =++的导函数为()f x '. （1）若()2 1f x x '≤ -对任意0x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 的极值为正数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1 4a - ≤；（2）102 a -<<. 【解析】（1）由()2 1f x x '≤-对任意0x >恒成立，求出()f x '代入分离参数，将问题 转化为2min 124a x x ?? ≤- ???，由二次函数的最值可得a 的取值范围； （2）由函数()f x 的极值为正数，则()=0f x '有正根，将问题转化为二次函数有正根问题，对a 进行分类讨论，可得当0a <时，方程2410ax x ++=有两个不等实根1x ， 2x 且异号，设10x <，20x >，可得出2x x =是函数()f x 在()0,∞+上的唯一极值点 且是极大值点，再利用函数与方程思想可得21>x ，又222 1 4x a x +=-得实数a 的取值范围. 【详解】 （1）()1 41f x ax x '= ++Q ， 12411ax x x ∴++≤-对任意0x >恒成立，即2124a x x ≤-. 2124a x x ??∴≤- ???. 2 212111x x x ?? -=-- ??? Q ，当1x =时有最小值-1， 41a ∴≤-，1 4 a ∴≤-. （2）()()2141410ax x f x ax x x x ++'=++=>. ①当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上递增， 此时()f x 无极值； ②当0a <时，设方程2410ax x ++=，1160a ?=->. 方程2410ax x ++=有两个不等实根1x ，2x ， 121 04x x a = ()f x ∴在()20,x 上递增，在()2,x +∞上递减，2x x =是函数()f x 在()0,∞+上的唯 一极值点且是极大值点. ()2 22222 2 22ln 0,410,f x ax x x ax x ?=++>∴?++=? 2211 ln 022 x x ∴+ ->. 令()11 ln 22 h x x x =+-，易知()h x 在()0,∞+上递增，又()10h =， ()0h x ∴>时，1x >，21x ∴>. 2 22410ax x ++=Q ， ()2 22221 11142,024 x a x x ??+∴=-=-++∈- ???. 1 02 a -<<∴. 【点睛】 本题考查利用导数求参数的取值范围，包括不等式恒成立求参数范围及已知极值范围求参数取值范围，核心考点是导数的应用，不等式恒成立求参数范围运用转化思想将参数 导数将问题转化为二次函数根的分布问题，利用分类讨论及转化思想进行求解，是难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为112x t y ? =+?? ??=?? ，（t 为参数），以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程； （2）已知点()1,0P ，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，设()1PB PA λλ=>，求实数λ. 【答案】（1 0y -=；()2 224x y -+=（2 ）76 λ+= 【解析】（1）消去参数t ，求得直线的普通方程，由4cos ρθ=求圆的普通方程. （2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .依题意，点()1,0P 在直线l 上且在圆C 的内部.2 1 t t λ=-.然后将直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程联立，再用韦达定理求解. 【详解】 （1 ）由112x t y ?=+?? ??=?? ，消去参数t ， 0y --=. 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，即224x y x +=. 故圆C 的直角坐标方程为()2 224x y -+=. （2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t . 依题意，点()1,0P 在直线l 上且在圆C 的内部. 2 1 t t λ∴=- .，结合函数241y ax x =++的图象可知， 当()20,x x ∈时，()0f x '>；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，
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