甘肃省白银市会宁县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 文(含解析)

甘肃省白银市会宁县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考

试试题 文（含解析）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{

}

2

60A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则(

)R

A B =（ ）

A. ()1,3

B. (]1,3

C. [

)3,+∞ D. ()3,+∞

【答案】C 【解析】 【分析】

先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R

的范围,最后根据交集

的含义计算

(

)R

A B ?的结果.

【详解】因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,R

A =-∞-?+∞,

又因为()1,B =+∞,所以(

)[)3,R

A B =+∞.

故选C.

【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解.

2.抛物线2

18

y x =-的准线方程是（ ） A. 1

32x =- B. 12

x =

C. 2y =

D. 4y =

【答案】C 【解析】 【分析】

将抛物线方程化成标准式，直接求解即可． 【详解】解：抛物线2

18y x =-的标准方程为：28x y ，可得4p =，抛物线21

8

y x =-的

准线方程是：2y =． 故选C ．

【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题． 3.下列命题的说法错误的是（ ）

A. 对于命题p ：?x∈R，x 2

+x+1＞0，则?p：?x 0∈R，x 02

+x 0+1≤0． B. “x=1“是“x 2﹣3x+2=0“的充分不必要条件． C. “ac 2＜bc 2“是“a＜b“的必要不充分条件．

D. 命题“若x 2

﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x 2

﹣3x+2≠0”． 【答案】C 【解析】

【详解】对于命题p :?x ∈R ,x 2+x +1>0,则?p : ?x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0，是真命题； “x =1”是“x 2?3x +2=0“的充分不必要条件，是真命题； 若c =0时，不成立，是充分不必要条件，∴是假命题；

命题“若x 2?3x +2=0,则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1,则x 2?3x +2≠0”，是真命题； 故选C.

4.已知函数31()(,)3

f x x ax b a b R =++∈在2x =处取得极小值4

3-，则,a b 的值分别为

（ ） A. -4,4 B. 4，-4

C. 4,4

D. -4，-4

【答案】A 【解析】 【分析】

求出函数的导数，根据函数()f x 在2x =处取得极小值43-，得到()4

23

f =-且()20f '=，得到方程组，解得. 【详解】解：

31

()3

f x x ax b =++

2()f x x a '∴=+

因为函数()f x 在2x =处取得极小值43

-

()()20

423f f ?=?∴?=-'??即232014223

3a a b ?+=?

??++=-??解得44a b =-??

=? 故选：A

【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题.

5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244,16S S ==，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前9项和9T 为 ( ) A. 20 B. 80

C. 166

D. 180

【答案】D 【解析】

【详解】等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2=4,S 4=16，

可得11

244616a d a d +=??+=?,解得d =2,a 1=1,a n =2n ?1，b n =a n +a n +1=4n .

数列{b n }的

前9和9910

41802

T ?=?=. 本题选择D 选项.

6.已知斐波那契数列的前七项为：1,1,2,3,5,8,13，大多数植物的花，其花瓣数按层从内向外都恰是斐波那契数．现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层． A. 5 B. 6

C. 7

D. 8

【答案】C 【解析】 【分析】

一朵该种玫瑰花的花瓣数为33，计算斐波那契数列的前n 项和，观察前几项和为33即得． 【详解】由题设知，斐波那契数列的前6项和为20，前7项和为33，由此可推测该种玫瑰花最可能有7层， 故选：C ．

【点睛】本题考查数列的前n 项和，掌握数列和的概念是解题基础． 7.若

110a b <<,则下列不等式:①11a b ab <+;②|a|+b>0;③11a b a b

->-;④lna 2>lnb 2中,正确的是( ) A. ①④ B. ②③

C. ①③

D. ②④

【答案】C

【解析】

【详解】先由<<0得到a 与b 的大小关系,再根据不等式的性质,对各个不等式进行逐一判断. 由<<0,可知b0,所以<0,>0.

故有

<,即①正确.

②中,∵b-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误. ③中,∵ba>b, 又∵<<0,∴->->0, ∴a ->b-,故③正确.

④中,∵b

单调递减函数,可得b 2>a 2>0,而y=lnx 在定义域上为增

函数.∴lnb 2

>lna 2

,故④错,综上分析,②④错误,①③正确.

8.（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m

+=长轴的两个端点，若C 上存在

点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是 A. (0,1][9,)+∞ B. 3][9,)+∞ C. (0,1][4,)+∞ D. 3][4,)+∞

【答案】A 【解析】

当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则

tan 603a

b

≥=即

3

3m

≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则

tan 603a

b

≥=，即33

m

≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞，选A ．

点睛:本题设置是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定,a b 的关系，求解时充分借助题设条件120AMB ∠=转化为

tan603

a

b

≥=，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．

9.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.

【详解】根据()

f x的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A选项符合，故本题选A.

【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题. 10.设等差数列{}{}

,

n n

a b的前n项和分别为,

n n

S T，若

333

3

n

n

S n

T n

+

=

+，则使

n

n

a

Z

b

∈的n的个数为（）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】

先由题意，根据等差数列前n 项和的性质，得到212112

31--==++n n n n a S b T n ，再由n n

a Z

b ∈，得到12

1

∈+Z n ，从而即可求出结果. 【详解】因为等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，

所以1212112121

()

2()2

n n n n n n n n n a a a na S n b b b nb T ----+=

==+， 又3333

n n S n T n +=+，所以21213(21)3363031512

32132211---+++=====+-++++n n n n a S n n n b T n n n n ，

为使n

n a Z b ∈，只需121

∈+Z n ，又n ∈+N ，所以1n +可能取的值为：2,3,4,6,12， 因此n 可能取的值为：1,2,3,5,11. 故选C

【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的应用，熟记等差数列前n 项和的公式与性质即可，属于常考题型.

11.在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，

若sin cos()6

2

A A π

++=

，4b c +=，则ABC ?周长的取值范围是（ ） A. [6,8) B. [6,8]

C. [4,6)

D. (4,6]

【答案】A 【解析】 【分析】

利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得3

sin A π

+

=

（），结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求得2163a bc =- ，再由基本不等式，求得bc 的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围．

【详解】∵ sin 6A cos A π?

?

++

= ?

?

?

，12sinA sinA ∴+-=，

可得：3

sin A π

+

=

（）， 40333A A π

πππ∈+

∈（，），（，），2 33A ππ∴+=，解得3

A π

=， ∵4b c +=，

∴由余弦定理可得2222

22163a b c bccosA b c bc bc bc =+-=+--=-（），

∵由4b c +=，b c +≥ ，得04bc ≤＜， ∴2416a ≤＜，即24a ≤＜．

∴ABC 周长4[68L a b c a =++=+∈，） ．

故选A ．

【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理及运用，同时考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．

12.已知双曲线22

22:1x y C a b

-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线的

四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（ ）．

B. 2+

C. 2

D.

【答案】D 【解析】 【分析】

设以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为1(,),0,0P m n m n >>，代入双曲线和圆的方程，根据正方形关系，求解离心率.

【详解】设以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为1(,),0,0P m n m n >>，

22

221m n a b

-=，222m n c += 以12F F 为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则m n =

代入可得：22

22122c c a b -=，22222122()c c a c a -

=- 22222222()2()c a c a c a c a --=-

4224420c a c a -+=，两边同时除以4a 得：

42420e e -+=，22e =

=±，双曲线离心率2

1,1e e >>

22e =

所以e =故选：D

【点睛】此题考查通过双曲线上的点的关系求解离心率，关键在于将题目所给条件转化成代数关系求解，构造齐次式解方程.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.共20分.

13.已知椭圆22

12516x y +=与双曲线22

15

x y m -=有共同的焦点12,F F ,则m =_________

【答案】 4 【解析】 【分析】

先求出椭圆的焦点坐标，再根据双曲线的焦距求m 的值.

【详解】由题得椭圆的焦点为（-3,0）和（3,0）,所以m=4. 故答案为4

【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

14.曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为__________． 【答案】22y x =- 【解析】 【分析】 求导2()f x x

'=

，可得斜率(1)2k f '

==，进而得出切线的点斜式方程.

【详解】由()2ln y f x x ==，得2()f x x

'=

， 则曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线的斜率为(1)2k f '

==， 则所求切线方程为02(1)y x -=-，即22y x =-.

【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.

15.双曲线22

143

y x -=的渐近线方程为____________________.

【答案】y = 【解析】

【详解】试题分析：由题，得2a =，b =，∴双曲线22

143y x -=的渐近线方程为

y =． 考点：双曲线方程及几何性质．

16.设函数()ln ln(2)(0)f x x x ax a =+-+>，若()f x 在(0,1]上的最大值为

1

2

，则a =________.

【答案】12

a = 【解析】 【分析】

求出函数的导数，由()

22

()2x f x a x x -'=+-在(0,1]上()0f x '>，可得()f x 在(0,1]上单调递

增，则函数最大值为()1

12

f =，即可求出参数的值. 【详解】解：

()ln ln(2)f x x x ax =+-+定义域为()0,2

()

1122()22x f x a a x x x x -'∴=

++=+-- (0,1]x ∈，0a >

()

22

()02x f x a x x -'∴=

+>-

()f x ∴在(0,1]上单调递增，

故()f x 在(0,1]上的最大值为1(1)2

f a == 故答案为：

12

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题. 三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.

17.已知m R ∈，命題:p 对任意[]0,1x ∈，不等式()2

2log 123x m m +-≥-恒成立；命题:

q 存在[]1,1x ∈-，使得1()12

x

m ≤-成立.

(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；

(2)若p q ∧为假，p q ∨为真，求m 的取值范围. 【答案】(1)[]1,2；(2)()(],11,2-∞

【解析】 【分析】

（1）由题得223m m -≥-，解不等式即得解；（2）先由题得max 1

[()1]12

x

m ≤-=， 由题得p ，q 中一个是真命题，一个是假命题，列出不等式组，解不等式组得解. 【详解】(1)对任意[]0,1x ∈，不等式()2

2log 123x m m +-≥-恒成立，

当[]0,1x ∈，由对数函数的性质可知当0x =时，()2y log 12x =+-的最小值为2-，

223m m ∴-≥-，解得12m ≤≤.

因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2.

(2)存在[]1,1x ∈-，使得1()12x

m ≤-成立，max 1[()1]12

x

m ∴≤-=.

命题q 为真时，1m ，

p 且q 为假，p 或q 为真，

p ∴，q 中一个是真命题，一个是假命题.

当p 真q 假时，则12

1m m ≤≤??

>?

解得12m <≤；

当p 假q 真时，121

m m m ??

≤?或，即1m <.

综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞.

【点睛】本题主要考查指数对数函数的性质和不等式的恒成立问题的解法，考查复合命题的真假和存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 18.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 且2,cos 3sin .3

2,B C b A π

=== （1）求边AB 的长；

（2）若点D 是边BC 上的一点，且ACD ?的面积为

33

，求ADC ∠的正弦值. 【答案】(1)2;(2)27

sin ADC ∠=. 【解析】 试

题

分

析

：（

1

）由

22,,cos 3sin 3

b A B C π

==

=可得，

cos 3sin cos 3sin 3B C C C π??

=?-= ???

化简可得3tan ,36

C C B C π

=

==，由等腰三角形的性质可得结果；

（2）由三角形面积得33=

CD ，在ACD ?中，由余弦定理得7AD =，在ACD ?中，由正弦定理得27

sin sin sin AD AC ADC C ADC =?∠=

∠. 试题解析：（1）cos 3sin cos 3sin 3B C C C π??

=?-=

???

133cos sin 3sin tan ,2236

C C C C C π

?

+=?== 2B C b c =?==

（2）1=

sin 26ACD S b CD π????=

解得=

2

CD

在ACD ?中，由余弦定理得2227

=2+(

22cos 2264

AD π-??=

AD =

在ACD ?中，由正弦定理得

sin sin sin AD AC ADC C ADC =?∠=

∠. 19.已知函数2

()21f x x mx =+-，m 为实数.

（1）若函数()f x 在区间[]1,3上是单调函数，求实数m 的取值范围；

（2）若[]11x ∈-，，求函数()f x 的最小值.

【答案】（1）m ≥﹣4或m ≤﹣12（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）由函数f （x ）在区间[1，3]上是单调函数，可得14m -

≤或34m

-≥； （2）讨论对称轴与已知区间[﹣1，1]的三种位置关系即可求解． 【详解】解：f （x ）＝2x 2+mx ﹣1开口向上，对称轴x 4

m =-， （1）∵函数f （x ）在区间[1，3]上是单调函数， ∴14m -

≤或34

m

-≥， 解可得，m ≥﹣4或m ≤﹣12； （2）①若14

m

-

≤-即m ≥4时，函数()f x 单调递增， ∴f （x ）min ＝f （﹣1）＝1﹣m ， ②若14

m

-

≥即m ≤﹣4时，函数()f x 单调递减， ∴f （x ）min ＝f （1）＝1+m ，

③若﹣114m -＜＜即﹣4＜m ＜4时，f （x ）min ＝f （4m -）＝﹣12

8

m -． 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，对称性及闭区间上的最值求解，体现了分类讨论思想的应用

20.已知函数()()()2

222ln 0f x x a x a x a =-++>.

（Ⅰ）当1a =时，证明：()f x 有且只有一个零点； （Ⅱ）求函数()f x 的极值.

【答案】（Ⅰ）详见解析； （Ⅱ）当01a <<时，极大值为222ln a a a a --+，极小值为12a --；当1a =时，无极值；当1a >时，极大值为12a --，极小值为222ln a a a a --+. 【解析】 【分析】

（1）求导，确定函数的单调区间，结合零点存在性定理，即可求证； （2）求导，对a 分类讨论，求出单调区间，进而确定是否有极值，即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1a =时，()2

42ln x x x x f =-+，定义域为()0,∞+，

∴()212422'x x x x x f ??=-+=-+ ???22

212(1)

20x x x x x

-+-=?=≥，

∴()f x 在()0,∞+上单调递增，∴()f x 至多有一个零点. 又()114030f =-+=-<，()416162ln 42ln 40f =-+=>， 则()()140f f ?<，∴()f x 在()0,∞+上有且只有一个零点. （Ⅱ）由题意得，()0,x ∈+∞，

()()()()212'222x x a a f x x a x x

--=-++=

， 当01a <<时，当()0,x a ∈时，()'0f x >，

当(),1x a ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >， ∴函数()f x 在()0,a 和()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减，

∴极大值为()()2

2

222ln 22ln a a a a a a a a a f a =-++=--+，

极小值为()112212f a a =--=--；

当1a =时，()()2

21'0x f x x

-=≥，

∴函数()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值；

当1a >时，当()0,1x ∈时，()'0f x >，当()1,x a ∈时，()'0f x <， 当(),x a ∈+∞时，()'0f x >，

∴函数()f x 在()0,1和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减， ∴极大值

()112f a =--，极小值为()222ln a a f a a a =--+.

【点睛】本题考查导数在函数中的应用，涉及到函数的单调性，零点的存在性，以及极值，属于中档题.

21.等比数列{}n a 中，15314a a a ==，

． （1）求{}n a 的通项公式； （2）记n S 为{}

n a 的

前n 项和．若63m S =，求m ．

【答案】（1）()1

2n n a -=-或1

2n n a -= .

（2）6m =. 【解析】

分析：（1）列出方程，解出q 可得；（2）求出前n 项和，解方程可得m ．

详解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．

由已知得42

4q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故()

1

2n n a -=-或1

2n n a -=．

（2）若()1

2n n a -=-，则()123

n

n

S --=．由63m S =得()2188m

-=-，此方程没有正整数

解． 若1

2

n n a -=，则21n

n S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．

综上，6m =

．

点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．

22.如图，椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>经过点41,33M ?? ???，且点M 到椭圆的两焦点的距离

之和为22.

（l ）求椭圆C 的标准方程；

（2）若,R S 是椭圆C 上的两个点，线段RS 的中垂线l 的斜率为

1

2

且直线l 与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：,,P O M 三点共线．

【答案】(1) 2

212

x y += (2)见解析

【解析】 分析：

(1)根据椭经过点41,33M ?? ???

，且点M 到椭圆的两焦点的距离之和为22222a b c =+ ，

，列出关于a 、b 的方程组，求出a 、b ，即可得椭圆C 的标准方程； (2)可设直线RS 的方程为2y x m =-+，联立22

212

y x m

x y =-+??

?+=??得2298220x mx m -+-=，设点()()()112200,,,,,R x y S x y P x y ，根据韦达定理可得0014y x =，所以点P 在直线14

y x =上，又点()410,0,,33O M ??

???

也在直线14y x =上，进而得结果.

详解：

（1）因为点M 到椭圆的两焦点的距离之和为22

所以2a =

，解得a =又椭圆C 经过点41,33M ?? ???，所以2

2

2241331a b

???? ? ?????+=. 所以21b =.

所以椭圆C 的标准方程为2

212

x y +=.

证明：（2）因为线段RS 的中垂线l 的斜率为1

2

， 所以直线RS 的斜率为-2.

所以可设直线RS 的方程为2y x m =-+.

据22

2,1,2

y x m x y =-+???+=??得2298220x mx m -+-=. 设点()11,R x y ，()22,S x y ，()00,P x y .

所以1289m

x x +=，()121212222y y x m x m x x +=-+-+=-+ 8222299m m

m m +=-?+=.

所以120429x x m x +==，1

2029

y y m

y +==. 因为

001

4y x =，所以0014

y x =. 所以点P 在直线1

4

y x =上. 又点()0,0O ，41,33M ??

???

也在直线14y x =上，

所以,,P O M 三点共线. 点睛：

用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在

y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()22

22

10x y a b a b +=>>

或

22

22

1

x y

b a

+=()0

a b

>>；③找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组；④得

方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.